Traduccion del capitulo 2

Renzo Huayta Cutimbo

Diciembre 2014

1Aqui va el primer capitulo

1

2EL PROBLEMA FUNDAMENTAL DEL

CALCULO DE VARIACIONES

Comenzaremos el estudio del clculo de variaciones con el problema fun-

damental:

Maximizar o minimizar V [y] =

T0F [t, y(t), y(t)]

Sujeto a y(0) = A (A dado)

y y(T ) = Z (T,Z dados)

(2.1)

Los problemas de maximizacin y minimizacin dieren entre s en las con-

diciones de segundo orden, pero comparten la misma condicin de primer

orden.

La tarea de clculo variacional es seleccionar a partir de un conjunto de

caminos admisibles Y (o trayectorias) la que produce un valor extremo de

V [y] . Dado que el clculo de variaciones se basa en los mtodos clsicosde clculo, lo que requiere el uso de derivados de primero y segundo, vamos

a restringir el conjunto de caminos admisibles a esas curvas continuas con

derivadas continuas. Un camino suave y que produce un valor extremo (m-

ximo o mnimo) de V [y] se llama un extremal. Supondremos tambin que

la funcin integrando F es dos veces diferenciable.

2

Figura 2.1:

En la localizacin de un valor extremo de V [y], uno puede estar pensandoya sea de un valor extremo absoluto (global) o un pariente extremum (local).

Dado que el clculo de variaciones se basa en mtodos de clculo clsicos,

se puede tratar directamente slo con los extremos relativos. Es decir, un

extremal produce un valor extremo de V slo en comparacin con los de

inmediato "vecinosaminos y(t).

2.1. La ecuacion de Euler

La condicin necesaria de primer orden bsico en el clculo de variacio-

nes es la ecuacin de Euler. A pesar de que fue formulado ya en 1744, siguesiendo el resultado ms importante de esta rama de las matemticas. En

vista de su importancia y el ingenio de su enfoque, vale la pena explicar su

razn de ser en algn detalle.

Con referencia a la Fig. 2.1, vamos a la slida trayectoria y(t) una extre-mal conocido. Buscamos encontrar alguna propiedad del extremal que est

ausente en la (no extremal) caminos vecino. Tal propiedad constituira una

condicin necesaria para un extremal. Para ello, necesitamos a efectos de

comparacin una familia de caminos vecinos que, por especicacin en (2.1),

debe pasar a travs de los criterios de valoracin indicados (0, A) y (T, Z).

Una forma sencilla de generar este tipo de caminos vecinos es mediante el

uso de una curva perturbadora, elegido arbitrariamente salvo las restriccio-

nes que sean suaves y pasan a travs de los puntos 0 y T en el eje horizontal

de la gura. 2,1, de modo que

p(0) = p(T ) = 0 (2.2)

Hemos elegido para ilustrar uno con relativamente pequeos valores de p

y pequeos pendientes de todo. Mediante la adicin de ep (t) a y(t), dondeE es un nmero pequeo, y mediante la variacin de la magnitud de correo,

3

podemos perturbar la (t) camino y *, desplazando a varias posiciones vecinas,

generando de ese modo la deseada caminos vecinos. Los ltimos caminos

pueden designarse generalmente como

y(t) = y(t) + ep(t) [lo que implica y(t) = y(t) + ep

(t)] (2.3)

con la propiedad de que, como 0, y(t) y(t). Para evitar el desor-den, slo uno de estos caminos vecinos se ha dibujado en la Fig. 2.1.

El hecho de que tanto y(t) y p(t) se dan curvas signica que cada valorde determinar una ruta de acceso y vecinos en particular, y por lo tantouno valor particular de V [y]. En consecuencia, en lugar de considerar comouna V funcional de la ruta y, ahora podemos considerarlo como un funcionde la variable V () . Este cambio de perspectiva nos permite aplicar lofamiliar mtodos de clculo clsico a la funcin V = V (). Dado que, porsupuesto, la curva y(t) - que est asociado con = 0 -produce una extremovalor de V , tenemos que tener

dV

d

=0

= 0 (2.4)

Esto constituye una caracterstica denitoria de la extremal. Resulta que

dV d = 0 es una condicin necesaria para el extremal.Como est escrito, sin embargo, la condicin (2.4) no es operativo porque

implica el uso de la variable arbitraria as como la perturbadora arbitrariala funcin p(t). Lo que la ecuacin de Euler logra es expresar esta condicinnecesaria en una forma operacional conveniente. Para transformar (2.4) en

una forma operativa, sin embargo, requiere un conocimiento de cmo tomar

la derivados de una integral denida.

Diferenciando una integral denida

Considere la denicin integral

I(x) =

baF (t, x)dt (2.5)

donde F (t, x) es asumida para tener un derivada continua Fx(t, x) en elintervalo de tiempo [a, b]. Puesto que cualquier cambio en x afectar el valorde la F funcin y por lo tanto la integral denida, podemos ver la integral

como una funcin de x I(x). El efecto de un cambio en x en la integralest dada por derivado de la frmula:

dV

d=

baFx(t, x)dt Regla de Leibniz (2.6)

En palabras, para diferenciar una integral denida con respecto a una

variable x que no es ni la variable de integracin (t), ni un lmite de integra-cin (a o b), uno puede simplemente diferenciar a travs del signo integral

4

respecto a x. La intuicin detrs de la regla de Leibniz se puede ver en laFig.2.2a, donde la curva slida representa F (t, x), y la curva de puntos re-presenta la posicin desplazada de F (t, x) despus de que el cambio en x. Ladistancia vertical entre las dos curvas (si el cambio es innitesimal) mide la

parcial

Figura 2.2:

derivado Fx(t, x) en cada valor de t. De ello se deduce que el efecto delcambio en x en la totalidad integral, dI/dx, corresponde a la zona entre losdos curvas, o, equivalentemente, la integral denida de Fx(t, x) durante elintervalo [a, b]. Esto explica el signicado de (2.6). El valor de la integraldenida en (2.5) tambin puede verse afectada por una cambiar en un lmite

de integracin. Denicin de la integral, alternativamente, para ser

J(b, a) =

baFx(t, x)dt (2.7)

tenemos el siguiente par de frmulas derivadas:

5

J

b= F (t, x)

tb

= F (b, x) (2.8)

J

b= F (t, x)

ta

= F (a, x) (2.9)

En palabras, la derivada de una integral denida con respecto a su lmite

superior de la integracin b es igual a la integral evaluada en t = b; y laderivada con respecto a su lmite inferior de integracin a es el negativo

de el integrando evaluado en t = a. En la Fig. 2.2b, un aumento en b sereeja en un desplazamiento hacia la derecha de la frontera de la mano

derecha del rea bajo la curva. Cuando el desplazamiento es innitesimal,

el efecto sobre la integral denida se mide por el valor de la funcin F enla mano derecha lmite-F (b, x). esto proporciona la intuicin de (2.8). Paraun aumento en el lmite inferior, por otro lado, el desplazamiento resultante,

como se ilustra en la Fig. 2.2c, es un movimiento hacia la derecha de la

frontera de la mano izquierda, lo que reduce el rea bajo la curva. Es por esto

que hay un signo negativo en (2,9). Las frmulas anteriores derivados tambin

se pueden utilizar en combinacin. Si, por ejemplo, la integral denida toma

la forma

K(x) =

b(x)a

F (t, x)dt (2.10)

donde x no slo entra en la funcin integrando F , pero tambin afecta a laLmite superior de integracin, entonces podemos aplicar tanto (2.6) y (2.8),

para obtener el derivada total

dK

dx=

b(x)a

Fx(t, x)dt+ F [b(x), x]b(x) (2.11)

EJEMPLO 1 La derivada de

20 exdt con respecto a x , por la regla deLeibniz. 2

0

d

dxexdt =

20exdt = ext ]20 = 2ex

EJEMPLO 2 Similarmente

d

dx

32xdt =

32

d

dxxdt =

32txt1dt

EJEMPLO 3 Para diferenciar

2x0 3t

2dt con respecto a x que aparece enel lmite superior de integracin, tenemos que la regla de la cadena, as como

(2,8).El resultado es

d

dx

2x0

3t2dt =

[d

d(2x)

2x0

3t2dt

]d(2x)

dx= 3(2x)2 2 = 24x2

6

Desarrollo de la ecuacin de Euler

Para facilitar la comprensin, la ecuacin de Euler se desarrollar en cuatro

pasos.

Paso i Permtanos primero expresamos V en trminos de , y tomar suderivada. Sustituyendo (2.3) en el objetivo funcional en (2.1), tenemos

V () =

T0F [t, y(t) + p(t)

y(t)

, y(t) + p(t) y (t)

]dt (2.12)

Para obtener el derivado de dV/d, la regla de Leibniz nos dice que debemosdiferenciar - a travs del signo integral:

dV

d=

T0

F

dt =

T0

(F

y

y

+F

yy

)dt

T0

[Fyp(t) + Fyp

(t)]dt

(2.13)

=

T0

[Fyp(t) + Fyp

(t)]dt por (2.2)

Romper la ltima integral en (2.13) en dos integrales separadas, y el ajuste

dV/d = 0, obtenemos una forma ms especca de la condicin necesariapara una extremal como sigue: T

0Fyp(t) +

T0Fyp

(t) = 0 (2.14)

Si bien esta forma de condicin necesaria es ya libre de la arbitrariedad

la variable , la curva arbitraria p perturbadora p(t) todava est presentejunto con su derivado p

(t). Para hacer que la condicin necesaria en plenofuncionamiento, debemos tambin eliminar p(t) y p

(t).

Paso ii Para ello, lo primero que integran la segunda integral de (2.14)

por partes, usando la frmula:

t=bt=a

vdu = vu|t=a

t=b

t=bt=a

udv [u = u(t), v = v(t)] (2.15)

Sea v = Fy, y u = p(t). Entonces tenemos

dv =dv

dtdt =

Fy

dtdt y du =

du

dtdt = p

(t)dt

La sustitucin de estas expresiones en (2.15)-con a = 0 y b = T -,tenemos

7

T0FyP

(t) dt = [FyP (t)]

T0

T0P (t)

d

dtFydt

= T0P (t)

d

dtFydt

Ya que el primer trmino a la derecha del primer signo igual debe desaparecer

bajo el supuesto (2.2). La sustitucin de (2.16) a (2.14) y la combinacin

de las dos integrales en el mismo, se obtiene otra versin de la condicin

necesaria para el extremal: T0p (t)

[Fy dFy

dy

]dt = 0 (2.16)

Paso iiiAunque p(t) ya no est presente en (2.17),p(t) arbitrario sigue pre-sente. Sin embargo, precisamente porque p(t) entra de manera arbitraria,podemos concluir que la condicin (2.17) slo puede ser satisfecho si la ex-

presin entre corchetes [Fy dFy/dt] va a desaparecer para cada valor det en la extremal, de lo contrario, la integral puede no ser igual a cero paraalgunos casos de la perturbacin de la curva p(t). En consecuencia, es unacondicin necesaria para una extremal que:

Fy ddtFy = 0 para todo t [0, T ] Ecuacin de Euler (2.17)

Tenga en cuenta que la ecuacin de Euler es completamente libre de expre-

siones arbitrarias y por lo tanto se puede aplicar siempre que sea dada una

funcin diferenciable F (t, y, y).Fydt = Fy (2.18)

Que es el resultado de la integracin de (2.18) con respecto a t.Paso iv La naturaleza de la ecuacin de Euler (2.18) puede ser ms clara

cuando expandimos la derivada dFy/dt en una forma ms explcita. Debidoa que F es una funcin con tres argumentos (t, y, y), la derivada parcial Fy ,tambin debe estar en funcin de los mismos tres argumentos. Por lo tanto

la derivada total dFy/dt consta de tres trminos:

dFydt

=Fyt

+Fyy dydt

+Fyy dydt

= Fty + Fyyy(t) + Fyyy(t)

Sustituyendo en (2.18), multiplicando por -1, y reordenando, llegamos a un

8

versin ms explcita de la ecuacin de Euler:

Fyyy(t)+Fyyy(t)+FtyFy = 0 para todo t [0, T ] Ecuacin de Euler(2.19)

Esta versin ampliada revela que la ecuacin Euler en general es una ecuacin

diferencial de segundo orden no lineal. Su solucin general, por lo tanto,

contienen dos constantes arbitrarias. Ya que nuestro problema en (2,1) viene

con dos condiciones de frontera (una inicial y una nal), que normalmente

poseen informacin suciente para denir las dos constantes arbitrarias y

obtener la solucin denida.

EJEMPLO 4 Encontrar los extremos de la funcin:

V [y] =

20

(12 + y + y2)dt

Con condiciones iniciales y(0) = 0 e y(2) = 8.Ya que F = 12ty+y2 , tenemoslas derivadas:

Fy = 12t Fy = 2y Fyy = 2 y Fyy = Fty = 0

Por (2.19), la ecuacin de Euler es:

2y(t) 12t = 0 o y(t) = 6t

Que, tras la integracin, obtenemos y(t) = 3t2 + C1 y

y(t) = t3 + C1t+ C2 [Solucion general]

A las constantes arbitrarias denidas c1 y c2, que inicialmente se establecie-ron en t = 0 la solucin general de y(0) = c2; a partir de la condicin inicial,se deduce que c = 0. Sustituyendo el valor t = 2 en la solucin general, seobtiene y(2) = 8 + 2c1; a partir de la condicin nal, de ello se sigue quec = 0. Los extremos es, pues, la funcin cbica:

y(t) = t3 [Funcin denida]

EJEMPLO 5 Encontrar los extremos de la funcin:

V [y] =

51

[3t+ (y)1/2

]dt

9

Con condiciones iniciales y(1) = 3ey(5) = 7. Tenemos F = 3t+ (y)1/2 , porlo tanto:

Fy = 0 Fy =1

2(y)1/2 Fyy =

1

4(y)3/2 y Fyy = Fty = 0

La ecuacin de Euler en (2.19) se reduce a:

14(y)3/2y(t) = 0

La nica forma de satisfacer esta ecuacin es tomar como constante a y,con el n de que y = 0. Por lo tanto, escribimos y(t) = c1 que integra a lasolucin:

y(t) = C1t+ C2 [solucion general]

A las constantes arbitrarias denidas C1 y C2, primero hacemos t = 1 parahallar y(1) = C1 + C2 = 3 (por la condicin inicial), y, despus establecert = 5 para encontrar y(5) = 5C1 + C2 = 7 (por la condicin nal). Estasdos ecuaciones nos dan C1 = 1 y C2 = 2. Por lo tanto, los extremos toma laforma de la funcin lineal:

y(t) = t+ 2 solucion denida

EJEMPLO 6 Encontrar los extremos de la funcin:

V [y] =

50

(t+ y2 + 3y)dt

Con condiciones de iniciales y(0) = 0 e y(5) = 3. Ya que F = t + y2 + 3y,tenemos:

Fy = 2y y Fy = 3

Por (2.18), escribimos la ecuacin de Euler como 2y = 0, con solucin:

y(t) = 0

Sin embargo, tenga en cuenta que si bien esta solucin es coherente con la

condicin inicial y(0) = 0, que viola la condicin nal y(5) = 3. Por lo tanto,debemos concluir que no existe ningn extremo entre el conjunto continuo

de curvas que consideramos posibles.

Este ltimo ejemplo es de importante, ya que sirve para ilustrar que ciertos

10

problemas variacionales con extremos no tienen una solucin. Ms concre-

tamente, llama la atencin que uno de los dos posibles resultados pueden

surgir cuando el integral de la funcin F es lineal en y. Uno de los resulta-dos, ejemplicado en el Ejemplo 6, es que todava no existe una solucin. La

otra posibilidad, se muestra en el Ejemplo 7, es que la propia ecuacin de

Euler es una identidad, y ya que se satisfacen automticamente, cualquier

camino es ptimo posible.

EJEMPLO 6 Encontrar los extremos de la funcin:

V [y] =

T0ydt

Con las condiciones iniciales y(0) = A e Y (t) = p. Con F = y, tenemos:

Fy = 0 Fy = 1 yd

dtFy = 0

De ello se desprende que la ecuacin de Euler (2.18) queda satisfecha. En

este ejemplo, de hecho, es evidente que a partir de la integracin que:

V [y] = [y(t)]T0 = y(T ) y(0) =

El valor de V depende slo de los estados nales e iniciales dados, indepen-dientemente de la trayectoria de acceso subsiguiente a los dos puntos nales

dados.

La razn detrs de estas peculiaridades es que cuando F es lineal en y, Fyes una constante, y Fyy = 0, por lo que el primer trmino de la ecuacinde Euler (2.19) desaparece. La ecuacin de Euler, entonces, pierde su esta-

tus como una ecuacin diferencial de segundo orden, y no va a proporcionar

dos constantes arbitrarias en su solucin general, solucin que nos permita

adaptar la trayectoria temporal de las condiciones iniciales dadas. En conse-

cuencia, a menos que ocurra que la trayectoria de solucin pase a travs de

los criterios de valoracin jados por casualidad, no pueden calicarse como

extremal. La nica posibilidad bajo la cual una solucin se puede garantizar

para un problema como este (con F lineal en y y con los extremos jos)es cuando Fy = 0, as que, junto con el hecho de que Fy = constante (loque implica dFy/dt = 0), convertira a la ecuacin de Euler (2.18) en unaidentidad, como en el Ejemplo 7.

11

EJERCICIO 2.1

1. En la discusin de la diferenciacin de las integrales denidas, no se

hizo ninguna mencin de la derivada con respecto a la variable t. Eseso una omisin justicable?

Encuentra las derivadas de las siguientes integrales denidas con res-

pecto a x:

2. I = 0a x

4dt

3. I = ba extdt

4. I = 2x0 e

tdt

5. I = 2x0 te

xdtEncuentra los extremales, en su caso, de las siguientes funciones:

6. V [y] = 10 (ty + 2y

z)dt, con y(o) = 0 y y(1) = 2

7. V [y] = 10 tyy

dt, con y(o) = 0 y y(1) = 1

8. V [y] = 20 (2ye

t + y2 + y2)dt, con y(o) = 2 y y(2) = 2e2 +e2

9. V [y] = 20 (y

2 + t2y)dt, con y(o) = o e y(2) = 2

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2.2. Algunos casos especiales

Hemos escrito la funcin objetivo en la forma general

T0 F (t, x, y

)dt ,en el que la funcin integral F tiene tres argumentos: t, y, y. Para algunosproblemas, la funcin integral no pueden contener los tres argumentos. Para

estos casos especiales, podemos derivar versiones especiales de la Ecuacin

de Euler que a menudo (aunque no siempre) puede resultar ms fcil de

resolver.

Caso especial I F = F (t, y) En este caso especial, la funcin F es libre deY , lo que implica que Fy = 0. Por lo tanto, la ecuacin de Euler se reduce adFy/dt = 0, con la solucin:

Fy = constante (2.20)

Cabe sealar que el ejemplo 5 de la seccin anterior cae bajo este caso es-

pecial, aunque en ese momento slo utilizamos la Ecuacin de Euler regular

para su solucin. Es fcil vericar que la aplicacin de (2.20) nos llevara al

mismo resultado. He aqu otro ejemplo de este caso especial.

Ejemplo 1Encuentre los extremales de la funcin

V [y] =

10

(ty + y2)dt

Con condiciones de iniciales y(0) = y(1) = 1. Ya que:

F = ty + y2 y Fy = t+ 2y

En (2.20) encontramos t+ 2y(t) = constante, o:

y(t) = 12t+ c1 [solucion general]

Tras la integracin directa, obtenemos

y(t) = 14t2 + c1t+ c2 [solucion general]

Con la ayuda de las condiciones iniciales y(0) = Y (1) = 1, se verica f-cilmente por lo tanto, que c1 = f y c2 = 1. El extremal es la trayectoriacuadrtica

y(t) = 14t2 +

1

4t+ 1 [solucion definitiva]

Caso especial II F = F (y, y) Como F es libre de t, en este caso, tenemosFty = 0, por lo que la ecuacin de Euler (2.19) se reduce a

Fyyy(t) + Fyyy(t) Fy = 0

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La solucin de esta ecuacin no es de ninguna manera obvia, pero resulta que

si multiplicamos a travs de y, la expresin del lado de la mano izquierda enel resultado la nueva ecuacin ser exactamente la derivada de d(yFyF )/dt, por

d

dt

(yFy F

)=

d

dt

(yFy

) ddtF(y, y

)= Fyy

+ y(Fyyy

+ Fyyy) (Fyy + Fyy)

= y(Fyyy

+ Fyyy Fy)En consecuencia, la ecuacin de Euler se puede escribir como d(yFy F )/dt = 0 ,con la solucin yFy F = constante, o lo que viene a serel mismo:

F yFy = constante (2.21)

Este resultado, la ecuacin de Euler simplicada una vez ya integrada, es una

ecuacin diferencial de primer orden, que puede ser en algunas circunstancias

ms fcil de manejar que la ecuacin de Euler original (2.19). Adems, en

aplicaciones analticas (programas computacionales), (2.21) puede producir

resultados que no sera perceptible a partir de (2.19), como se ilustra en la

Sec. 2.4.

Ejemplo 2 Encuentre la extremal de la funcin

V [y] =

pi/20

y2 + y2)dt

Con las condiciones iniciales y(0) = 1 e y(pi/2) = 0.Como

F = y2 y2 y Fy = 2y

Por sustitucin directa en (2.21) nos da

y2 + y2 = constante [ a, dice]

Este ltimo es una constante no negativa, porque los trminos del lado iz-

quierdo son todos cuadrados; as que con razn podemos denotar por a2,

donde a es un nmero real no negativo.

El lector reconocer que la ecuacin y2 + y2 = a2 puede ser trazada comoun crculo, como en la Fig. 2.3, con un radio a y con centro en el punto de

origen. Puesto que y ' se representa en el eje y en el diagrama, este crculo

constituye la lnea de fase para la ecuacin diferencial. Por otra parte, el

14

Figura 2.3:

bucle circular forma de esta lnea de fase sugiere que da lugar a una ruta

de tiempo cclico, con los valores de y delimitados por el intervalo [a, a]cerrado, como en una funcin coseno tiene una amplitud a y el perodo 2pi.Tal funcin coseno puede ser representado en general por la ecuacin

y(t) = a cos (bt+ c)

donde, adems del parmetro de amplitud a, tambin tenemos otros dosparmetros b y c que se relacionan con el perodo y la fase de la funcin,respectivamente. En nuestro caso, el perodo debe ser 2pi; pero puesto quela funcin coseno muestra un perodo de2pi/b (obtenido introduciendo eltrmino bt a 2pi) se inere que b = 1. Sin embargo, los valores deA y C sonan desconocidos, y deben ser determinados a partir de las condiciones de

contorno dadas.

En t = 0, tenemos

y(0) = a cos (c) = 1 [por condiciones iniciales]

Cuando t = pi/2, se tiene

y(pi

2

)= cos

(pi2

+ c)

= 0 [por condiciones terminales]

Para satisfacer esta ltima ecuacin, debemos tener ya sea = 0 o cos (pi/2 + c) =0. Pero no puede ser cero, porque de lo contrario un cos (c) posiblementeno puede ser igual a 1. Por lo tanto,cos (pi/2 + c) debe desaparecer, lo queimplica dos posibilidades: o bien c = 0, o c = pi. Con c = 0, la ecuacin cos (c) = 1 se convierte en cos (0) = 1 (1) = 1 , dando a = 1. Conc = pi, sin embargo, la ecuacin cos (c) = 1 se convierte en a(1) = 1,

15

dndonos a = 1, que es inadmisible porque se ha restringido a para serun nmero no negativo. Por lo tanto, llegamos a la conclusin de que las

condiciones iniciales requieren a = 1 y c = 0, y que la trayectoria de tiempode y que calica como el extremal es

y (t) = cos t

La misma solucin se puede, como era de esperar, obtener de manera directa

a partir de la ecuacin original de Euler (2.18) o (2.19).

Despus de la normalizacin y reordenando, la ecuacin de Euler se puede

expresar como la siguiente ecuacin diferencial lineal homognea de segundo

orden:

y + y = 0

Dado que esta ecuacin tiene races complejas caractersticas r1, r2 = i, lasolucin general toma la forma de

y (t) = cos t+ sin t

Por las condiciones iniciales se asignan a la constante arbitraria y alos valores de 1 y 0, respectivamente. Por lo tanto, nos encontramos con la

misma solucin:

y (t) = cos t

Para este ejemplo, la ecuacin original de Euler (2.18) o (2.19) resulta ser ms

fcil de usar que el caso especial en (2.21). Ilustramos este ltimo, no slo

para presentarlo como una alternativa, sino tambin para ilustrar algunas

otras tcnicas (tales como el diagrama de fases circular en la Fig. 2.3). El

lector tiene que elegir la versin adecuada de la ecuacin de Euler para aplicar

a cualquier problema particular

Figura 2.4:

16

Ejemplo 3 Entre las curvas que pasan por dos puntos jos A y Z, Que vaa generar la curva de la supercie ms pequea de revolucin cuando se gira

alrededor del eje horizontal x? Este es un problema en la fsica, pero puedeser de inters debido a que es uno de los primeros problemas en el desarrollo

del clculo de variaciones. Para construir la funcin objetivo, puede ser til

tener en cuenta la curva de AZ en la Fig. 2.4 como posible extremal deseado.Cuando se gira alrededor del eje t en la forma prevista, cada punto en la curvade AZ traza un crculo paralelo al plano xy, con su centro en el eje t, y conun radio R igual al valor de y en ese punto. Ya que la circunferencia de uncrculo como es 2piR (en nuestro caso presente, 2piy), todo lo que tiene quehacer para calcular la supercie de revolucin es integrar la circunferencia

en toda la longitud de la curva de AZ. Una expresin para la longitud dela curva de AZ se puede obtener con la ayuda de la gura. 2.5. Imaginemosque M y N representan dos puntos que estn situados muy cerca uno delotro en la curva de AZ. Debido a la extrema proximidad de M y N , el arcoMN puede ser aproximado por una lnea recta, con su longitud igual a ladiferencial ds. Con el n de expresar ds en trminos de las variables y y t,recurrimos al teorema de Pitgoras para escribir (dy)2 + (dt)2 . De ello sedesprende que (ds)2/ (dt)2 = (dy)2/ (dt)2 + 1 . Tomando la raiz cuadrada enambos lados, obtenemos

ds

dt=

1 +

(dy

dt

)2=(1 + y2

) 12

Lo que da paso a la expresin deseada para ds en trminos de y y t de lasiguiente manera:

ds =(1 + y2

) 12dt [longitud de arco] (2.22)

Toda la longitud de la curva AZ debe entonces ser el integrante de ds, a

saber,

z

(1 + y2

)1/2dt. Para resumir, como la longitud de la circunferenciaes 2piy, por lo tanto, AZ dar lugar a la funcin

V [y] = 2pi

zy(1 + y2

) 12dt

El lector debe tener en cuenta que, si bien es legtimo "factorizar 2pi"(constante)como parte de la expresin 2piR, y (variable) debe permanecer dentro delsigno integral. A efectos de la minimizacion, se puede no tener en cuenta la

constante 2piR y tomar y(

1 + y2)1/2como la expresin para la funcin F ,con

Fy = yy(1 + y2) 1217

Figura 2.5:

Como F es libre de t, es posible que apliquemos (2.21) para obtener

y(1 + y2

) 12 yy2(1 + y2) 12 = cEsta ecuacin se puede simplicar mediante la adopcin de las siguientes

pasos: (1) se multiplica por

(1 + y2

)1/2, (2) se anula yy2 y yy2 en ellado izquierdo, (3) reordenar ambas partes y resolver para y2 en trminosde y y c, y (4) tomar la raz cuadrada. El resultado es

y( dydt

)=

1

c

y2 c2

cdyy2 c2 = dt

En esta ltima ecuacin, observamos que las variables y y t han sido separa-

do, de modo que cada lado se puede integrar por s mismo. El lado derecho

no plantea ningn problema, la integral de dt, siendo en forma sencilla t+k,donde k es una constante arbitraria. Sin embargo, el lado izquierdo es mscomplicado. De hecho, para tratar de integrarla "sin desarrollar"tomara de-

masiado esfuerzo; por lo tanto, se debe consultar a las tablas preparadas de

frmulas de integracin para encontrar el resultado:cdyy2 c2 = c ln

(y +

y2 c2c

)+ c1

Igualando este resultado con t + k (y dividiendo la constante c con la cons-

tante k) obtenemos

ln

(y +

y2 c2c

)=t+ k

c

o e(t+k)/c =y +

y2 c2c[por denicion de logaritmo natural]

18

Multiplicando ambos lados por c, restar y de ambos lados, reordenando anu-lamos el trmino y2 y resolviendo para y en trminos de t, nos da nalmenteel extremal deseado, ser:

y(t) =c

2

[e(t+k)/c + e(t+k)/c

][solucion general]

Donde las dos constantes c y k son denidas mediante el uso de las condi-ciones iniciales.

Este extremal es una forma modicada de la denominada curva catenaria.

y =1

2

(et + et

)[catenaria] (2.23)

Cuya caracterstica distintiva es que se trata de la media de dos trminos

exponenciales, en el que el exponente de un trmino es el negativo exacto del

exponente de la otra. Dado que el exponente del termino es positivo da lugar

a una curva que aumenta a un ritmo creciente, mientras que el exponente

negativo produce una curva cada vez menor, la media de los dos tiene una

forma general que retrata la forma de una cuerda exible con dos puntos

jos. (De hecho, el nombre catenaria viene de la palabra latina catena, que

signica adena"). Esto forma general se ilustra por la curva AZ en la Fig.2.4.

A pesar de que hemos encontrado nuestro extremal en una familia de curvas

catenarias, no es seguro que la supercie resultante de la revolucin (cono-

cido como un catenoide) se haya maximizado o minimizado. Sin mbargo,

geomtricamente y teniendo consideraciones intuitivas deben dejar claro que

la supercie es de hecho un minimo. Con referencia a la Fig. 2.4, si sus-

tituimos la curva AZ trazando , digamos, una nueva curva de AZ con lacurvatura opuesta, a continuacin, una supercie ms amplia de revolucin

puede ser generado. Por lo tanto, la catenoide no puede posiblemente ser de

un mximo.

Caso especial III : F = F (y) Cuando la funcin F depende solamente dey, muchos de las derivadas en (2.19) desaparecer, incluyendo Fyy , Fty yFy . De hecho, slo el primer trmino se mantiene, por lo que la ecuacin deEuler se convierte

Fyyy(t) = 0 (2.24)

Para satisfacer esta ecuacin, debemos tener que Fyy = 0 o y(t) = 0. Si

y(t) = 0, entonces, evidentemente, y

(t) = c1, e y(t) = c1t + c2 , lo queindica que la solucin general es una familia de dos parmetros de lneas

rectas. Si, por otra parte Fyy = 0, ya que Fyy es, como la propia F , una

funcin de ysolamente, la solucin de Fyy = 0 debera aparecer como

valores especcos de y. Supongamos que hay una o ms soluciones reales

y

= ki, entonces podemos deducir que y = kit + c, que a su vez representa

19

una familia de lneas rectas. En consecuencia, dada una funcin integral que

depende de ysolamente, siempre podemos tomar a su extremal como una

lnea recta.

Ejemplo 3 Encuentre la extremal de la funcin

V [y] =

T0

(1 y2)1/2dt (2.25)Con condiciones iniciales y(0) = A e y(t) = 2. El lector tenga en cuentaque esta funcionalidad se ha encontrado disfrazada de manera diferente en

Ejemplo 3. Recordando la discusin de longitud de arco que conduce a (2.22),

sabemos que (2.25) mide la longitud total de una curva que pasa a travs de

dos puntos dados. Por tanto, el problema de encontrar el extremal de este

funcin es el de encontrar la curva con la distancia ms corta entre los dos

puntos.

La funcion integral, F =(1y2)1/2 , depende solamente de y . Porlo tanto, podemos concluir inmediatamente que el extremal es una lnea

recta. Pero si se desea examinar este ejemplo particular explcitamente por

la ecuacin de Euler, se puede utilizar (2.18). con Fy = 0, la ecuacin deEuler es simplemente dFy/dt = 0, y su solucin es F

y = constante. En vista

del hecho de que Fy = y/ (1 y2)1/2, podemos escribirlo como (despusde reordenar)

y2

1 + y2= c2

Multiplicando por (1+y2), reordenando y factorizando y , podemos expresaryen trminos de c de la siguiente manera: y2 = c2/(1 c2). De maneraequivalente,

y =c

(1 c2)1/2= constante

En la medida de y(t), la pendiente de y(t), es una constante, el extremaldeseado y(t) debe ser una lnea recta.En sentido estricto, slo hemos encontrado un .

ex

tremal", que podr ma-

ximizar o minimizar el funcional dado. Sin embargo, es intuitivamente que

la distancia entre los dos puntos dados es se minimiza en lugar de maxi-

mizar el extremal de lnea recta, porque no hay tal cosa como "la mayor

distancia.

en

tre dos puntos dados.

Caso especial IV: F = F (t, y) En este caso especial, el argumento yfalta

en la funcin F . Puesto que ahora tenemos Fy = 0, la ecuacin de Euler,reduce simplemente a Fy = 0 , o, ms explcitamente,

Fy(t, y) = 0

El hecho de que la derivada yno aparece en esta ecuacin signica que la

ecuacin de Euler no es una ecuacin diferencial. El problema es degenerado.

20

Puesto que no hay constantes arbitrarias en su solucin que se denan de

acuerdo con las condiciones iniciales dadas, el extremal puede no satisfacer

las condiciones iniciales, excepto por pura coincidencia. Esta situacin es

muy similar al caso en que la funcin F es lineal en el argumento y(Sec.

2.1, Ejemplo 6). La razn es que la funcin F (t, y) se puede considerar comoun caso especial de F (t, y, y) con y puede entrar a travs de un solo trminoaditivo 0y

, con un coeciente de cero. Por lo tanto, F (t, y) es, en un sentidoespecial, "lineal.

en y.

EJERCICIO 2.2

Encuentra las extremales de las siguientes funciones:

1. V [y] = 10 (t

2 + y2)dt, con y(0) = 0 y y(1) = 2

2. V [y] = 20 7y

3dt, con y(0) = 9 y y(2) = 11

3. V [y] = 10 (y + yy

+ y + 12y2)dt con y(0) = 2 y y(1) = 5

4. V [y] = ba t3 + y2dt, [Encuentre la solucion general]

5. V [y] = 10 (y

2 + 4yy + 4y2)dt , cony(0) = 2e1/2 y y(1) = 1 + e

6. V [y] = pi

20 (y

2 y2)dt con y(0) = 0 y y(pi/2) = 1

2.3. DOS GENERALIZACIONES DE LA ECUA-

CION DE EULER

La discusin anterior de la ecuacin de Euler se basa en una funcin

integral con el integrando F (t, y, y). Generalizaciones simples pueden serplanteadas, sin embargo, para el caso de varias variables de estado y cuando

se presentan derivadas de orden superior estas aparecen como argumentos

en la funcin F .Caso con mltiples Variables de Estado Con n > 1 variables de estadoen un determinado problema, se convierte la funcin en:

V [y1, ..., yn] =

T0F (t, y1, ..., yn, y

1, ..., y

n)dt (2.26)

y habr un par de condiciones iniciales y condiciones nales para cada una

de las n variables de estado. Cualquier extremal yj (t), (j = 1, ..., n), por de-nicin, debe dar la trayectoria extrema relativa a todos los caminos vecinos.

Un tipo de trayectorias vecinas surge variando slo una de las funciones yj(t)

21

en un momento, por ejemplo, y1(t), mientras que todos los otras funciones

yj(t) se mantienen jos. Entonces la funcin slo depende de la variacin eny1(t) como si tratramos el caso de una variable de estado sola. En conse-cuencia, la ecuacin de Euler (2.18) todava debe mantener como condicin

necesaria, siempre y cuando cambiemos el smbolo y a y1 para reejar el nue-vo problema. Adems, este procedimiento puede utilizarse de manera similar

para variar la otras funciones yj, uno a la vez, para generar otras ecuaciones

Fyjd

dtFyj = 0 para todo t[0, T ] (j = 1, 2, ..., n) [Ecuaciones de Euler]

(2.27)

Estas ecuaciones n sern, junto con las condiciones iniciales, las que nos

permitan determinar las soluciones y1(t), ..., yn(t). Aunque (2.27) es una ge-neralizacin directa de la ecuacin de Euler(2,18) -Sustitullendo el smbolo y

por yj-el mismo procedimiento no puede ser utilizado para generalizar (2.19).

Para ver por qu no, asuma por simplicidad que hayan slo dos variables de

estado, y y z, en nuestro nuevo problema. La funcin F ser entonces unafuncin con cinco argumentos, F (t, y, z, y, z), y las derivadas parciales se-rn tambin Fy y Fz . Por lo tanto, la derivada total de Fy(t, y, z, y

, z) conrespecto a t incluir cinco trminos:

d

dtFy(t, y, z, y

, z) = Fty + Fyyy(t) + Fzyz(t) + Fyyy(t) + Fzyz(t)

Con una expresin similar de cinco partes para dFzyz/dt. La versin am-pliada con ecuaciones de Euler simultaneas correspondientes a (2.19) se ve

mucho ms complicada que (2.19) en s mismo:

Fyyy(t) + Fzyz(t) + Fyyy(t) + Fzyz(t) + Fty Fy = 0 (2.28)

Fyzy(t)+Fzzz(t)+Fyzy(t)+Fzzz(t)+FtzFz = 0 para todo t[0, T ]

EJEMPLO 1 Encuentre el extremal de

V [y, z] =

T0

(y + z + y2 + z2

)dt

De la integral, nos encontramos con que

Fy = 1 Fy = 2y Fz = 1 Fz = 2z

As, por (2.27), tenemos dos ecuaciones simultneas Euler

1 2y = 0 o y = 12

1 2z = 0 o z = 12

22

El mismo resultado puede obtenerse tambin a partir de (2.28).

En este caso particular, sucede que cada una de las ecuaciones de Euler con-

tiene una variable exclusivamente. Tras la integracin, los primeras derivadas

y = 12 t+ c1, y por lo tanto

y(t) =1

4t2 + c1t+ c2

Anlogamente, el extremal de z es

z(t) =1

4t2 + c3t+ c4

Los cuatro constantes arbitrarias (c1, ..., c4 se pueden denir con la ayudadecuatro condiciones iniciales relativas a y(0), z(0), y(T ), y z(T ).Caso con derivadas de orden superior

Como otra generalizacin, considere una funcin que contiene derivadas de

orden superior de y(t). Generalmente, esto se puede escribir como

V [y] =

T0F(t, y, y, y, ..., y(n)

)dt (2.29)

Dado que muchos derivadas estn presentes, las condiciones iniciales deberan

en este caso denotar para los valores iniciales y nales no slo de y, sinotambin de las derivadas y, y, . . . , hasta que lleguemos a la derivada yn1

, haciendo un total de 2n condiciones iniciales.

Para resolver este caso, observamos en primer lugar que una funcin F conuna sola variable de estado con derivadas de y hasta el orden n puede ser

transformada en una forma equivalente que contenga n variables de estado

y sus derivadas de primer orden solamente. En otras palabras, la funcin

en (2.29) se puede transformar en la forma en (2.26). En consecuencia, la

ecuacin de Euler (2.27) o (2.28) puede volver a ser aplicada. Por otra parte,

dicha transformacin se puede tomar automticamente usando tambin las

condiciones iniciales.

EJEMPLO 2 Transformar la funcin

V [y] =

T0F(ty2 + yy + y2

)dt

Con las condiciones iniciales y(0) = A, y(t) = 2, y(0) = , y y(T ) = , enla forma de (2.26). Para lograr esta tarea, slo tenemos que introducir un

nueva variable

z = y [lo que implica z y]Entonces podemos reescribir la integral como:

F = ty2 + yy + y2 = ty2 + yz + z2

23

Que ahora contiene dos variables de estado y y z, sin presencia de deri-vadas superiores ms que que la primera orden. Sustituyendo la nueva F enel funcin conseguimos el formato de (2.26).

Qu pasa con las condiciones de frontera? Para la variable de estado ori-

ginal y, las condiciones y(0) = A y y(t) = Z pueden mantenerse intactas.Las otras dos condiciones para y' se pueden reescribir directamente como las

condiciones para la nueva variable de estado z: z(0) = y z(T ) = . Estocompleta la transformacin.

Dada la funcional (2.29), tambin es posible desarrollarlo directamente en

vez de transformarlo en el formato de (2.26). Por un procedimiento similar al

que se utiliza en la deduccin de la ecuacin de Euler, una condicin necesa-

ria para un extremal se puede encontrar para (2.29). La condicin, conocida

como la Ecuacin de Euler-Ecuacin de Poisson, es:

Fy ddtFy +

d2

dtFy ...+ (1)n d

n

dtnFy(n) = 0 (2.30)

para todo t[0, T ] [Ecuacion Poisson-Euler]

Esta ecuacin es, en general, una ecuacin diferencial de orden 2n. As pues,su solucin implicar constantes arbitrarias 2n, que se pueden denir con laayuda de las 2n condiciones iniciales.EJEMPLO 3 Encuentra un extremal de la funcin en el Ejemplo 2. Te-

niendo:

Fy = 2ty + y Fy = y Fy = 2y

La ecuacin de Euler-Poisson es

2ty + y dydt

+d22y

dt2= 0 o 2ty + 2y4 = 0

que es una ecuacin diferencial de cuarto orden.

EJERCICIO 2.3

1. Busque el extremal V [y] = 10 (1 + y

2)dt, con y(0) = 0 y y(0) =y(1) = y(1) = 1.

2. Busque el extremal V [y, z] = ba (y

2 + z2 + yz)dt (solucion general unicamente)

3. Busque el extremal V [y, z] =

20 (2yz + y

2 + z2)dt, con y(0) =z(0) = 0 e y(

2) = z(

2) = 1

4. El ejemplo 3 de esta seccin muestra que, para el problema indicado en

el Ejemplo 2, una condicin necesaria para el extremal es ty + 2y = 0.Deducir el mismo resultado mediante la aplicacin de las ecuaciones

de denicin z = y y la de Euler (2.27) para ese problema.

24

2.4. OPTIMIZACIN DINMICA DE UN MO-

NOPOLISTA

Pasemos ahora a las aplicaciones econmicas de la ecuacin de Euler.

En el primer ejemplo, vamos a discutir el modelo clsico de Evans de una

empresa monopolista, una de las primeras aplicaciones de clculo variacional

a la economa.

Una funcin de utilidad dinmica

Considere una empresa monopolista que produce un solo producto con un

funcin de costo total cuadrtica

C = Q2 + Q+ (, , > 0) (2.31)

Dado que no se considera los inventarios, la oferta Q se pone siempre igual ala cantidad demandada. Por lo tanto, vamos a utilizar un solo smbolo Q(t)para designar cantidades. La cantidad demandada se supone que depender

no slo del precio P (t), sino tambin de la velocidad de cambio de precioP (t):

Q = a bP (t) + hP (t) (a, b > 0;h 6= 0) (2.32)La utilidad de la empresa es

pi = PQ C= P (a bP + hP ) (a bP + hP )2 (a bP + bP ) que es una funcin de P y P . Multiplicando la expresin anterior y reorde-nando los trminos, tenemos la funcin de utilidad dinmica

pi(P, P ) = b(1 + b)P 2 + (+ 2ab+ b)P= h2P h(2b+ )P + h(1 + 2b)PP = (a2 + a+ ) (2.33)

El problema

El objetivo de la empresa es encontrar una trayectoria ptima del precio Pque maximiza la utilidad total durante un perodo de tiempo nito [0, T ].Este perodo se supone que es lo sucientemente corto como para justicar

el supuesto de demanda ja y funciones de coste, as como, la omisin de

un factor de descuento. Adems, como la primera aproximacin al problema,

tanto en el P0 precio inicial y el precio nal PT deben darse.El objetivo del monopolista es por lo tanto

Maximizar [P ] =

T0pi(P, P )dt

Sujeto a P (0) = 0 (P0 dado)

y P (T ) = PT (T, PT dados)

(2.34)

25

La trayectoria ptima del Precio

Aunque(2.34) se reere al caso especial II, resulta que para el clculo con

funciones especcas es ms simple de usar la ecuacin original de Euler

(2.19), en el que, obviamente, deberamos sustituir pi por F y P por y. Dela funcin de utilidad (2.33), esta se obtiene fcilmente

piP = 2b(1 + b)P + (a+ 2ab+ b) + h(1 + 2b)P

piP = 2h2P h(2ab+ ) + h(1 + 2b)P

y piP P = 2h2 piPP = h(1 + 2b) pitP = 0Estos a su vez en la expresin (2.19) -despus de normalizar- en la forma

especca:

P b(1 + b)

h2P = a+ 2ab+ b

2h2(2.35)

Esta es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coecientes

constantes y un trmino constante, en la forma general de

y + a1y + a2y = a3

Su solucin general se sabe que es:

y(t) = A1er1t +A2e

r2t +_

y

donde la races caractersticas r1y r2 toman los valores

r1, r2 =1

2(a1

a21 4a2)

y la integral particular de y es

_

y =a3a2

Por lo tanto, para la ecuacin de Euler del presente modelo (donde a1 = 0),tenemos

P (t) = A1er1t +A2er2t +_

P (2.36)

Donde

r1, r2 =

b(1 + b)

h2[tasas caracteristicas]

y

_

P =a+ ab+ b

2b(1 + b)[integral particular]

26

Tenga en cuenta que las dos races caractersticas son reales y distintas segn

su signo en las especicaciones. Adems, son los negativos exactos una de

otra. Podemos por lo tanto reescribir la solucin, donde r denota el valorabsoluto comn de las dos races, como:

P (t) = A1ert +A2ert +_

P [solucion general] (2,36)

Las dos constantes arbitrarias A1 y A2 en (2,36) puede ser denidas a travslas condiciones iniciales P (0) = P0 y P (T ) = PT . Cuando establecimos t =0 y t = T, sucesivamente, en (2,36

), obtenemos dos ecuaciones simultneasen las dos variables A1 y A2:

P0 = A1 +A2 +_

P

PT = A1erT +A2e

rT +_

P

Siendo los valores de la solucin:

A1 =P0 P (PT P )erT

1 e2rT A2 =P0 P (PT P )erT

1 e2rT (2.37)

La determinacin de estos dos constantes completa la solucin del proble-

ma, para toda la trayectoria de los precios P (t) est ahora especicadaen trminos de los parmetros conocidos T, P0, PT , , , , a, b y h. De estosparmetros, todos tienen signos especicados excepto h. Pero como el par-metro h entra en la trayectoria de la solucin (2,36 ') slo a travs de r, yslo en la forma de un trmino cuadrtico h2 , podemos ver que su signo noafectar a nuestros resultados, solo su valor numrico.

En este momento, no estamos preparados para decir si la trayectoria de hecho

maximiza utilidades (en lugar de minimiza). Suponiendo que se maximiza,

que de hecho lo hace, a continuacin, una pregunta relevante es: Qu pode-

mos decir acerca de la ecuacin general de la trayectoria de los precios (2.36

')? Por desgracia, no es posible dar una respuesta sencilla. Si PT > P0, elprecio del monopolista puede ptimamente aumentando de manera constan-

te en el intervalo (O, T ) de P0 a PT o puede tender a reducirse ligeramenteantes de subir al nivel de PT al nal del perodo, dependiendo de lo valores delos parmetros. En el caso opuesto de P0 > PT la trayectoria del precio p-timo es caracterizado por una indeterminacin similar. Aunque este aspecto

del problema puede ser perseguido un poco ms lejos (vase el ejercicio 2.4,

Probs. 3 y 4), especcamente se necesitan valores de los parmetros para

tener una idea mas clara sobre la trayectoria optima de los precios.

Una Vista ms general del problema

La frmula de Evans es especca para una funcin de costes cuadrtica y

una Funcin de demanda lineal. En un estudio ms general del problema

dinmico-monopolista por Tintner, estas funciones no son especcas. La

funcin de utilidad es simplemente escrita como pi(P, P ). En una formula-cin general de este tipo, resulta que la frmula (2.21) [para el caso especial

27

II] su utilizacin es una gran ventaja. Se obtiene directamente de una sencilla

condicin necesaria

pi P piP

= c (2.38)

que se le puede dar una interpretacin econmica clara.

Para ver esto, primero explicamos el sentido econmico de la constante c. Sila utilidad pi no depende de la velocidad de cambio de precio P , es decir, siestamos tratando con el problema del monopolio esttico como un caso espe-

cial del modelo dinmico, luego dpi/dP = 0, y (2.38) se reduce a pi = c. Asla constante c representa el benecio del monopolio esttico. Acerqumonos,pues denotamos por pis,(s subndice de esttica). A continuacin, observamosque si (2.38) se divide por pi el segundo trmino del lado izquierdo implicar

pi

P P

pi pip

que representa la elasticidad parcial de pi con respecto a P . De hecho, despusde realizar la divisin indicada, la ecuacin se puede reordenar obteniendo

la regla de optimizacin:

pip = 1 pispi

Esta norma establece que la empresa monopolista siempre debe seleccionar

el precio de tal manera que la elasticidad de la utilidad con respecto a la tasa

de cambio del precio sea igual a 1pis/pi. El lector notar que este resultadoanaltico no habra surgido tan fcilmente si no hubiramos recurrido al caso

especial de la frmula (2.21).

Es interesante comparar esta regla con una elasticidad correspondiente a la

regla de elasticidad para el monopolista esttica. Dado que la utilidad en

ltimo instancia slo depende de P , la condicin de primer orden para lamaximizacin del benecio es simplemente dpi/dP = 0. Si multiplicamos atodo por P/pi, la regla se convierte en la expresada en trminos de elastici-dad de la siguiente manera: pip = 0. Por lo tanto, mientras que en el modelomonopolista esttico la elasticidad de la utilidad con respecto al precio lo

establece igual a cero, el modelo monopolista dinmico debe considerar la

elasticidad de la utilidad con respecto a la tasadevariacindeprecio y esta-blecer su valor en 1 pis/piLa materia del precio Terminal

La discusin anterior se basa en la suposicin de que el precio nal P (t) vienedado. En realidad, sin embargo, la empresa es probable que tenga discretocontrol sobre P (T ) a pesar de que el tiempo nal T ha sido preajustado. Sies as, se encontrara en el punto de situacin nal consignada en la varia-

ble representada en la Fig. 1.5a, donde la condicin inicial P (T ) = P , debeser sustituido por la adecuada condicin de transversalidad. Vamos a desa-

rrollar este tipo de condiciones de transversalidad en el siguiente captulo.

28

EJERCICIO 2.4

1. Si una empresa monopolista en el modelo de Evans se enfrenta a una

demanda lineal esttica (h = O), qu precio va a la empresa va a ma-ximizar su utilidad? Sea el precio Ps, revise que tenga el signo correcto.Luego compare los valores de Ps y P , y dar a la integral parcial en(2.36) una interpretacin econmica.

2. Compruebe que A1 y A2 realmente deben tener los valores mostradosen (2.37).

3. Demostrar que el extremal P (t)) no implicar una inversin de ladireccin de movimiento de precios en el intervalo (0, T ) a menos quehaya un valor 0 < t0 < T de tal manera que [es decir, satisface lacondicin de que los dos primeros trminos del lado derecho de (2.36

') son iguales en t = t0].

4. Si los coecientes A1 y A2 en (2.36 ') son ambos positivos, la curva deP (t) tomar la forma de una catenaria. Comparar la ubicacin en lacurva de precios en los tres casos siguientes: (a) A1 > A2 (b) A1 = A2y (c) A1 < A2 Cul de estos casos, posiblemente, puede implicar uncambio de precio en el intervalo [0, T ]? Qu tipo de movimiento deprecios caracteriza los casos restantes?

5. Hallar la ecuacin de Euler para el problema utilizando la frmula

Evans (2.18).

6. Si una tasa de descuento > 0 se utiliza para convertir la utilidadpi(P, P ) en cualquier punto de tiempo a su valor presente, entonces laintegral en (2.34) tomar la forma general F = pi(P, P )et

a) En este caso, sigue siendo aplicable la frmula (2.21)?

b) Aplicar la frmula (2.19) a esta expresin F para derivar la nuevaecuacin de Euler.

c) Aplicar la frmula (2.18) para derivar la ecuacin de Euler, y

expresarla como resultado, por regla general con respecto a la

tasa de crecimiento de piP .

2.5. EL DILEMA ENTRE LA INFLACIN YDES-

EMPLEO

Los males econmicos de la inacin y el desempleo inigen prdidas so-

ciales. Cuando existe un el dilema de Phillips entre los dos, cul sera la

29

mejor combinacin entre la inacin y el desempleo a travs del tiempo? La

respuesta a esta pregunta se puede obtener a travs del clculo de variacio-

nes. En esta seccin presentamos una formulacin simple de un problema

adaptado de uno de los documento de Taylor. En esta formulacin, la va-

riable de desempleo como tal no se ha incluido; en cambio, se aproxima por

(Yf Y ) -el dcit corriente de Y , la renta nacional, a partir de su nivel depleno empleo Yf .

= (Yf Y )2 + p2 ( > 0) (2.39)Debido a que la expresin de la desviacin se eleva al cuadrado, desviaciones

positivas y negativas se consideran iguales (ver ejercicio 1.3, Prob. 2). Sin

embargo, las desviaciones de Y y las desviaciones de p se consideran en lafuncin de prdida social con diferentes pesos, en el rango de 1 a , lo quereeja los diferentes grados de sesgo para los dos tipos de desviaciones.

El dilema de Phillips aumentado con expectativas entre (Yf Y )) y p escapturado en la ecuacin:

p = (Yf Y ) + pi ( > 0) (2.40)Donde pi, a diferencia de su uso en la seccin anterior, ahora denota a latasa de inacin esperada. La formacin de las expectativas de inacin se

supone que son adaptativas:

pi( dpidt

)= j(p pi) (0 < j 1) (2.41)

Si la tasa real de inacin p excede la tasa esperada de inacin pi (demos-trando que pi esta subestimado), entonces pi

> 0, y pi se analizar al alza;Si, por otro lado, la tasa de p actual cae por debajo de la tasa esperada pi(demostrando que pi est sobreestimado), entonces pi

< 0, y pi ser analizadoa la baja.

Las dos ecuaciones anteriores juntas implican que

pi = j(Yf Y )Que puede reordenarse como

Yf Y = pi

j(2.42)

Cuando reemplazamos (2.42) en (2.40), obtenemos

p =pi

j+ pi (2.43)

Y, reemplazando (2.42) y (2.43) en (2.39), podemos expresar la funcin de

prdida social completamente en trminos de pi y pi

(pi, pi) =(pi

j

)2+

(pi

j+ pi

)2[Funcion de Perdida Social] (2.44)

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El problema para el gobierno es entonces encontrar una trayectoria ptimo

de pi que minimiza la prdida social total sobre el intervalo de tiempo [O, T ].El valor inicial (actual) de pi se da en pis, y el valor nal de pi, como objetivode la poltica, se supone que est jado en 0. Para reconocer la importancia

del presente sobre el futuro, todas las prdidas sociales se descuentan a sus

valores actuales a travs de una tasa de descuento positiva p.En vista de estas consideraciones, el objetivo de los encargados de hacer

poltica es:

Minimizar [pi] =

T0(pi, pi)etdt

Sujeto a pi(0) = pi0 (pi0 > 0 dado)

y pi(T ) = 0 (T dado)

(2.45)

La trayectoria de la solucin

Sobre la base de la funcin de prdida social (2.44), de la funcin integral

(pi, pi)et se obtienen las primeras derivadas:

Fpi = 2(

jpi + pi)et

Fpi = 2(1 + 2

2j2 pi +

jpi)et

Con las segundas derivadas:

Fpipi = 2(1 + 2

2j2)et F pipi =

2

jet

y Fpi = 2(

1 + 2

2j2pi +

jpi

)et

En consecuencia, la frmula (2.19) nos da (despus de la simplicacin) la

condicin necesaria especca

pi pi pi = 0 [Ecuacion de Euler] (2.46)

donde =2j(+ j)

1 + 2> 0

Ya que esta ecuacin diferencial es homognea, su integral particular es cero,

y su solucin general es simplemente su funcin complementaria:

pi(t) = A1er1t +A2er2t [Solucion general] (2.47)

donde r1, r2 =1

2(

2 + 4)

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Figura 2.6:

Las races caractersticas son reales y distintas. Por otra parte, puesto que

la raz cuadrada tiene un valor numrico mayor que p, entonces

r1 > 0 , r2 < 0 (2.48)

Para denir las constantes arbitrarias A1 y A2 hemos establecido sucesiva-mente t = 0 y t = T en (2.47), y usando condiciones iniciales para obtenerel par de relaciones

A1 +A2 = pi0

A1er1T +A2e

r2T = 0

Resolviendo simultneamente, estas relaciones nos da:

A1 =pi0er2Ter1T er2T A2 =

pi0er1T

er1T er2T (2.49)

Debido a los signos de r1 y r2, en (2.48), sabemos que

A1 < 0 A2 > 0 (2.50)

A partir de la informacin de suscripcin en (2.50) y (2.48), se puede deducir

que la trayectoria de pi(t) debe seguir la conguracin general en la Fig. 2.6.Con A1 negativo y positivo r1, el componente A1e

r1tde la trayectoria surge

como el reejo (con referencia al eje horizontal) de una curva de crecimiento

exponencial. Por otro lado, el componente A2er2tes, en vista de que A2 espositivo y r2 negativo, solamente una regular curva exponencial de cada. Latrayectoria de pi, la suma de los componentes de las dos curvas, comenzamosen el punto (0, pi0) - donde pi0 = A1+A2 -y descendiendo de manera constantehacia el punto (T, 0), que es verticalmente equidistante de los componentes

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de las dos curvas. El hecho de que la trayectoria pi muestra un movimientodescendente constante tambin puede ser vericado de la derivada

pi (t) = r1A1er1t + r2A2er2t < 0

Habiendo encontradopi(t) y pi(t), tambin se puede derivar algunas conclu-siones con respecto a p y (Yf Y ). Para estos, podemos simplemente utilizarlas relaciones en (2.43) y (2.42), respectivamente.

EJERCICIO 2.5

1. Compruebe el resultado en (2.46) utilizando la ecuacin de Euler (2.18).

2. Deje que la funcin objetivo en problema (2.45) puede cambiar a T0

12(pi, pi

)eptdt

a) Crees que la solucin del problema ser diferente?

b) Se te ocurre alguna ventaja en la inclusin del coeciente

12 en

la integral?

3. Hagamos que a la condicin nal en el problema (2.45) se cambie a

pi(T ) = piT , 0 < piT < pi0

a) Cules seran los valores de A1 y A2?

b) Se puede evaluar de manera ambigua los signos de A1 y A2?

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