Pendahuluan

Pada Fisika : a. Besaran Vektor . b. Besaran Skalar

Besaran : sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan . dengan angka * Definisi besaran Vektor : suatu besaran yg besarnya dapat . diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah . Contoh : kecepatan, gaya, dsb * Definisi besaran Skalar : suatu besaran yg besarnya dapat . diukur tapi tidak mempunyai arah . Contoh : massa, panjang, dsb.

ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices)

BAB 1. VEKTOR dan SKALAR

Operasi2 penjumlahan, pengurangan dan perkalian yg lazim . dalam aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat di- . perluas kedalam aljabar Vektor

Definisi dasar Aljabar Vektor 1. Dua buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan . arah yg sama, tanpa memperhatikan titik awalnya, A = B 2. Sebuah vektor yg arahnya berlawanan dengan vektor A . tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh – A 3. Jumlah (resultan) dari dua vektor, A dan B adalah vektor C, . yg dibentuk dengan menempatkan titik awal B pada titik . terminal A, lalu menghubungkan titik awal A ke terminal B, . C = A + B 4. Selisih vektor A dan B, yg dinyatakan oleh A – B adalah C

.

yg bila ditambahkan B menghasilkan vektor A. . C = A – B . = A + (-B) . Bila A = B, maka A – B = 0 sebagai vektor nol. 5. Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah vektor mA yg . besarnya |m| kali besarnya A dan memiliki arah yg sama atau . berlawanan A,bergantung pada apakah m positif /negatif. . Bila m = 0 maka mA adalah vektor nol.

Hukum-hukum Aljabar Vektor

Bila A, B dan C adalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka : 1. A + B = B + A ⇨ hukum Komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan 3. mA = Am ⇨ hukum Komutatif perkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukum Distributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukum Distributif

VEKTOR SATUAN

Vektor Satuan adalah sebuah vektor yg besarnya 1(satu) Bila A adalah vektor yg besarnya A ≠ 0 maka adalah sebuah vektor satuan yg arahnya sama dengan A. - Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan . a dalam arah A, dikalikan dengan besarnya A. Jadi A = Aa - Vektor satuan merupakan vektor yg panjangnya satu satuan

Setiap vektor A = | | yang bukan nol, mempunyai vektor . satuan : Ā = = | | - Besar (panjang) vektor .

Misalnya A = | | adalah vektor di R2, maka besar vektor A : . | A | =

Contoh soal

1. Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, ma- . sing-masing delapan macam ? 2. Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari . vektor A = 〔 〕 ? 3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yaitu . A + B = B + A ? Secara grafis ! 4. Diketahui vektor2 : K = 〔 〕 , L = 〔〕 dan M = 〔 〕 bila . 3K – 2L = - M maka hitung nilai x ? 5. Tentukan resultan vektor2 berikut : . Vektor A, 15 m arah barat laut, B. 25 m. 30o disebelah . utara dari timur dan C, 40 m ke selatan ?

*Jawaban contoh soal1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medan listrik, me- . dan magnet, medan gravitasi, kohesi, adhesi, arus listrik, pegas dll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalor jenis, volume, luas, jarak, massa . jenis, intensitas cahaya, perbesaran lensa, dll.

2. Besar(panjang) vektor A : A = 〔 〕 . A = |A| = = = 5 .

Vektor satuan, A = = 〔 〕 = 〔 〕 3. Hukum Komutatif penjumlahan : A + B = B + A . bukti : Q OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C . P B OR + RQ = OR⇔ A + B = C . A C A Jadi : . C A + B = B + A . O B R

Jawaban contoh soal

4. 3K – 2L = - M . 3 〔 - 2 〔 = - 〔 . 〔 + 〔 = 〔 . 6 – 2x = -2 . x = . x = 4

5. A = 15 m arah barat laut . B = 25 m arah utara dari timur 30o . C = 40 m ke selatan

* Jawaban contoh soal U . B D = A + B + C

. 30o Secara grafis : . A - pada

ttk terminal A tempatkan . 45o C ttk pangkal B . B T - pada ttk B tempatkan ttk pang

. kal C

. D - resultan D dibentik dengan .

menghubungkan ttk pangkalA . S dengan ttk terminal C, jadi . D = A+B+C

Secara grafis, resultan mempunyai besar 4,5 satuan, jadi resultan D = 22,5 m dengan arah 60o disebelah selatan dari timur.

Latihan soal/PR

1. a. Nyatakan vektor A secara aljabar ?

3 A(4,3) b. Hitunglah besar vektor A ?

c. Tentukan besar vektor satuan A ?

4

2. Hitunglah besar vektor dan vektor satuan dari vektor B = 〔 〕 ?3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif yaitu . A + B + C = (A + B) + C ?

4. Sebuah mobil sedan bergerak ke arah utara sejauh 4km, lalu 8km . ke arah timur laut. Tentukan vektor perpindahan resultannya se- . cara grafis dan analitis, gambarkan perpindahan mobil secara . grafis ?

BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k

- Himpunan vektor2 satuan penting adalah yg arahnya menurut . sumbu2 x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang . 3-dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k.

z C

k

A

0

i j y B

x A

1. Vektor2 Satuan Tegak-lurus. i, j, k

- Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan . tangan kanan, kecuali ada pernyataan lain. - Sistem ini dianalogikan dengan sebuah sekrup berulir kanan . yg diputar 90o dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sb z pos. - Bila tiga buah vektor A, B dan C yg titik pangkalnya berhim- . pit dan tak koplanar(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg . sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau . sistem dekstral. Analogi dengan sebuah sekrup (baut) berulir . kanan yg diputar dengan sudut kurang dari 180o dari A ke B . maka akan menuju arah C.

2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

-Setiap vektor A dalam ruang 3-dimensi bisa digambarkan dgn titik pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat - A1, A2, A3 : komponen2 dari vektor A dalam arah x, y dan z - A1i, A2j dan A3k : vektor2 komponen dari A dlm arah x, y, z

-Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah : . A = A1i + A2j + A3k

- Besar vektor A = | A | =

-Khususnya, vektor posisi atau vektor jejari(radius vector) r dari O ke titik (x, y, z) : . r = xi + yj + zk

- Besar vektor r : . r = | r | =

3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR

Bila pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan sebuah skalar(bilangan) φ(x,y,z) maka φ disebut fungsi titik skalar (scalar point function),⇨ medan skalar Contoh : 1. Temperatur dalam laboratorium komputer . 2. φ(x,y,z) = x3y2 + y2z– xz2

Jika pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi titik vektor (vector point function) dan dikatakan sebuah medan vektor telah didefinisikan dalam R. Contoh : 1. Kecepatan fluida yg bergerak dalam pipa 2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k - Medan vektor stationer atau keadaan steady state adalah . sebuah medan vektor yg tidak bergantung waktu.

4. Contoh soal

1. Diketahui vektor2 berikut, r = 〔 〕 , s = 〔 〕 , t = 〔 〕 Bila . 3r - 2s = -t, hitunglah nilai x dan y ?

2. Diberikan beberapa vektor, P = 〔 〕 , Q = 〔 〕 , R = 〔 〕 dan . S = 〔 〕 .Tentukan nilai x dan y,bila PQ = RS dan bila PQ = SR

3. Koordinat titik A( 2,-5) dan vektor AB = 3i – 4j , hitunglah . koordinat titik B ?

4. Diberikan beberapa vektor, K = i - 2j + 2k, L = 2i - 4j - 4k . dan M = 3i - 2j + 6k. Tentukan besar : a. | K |, |L |, | M | . b. | K - L + M | c. 3K – L + 2M

5. Diketahui medan skalar yg didefinisikan φ(x,y,z)= 3x2y – xy3 . + 5z2 Tentukan φ pada titik-titik :

Contoh soal – lanjutan

a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?

Jawaban contoh soal

1. 3r – 2s = - t . 〔 〕 - 〔 〕 = 〔 〕 . 3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = -3 + 6 3y = 4 + 2 . x = 1 y = 2

2. PQ = RS PQ = SR

PQ = q – p = 〔 〕 = 〔 〕 SR = 〔 〕 . RS = s – r = 〔 〕 . 〔 〕 = 〔 〕 〔 〕 = 〔 〕 . 4 = 2 - x -12 = y - 1 4 = x - 2 - 12 = y - 1 . x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13

Jawaban contoh soal – lanjutan

3. AB = b – a = 〔 〕 = ⇨ 3i -4j = 〔 〕 = 〔 〕 = 〔 〕 3 = x-2 - 4 = y + 5 . x = 5 y = - 9 . Jadi koordinat titik B adalah B(5, -9)

4a. | K | = | i – 2j + 2k | = = = 3 . | L | = | 2i – 4j - 4k | = = = 6 . | M | = | 3i – 2j + 6k | = = = 7

4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k . | K – L + M | = = = 2 4c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = . 7i – 6j + 22k

Jawaban contoh soal – lanjutan

5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2

φ(0,0,0) = 0

φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18

φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22

φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 = . = 31

5. Soal Latihan/PR

1. Diketahui beberapa koordinat vektor2 : . A pada (4,3), B pada( 2,-8), C(x,3) dan D(3,y). Tentukan . nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ?

2. Koordinat vektor K(3,-5, 4) dan vektor KL = 2i – 3j + 5k . Hitunglah koordinat L ?

3. Diberikan beberapa vektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k . dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S | + | T | . b. | R + S + T | c. | 3R - 2S - T |

4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vek- . tor-vektor A = 5i + 4j + 2k dan B = 3i + 2j + k ? 5. Sebuah beban 50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah . tali seperti pada gambar di bawah.Tentukan tegangan T pada . tali ?

Soal Latihan/PR – lanjutan

. T1 T2 .

600 600 .

T

50 kg

BAB 3. HASIL-KALI TITIK DAN

HASIL-KALI SILANG

Pendahuluan

-Pada vektor terdapat dua perkalian, perkalian skalar dan per- kalian vektor

- Perkalian skalar dua vektor dinamakan hasil-kali titik(skalar)

- Perkalian vektor dua vektor disebut hasil-kali silang (vektor)

- Hukum-hukum yg berlaku pada kedua perkalian itu ; hasil-kali titik dan hasil-kali silang

1. Hasil-kali Titik (Skalar)

Perkalian Skalar dua buah vektor disebut juga hasil-kali titik atau dot product.

1. Hasil-kali titik (skalar) dua buah vektor, A dan B, yg dinyatakan oleh A · B didefinisikan sebagai hasil-kali antara besarnya vektor2 A dan B serta cosinus θ antara keduanya : . A · B = | A | | B | cos θ dimana 0 ⩽ θ ⩽ 𝜋

2. Bila diketahui A = 〔 〕 B = 〔 〕 maka, A · B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1 z2), dimana | A | = dan | B |=

3. Bila A · B = 0 maka A ┴ B Jadi hasil-kali skalar dua vektor adalah suatu bilangan(skalar)

Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan

4. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor atau hukum-hukum pada hasil-kali titik : 1. A · B = B · A Hukum Komutatif 2. A · (B + C) = A · B + A · C Hukum Distributif 3. m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m 4. i · i = j · j = k · k = 1 . i · j = j · k = k · i = 0 5. A · A = | A |2 6. Bila : A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka . A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3 . A · A = | A |2 = A1

2 + A22 + A3

2 . B · B = | B |2 = B1

2 + B22 + B3

2

7. Besar sudut antara dua vektor

Bila diketahui A, B dan < A · B = α, maka . cos α = =

8. Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain . Bila C adalah proyeksi A pada B, maka

a. Proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor

A pada B adalah : C = hasilnya skalar(bilangan) . b. Proyeksi vektor orthogonal A pada B adalah : . C = hasilnya vektor.

2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product

1). Hasil-kali silang (vektor) dari dua vektor A dan B adalah . sebuah vektor C = A x B. Besar A x B didefinisikan sebagai . hasil-kali antara besarnya A dan B serta sinus sudur θ anta- . ra keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang . yg memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C . membentuk sistem tangan kanan.

A x B = | A | | B | sin θ u , dimana 0 ⩽ θ ⩽ 𝜋 dan . - u adalah vektor satuan yg menunjukkan arah dari A x B . - bila A = B atau A sejajar B maka sin θ = 0 dan didefinisi- . kan A x B = 0

2). Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali silang

a. A x B = - B x A hukum Komutatif . b. A x (B + C) = A x B + A x C hukum Distributif . c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m . d. i x i = j x j = k x k = 0 . i x j = k . j x k = i . k x i = j . e. Bila A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka

. A x B = 〔 〕 f. Besar A x B = luas jajaran genjang dengan sisi A, B g. Bila A x B = 0, A dan B bukan vektor2nol maka A dan B sejajar.

Contoh Soal Hasil-kali Titik

1. a. i · i = d. j · k = . b. i · j = e. j · (2i – 2j – 2k) = . c. i . k = f. (2i – j) · (2i – k) =

2. Bila diketahui vektor P = 2i – 2j – k dan Q = i - 4j + 8k, . maka tentukan : a. | P | c. P · Q . b. | Q | d. sudut θ .

3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dan sudut antara vektor A dan B . adalah 60o. Tentukan | A – B | ?

4. Bila sudut antara vektor K = i + j + a k dan L = i - j . + a k, adalah 60O Tentukan besar a ?

Jawaban contoh Soal Hasil-kali Titik

1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – 2 - 0 = 2 . e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k . – 2j · i – j · k = 4 + 0 – 0 – 0 = 4

2a. | P | = = 3 b. | Q | = = 8 c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18 d. cos θ = = = ⇨ θ = arc cos 0,667 = 48,50

3. | A – B |2 = | A |2 + | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 =

122 + 82 – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨ | A – B | = 4

Jawaban contoh soal Hasil-kali Titik – lanjutan

4. K . L = | K | | L | cos θ ⇨ cos θ = =

cos 600 = =

=

-2 + 2a2 = 12 + 2 + a2

a2 = 5

a = = 2,2360

SOAL LATIHAN/PR Hasil-kali Titik

1a. i · (3i – 2j – k) = . b. (2i – j) · (i + 2j) . c. k · k = . d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] =

2. Bila P = P1i + P2j + P3k dan Q = Q1i + Q2j + Q3k maka bukti . kan P . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ?

3. Tentukan sudut antara vektor2 K = 2i + 2j – k dan . L = 6i – 3j - 2k ?

4. Tentukan proyeksi vektor A = i – 2j + k dan B = -4i – 4j +7k

Contoh soal Hasil-kali Silang

1. Tentukan hasilnya : a. i x j = . b. j x k = e. j x j = h. i x k = . c. k x i = f. k x j = i. i x i = . d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k) j. 2j x i – 3k =

2. Bila P = 2i – 3j – k dan Q = i + 4j - 2k, maka tentukan a. P x Q = b. Q x P = c. (P + Q) x (P – Q) =

3. Jika K = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k dan M = i – 2j + 2k carilah : a. (K x L) x M . b. K x (L x M) ?

Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang

1.a. i x j = k f. k x j = - j x k = - i . b. j x k = I g. (2i) x (-3k) = 3k x 2i = 6j . c. k x i = j h. i x k = - k x i = - j . d. 2i x 3k = - 3k x 2i = - 6j j. (2j x i) – 3k =(-i x 2j)-3k= - 5k

2a. P x Q= i j k . 2 -3 -1 = i -3 -1 - j 2

-1 + k 2 - 3 = 10 i + 3j + 11k . 1 4 -2 4 -2 1 -2 1 4 metode lain : (2i -3j -k)x(i + 4j -2k)= 2i x(i + 4j -2k) – 3j x(i+4j-2k) . – k x(i + 4j -2k)= 2i x i + 8i x j – 4i x k + 3j x i – 12j x j + 6j x k – . k x i – 4k x j + 2k x k = 0 + 8k + 4j + 3k – 0 + 6i - j + 4i + 0 . = 10i + 3j + 11k ataupun metode lainnya : (-3)(-2) – (-1)(4) 10 . (-1) (1) - (2) (-2) = 3 . (2) (4) - (-3) (1) 11

Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang – lanjutan

2b. (Q x P) = i j k

. 1 4 -2 = (i + 4j – 2k) x ( 2i – 3j –k) . 2 -3 -1

= i 4 -2 - j 1 -2 + k 1 4 = - 10 i – 3j – 11k . -3 -1 2 -1 2 -3

2c. P + Q = (2i – 3j – k) + (i + 4j – 2k) = 3i + j – 3k . P – Q = (2i – 3j – k) - (i + 4j – 2k) = i – 7j + k, maka

(P + Q) x (P – Q) = (3i + j – 3k) x (i – 7j + k) = i j k . 3 1 -3 = . 1 -7 1 . i 1 -3 - j 3 -3 + k 3 1 = - 20i – 6j – 22k . . -7 1 1 1 1 -7 . atau dengan metode lain :

Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang – lanjutan

(P + Q) x (P – Q) = P x (P – Q) + Q x (P – Q) . = P x P – P x Q + Q x P – Q x Q = - P x Q – P x Q . = - 2 (P x Q) = - 2 (10i + 3j + 11k) = -20i – 6j – 22k

3a. (K x L) x M =

K x L = i j k . 3 -1 2 = - i + 7j + 5k maka . 2 1 -1

. (K x L) x M = (-i + 7j + 5k) x (i – 2j + 2k) = i j k . -1 7 5 = 24i + 7j – 5k . 1 -2 2

3b. K x (L x M) =

L x M = i j k . 2 1 -1 = 0i – 5j – 3k . 1 2 -2 maka

Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang – lanjutan

K x (L x M) = (3i – j + 2k) x (-5j – 5k) =

i j k . 3 -1 2 = 15i + 15j – 15k . 0 -5 -5 Jadi (K x L) x M ≠ K x (L x M), yg memperlihatkan perlunya tanda kurung dalam K x L x M untuk menghindari tafsir ganda.

3. Hasil-kali Tripel – triple product

Hasil-kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B dan C dapat menghasilkan hasil-kali yg mempunyai arti dalam bentuk2 sbb : (A · B)C , A · (B x C) dan A x (B x C).

Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali tripel : 1. (A · B)C ≠ A(B · C) 2. A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) = volume sebuah . jajaran genjang ruang yg memiliki sisi-sisi A, B dan C atau . negatif dari volume ini, sesuai dengan apakah A, B dan C . membentuk sebuah sistem tangan kanan atau tidak. Bila . A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k dan C = C1i + . C2j + C3k , maka : A · (B x C) = A1 A2 A3 . B1 B2 B3 . C1 C2 C3

Hasil-kali Tripel – triple product

3. A x (B x C) ≠ (A x B) x C Hukum Asosiatif 4. A x (B x C) = (A · C)B – (A · B)C . A x (B x C) = (A · C)B – (B · C) A 5. Hasil-kali A · (B x C) seringkali disebut hasil-kali tripel . skalar atau hasil-kali kotak dan dapat dinyatakan dengan . 〔 ABC 〕 . Hasil-kali A x (B x C) disebut hasil-kali tripel vektor 6. Dalam A · (B x C) seringkali tanda kurungnya dihilangkan, . ditulis sebagai A · B x C. Sedangkan tanda kurung harus . dipakai dalam A x (B x C).

Contoh soal Hasil-kali Tripel

1. Bila P = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j + R3k. Buktikan bahwa P · (Q x R) = P1 P2 P3 . Q1 Q2 Q3

. R1 R2 R3

2. Bila A = 2i – 3j , B = i + j – k ,C = 3i – k, hitunglah A · (B x C)

3. Tentukan persamaan untuk bidang yg ditentukan oleh titik2 K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan M(-1, 3, 2) ?

Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel

1. P · (Q x R) = P · i j k . Q1 Q2 Q3 . R1 R2 R3 . = (P1i + P2j + P3k) · [(Q2R3- Q3R2) i + (Q1R3 – Q3R1) j + . (Q1R2 – Q3R1) k] . = P1(Q2R3- Q3R2 ) – P2 (Q1R3 – Q3R1) + P3 (Q1R2 – Q3R1) . = P1 P2 P3 . Q1 Q2 Q3 . R1 R2 R3

2. Cara-1

A · (B x C) = (2i – 3j) · i j k . 1 1 -1 = (2i – 3j +0) . (- i – 2j – 3k) . 3 0 -1 = -2 + 6 +0 = 4

Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel – lanjutan

Cara-2

A · (B x C) = 2 3 0 . 1 1 -1 = - 2 + 6 = 4 . 3 0 -1

Cara-3

A · (B x C) = (2i – 3j + 0) · [(i + j – k) x (3i + 0 –k)] . = (2i – 3j + 0) · (3i x i – i x j + 3j x i – j x k – 3k x j + k x k . = (2i – 3j + 0) · (0 + j – 3k – i – 3j + 0) . = (2i – 3j + 0) · ( - i – 2j – 3k) . = (2)(-1) + (-3)(-2) + 0(-3) = 4

3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dan sebarang titik N(x,y,z) ada- . lah : A1 = 2i – j + k, A2 = 3i + 2j – k, A3 = - i + 3j – 2k dan . A = xi + yj + zk.

Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel – lanjutan

Maka : NK = A – A1 = (x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k . LK = A2 – A1 = (3 – 2)i + (2 + 1)j + (-1 – 1)k = i + 3j – 2k . MK = A3 – A1 = (-1 – 2)i + (3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k Semuanya terletak pada bidang yg dikehendaki, sehingga : NK · (LK x MK) = 0 A – A1 · [(A2 – A1) x (A3 – A1)] [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · [(i + 3j –2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0 [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · (11i + 5j + 13k) = 0 11(x – 2) + 5(y + 1) + 13(z – 1) = 0 11x – 22 + 5y + 5 + 13z – 13 11x + 5y + 13z = 13 + 22 – 5 11x + 5y + 13z = 30

Soal Latihan/PR Hasil-kali Tripel

1. Bila diketahui vektor A = 3i – 2j , B = i + j – k dan C = 3i – k maka hitunglah A · B x C ?

2. Tentukan persamaan bidang yg ditentukan oleh titik-titik A(2,1,1), B(3, 2, 1) dan C(1, 3, 2) ?

4. Himpunan Vektor2 Resiprokal (Reciprocal)

- Himpunan vektor2 A, B, C dan A’, B’, C’ disebut himpunan . atau sistem vektor2 resiprokal bila :

A’ · A = B’ · B = C · C’ = 1

A’ · B = A’ · C = B’ · A = B’ · C = C’ · A = C’ · B = 0 - Himpunan A, B, C dan A’, B’, C’ adalah himpunan vektor2

. . Resiprokal jika dan hanya jika :

A’ = , B’ = , C’ =

dimana A · B x C ≠ 0

Contoh soal Vektor-vektor Resiprokal

1. Bila diketahui vektor A = 2i + 3j – k , B = i – j +2k , dan C = - i + 2j + 2k. Tentukan suatu himpunan vektor-vektor Resiprokal terhadap himpunan vektor-vektor tersebut ?

2. Dari ketentuan (rumus) di atas buktikan bahwa A’ · A = B’ · B = 1 ?

Jawaban contoh soal Vektor-vektor Resiprokal

1. A’ = , B’ = dan C’ = B x C = i j k . . 1 -1 2 . -1 2 2 = i(2) – j(0) + k = 2 i – 0j + k

A · B x C = (2i + 3j –k ) · (2i – 0 – k) = 4 + 0 -1 = 3

A’ = = = i + k

C x A = i j k . -1 2 2 . 2 3 -1 = i (-8) + j (3) – k (-7) = - 8i + 3j – 7k

B’ = = = - i + j - k

A x B = i j k . 2 3 -1 . 1 -1 -2 = i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i + 3j – 5k

C’ = = = - i + j - k

Jawaban contoh soal Vektor2 Resiprokal - lanjutan

2. A’ · A = B’ · B = 1

A’ · A = A · A’ = A · = = 1

B’ · B = B · B’ = B · = = 1

Soal Latihan/PR Vektor2 Resiprokal

1. Tentukan himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap himpunan . vektor P = 2i + 2j + 3k, Q = i + j + 2k dan R = i + 2j + 2k ?

2. Tentukan himpunan vektor-vektor resiprokal dari beberapa vektor . ini, K = (1, 0, 2) , L = (3, 1, 2) dan M = (-2, 1 , 3) ?

BAB 4. DIFERENSIASI VEKTOR

Pendahuluan

- Pada bab ini terdapat 5 sub-bab yg perlu diketahui - Ke-5 sub-bab itu merupakan dasar dari diferensiasi vektor - Lima sub-bab yg dipelajari meliputi : . a. Turunan biasa Vektor : turunan pertama dan kedua dari vektor . b. Kurva-kurva Ruang : turunan pada suatu lintasan tertentu . c. Kontinuitas dan Diferensiabilitas : fungsi skalar dan vektor . d. Rumus Diferensiasi : fungsi skalar dan vektor yg diferen- . siabel . e. Turunan Parsial Vektor : turunan yg lebih dari satu variabel.

1. Turunan Biasa Vektor

Bila R(u) adalah sebuah vektor yg bergantung pada sebuah variabel skalar tunggal u, maka : = dimana ∆u menunjuk- kan suatu pertambahan dalam u.

. R(u+∆u) ∆R = R(u+∆u) –

R(u) . . R(u)

Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap skalar u : . = lim = lim . ∆u→ 0

∆u→ 0

karena = sebuah vektor yg bergantung pada u, maka dapat di-

tinjau lagi terhadap u. Bila turunan ini ada, maka dinyatakan oleh

2. Kurva-kurva Ruang

- Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yg menghubungkan titik asal 0 dari suatu sistem koordinat dan sembarang titik (x,y,z) maka : r(u) = x(u)i + y(u)j + z(u)k dimana vektor r(u) men- definisikan x,y dan z sebagai fungsi2 u. - Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan sebuah kurva ruang yg mempunyai persamaan : x = x(u), y = y(u) dan z =z(u) maka : = merupakan suatu vektor yg searah ∆r.

-Bila : lim = ada, maka limitnya akan berupa vektor yg searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z), diberikan oleh : = + +

-Bila u adalah waktu t, maka adalah kecepatan v, yg mana dengannya titik terminal r melukiskan kurvanya. Demikian pula dengan = = adalah percepatan a sepanjang kurva.

3. Kontinuitas dan Diferensiabilitas

Sebuah fungsi skalar φ(u), dikatakan kontinui di u bila . lim φ(u+∆u) = φ(u) . ∆u →0

Fungsi φ(u) kontinu di u bila untuk setiap bilangan positif Є dapat memperoleh bilangan δ : . | φ(u+∆u) – φ(u) | < Є bila | ∆u | < δ

Sebuah fungsi vektor R(u) = R1(u)i + R2(u)j + R3(u)k disebut kontinu di u bila ketiga fungsi skalar R1(u), R2(u) dan R3(u) kontinu di u atau jika lim (u+∆u) = R(u) . ∆u → 0

Fungsi vektor R(u) kontinu di u bila untuk setiap bilangan postif . Є kita dapat menemukan bilangan positif δ : . | R(u+∆u) – R(u) | < Є , bila | ∆u | < δ

4. Rumus-rumus Diferensiasi

Bila A, B dan C adalah fungsi2 vektor dari sebuah skalar u yg diferensiabel dan φ sebuah fungsi sakalar dari u yg diferensiabel maka :

1. (A + B) = +

2. (A · B) = A · + · B

3. (A x B) = A x + x B

4. ( φA ) = φ + A

5. (A · B x C) = A · B x + A · x C + · B x C

6. (A x (B x C)) = A x (B x ) + A x x C + · (B x C)

5. Turunan Parsial dari Vektor

Bila A adalah sebuah vektor yg bergantung pada lebih dari satu variabel skalar, misalnya x, y, z maka dituliskan A = A(x,y,z)

Turunan parsial dari A terhadap x didefinisikan : . = lim . . ∆x →0

= lim . . ∆y →0

= lim . . ∆z →0

adalah masing2 turunan parsial dari A terhadap x, y dan z bila limitnya ada.

.Untuk fungsi2dari dua atau lebih variabel, dipergunakan istilah diferensiabel dengan pengertian bahwa fungsinya memiliki turunan2 parsial pertama yg kontinu. Jadi turunan parsial yg lebih tinggi :

= ( ) , = ( ) , = ( ) dan

= ( ) , = ( ) , = ( )

Bila A memiliki se-kurang2nya turunan2 parsial orde kedua yg

Kontinu maka : =

Aturan2 untuk turunan parsial vektor, mirip dengan yg dipakai da- lam kalkulus elementer dari fungsi2 skalar.

.Bila A dan B adalah fungsi2 dari x, y, z maka :

1. (A · B) = A · + · B

2. (A x B) = A x + x B

3. (A · B) = (A · B)) = (A · + · B)

= A · + · + + · B

Contoh soal Diferensiasi Vektor

1. Diketahui vektor A = t2 i - t j + t2 k, maka tentukan : . a. = c. = . b. | | = d. | | =

2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaan para . meternya ; x = e-t , y = 3 cos 2t dan z = 3 sin 2t, dimana t adalah . waktu. Tentukan : a. kecepatan dan percepatannya pada sebarang . waktu ?

b. besar kecepatan dan percepatan pada t = 0 s

3. Diberikan vektor2 P = t i – 2t2 k, Q = t3 i – t k, R = i + t j + t3 k.

Tentukan : a. (P · Q) = c. (2P · 3R) = . b. (R · P = d. 6(Q · R) =

Contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan

4. Bila K = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3 cos y)k, maka . tentukan : a. = d. = . b. = e. = . c. = f. =

5. Bila φ(x,y,z) = x2yz2 dan A = xz i – x2y j + yz2 k, maka . tentukan (φA) pada titik (2, -1, 1) ?

Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor

1. A = t2i – t j + t2 k

a. = 2t i – j + 2t k . . b. = 2 i – 0j + 2 k = 2 i + 2 k . . c. | | = = = 3 . . d. | | = = = 2

2. r = x i + y j + z k = e-t i + 3 cos 2t j + 3 sin 2t k . a. v = = - e-t – 6 sin 2t + 6 cos 2t . . a = = = e-t i – 12 cos 2t j - 12 sin 2t k

b. t = 0 sec.

v = - e-0 – 6 sin 00 + 6 cos 0t = - i + 6 k . a = e-0 i – 12 cos 0 j - 12 sin 0 k = i – 12 j . Besarnya : | v | = = = 6,083 . | a | = = = 12,042

Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor - lanjutan3. P = t i – 2t2 k , Q = t3 i – t k , R = i + t j + t3 k

a. (P · Q) = P · (t3 i – t k) + Q · (t i – 2t2 k)

= (t i – 2t2 k) · (3t2 i – k) + (i – 4t k) · (t3 i – t k)

= 3t3 + 2t2 + t3 + 4t2 = 4t3 + 6t2 = 2t2 (3 + 2t)

b. (2P · 3R) = 2P · 3(i + t j + t3 k) + 3R . 2(t i – 2t2 k)

= (2t i – 4t2 k) . (0i + 3 j + 9t2 k) + (3t i + 3t j + . (3t3k) . (2i – 8t k) =0 – 36t2 + 6 + 0 – 24t4 =

= - 60t4 + 6 = 6(1 – 10t4)

c. (R · P) = R . + P . = (i + t j + t3 k) . (i – 4t k) + (t i – . 2t2k) . (3t2 i – k) = (1 + 0 – 4t4) + (3t3 + 2t2) =

. 2t2 + 3t3 – 4t4 + 1

Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan

3d. 6(Q · R) = 6Q . + 6R .

= (6t3 i – 6t k) . (0 + j + 3t2 k) + (6 i + 6t j + 6t3 k) . . (3t2 i – k) = 0 – 18t3 + 18t2 – 6t3

= 18t2 – 24t3

4. a. = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3 cos y)k

= (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k

b. = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3 cos y)k

= (6x3y – x4) i + (x exy – y sinx) j + (3x2 (-siny)) k

= 6x3y i + (x exy – sin x) j – (3x2 sin y) k

c. = (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k

= (18xy2 – 12x2)i + (y2 exy + y sin x) j + (6x cos y) k

Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan

4d. = (6x3 y)i + (xexy – sin x)j + (3x2 sin y)k

= 6x3 i + (x2 exy – cos x) j – (3x2 cos y) k

4e. = 6x3y i + (x exy – sin x) j – (3x2 sin y) k

= (18 x2y) i + (xy exy – cos x) j – (6x sin y) k

4e. = (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k

= (18x2y) i + (xy exy – cos x) j – (3x2 sin y) k

5. φA = x2yz2 (xz i – x2y j + yz2 k) = x3yz3 i – x4y2z2 j + x2y2z4 k

φA = x3yz3 i – x4y2z2 j + x2y2z4 k = 3x3yz2 i – 2x4y2z j + . 4x2y2z3 k

φA = 3x3yz2 i – 2x4y2z j + 4x2y2z3 k = 9x2yz2 i – 8x3y2z j + . 8xy2z3 k

Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan

Jadi : φa = 9x2yz2 i – 8x3y2z j + 8xy2z3 k= 18xyz2 i – 24x2y2z j + 8y2z3 k , maka pada titik (2, -1, 1) adalah :

= 18 (2)(-1)(1)2 i – 24 (2)2(-1)2(1) j + 8 (-1)2 (1)2 k

= - 36 I + 96 j + 8 k.

Soal Latihan/PR

1. Diberikan vektor K = sin a i + cos a j + a k . Tentukan :

a. = c. | =

b. = d. | =

2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva x = 2t2, y = t2 – 4t dan z = 3t – 5, dimana t adalah waktu. Tentukan komponen2 kecepatan dan percepatan pada t = 1s dalam arah i – 3j + 2k ?

3. Bila diketahui vektor P = 5t2 i + t j – t3 k , Q = sin t i – cos t j . tentukan : a. (P . Q) b. (P x Q) = ?

4. Bila diberikan D = (2x2y - x4) i + (exy – y sin x) j + (x2 cos y) k maka tentukan : a. b. c.

d. e. f.

BAB 5. GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL

Pendahuluan

- Perlu mengetahui Operator Diferensial Vektor, DEL = 𝛁, yg . didefinisikan :

𝛁 = i + j + k = i + j + k

-Operator vektor ini memiliki sifat2 yg analog dengan vektor2 . biasa.

- Sangat perlu untuk mendefinisikan tiga besaran berikut yg muncul dalam pemakaian praktis yg dikenal sebagai gradien, divergensi dan curl. Operator 𝛁 juga disebut sebagai nabla.

1. GRADIEN

Bila φ(x,yz) terdefinisikan dan diferensiabel pada tiap2 titik (x,

. y,z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang, yaitu φ

mendefinisi-. kan sebuah medan skalar diferensiabel, gradien φ,

ditulis 𝛁φ . didefinisikan : 𝛁φ = ( i + j + k)φ = i + j + k

. perhatikan bahwa 𝛁φ mendefinisikan sebuah medan

vektor. . Komponen 𝛁φ dalam arah vektor satuan a,

diberikan oleh ∆φ.a . dan disebut turunan arah dari φ pada arah

a. Secara fisika ini . adalah laju perubahan φ pada (x,y,z)

dalam arah a.

2. DIVERGENSI

Bila V(x,y,z) = V1 i + V2 j + V3 k terdefinisikan dan diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang, yaitu V mendefinisikan sebuah medan vektor, maka divergensi V, ditulis 𝛁 · V, didefinisikan 𝛁 · V = i + j + k) · (V1 i + V2 j + V3 k)

= + +

Perhatikan analoginya dengan A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3

Dan perhatikan pula 𝛁 · V ≠ 𝛁 x V dan

3. CURL

Bila W(x,y,z) adalah sebuah medan vektor diferensiabel, maka . curl atau rotasi dari W, ditulis curl W atau rot W :

𝛁 x W = ( i + j + k) x (W1 i + W2 j + W3 k)

= i j k . . W1 W2 W3

= i + j + k = . W2 W3 W1 W3 W1 W2

= ( - ) i + ( - ) j + ( - k

Perhatikan, dalam penguraian determinan, operator2 , , harus mendahului W1, W2, W3

4. RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG 𝛁

Bila A dan B adalah fungsi2 vektor yg diferensiabel dan φ dan ψ fungsi2 skalar dari kedudukan (x,y,z) yg diferensiabel, maka : 1. 𝛁(φ + ψ) = 𝛁φ + 𝛁ψ atau grad (φ + ψ) = grad φ + grad ψ

2. 𝛁 · (A + B) = 𝛁 · A + 𝛁 · B atau div (A + B) = div A + div B 3. 𝛁 x (A + B) = 𝛁 x A + 𝛁 x B , curl (A + B) = curl A + curl B 4. 𝛁 · (φA) = (𝛁φ) · A + φ(𝛁 · A)

5. 𝛁 x (φA) = (𝛁φ) x A + φ(𝛁 x A)

6. 𝛁 · (A x B) = B · (𝛁 x A) - A · (𝛁 x B) 7. 𝛁 x (A x B) = (B · 𝛁) A - B ( · 𝛁 A) – (A · )𝛁 B + A( · 𝛁 B) 8. 𝛁 (A · B) = (B . )A + (A · )B + B x ( x A) + A x ( x B) 𝛁 𝛁 𝛁 𝛁

9. 𝛁 · (𝛁φ) = 𝛁2φ =

RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG 𝛁 - lanjutan

dimana 𝛁2 = + + disebut operator Laplace

10. x (𝛁 𝛁φ) = 0, curl dari gradien φ adalah nol

11. · (𝛁 𝛁 x A) = 0, divergensi dari curl A adalah nol

12. x (𝛁 𝛁 x A) = 𝛁(𝛁 · A) - 𝛁2 A

Contoh soal Gradien, Divergensi dan Curl

1. Bila φ(x,y,z) = 2x2 – 2y3z2, tentukan 𝛁φ pada titik (1, 2, -1) ? 2. Hitunglah 𝛁A bila besar A = , dimana r = x i + y j + z k ?

3. Tentukan normal satuan terhadap permukaan x2y + 2xz = 4 pada . titik (2, -2, 3) ?

4. Bila diketahui P = 2X2Z i – 3y3z2 j – xy2z2 k , tentuka 𝛁 · P pada . titik (1, 2, 3) ? 5. Jika diberikan sebuah vektor K = xz2 i – 2x2y2z j + 2yz4 k , maka . tentukan 𝛁 x K pada titik (1, -1, 1) ?

6. Bila a = 2x2y2z2, maka tentukanlah 𝛁 · 𝛁a = 𝛁 ·(𝛁a) ?

Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl

1. φ(x,y,z) = 2x2 – 2y3z2 , maka besar 𝛁φ pada titik (1, 2, -1) :

𝛁φ = ( i + j + k) (2x2 – 2y3z2) . = (2x2 – 2y3z2) + (2x2 – 2y3z2) + (2x2 – 2y3z2) . = (4x – 0) i + (0 – 6y2z2 j + (0 – 4y3z) k = . = 4x i – 6y2z2 j – 4y3z k . maka pada titik(1, 2, -1) adalah : 4(1) i – 6(2)2(-1)2 j – 4(2)3(-1)k . = 4 i – 24 j + 32 k

2. A = = , maka 𝛁A = 𝛁[(x2 + y2 + z2)-½] . = i (x2 + y2 + z2)- ½ + j (x2 + y2 + z2)- ½ + k (x2 + y2 + z2)-½ . = i [(-½)(2x) (x2 + y2 + z2)-1½] + j [(-½)(2y) (x2 + y2 + z2)-1½] + . k [(-½)(2z) (x2 + y2 + z2)-1½] . = =

Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

3. Permukaan datar x2y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3)

𝛁(x2y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x2 j + 2x k . pada titik (2, -2, 3) adalah : = 2(2)(-2) + 2(3) i + (2)2 j + 2(2) k . = - 2 i + 4 j + 4 k , . maka normal satuan terhadap permukaan datar adalah :

= - i + j + k

= - i + j + k

Sedangkan normal satuan yang lain adalah : i - j - k

Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

4. P = 2x2z i – 3y3z2 j – xy2z2 k pada titik (1, 2, 3)

𝛁 · P = i + j + k) · (2x2z i – 3y3z2 j – xy2z2 k) . = (2x2z) - – (3y3z2) - (xy2z2)

= 4xz – 9y2z2 – 2xy2z . pada titik (1, 2, 3) adalah : . = 4(1)(3) – 9(2)2(3) – 2(1)(2)2(3) . = 12 – 324 – 24 . = - 288

Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

5. K = xz2 i – 2x2y2z j + 2yz4 k pada titik (1, -1, 1)

𝛁 x K = i + j + k) x (xz2 i – 2x2y2z j – 2yz4 k) . = i j k . . xz2 -2x2y2z 2yz4 = (2z4 + 2x2y2) i – 2xz j – 4xy2z k . Pada titik (1, -1, 1) :

2(1)4 + 2(1)2(-1)2 i – 2(1)(1) j – 4(1)(-1)2(1) k = . (2 + 2) i – 2 j – 4 k = . 4 i – 2 j – 4 k

Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl – lanjutan

6. a = 2x2y2z2 , maka 𝛁 · (𝛁a) = . = 𝛁 · [i( 2y2x2z2) + j ( 2y2x2z2) + k ( 2y2x2z2)]

= 𝛁 · [(4xy2z2) i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ] = ( i + j + k) · [(4xy2z2 )i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ] = 4y2z2 + 4x2z2 + 4x2y2

= 4(x2y2 + x2z2 + y2z2)

Soal Latihan/PR

1. Bila φ(x,y,z) = 3x2y – y3z2 ,tentukan 𝛁φ atau grad φ pada titik . (1, -2, -1) ?2. Bila φ = | ln r | , tentukan 𝛁φ, dimana r = x i + y j + z k ?

3. Tentukan persamaan untuk bidang singgung terhadap permuka- an 2xz2 – 3xy – 4x = 7 pada titik T(x, y, z) ?

4. Diberikan skalar p = 3x3y2z3 , tentukanlah 𝛁 · 𝛁φ atau div. grad. p ?

5. Bila diketahui vektor F = x2y2 i – 2xz2 j + 2yz2 k , tentukanlah 𝛁 x (𝛁 x F) ?