altres geometries - uab barcelonamat.uab.es/~agusti/gneversioestalmat.pdf · endarrere, i de les...
TRANSCRIPT
![Page 1: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/1.jpg)
Altres geometriesESTALMAT16 febrer 2008
AGUSTI REVENTOS JUDIT ABARDIA
– p.1
![Page 2: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/2.jpg)
Guió
Euclides
Arquimedes
Lambert
Gauss
Riemann
– p.2
![Page 3: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/3.jpg)
Guió
Euclides 0 = α + β + γ − π
Arquimedes
Lambert
Gauss
Riemann
– p.3
![Page 4: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/4.jpg)
Guió
Euclides 0 = α + β + γ − π
Arquimedes A/R2 = α + β + γ − π
Lambert
Gauss
Riemann
– p.4
![Page 5: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/5.jpg)
Guió
Euclides 0 = α + β + γ − π
Arquimedes A/R2 = α + β + γ − π
Lambert −A/R2 = α + β + γ − π
Gauss
Riemann
– p.5
![Page 6: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/6.jpg)
Guió
Euclides 0 = α + β + γ − π
Arquimedes A/R2 = α + β + γ − π
Lambert −A/R2 = α + β + γ − π
Gauss K = α + β + γ − π
Riemann
– p.6
![Page 7: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/7.jpg)
Guió
Euclides 0 = α + β + γ − π
Arquimedes A/R2 = α + β + γ − π
Lambert −A/R2 = α + β + γ − π
Gauss K = α + β + γ − π
Riemann En quin món vivim?
– p.7
![Page 8: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/8.jpg)
I. Euclides
– p.8
![Page 9: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/9.jpg)
Euclides∼ 325 − 265aC.
– p.9
![Page 10: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/10.jpg)
Escola d’Atenes.Raffaello 1510
– p.10
![Page 11: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/11.jpg)
Escola d’Atenes
1. Plató 2. Aristòtil 3. Sòcrates7. Zenó 11. Pitàgores 13. Heràclit
15. Euclides17. Ptolemeu 18. Autoretrat de Raphael
– p.11
![Page 12: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/12.jpg)
Euclidesamb un compàs
– p.12
![Page 13: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/13.jpg)
Els Elements
Bodleian Library, Oxford,888.
– p.13
![Page 14: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/14.jpg)
Els Elements
Pergamí grec. Segle IX. Vaticà. – p.14
![Page 15: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/15.jpg)
Els Elements
Abu Jafar Muh. b. al-Hasan Nasiraddin at-Tusi,1258 – p.15
![Page 16: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/16.jpg)
Els Elements
Primera edició impresa. Venecia1482 – p.16
![Page 17: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/17.jpg)
POSTULATS
1. 2. 3.
– p.17
![Page 18: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/18.jpg)
POSTULATS
4. Tots els angles rectes són iguals.
– p.18
![Page 19: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/19.jpg)
CINQUE POSTULAT
Si α + β < π, r i s es tallen.
– p.19
![Page 20: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/20.jpg)
CINQUE POSTULAT
Ja s’han tallat.
– p.20
![Page 21: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/21.jpg)
Enunciats equivalents
1. Per un punt exterior a una recta hi passa una únicaparal.lela.
2. Tres punts no alineats determinen unacircumferència.
3. Existeixen triangles semblants.
4. Hi ha triangles d’àrea tan gran com vulguem.
5. Els angles d’un triangle sumen el mateix que dosangles rectes.
6. Les equidistants són rectes.
– p.21
![Page 22: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/22.jpg)
Negació del cinquè postulat
Donada una recta i un punt exterior, tota recta peraquest punt talla la recta donada.
– p.22
![Page 23: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/23.jpg)
Negació del cinquè postulat
Donada una recta i un punt exterior, passen peraquest punt més d’una rectes que no tallen la rectadonada.
– p.23
![Page 24: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/24.jpg)
Geometria Esfèrica
– p.24
![Page 25: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/25.jpg)
Geometria Hiperbòlica
– p.25
![Page 26: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/26.jpg)
El primer geòmetra no-euclidià
– p.26
![Page 27: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/27.jpg)
Aristòtil 384 − 322 aC.
– p.27
![Page 28: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/28.jpg)
Aristòtil 384 − 322 aC.
Si és impossibleque els angles d’untriangle sumin dosrectes, llavors elcostat del quadratés commensurableamb la diagonal.
’De Caelo’ (El Cel) – p.28
![Page 29: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/29.jpg)
II. Arquimedes
– p.29
![Page 30: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/30.jpg)
Àrea de l’esfera
Arquimedes (287 − 212 aC) Àrea= 4πR2
– p.30
![Page 31: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/31.jpg)
Àrea de l’esfera
A = 2πR.2R
– p.31
![Page 32: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/32.jpg)
Àrea de l’esfera
A = 2πR.2RV = 2
3πR2.2R
– p.31
![Page 33: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/33.jpg)
Àrea d’un fus
Àrea d’un fus esfèric:
{
2π → 4πR2
α → Fα
Fα = 2R2α.
– p.32
![Page 34: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/34.jpg)
Àrea triangle esfèric
Àrea= R2(α + β + γ − π) = R2 · Excés
– p.33
![Page 35: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/35.jpg)
III. Lambert
– p.34
![Page 36: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/36.jpg)
Geometria Absoluta
G. Saccheri (1667 − 1733): Euclidesab omni naevovindicatus: sive conatus geometricus quostabiliuntur prima ipsa universae geometriaeprincipia.
J. H. Lambert (1728 − 1777): Theorie derParallellinien.
– p.35
![Page 37: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/37.jpg)
Geometria Absoluta
Saccherirebutjal’hostil hipòtesi de l’angle agutperquè obté resultatsque repugnen la natura de lalínia recta.
– p.36
![Page 38: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/38.jpg)
Geometria Absoluta
Saccherirebutjal’hostil hipòtesi de l’angle agutperquè obté resultatsque repugnen la natura de lalínia recta.
Lambertveu possible una geometria sense el cinquèpostulat:M’inclino a pensar que la hipòtesi del’angle agut és certa en alguna esfera de radiimaginari.
– p.36
![Page 39: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/39.jpg)
Esfera imaginària
A = R2(α + β + γ − π)
A = R2(π − α − β − γ)
Aquesta fórmula suggereix canviarR perRi.
cos ix = cosh x, sin ix = i sinh x.
– p.37
![Page 40: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/40.jpg)
Analogia
cos aR = cos b
R · cos cR cosh a
R = cosh bR · cosh c
R
A = R2(α + β + γ − π) A= R2(π − (α + β + γ))
L= 2πR sin rR L= 2πR sinh r
R .
– p.38
![Page 41: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/41.jpg)
Angle de paral.lelisme
Π(a) = 2 arctan e−a/R
– p.39
![Page 42: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/42.jpg)
K=1,0,-1 Σ = α + β + γ
S2(1) E
2S
2(i)a
bg
a
bg
a
b g
Σ > π Σ = π Σ < π
A = Σ − π A = π − Σ
– p.40
![Page 43: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/43.jpg)
IV. C. F. Gauss
– p.41
![Page 44: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/44.jpg)
El diari
29 de Març de1796. Disset costats.
L’endemà comença eldiari, un mes abans decomplir19 anys.
[1] Els principis dels quals depèn la divisió delcercle, i la divisibilitat geomètrica del mateix endisset parts, etc.
– p.42
![Page 45: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/45.jpg)
Braunschweig
– p.43
![Page 46: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/46.jpg)
Göttingen
– p.44
![Page 47: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/47.jpg)
El diari
28 de Juliol de1797.
[72] He demostrat la possibilitat del pla.
– p.45
![Page 48: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/48.jpg)
El diari
Setembre de1799.
[99] Hem fet excepcionals progressos en elsprincipis de la Geometria.
– p.46
![Page 49: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/49.jpg)
1792
Carta aSchumaker(28 − 09 − 1846)
El queSchweikartva anomenargeometriaastral, Lobatchevskianomenageometriaimaginària. Saps que durant54 anys [1792] hecompartit els mateixos punts de vista.
– p.47
![Page 50: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/50.jpg)
1792
Carta aSchumaker(28 − 09 − 1846)
El queSchweikartva anomenargeometriaastral, Lobatchevskianomenageometriaimaginària. Saps que durant54 anys [1792] hecompartit els mateixos punts de vista.
Tenia15 anys!
– p.47
![Page 51: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/51.jpg)
1794
Carta aGerling(10 − 10 − 1846)
El teorema que el sr.Schweikartli menciona avostè, que en qualsevol geometria la suma detots els angles exteriors d’un polígon difereix de360◦ per una quantitat, [....] que ésproporcional a l’àrea, és el primer teorema quees troba en el llindar d’aquesta teoria,unteorema la necessitat del qual vaig reconèixerja el 1794.
– p.48
![Page 52: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/52.jpg)
1794
Carta aGerling(10 − 10 − 1846)
El teorema que el sr.Schweikartli menciona avostè, que en qualsevol geometria la suma detots els angles exteriors d’un polígon difereix de360◦ per una quantitat, [....] que ésproporcional a l’àrea, és el primer teorema quees troba en el llindar d’aquesta teoria,unteorema la necessitat del qual vaig reconèixerja el 1794.
Tenia17 anys!
– p.48
![Page 53: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/53.jpg)
Carta a Farkas Bolyai 1799
Si es pogués demostrar l’existència d’untriangled’àrea tan gran com vulguem,aleshores es podriademostrar amb tot rigor la totalitat de la geometriaeuclidiana.Moltes persones prendrien aquestaproposició com un axioma, però jo no!És possibleque l’àrea no arribi mai a un cert valor límit.
– p.49
![Page 54: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/54.jpg)
Carta a Gerling 1819
El defectede la suma dels angles en el triangle plarespecte de180◦ és, per exemple, no únicament mésgran quan l’àrea es fa més gran, sinó que ésexactament proporcional a ella, de manera quel’àrea té una cota que no es pot mai assolir, iaquesta cota és igual a l’àrea entre tres línies rectesasimptòtiques.
– p.50
![Page 55: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/55.jpg)
Mateixa carta
Limes areae trianguli plani=πCC
(log hyp(1 +√
2))2
– p.51
![Page 56: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/56.jpg)
Mateixa carta
Limes areae trianguli plani=πCC
(log hyp(1 +√
2))2
Π(1) =π
4
– p.51
![Page 57: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/57.jpg)
Carta a Schumaker1831
Fa algunes setmanes que he començat a escriurealguns resultats de les meves meditacions sobreaquest assumpte,que provenen de quaranta anysendarrere, i de les que res n’he redactat, cosa quem’ha obligat tres o quatre vegades a començar denou el meu treball.No voldria, però, que això morísamb mi.
– p.52
![Page 58: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/58.jpg)
Carta a Schumaker1831
Fa algunes setmanes que he començat a escriurealguns resultats de les meves meditacions sobreaquest assumpte,que provenen de quaranta anysendarrere, i de les que res n’he redactat, cosa quem’ha obligat tres o quatre vegades a començar denou el meu treball.No voldria, però, que això morísamb mi.
Aquesta redacció la va interrompre el1832, enconèixer el treball deJános Bolyai.
– p.52
![Page 59: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/59.jpg)
Carta a Gerling 1832
Et comento que he llegit aquests dies un petit treballd’un hongarès, sobre geometries no euclidianes, quecontétotes les meves idees i resultats,desenvolupatsmolt elegantment.
– p.53
![Page 60: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/60.jpg)
Carta a Gerling 1832
Et comento que he llegit aquests dies un petit treballd’un hongarès, sobre geometries no euclidianes, quecontétotes les meves idees i resultats,desenvolupatsmolt elegantment.
L’autor és un jove oficial austríac, fill d’un amic dela meva joventut, que vaig conèixer el1798, amb quihavia parlat del tema, però aleshores les mevesidees no havien arribat a la maduresa i formaciód’ara. Tinc aquest jove geòmetra com un dels genismés grans.
– p.53
![Page 61: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/61.jpg)
V. Bolyai
– p.54
![Page 62: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/62.jpg)
Farkas al seu fill. 1820
Per l’amor de Deu!Deixa les paral.lelestranquil.les, abjura d’elles com d’una xerradaindecent, et prendran (com a mi) el teu temps, lasalut, la tranquil.litat i la felicitat de la teva vida.
– p.55
![Page 63: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/63.jpg)
Jánosal seu pare.1823
He descobert coses tan superbes que jo mateix esticatònit, i significaria una vergonya eterna deixar-hoperdre per sempre; si vostè, apreciat pare, les veu,les reconeixerà; ara no puc dir més:
del no-res he creat un mónnou i diferent!
– p.56
![Page 64: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/64.jpg)
Farkas i János Bolyai
Marosvásárhely
TentamenJuventu-tem Studiosam inElementa Mathese-os Purae Introdu-cendi.1832
– p.57
![Page 65: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/65.jpg)
János Bolyai1802 − 1860
Marosvásárhely (Tirgu Mures, Transilvania, Rumania)
– p.58
![Page 66: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/66.jpg)
János Bolyai
– p.59
![Page 67: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/67.jpg)
VI. Gauss i el Disquisitiones1827
– p.60
![Page 68: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/68.jpg)
Curvatura. §6
Aplicació deGauss γ : S → S2
Aplicació de Gauss
– p.61
![Page 69: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/69.jpg)
Curvatura. §6
Aplicació deGauss γ : S → S2
−→
k(P ) = limS→P
Àrea deγ(S)
Àrea deS
– p.62
![Page 70: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/70.jpg)
Curvatura d’ Euler. §8
N
k = k1 · k2
– p.63
![Page 71: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/71.jpg)
Curvatura d’ Euler. §8
k = 1 · 0 = 0 – p.64
![Page 72: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/72.jpg)
TeoremaEgregi. §12
Formula itaque art. prae. sponte perducit adegregium
THEOREMA Si superficies curva in quamcunquealiam superficiem explicatur, mensura curvaturae insingulis punctis invariate manet.
– p.65
![Page 73: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/73.jpg)
No es poden fer bons mapes
Lambert
Gall-Peters– p.66
![Page 74: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/74.jpg)
Teorema del defecte.§20
K =
∫
T
k dA = (α + β + γ) − π
– p.67
![Page 75: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/75.jpg)
Teorema del defecte.§20
K =
∫
T
k dA = (α + β + γ) − π
Curvatura total = Àrea imatge esfèrica = Defecte
– p.67
![Page 76: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/76.jpg)
Teorema deGauss-Bonnet
K = 4π K = 0 K = −4π
– p.68
![Page 77: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/77.jpg)
L’esfera imaginària
– p.69
![Page 78: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/78.jpg)
F. Minding 1840
– p.70
![Page 79: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/79.jpg)
Tractriu
Corba amb subtangent1.
– p.71
![Page 80: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/80.jpg)
Tractriu
Corba amb subtangent1.
– p.72
![Page 81: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/81.jpg)
Pseudoesfera
Rectes Circumferències
– p.73
![Page 82: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/82.jpg)
Pseudoesfera
A = (Ri)2(α + β + γ − π)
– p.74
![Page 83: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/83.jpg)
Un nou món creat del no-res
Marosvásárhely– p.75
![Page 84: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/84.jpg)
Poincaré. La ciència i la hipòtesi. 1902
Cap experiència estarà mai en contradicció amb el postu-
lat d’Euclides; cap experiència estarà mai en contradic-
ció amb el postulat deLobatchevski.– p.76
![Page 85: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/85.jpg)
Disc dePoincaré
– p.77
![Page 86: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/86.jpg)
Disc dePoincaré
d((0, 0), (x, y)) = ln1 +
√
x2 + y2
1 −√
x2 + y2 – p.77
![Page 87: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/87.jpg)
Disc dePoincaré
– p.78
![Page 88: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/88.jpg)
Disc dePoincaré
– p.79
![Page 89: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/89.jpg)
VII. Riemann
– p.80
![Page 90: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/90.jpg)
Riemann
Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen.1854
– p.81
![Page 91: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/91.jpg)
Riemann. Primera pàgina
La relació entre el concepte d’espai i les sevespropietats bàsiques ha quedat sempre en la foscor.
Des d’Euclidesa Legendreaquesta foscor no haestat dissipada ni pels matemàtics ni pels filòsofs.
Les propietats que distingeixen l’Espai d’altres[varietats] concebibles només es poden deduir apartir de l’experiència.
– p.82
![Page 92: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/92.jpg)
Varietats deRiemann
Vivim en una varietat deRiemannde dimensió tres.
En quina? És finita o infinita?
Quantes n’hi ha?
Distinció entre geometria i topologia.
– p.83
![Page 93: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/93.jpg)
Varietats de dimensió dos
Classificació topològica
Pla i pla amb forats.
Esfera.
Tor i tor múltiple amb forats.
– p.84
![Page 94: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/94.jpg)
Varietats de dimensió dos
– p.85
![Page 95: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/95.jpg)
Varietat de dimensió dos finita
Topologia del tor, geometria del pla.– p.86
![Page 96: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/96.jpg)
Varietat de dimensió dos finita
– p.87
![Page 97: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/97.jpg)
Tessel.lacions
– p.88
![Page 98: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/98.jpg)
Tessel.lacions
– p.89
![Page 99: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/99.jpg)
Varietats de dimensió tres
Problema obert fins al 2006.
W. Thurston G. Perelman
– p.90
![Page 100: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/100.jpg)
A quin espai vivim?
– p.91
![Page 101: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/101.jpg)
A quin espai vivim?
120dodecaedrestessel.lenS3
– p.92
![Page 102: Altres geometries - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/GNEversioESTALMAT.pdf · endarrere, i de les que res n’he redactat, cosa que m’ha obligat tres o quatre vegades a començar](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060217/5f063f007e708231d4170750/html5/thumbnails/102.jpg)
A quin espai vivim?
– p.93