amanda econometria 002 (pdf)

1

ECONOMETRIA

Amanda Aires

Introdução

Aula 01

2

Edital Banco Central

• ECONOMETRIA: 1. Regressão Simples eRegressão Múltipla. 2. Modelos de VariáveisDefasadas. 3. Séries Temporais. 4. Vetor Auto-Regressivo. 5. Processos Estocásticos,estacionaridade. 6. Cointegração e correlaçãodos erros. 7. Métodos de estimação. 8.Números índices

• Finanças,

• Estatística,

• Contabilidade e

• Economia

3

Introdução

Aula 02

O que é econometria?

4

• Econometria significa literalmente “medidaeconômica”. Embora a medida seja uma parteimportante da econometria, sua finalidade émais abrangente.– Teoria Econômica

– Economia Matemática

– Estatística Econômica

– Estatística Matemática

Metodologia da Econometria

• 1. Formulação da teoria ou da hipótese• 2. Especificação do modelo matemático da teoria• 3. Especificação do modelo econométrico da teoria• 4. Obtenção de dados• 5. Estimativa dos parâmetros do modelo econométrico• 6. Teste de hipótese• 7. Previsão ou predição• 8. Utilização do modelo para fins de controle ou

política

5

Os Modelos Econométricos

Os modelos econométricos podem assumirestruturas bastante sofisticadas, reunindomuitas variáveis em diversas equações, ou atémesmo contendo simultaneamente váriosconjuntos de equações.

Ricardo Wyllie

Modelos Econométricos

• Forma funcional:

Y = f(X) + ε

• É preciso realmente uma variável estocástica?– A economia é uma ciência social

6


• Y = Variável dependente ou explicada(também chamada de induzida)

• X = Variável independente ou explicativa

• Para que seja possível determinarcorretamente os parâmetros da função f:– Termo aleatório com restrições


• 1ª Hipótese sobre a forma funcional do modelo:

– Como obter as estimativas dos parâmetros da função?

• Através da abordagem geométrica...

εβα ++= XY

7

Método dos Mínimos Quadrados Ordinários

Aula 03

Y

** * * *

* * ** * *

X

Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)

8


• ei(α, β) = Yi – (α + β.Xi). para todo i = 1, 2, 3, ...., N– O objetivo é encontrar valores para os parâmetros

que reduzam a distância entre o valor observado e a reta:

∑=

+−=N

ii xyS

11)]([),( βαβα

∑=

+−=N

ii xyS

1

21)]([),( βαβα


xyexx

xxyy

i

i .ˆˆ)(

)).((ˆ2 βαβ −=

−

−−=

∑∑

9

Interpretação das equações normais

• A esperança do erro deve ser 0• A covariância entre ei e xi é nulaà

• Correlação nula

– Isto significa que o MQO extrai, através dosestimadores de α e β, toda a componente linearde Y que depende de X, nada “sobrando” no erro.(RW)

∑ ∑= =

==N

i

N

iiii xeee

1 10.0

Pressupostos do MRLS


ε ~ Normal para todos os níveis de X.E[ε/X] = 0

– A reta de regressão passa pelos pontos médios de Y para cadavalor fixado de X.

E[ε2/X] = σ2 = constante– homocedasticidade

E[εi . εj] = 0 , onde i e j denotam erros para observaçõesdistintas de X.– os erros, para diferentes valores de X, são independentes.

X é uma variável não estocástica.

10

Método dos Mínimos Quadrados Ordinários - Exercícios

Aula 04

Questão de Concurso

• (Analista do Banco Central, Área 3, 2006, FCC) Umaempresa, com a finalidade de determinar a relaçãoentre os gastos anuais com propaganda (X), em R$1.000,00, e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1 000,00,optou por utilizar o modelo linear simplesem que Yi é o valor do lucro bruto auferido no ano i, Xié o valor gasto com propaganda no ano i e ᵋ o erroaleatório com as respectivas hipóteses consideradaspara a regressão linear simples ( são parâmetrosdesconhecidos). Considerou, para o estudo, asseguintes informações referentes às observações nosúltimos 10 anos da empresa:

εβα ++= XY

11

Utilizando a equação da reta obtida pelo método dosmínimos quadrados, tem-se que, caso haja um gastoanual com propaganda de 80 mil reais, a previsão dolucro bruto anual, em mil reais, será de

A) 84B) 102,5C) 121D)128,4E) 158

12

Métodos de Estimação

Aula 05

Método do Melhor Estimador Linear Não Tendencioso (BLUE)

• Considerando a equação Y = α + βX + ε. • Para que o estimador seja não tendencioso

deve-se ter:

NN YaYaYa +++= ....ˆ2211β

ββαβ =+=⇒ ∑∑ KKK XaaE )ˆ(

10 == ∑∑ KKK Xaea

13

∑=

−

−= N

KK

KK

xx

xxa

1

2)(

)(

MQON

KK

KiiiBlUE

xx

xxYYa ββ ˆ)(

)(..ˆ

1

2=

−

−==

∑∑∑

=

Método da Máxima Verossimilhança (MV)

• A primeira hipótese do modelo de regressãosimples faz referência a distribuição dostermos de erro do modelo. Combinando estacom as demais hipóteses podemos concluirque os erros são variáveis aleatóriasindependentes.

14

• Isto também nos permite escrever a função de densidade conjunta dos erros

2/)exp(.)2(

1),......,( 2

2

2/2321 σε

πσεεεε ∑−= NNf

MQON

KK

KiiiMV

xx

xxYYa ββ ˆ)(

)(..ˆ

1

2=

−

−==

∑∑∑

=

• Conclusão; Por serem idênticos aosestimadores BLUE e de MV, os estimadores deMQO gozam de todas as propriedadesdesejáveis para pequenas e grandes amostras(não tendenciosidade, eficiência dentre oslineares, suficiência, consistência, eficiênciaassintótica e não tendenciosidade assintótica).

15

Distribuição do estimador de α

• Tomando como dada a distribuição de β^ adeterminação da distribuição de α^ torna-sebem mais simples. Em primeiro lugar, observa-se que o estimador de MQO de α tambémpode ser escrito como combinação linear dosYi’s.

• Onde∑ ∑ ∑ ∑

−

=−=−=−=N

KKKKKKK

K gYwXN

YYwXNYXY

1

])1[()(.ˆˆ βα

KK wXN

g −=1

16

• se os Yi’s forem normais independentespodemos concluir que α^ também énormalmente distribuído.

• A distribuição:

∑∑∑===

===N

KK

N

KKK

N

KKK gYVarggYVarVar

1

22

1

2

1

)()()ˆ( σα

])(

1[)ˆ( 2

22

∑ −+=

XXX

NVar

K

σα

]))(

1[,(~ˆ2

22

∑ −+

XXX

NN

K

σαα

17

∑ −−= 22 )(/[)ˆ,ˆ( xxXCov iσβα

Métodos de Estimação

Aula 06

18

Da aula anterior...

∑ −−= 22 )(/[)ˆ,ˆ( xxXCov iσβα

Interpretação gráfica da covariância

XMD1 XMD2 X

Y

19

• Se o coeficiente angular aumenta, passando denegativo para positivo, o valor do intercepto(corte no eixo vertical) se reduz. Ou seja, asestimativas de α e β caminham em sentidocontrário.

• Quanto maior a média da variável independente,por exemplo, XMD1 < XMD2, maior – em valorabsoluto - é a correlação entre os estimadores deα e β. Em particular, se XMÉDIO = 0 a correlação énula.

– RW

Observações importantes:

• A reta de regressão estimada sempre passapelo ponto (XMÉDIO , YMÉDIO). Substituindo esteponto na reta estimada chega-se a:

XYXYYXemCalculadoXY MÉDIOMÉDIOKK .ˆˆ.ˆˆ),(.ˆˆˆ βαβαβα −=⇒+=⇒⇒+=

20

Observações importantes:

• Ambas as variâncias - estimadores de α e β -dependem da variância amostral da variávelindependente. Quanto maior for a variânciada explicativa, menores serão as variânciasdos estimadores.

• As variâncias dos estimadores são funçõescrescentes da variância dos erros.– Em palavras, se a parcela de Y que não pode ser

explicada pela relação linear com X variar muito asestimativas tendem a ser menos precisas.

• Erros aleatórios x erros estimados

• O teste Jarque-Bera pode ser empregado no casode grandes amostras na tentativa de obterevidência estatística sobre a normalidade doserros. A estatística do teste combina medidas deassimetria e curtose da distribuição

).ˆˆ(ˆ).( KKKKKK XYeeXY βαβαε +−=+−=

−+=

24)3(

6.

22 CCCAnJB

21

Inferência sobre o Modelo de Regressão Linear Simples

Aula 07

• Conhecidas as distribuições dos estimadores:– Intervalos de Confiança

– Testes de Hipóteses

22

Análise dos Resultados

Parâmetros Estimativas Desvio-Padrão t-Student p-Valor

α α* DP(α*) tα = α*/DP(α*) P(|t|> tα )

β β* DP(β*) tβ = β*/DP(β*) P(|t|> tβ )

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção 788.298967 37.72147444 20.8978832 7.81864E-07

Variável X 1 -0.580847174 0.216517605 -2.682678732 0.036405967

T-student

• A expressão colocada na terceira linha equarta coluna da tabela última só terá de fatodistribuição t-Student se β = 0.

StudenttNY

XYeNX N −⇒ ~~)1,0(~ 2χ

[ ]Studentt

xxxx

N

ii

−

−

−⇒

−∑

∑~

)(ˆ

*))(

,(~*2/12

2

2

σββσ

ββ

23


(FGV, Secretaria de Estado de Receita e Controledo Mato Grosso do Sul, Fiscal de Rendas, 2006)Em um teste de hipóteses, a hipótese nula foirejeitada no nível de 3%. Portanto a hipótesenula:

A) será aceita no nível de 1%B) será aceita no nível de 5%C) pode ser aceita ou rejeitada no nível de 5%D) será rejeitada no nível de 1%E) será rejeidada no nível de 5%


• (FGV, Secretaria de Estado de Receita e Controle doMato Grosso do Sul, Fiscal de Rendas, 2006) Um testede hipótese apresentou p-valor igual a 0,03. Portanto,nos níveis de significância 1% e 5%, respectivamente, ahipótese nula:

• A) deve ser aceita e aceita• B) deve ser rejeitada e aceita• C) deve ser rejeitada e aceita• D) deve ser rejeitada e rejeitada• E) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a

hipótese ser simples ou não.

24

Inferência sobre o Modelo de Regressão Linear Simples

Aula 08

Análise da Variância

• Análise do Modelo como um todo – grau de ajustamento.

• Modelo de Regressão: Y é explicada por X, pelo menos em partes.– Pergunta: A proposição do Modelo está

adequada?

25

Decomposição do Modelo Amostral

• Caso Y não seja afetado por variações de X...

YMÉDIO

Y

X

*XY .ˆˆˆ βα +=

Em termos analíticos

• SQT = SQE + SQR

)ˆ()ˆ( KKKK YYYYYY −+−=−2

1

2

1

2

1

)ˆ()ˆ()( KK

N

KK

N

KK

N

K

YYYYYY −+−=− ∑∑∑===

26

O coeficiente de Determinação R2

• R2 = SQE/SQT

• 0 ≤ R2 ≤ 1.

– Fórmulas alternativas:

),()()(

. 222

222 YXRou

YYXX

Ri

i ρβ =∑ −

∑ −=

Teste de Aderência do Modelo

Fonte Soma de

Quadrados

Graus de

Liberdade

Quadrados

médios

F-Snedecor p-valor

Equação SQE K - 1 SQE/(K-1) FOBSERVADO =

[SQE/(N-1)]/[SQR/(N-K)] FTABELADOResíduos SQR N - K SQR/(N-K)

Total SQT N - 1 SQT/(N-1)

SnedecorFKN

SQRK

SQE−

−

− ~)(

)1(

27

Hipóteses de Teste

• Ho: X não é capaz de explicar Y

• Ha: X explica parte significativa de Y

Violações dos pressupostos básicos do MRLS

Aula 09

28

As hipóteses fortes do modelo

• Médias nulas

• Covariâncias nulas

• Variâncias constantes



ε ~ Normal para todos os níveis de X.E[ε/X] = 0

– A reta de regressão passa pelos pontos médios de Y para cadavalor fixado de X.

E[ε2/X] = σ2 = constante– homocedasticidade

E[εi . εj] = 0 , onde i e j denotam erros para observaçõesdistintas de X.– os erros, para diferentes valores de X, são independentes.

X é uma variável não estocástica.

29

Sequência para estudo das violações

• Diagnóstico– Homocedasticidade

• Consequências– Se os pressupostos do modelo não forem atendidos,

as propriedades desejadas dos estimadores de MQO não são verificadas.

• BLUE e MV dependem dos pressupostos

• Correções– Reconstrução dos pressupostos originais do modelo.

• Introdução de novas variáveis. Alteração das variáveis existentes.

Problemas iniciais

• Hipótese de normalidade dos erros

• Hipótese de média nula dos erros

• Hipótese de variável explicativa não estocástica.

• Posteriormente...– Heterocedasticidade

– Auto correlação dos erros

30

Violação da Normalidade dos Erros

• Os estimadores poderão ser escritos como umacombinação linear das observações da variáveldependente:

• Normalidade dos errosà normalidade dos Yisànormalidade dos

• Além disso, é possível garantir a idependênciados Yi’s.

• NormalidadeàMQP = MV

NN YaYaYa ........ˆ2211 +++=β

βˆ

Consequências

• A distribuição dos estimadores não poderá ser garantida como normal.

• Os estimadores de MQO podem não ser assintoticamente eficiencientes.

31

Correção

• Para o formato da distribuição:– Tamanho da amostra

• Teorema do Limite Central

• Para a eficiência:– Natureza preventiva

• Ao realizar testes de hipóteses, com as fórmulas deMQO, deve-se ter em mente que as variâncias podemser na realidade maiores do que as efetivamentecalculadas. Ao rejeitar determinada Ho pede-seincorrer em erro, como conseqüência da subestimaçãoda amplitude da área de aceitação.

A C D E

Violações dos pressupostos básicos do MRLS

Aula 10

32

Violação da Média Nula dos Erros

• A hipótese da média nula dos erros diz que areta de regressão passa pelos pontos médiosde Y para cada valor dado de X.

Violação da Hipótese

– Uma constante para todos os níveis da variávelindependente, E(ε) = K > 0.

– Uma função da observação amostral, E(ε) = f(i) ≠0.

33

E(ε) = K > 0

• Para o caso do coeficiente angular

• Colocando-se a esperança do erro emevidência, tem-se que o estimador não serátendencioso.

• Para o caso do coeficiente linear, em todos oscasos, o estimador será tendencioso

∑∑

∑∑

∑∑

−−

+=−

−++=

−−

= 222 )()(

)()).((

)()(ˆ

XXXX

XXXXX

XXXXY

K

KK

K

KKK

K

KK εβ

εβαβ

E(ε) = f(i) ≠ 0

• Se a função for linear, o valor da tendênciaserá de K unidades.

• Se f(i) = f(Zi), haverá o que se chama de errode especificação que será avaliadoposteriormente.

34

Violação da variável independente estocástica

• Se X for estocástica, os estimadores de MQOserão não tendenciosos.

• Se a variável dependente estivercorrelacionada com o erro, os estimadores deMQO serão tendenciosos e inconsistentes.

Correção

• Variáveis instrumentais– Dificuldades:

• A aplicação do método depende de duas condições:– Não ser correlacionado com o termo de erro;– Ser correlacionado com a variável independente do modelo.

35

Modelos de Regressão Linear Múltipla

Aula 11


• (Analista do Banco Central, Área 3, 2006, FCC) Umaempresa, com a finalidade de determinar a relação entre osgastos anuais em pesquisa e desenvolvimento (X), emmilhares de reais, e o acréscimo anual nas vendas (Y),também em milhares de reais, optou por utilizar o modelolinear simples , em que Yi é o acréscimo nasvendas no ano i, Xi é o valor gasto em pesquisa edesenvolvimento no ano i e ei o erro aleatório com asrespectivas hipóteses consideradas para a regressão linearsimples (alfa e beta são parâmetros desconhecidos).Considerou para o estudo as seguintes informaçõesreferentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

•

εβα ++= XY

36

Montando o quadro de análise de variância, tem-se que

a) a variação residual apresenta um valor igual a 100.b) o valor da estatística F necessária para o teste de

existência da regressão é igual a 9.c) o valor do correspondente coeficiente de

determinação (R2) é igual a 90%.d) a variação total apresenta um valor igual a 550.e) a variação explicada, fonte de variação devido à

regressão apresenta um valor igual a 500.

37

Matrizes e Determinantes

Aula 11

Definições

• Matriz– É uma ordenação retangular de números ou

elementos dispostos em linhas e colunas. Maisprecisamente, uma matriz de ordem M x N é umconjunto de M x N elementos dispostos em Mlinhas e N colunas.

• Vetor Coluna, Vetor linha, Transposição, Submatriz

• Tipos de matrizes:– Quadrada, Diagonal, escalar, identidade ou unidade,

simétrica, nula,

38

Matrizes

• Operações com matrizes:– Adição

– Subtração

– Multiplicação por escalar

– Multiplicação de matrizes

Determinantes

• A toda matriz quadrada corresponde umnúmero escalar conhecido comodeterminante da matriz.– Cálculo do determinante

• Posto da matriz: é a ordem da maior submatrizquadrada cujo determinante não seja zero.

39


Aula 12

Modelo de Regressão Linear Múltipla

• Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 + .... + βj Xij + ... + βk XiK + εI

• Em notação matricial:

• y’ = [y1 y2 y3 , .... , yN-1 yN ] = vetor de observações davariável dependente

• Β’ = [β1 β2 β3 , ... , βK-1 , βk] = vetor de parâmetros aestimar

• ε’ = [ε1 ε2 ε3 , .... , εN-1 εN] = vetor de erros aleatórios• X = [x1 x2 x3 , .... , xK-1 xK] = matriz de observações das

variáveis independentes.

ε+= BXy .

40

NKNKKNNN

KK

KK

N xxxx

xxxxxxxx

y

yy

ε

εε

β

ββ

.........

.........................................

..................

....2

1

2

1

121

2122221

1111211

2

1

+=

−

−

−

Os pressupostos do MRLM

• Linearidade• Os εi’s têm distribuição normal• E(εi ) = 0 , para todo i = 1, 2, 3, ..., N.• E[εε’] = σ 2 I , sendo I é a matriz identidade de ordem

N.– Matriz de variância-covariância das perturbações

• As variáveis Xi’s são do tipo não aleatório.• Não há nenhuma relação linear exata entre as variáveis

X, ou seja, nenhuma multicolinearidade.– O posto de X é P(x)=K, em que k é menor que o número de

observações, n.

41

Pressupostos adicionais

• O número de observações da amostra deveser superior ao número de parâmetros aestimar no modelo. Empregando-se as letrasde praxe temos, N > K + 1.


Aula 13

42

Cálculo do coeficiente B

O significado dos coeficientes de Regressão Parcial

• Cada coeficiente mede a mudança no valormédio de Y mantendo as demais variáveis emvalores constantes.

43

A matriz de variância-covariância de B

Propriedade do vetor de MQO de B

• Os estimadores de MQO são os melhoresestimadores lineares não viesados.

44

Teste de hipótese sobre os coeficientes de Regressão Individual

na Notação Matricial

Testando a significância global da Regressão: Análise de Variância na

Notação Matricial

45

Modelos de Regressão Linear Múltipla - Exercícios

Aula 14

• Seja um modelo linear y = Xb + e , onde y é um vetor

• (n x 1); X é uma matriz (n x k) de posto k < n; b é um vetor coluna composto de k parâmetros desconhecidos e e é um vetor (n x 1) de perturbações aleatórias. Considere as seguintes hipóteses sobre as perturbações aleatórias :

• i. E( X) = 0• ii. V( X) = sigma2I

46

• onde E é o operador de expectância(esperança matemática), V( eX) = sigma2I é amatriz de variância-covariância dasperturbações aleatórias, condicionada a X.Utilizando-se o método de mínimosquadrados simples (OLS) estimam-se osparâmetros por b = (X’X)−1X’y.

• Nessas condições, analise as proposições a seguir.• I - Se as hipóteses i e ii são válidas, conclui-se que

os estimadores b são não tendenciosos eeficientes.

• II - A identificação de como o estimador demínimos quadrados de sigma2, onde e é o vetorde resíduos de mínimos quadrados, não éestritamente correto, uma vez que esse métodosó permite estimar beta.

47

• III - Se o posto da matriz X for menor do que k,a hipótese ii não se sustentará e haveráproblemas de heterocedasticidade.

• IV – Se , onde , o método demínimos quadrados generalizados (GLS)fornecerá estimadores para beta commelhores propriedades do que os estimadoresde mínimos quadrados simples.

• São corretas as proposições

• (A) I e II, apenas.

• (B) III e IV, apenas.

• (C) I, II e IV, apenas.

• (D) I, III e IV, apenas.

• (E) I, II, III e IV.

48

18 No modelo de análise de regressão y = Xb +e , as variáveisX são chamadas independentes; as colunas de X são ditaslinearmente independentes e os elementos de e, porhipótese, são distribuídos independentemente. Comrelação aos significados de independência usados acima,pode-se afirmar que

I - os e’s são independentemente distribuídos para que sepossam estimar os parâmetros b pelo método de mínimosquadrados;

II - as variáveis X são ditas independentes porque nãodependem de y;

III - as colunas de X são linearmente independentes para queessas variáveis não sejam correlacionadas.

É correto o que se afirma em

(A) I, apenas.

(B) I e II, apenas.

(C) I e III, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) I, II e III.

49

Autocorrelação dos erros

Aula 15

• E(εK εJ ) ≠ 0, para algum i ≠ j

50

A prática a presença de auto correlação dos errospode ter como origem fatores de comportamentocíclico ou de tendência não captados pelomodelo, através da forma funcional ou dasvariáveis incluídas. Então, a ineficiência domodelo pode estar relacionada a:

– Omissão de variável relevante– Má especificação da forma funcional– Manipulação prévia dos dados

Erros auto regressivos de primeira ordem

• ρ (εX+2 , εX ) > ρ (εX+10 , εX )

SSKKE ρσεε 2),( =+

KKK γερε += −1.

51

∑∑

−

−=

*)*(**)*(ˆ

xxxyy

K

KKMQOβ

Conseqüências sobre os estimadores de MQO

• quando os erros estão correlacionados, osestimadores de MQO permanecem nãotendenciosos e consistentes, mas perdem suaeficiência relativa.

• Adicionalmente, a eficiência assintóticatambém é perdida, pois os estimadores de MVdiferem dos estimadores de MQO.

52

Evidências da auto correlação serial

• Se a correlação entre os erros for discreta asestimativas de BLUE e de MV serão poucoafetadas, tornando aceitável a aplicação deMQO.

Autocorrelação dos erros

53

Teste de Durbin-Watson

• Estatística do Teste:

∑

∑ −−= N

t

N

tt

e

eed

1

2

2

21 )(


As hipóteses formuladas no teste de Durbin-Watson são as seguintes:

Ho : ρ = 0 contra Ha : ρ ≠ 0

ttt ee δρ += −1.

54

Metodologia do Cálculo

• 1. Rodar a regressão por MQO e obter os resíduos

• Calcular d

• Para o dado tamanho da amostra e dado número de variáveis explicativas, descobrir os valores críticos de dl e ds.

• Seguir então as regras de decisão

• Para que Ho seja rejeitada devemos ter d nãomuito próximo de dois, pois isto significaria ρpróximo de zero, já que d = 2(1-ρ). Se ρ estiverpróximo de ± 1 teremos d ≈ 0 ou d ≈ 4. Adistribuição da estatística d tem apeculiaridade de produzir regiões deindeterminação no teste de hipóteses de talforma que:

55

0 dL dU 2 (4-dU) (4-dL) 4

• Se 0 < d(calculado) < dL rejeita-se Ho havendoindício de correlação positiva.

• Se dL < d(calculado) < dU ou 4-dU <d(calculado) < 4-dL indeterminação.

• Se dU < d(calculado) < 4-dU não se poderejeitar Ho.

• Se 4-dL < d(calculado) < 4 rejeita-se Hohavendo indício de correlação negativa.

56

Multicolinearidade

• O termo multicolinearidade foi cunhado porRagnar Frish. Significava, originalmente aexistência de uma “perfeita” (ou exata)relação linear entre algumas variáveisexplicativas de um modelo de regressão.

57

• Se a multicolinearidade é perfeita, oscoeficientes de regressão das variáveis X sãoindeterminados e seus erros-padrão sãoinfinitos. Se a multicolinearidade é menosperfeita, os coeficientes da regressão, emboradeterminados, possuem erros padrão grandes(em relação aos próprios coeficientes), o quesignifica que os coeficientes não podem serestimados com grande precisão ou exatidão.

Fontes da multicolinearidade

• Método empregado para a coleta dos dados;

• Restrições sobre o modelo ou a população que está sendo amostrada;

• Especificação do modelo;

• Modelo sobredeterminado

58

Consequências práticas da multicolinearidade

• Apesar de serem MELNV, os estimadores de MQO tÊmgrandes variâncias e covariâncias, dificultando umaestimativa precisa;

• Em virtude da consequência 1, os intervalos de confiançatendem a ser maiores, resultando na aceitação da hipóteseHo mais prontamente;– Isto é, o verdadeiro coeficiente na população é zero

• Também por causa da consequência 1, a razão t de um oumais coeficientes tende a ser estatisticamenteinsignificante;

• Embora a razão t de um ou mais coeficientes sejaestatisticamente insignificante, R2, a medida global do graude ajuste, pode ser bastante alto;

• Os estimadores de MQO e seus erros-padrão podem sersensíveis a pequenas variações nos dados.

Detecção da Multicolinearidade

• Alto R2, porém com poucas razões tsignificativas;

• Altas correlações dois a dois entre osregressores;

• Exame das correlações parciais;

• Regressões Auxiliares (X = f(xi));

59

Medidas Corretivas

• Informação a priori

• Combinação de dados de corte e sériestemporais

• Eliminação de uma variável (ou variáveis) eviés de especificação– Erro de especificação

• Transformação das variáveis

Erros de Especificação

60

• Omissão ou Inclusão de variávelindependente.

• Mudanças qualitativas nas independentes.

• Especificação incorreta da forma matemática(variáveis e erros).

Omissão ou Inclusão

• Adoção de Y = α + βX + ε• no lugar de: y = α + βX + δZ + µ

– ε = δZ + µ– E(ε) = E(δZ + µ) = E(δZ) + E(µ) = δE(Z) ≠ 0

61

Efeitos

• Tendenciosidade

• Consistência– Intervalos de confiança para os estimadores de

MQO o resultado é menos preciso do que seria possível sem a omissão.

Indícios de Omissão

• Comportamento dos erros em média ou com respeito a variáveis explicativas

• R2 muito baixo

62

Exemplo...

Inclusão de Variável Irrelevante

• Adoção de Y = α + βX + δZ + µ• Quando... Y = α + βX + ε

63


Mudanças Qualitativas

• Alterações de padrão ou mudanças na qualidade

• Exemplo:– Y = α + βX + δZ + µ

64


Especificação Incorreta da Forma Funcional

• Modelos Intrinsecamente Lineares– Modelo log-log - lnY = α + β.lnX + ε– Modelo lin-log - Y = α + β.lnX + ε– Modelo log-lin - lny = α + β.X + ε– Modelo Recíproco - Y = = α + β.(1/X) + ε

• Modelos Intrinsecamente Não Lineares– Y = αXβ.Zδ. ε vs Y = αXβ.Zδ + ε

• Estimação por MV

65

Modelos com Variáveis Qualitativas

• A adição da variável Dummy– Gênero

– Guerra x paz

– Partidos políticos

Heteroscedasticidade

66

• Heteroscedasticidade nunca foi um motivo para rejeitar um modelo que de outro modo seria bom. Mankiw– Mas tampouco ela deve ser ignorada! Gujarati

• Qual a natureza da heterocedasticidade?

• Quais suas consequências?

• Como a detectamos?

• Quais as suas medidas corretivas?

67

Razões da heteroscedasticidade

• Modelos de aprendizagem do erro

• Renda discricionária

• Técnica de coleta de dados

• Erros de especificação

• Outliers

68

Estimativa por MQO na presença de heteroscedasticidade

• Os estimadores calculados através do método de MQO não são os melhores e a variância não é mínima, embora sejam não viesados

Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)

• Esse método leva em consideração ainformação a respeito da variabilidadedesigual da variável dependente e, portanto, écapaz de produzir estimadores que sejamMELNV.

69

Consequências do uso de MQO na presença de heteroscedasticidade

• Estimativa levando em consideração a heteroscedasticidade– Não se pode estabelecer IC e TH com os testes t e F

usuais.

• Estimativa de MQO desconsiderando a heteroscedasticidade– Estimador da variância será viesado

• “Em suma, se insistirmos em utilizar os procedimentos de testes usuais, apesar da heteroscedasticidade, sejam quais forem as conclusões a que chegarmos ou as inferências que fizermos, elas podem ser bastante enganosas.”

Heteroscedasticidade

70

Detecção da Heteroscedasticidade

• Natureza do Problema

• Métodos gráficos

• Métodos formais– Teste de Park

– Teste de Goldfeld-Quandt

Teste de Goldfeld-Quandt

• É aplicável se admitirmos que a variânciaheteroscedástica se relaciona positivamentecom uma das variáveis explicativas no modelode regressão.

71


• 1. Passo: Ordenar as observações de acordo com os valores de Xi, começando pelo valor mais baixo;

• 2. Passo: Omitir as observações centrais c, em que c é especificado a princípio, e dividir as (n-c) observações restantes em dois grupos, cada um com (n-c)/2 observações;

• 3. Ajustar as distintas regressões por MQO às primeiras e últimas observações. Deve-se obter as respectivas SQR

• Calcular a razão:

Medidas corretivas

• Quando sigmai2 for conhecido: método dos mínimos quadrados ponderados

72

Modelos de variáveis defasadas

O papel do tempo na economia

73

Razões da defasagem

• Razões Psicológicas

• Razões Tecnológicas

• Razões Institucionais

Modelos de variáveis defasadas

74

Estimativas de Modelos Auto-regressivos

• Ad-hoc

• Kyock

• Expectativa Adaptativa

• Ajustamento parcial

• O método dos mínimos quadrados clássicospodem não ser diretamente aplicáveis a eles.Devido a presença de variáveis explicativasestocásticas e a possibilidade de correlaçãoserial.

75

Séries Temporais

Séries Temporais x Cross Sections

Renda

Tempo

Variável Cross-SectionTime

Serie

76

• Uma série temporal é uma sucessão de dadosaleatórios observados em períodos de tempohomogêneos. A análise das séries temporaispermite que se realize previsão de valoresfuturos (ex-ante) e passados (ex-post), atravésde métodos que vão desde a extrapolaçãosimples até o uso de modelos econométricosque consideram as características estocásticasda série.

Modelos de Tendência Determinística

80

Critério de escolha do modelo

• Um critério utilizado para escolher o melhormodelo de previsão é o erro quadrático médioda Previsão (EQM), dado pelo seguintecálculo:

Séries Temporais

81

Processo estocástico estacionário

• Dados de uma série temporal podem serpensados como sendo gerados por umprocesso estocástico ou aleatório.– Grosso modo, diz-se que um processo estocástico

é estacionário se suas média e variância foremconstantes ao longo do tempo e o valor dacovariância entre dois períodos de tempodepender apenas da distância ou defasagem entreos dois períodos, e não do período de tempoefetivo em que a covariância é calculada.

Teste de estacionaridade com base no correlograma

• Função autocorrelação (FAC)

82

• Quando o coeficiente de autocorrelação temvalor considerável mesmo com alto grau dedefasagem, tem-se que esse tipo de padrão égeralmente um indicador de que a sérietemporal é não estacionária. Em contraste, seum processo estocástico for puramentealeatório, sua autocorrelação a qualquerdefasagem maior que zero é zero.

O teste da raiz unitária para detectar estacionariedade

• Yt = Yt-1 + ut

83

Processos Estocásticos de Tendência Estacionária

• Uma série temporal de TE possui umatendência determinística.

• O teste DF pode ser aplicado para verificar seuma série temporal é de TE.

Séries Temporais

84

Regressão Espúria

• Variáveis I(1)

• Uma pista, nem sempre eficaz, mas bastanteutilizada para a detecção de regressõesespúrias é a que faz a comparação entre osvalores das estatísticas R2 e DW. Se forobservado R2 > DW, desconfia-se de umarelação espúria.

Cointegração

• A cointegração significa que, mesmo sendoindividualmente não-estacionárias, umacombinação linear entre duas ou mais sériestemporais pode ser estacionária.

• Y é I(1) e W é I(1), mas α.Y + β.W é I(0)

85

Séries Temporais

Abordagem da previsão econômica

• 1. Como modelamos uma série temporalestacionária?

• 2. Como usamos o modelo ajustado para finsde previsão?

86

Abordagens da previsão econômica

• 1. Modelos de regressão de equação única;– Função demanda por automóveis

• 2. Modelos de regressão de equação simultâneas;– Perde força

• 3. Modelos auto-regressivos integrados de médiamóvel (ARIMA);– Modelos ateóricos– Nos modelos de série temporal do tipo BJ, Yt pode ser

explicado por valores passados (ou defasados) do próprio Ye dos termos de erro estocásticos.

• 4. Modelos de auto-regressão vetorial (VAR)– Inexistem variáveis exógenas no modelo

Séries Temporais

87

Modelagem AR, MA e ARIMA

• Um processo auto-regressivo (AR)


• Um processo de Média Móvel (MA)– Combinação linear dos termos de erro ruído

branco.

88


• Um processo auto-regressivo e de média móvel (ARMA)


• Um processo auto-regressivo integrado e de média móvel (ARIMA)

89

Séries Temporais

A metodologia de Box-Jenkins

• Etapa 1: Identificação – Descobrir os valoresapropriados de p, d e q.– Ajuda do correlograma

• Etapa 2: Estimativa – Estimação dosparâmetros dos termos auto-regressivos e demédia móvel incluídos no modelo.– Esse cálculo pode ser realizado com mínimos

quadrados simples.

90

• Etapa 3: Checagem de diagnóstico – Depois deescolher um modelo ARIMA em particular, eestimar os seus parâmetros, verifica-se se omodelo escolhido se ajusta aos dados.– Teste do modelo: Verificar se os resíduos

estimados desse modelo são ruídos brancos.

• Etapa 4: Previsão

Séries Temporais

91

Identificação

• Função de Autocorrelação (FAC)

• Função de Autocorrelação parcial (FACP)– Mede a correlação entre observações que sejam k

períodos afastados, depois de controlar quanto às correlações nas defasagens intermediárias.

• Correlogramas– Representações gráficas das FACs e FACPs

• Estimativa do Modelo ARIMA

• Checagem do diagnóstico

• Previsão

92

Séries Temporais

O vetor autorregressivo

• O VAR consiste em um sistema de equações,em que cada uma das variáveis que compõemo sistema é função dos valores das demaisvariáveis no presente, dos seus valores e dosvalores das demais variáveis defasadas notempo, mais o termo de erro.

93

• A partir de algumas operações matemáticas, omodelo VAR pode ser transformado de modoque, nas equações, os valores do presentedeixam de constar como variáveis explicativas.Esta é a forma conhecida como VAR reduzidoSegundo Enders (2004), essa transformação énecessária, pois não é possível estimar o modeloem sua forma primitiva. A razão é que os valorespresentes das variáveis do sistema sãocorrelacionados com os termos de erro dasequações. Assim, para encontrar o VAR primitivo,é preciso estimar a forma reduzida.

VAR reduzido de primeira ordem

• Como sistema de equações:

ttt

t

t

t

t

tt Aym

yy

aa

aa

mm

yy

y εε

ε++=

+

+

=

= −

−

−1

2

1

1,2

1,1

22

12

21

11

2

1

2

1

tttt yayamy 11,2121,11111 ε+++= −−

tttt yayamy 21,2221,12122 ε+++= −−

94

Séries Temporais

• O teste de Causalidade desenvolvido porGranger é um teste F, no qual a hipótese nulaafirma que não há relação de causalidadeentre as variáveis testadas. Se for possívelafirmar estatisticamente que uma variável XGranger causa uma variável Y, então valoresdefasados da variável X influenciam ocomportamento da variável Y

95

• Somente após comprovação da existênciadessa relação entre as variáveis, procede-se aestimação do modelo. Em seguida énecessário determinar o número dedefasagens do VAR.

• A determinação do número de defasagens érealizada por meio de um teste assintótico, queconsiste na comparação de modelos com ordensdiferentes. A hipótese nula desse teste afirmaque os modelos não possuem diferença,aceitando essa hipótese então o modeloescolhido é aquele que possui menor número dedefasagens. Caso contrário, rejeitando, deve-seoptar pelo modelo com maior número dedefasagens.

96

• Outro teste importante para a identificaçãodos modelos é conhecido como Exogeneidadede Bloco. Segundo Enders (2004), esse teste éuma generalização do teste à causalidade deGranger, sendo útil para decidir se umavariável adicional deve ser incorporada aomodelo.

• Conhecidas as variáveis e a ordem do modelo,os parâmetros são estimados. Calculados osparâmetros do modelo, são estimadas afunção Impulso-Resposta e a Decomposiçãoda Variância

97

• Utilizando a função de impulso-resposta, épossível perceber como uma variação ocorridaem uma das variáveis do sistema repercutenas demais em um determinado horizonte detempo.

• Já a decomposição da variância, revela aproporção da variância do erro de previsãopara uma das variáveis que se deve a elamesma, e às demais

No caso da presença de cointegração:

• O modelo VAR não é o método mais indicadopara a análise das séries, pois seus resultadosseriam estatisticamente inconsistentes.Nesses casos, deve-se usar o método dosVetores com Correção de Erro (VEC)

98

VEC

• Um modelo VEC é semelhante a um VAR,porém em todas as equações do primeiro estácontido um vetor de correção de erro, que,como sugere o nome, tem como objetivocorrigir as relações de cointegração

11

k

t i t i t ti

x x a xβ β ε− −=

′∆ = ∆ + +∑

Séries Temporais – Exercícios 1

99

Bacen, Área 3, 2006, FCC14. Seja um modelo auto-regressivo de ordem 1, ou AR(1), em que

caracteriza o processo conhecido como ruído branco:

Sabendo-se que , sendo k um número real, e também que a série yt é estacionária, tem-se que:

a) 1/2 < k < 1

b) k < 2/3 ou k > 1

c) k < 1/2 ou k > 1

d) 2/3 < k < 1

e) 1/2 < k < 2/3

Bacen, Área 2, 2010, Cesgranrio

100


Sobre séries temporais, analise as proposições a seguir.I - Se um processo MA(1) for estacionário, ele pode ser representado

como um processo autorregressivo (AR) de ordem infinita.II - Se um processo AR(1) for estacionário, ele pode ser representado

por um processo de médias móveis (MA) de ordem infinita.III - Uma série de tempo é um conjunto ordenado de variáveis

aleatórias, isto é, um processo estocástico, portanto uma série detempo y(t) pode ser representada pela função de densidadeconjunta dos yt (t = 1, 2, ... n); assim, trabalhar com uma série detempo é inferir sobre o processo estocástico com uma únicarealização desse processo.

É(São) correta(s) a(s) proposição(ões)(A) I, apenas. (B) I e II, apenas.(C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas.(E) I, II e III.

101

Séries Temporais – Exercícios 2

Números-Índice

102

• Las Peyres

• Paasche

Números-Índice - Exercícios

103


• Analise as afirmações abaixo sobre números índices.• I - A importância dos números índices reside na possibilidade que

esse instrumento oferece de se agregarem quantidadesheterogêneas, bem como de separar variações de preços das dequantidades implícitas nas variações de valor.

• II - Todo número índice é arbitrário, uma vez que o sistema deponderação usado em sua construção, ainda que adequado aoobjetivo do índice, decorre da escolha de seu criador.

• III - Números índices servem para transportar valores ao longo dotempo.

• É correto o que se afirma em• (A) I, apenas. (B) I e II, apenas.• (C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas.• (E) I, II e III.

Revisão

104

Análise dos Resultados

Parâmetros Estimativas Desvio-Padrão t-Student p-Valor

α α* DP(α*) tα = α*/DP(α*) P(|t|> tα )

β β* DP(β*) tβ = β*/DP(β*) P(|t|> tβ )

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção 788.298967 37.72147444 20.8978832 7.81864E-07

Variável X 1 -0.580847174 0.216517605 -2.682678732 0.036405967

Análise da Variância

• Análise do Modelo como um todo – grau de ajustamento.

• Modelo de Regressão: Y é explicada por X, pelo menos em partes.– Pergunta: A proposição do Modelo está

adequada?

105

Decomposição do Modelo Amostral

• Caso Y não seja afetado por variações de X...

YMÉDIO

Y

X

*XY .ˆˆˆ βα +=

O coeficiente de Determinação R2

• R2 = SQE/SQT

• 0 ≤ R2 ≤ 1.

– Fórmulas alternativas:

),()()(

. 222

222 YXRou

YYXX

Ri

i ρβ =∑ −

∑ −=

106

Teste de Aderência do Modelo

Fonte Soma de

Quadrados

Graus de

Liberdade

Quadrados

médios

F-Snedecor p-valor

Equação SQE K - 1 SQE/(K-1) FOBSERVADO =

[SQE/(N-1)]/[SQR/(N-K)] FTABELADOResíduos SQR N - K SQR/(N-K)

Total SQT N - 1 SQT/(N-1)

SnedecorFKN

SQRK

SQE−

−

− ~)(

)1(

Sequência para estudo das violações

• Diagnóstico– Homocedasticidade

• Consequências– Se os pressupostos do modelo não forem atendidos,

as propriedades desejadas dos estimadores de MQO não são verificadas.

• BLUE e MV dependem dos pressupostos

• Correções– Reconstrução dos pressupostos originais do modelo.

• Introdução de novas variáveis. Alteração das variáveis existentes.

107

Violação da Normalidade dos Erros

• Os estimadores poderão ser escritos como umacombinação linear das observações da variáveldependente:

• Normalidade dos errosà normalidade dos Yisànormalidade dos

• Além disso, é possível garantir a idependênciados Yi’s.

• NormalidadeàMQP = MV

NN YaYaYa ........ˆ2211 +++=β

βˆ

Consequências

• A distribuição dos estimadores não poderá ser garantida como normal.

• Os estimadores de MQO podem não ser assintoticamente eficiencientes.

108

Correção

• Para o formato da distribuição:– Tamanho da amostra

• Teorema do Limite Central

• Para a eficiência:– Natureza preventiva

• Ao realizar testes de hipóteses, com as fórmulas deMQO, deve-se ter em mente que as variâncias podemser na realidade maiores do que as efetivamentecalculadas. Ao rejeitar determinada Ho pede-seincorrer em erro, como conseqüência da subestimaçãoda amplitude da área de aceitação.

A C D E

Violação da Média Nula dos Erros

• A hipótese da média nula dos erros diz que areta de regressão passa pelos pontos médiosde Y para cada valor dado de X.

109

Violação da Hipótese

– Uma constante para todos os níveis da variávelindependente, E(ε) = K > 0.

– Uma função da observação amostral, E(ε) = f(i) ≠0.

Violação da variável independente estocástica

• Se X for estocástica, os estimadores de MQOserão não tendenciosos.

• Se a variável dependente estivercorrelacionada com o erro, os estimadores deMQO serão tendenciosos e inconsistentes.

110

Correção

• Variáveis instrumentais– Dificuldades:

• A aplicação do método depende de duas condições:– Não ser correlacionado com o termo de erro;– Ser correlacionado com a variável independente do modelo.

Modelo de Regressão Linear Múltipla

• Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 + .... + βj Xij + ... + βk XiK + εI

• Em notação matricial:

• y’ = [y1 y2 y3 , .... , yN-1 yN ] = vetor de observações davariável dependente

• Β’ = [β1 β2 β3 , ... , βK-1 , βk] = vetor de parâmetros aestimar

• ε’ = [ε1 ε2 ε3 , .... , εN-1 εN] = vetor de erros aleatórios• X = [x1 x2 x3 , .... , xK-1 xK] = matriz de observações das

variáveis independentes.

ε+= BXy .

111

Os pressupostos do MRLM

• Linearidade• Os εi’s têm distribuição normal• E(εi ) = 0 , para todo i = 1, 2, 3, ..., N.• E[εε’] = σ 2 I , sendo I é a matriz identidade de ordem

N.– Matriz de variância-covariância das perturbações

• As variáveis Xi’s são do tipo não aleatório.• Não há nenhuma relação linear exata entre as variáveis

X, ou seja, nenhuma multicolinearidade.– O posto de X é P(x)=K, em que k é menor que o número de

observações, n.

Pressupostos adicionais

• O número de observações da amostra deveser superior ao número de parâmetros aestimar no modelo. Empregando-se as letrasde praxe temos, N > K + 1.

112

Revisão

Conseqüências sobre os estimadores de MQO

• quando os erros estão correlacionados, osestimadores de MQO permanecem nãotendenciosos e consistentes, mas perdem suaeficiência relativa.

• Adicionalmente, a eficiência assintóticatambém é perdida, pois os estimadores de MVdiferem dos estimadores de MQO.

113

Evidências da auto correlação serial

• Se a correlação entre os erros for discreta asestimativas de BLUE e de MV serão poucoafetadas, tornando aceitável a aplicação deMQO.


• Estatística do Teste:

∑

∑ −−= N

t

N

tt

e

eed

1

2

2

21 )(

114

0 dL dU 2 (4-dU) (4-dL) 4

Consequências práticas da multicolinearidade

• Apesar de serem MELNV, os estimadores de MQO tÊmgrandes variâncias e covariâncias, dificultando umaestimativa precisa;

• Em virtude da consequência 1, os intervalos de confiançatendem a ser maiores, resultando na aceitação da hipóteseHo mais prontamente;– Isto é, o verdadeiro coeficiente na população é zero

• Também por causa da consequência 1, a razão t de um oumais coeficientes tende a ser estatisticamenteinsignificante;

• Embora a razão t de um ou mais coeficientes sejaestatisticamente insignificante, R2, a medida global do graude ajuste, pode ser bastante alto;

• Os estimadores de MQO e seus erros-padrão podem sersensíveis a pequenas variações nos dados.

115

Detecção da Multicolinearidade

• Alto R2, porém com poucas razões tsignificativas;

• Altas correlações dois a dois entre osregressores;

• Exame das correlações parciais;

• Regressões Auxiliares (X = f(xi));

Medidas Corretivas

• Informação a priori

• Combinação de dados de corte e sériestemporais

• Eliminação de uma variável (ou variáveis) eviés de especificação– Erro de especificação

• Transformação das variáveis

116

Indícios de Omissão

• Comportamento dos erros em média ou com respeito a variáveis explicativas

• R2 muito baixo

Modelos com Variáveis Qualitativas

• A adição da variável Dummy– Gênero

– Guerra x paz

– Partidos políticos

117

Estimativa por MQO na presença de heteroscedasticidade

• Os estimadores calculados através do método de MQO não são os melhores e a variância não é mínima, embora sejam não viesados

Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)

• Esse método leva em consideração ainformação a respeito da variabilidadedesigual da variável dependente e, portanto, écapaz de produzir estimadores que sejamMELNV.

118

Consequências do uso de MQO na presença de heteroscedasticidade

• Estimativa levando em consideração a heteroscedasticidade– Não se pode estabelecer IC e TH com os testes t e F

usuais.

• Estimativa de MQO desconsiderando a heteroscedasticidade– Estimador da variância será viesado

• “Em suma, se insistirmos em utilizar os procedimentos de testes usuais, apesar da heteroscedasticidade, sejam quais forem as conclusões a que chegarmos ou as inferências que fizermos, elas podem ser bastante enganosas.”

Detecção da Heteroscedasticidade

• Natureza do Problema

• Métodos gráficos

• Métodos formais– Teste de Park

– Teste de Goldfeld-Quandt

119


• É aplicável se admitirmos que a variânciaheteroscedástica se relaciona positivamentecom uma das variáveis explicativas no modelode regressão.

Revisão

120

• Uma série temporal é uma sucessão de dadosaleatórios observados em períodos de tempohomogêneos. A análise das séries temporaispermite que se realize previsão de valoresfuturos (ex-ante) e passados (ex-post), atravésde métodos que vão desde a extrapolaçãosimples até o uso de modelos econométricosque consideram as características estocásticasda série.

Regressão Espúria

• Variáveis I(1)

• Uma pista, nem sempre eficaz, mas bastanteutilizada para a detecção de regressõesespúrias é a que faz a comparação entre osvalores das estatísticas R2 e DW. Se forobservado R2 > DW, desconfia-se de umarelação espúria.

121

Cointegração

• A cointegração significa que, mesmo sendoindividualmente não-estacionárias, umacombinação linear entre duas ou mais sériestemporais pode ser estacionária.

• Y é I(1) e W é I(1), mas α.Y + β.W é I(0)


• Um processo auto-regressivo (AR)

122


• Um processo de Média Móvel (MA)– Combinação linear dos termos de erro ruído

branco.


• Um processo auto-regressivo e de média móvel (ARMA)

123


• Um processo auto-regressivo integrado e de média móvel (ARIMA)

A metodologia de Box-Jenkins

• Etapa 1: Identificação – Descobrir os valoresapropriados de p, d e q.– Ajuda do correlograma

• Etapa 2: Estimativa – Estimação dosparâmetros dos termos auto-regressivos e demédia móvel incluídos no modelo.– Esse cálculo pode ser realizado com mínimos

quadrados simples.

124

• Etapa 3: Checagem de diagnóstico – Depois deescolher um modelo ARIMA em particular, eestimar os seus parâmetros, verifica-se se omodelo escolhido se ajusta aos dados.– Teste do modelo: Verificar se os resíduos

estimados desse modelo são ruídos brancos.

• Etapa 4: Previsão

O vetor autorregressivo

• O VAR consiste em um sistema de equações,em que cada uma das variáveis que compõemo sistema é função dos valores das demaisvariáveis no presente, dos seus valores e dosvalores das demais variáveis defasadas notempo, mais o termo de erro.

125

VAR reduzido de primeira ordem

• Como sistema de equações:

ttt

t

t

t

t

tt Aym

yy

aa

aa

mm

yy

y εε

ε++=

+

+

=

= −

−

−1

2

1

1,2

1,1

22

12

21

11

2

1

2

1

tttt yayamy 11,2121,11111 ε+++= −−

tttt yayamy 21,2221,12122 ε+++= −−

VEC

• Um modelo VEC é semelhante a um VAR,porém em todas as equações do primeiro estácontido um vetor de correção de erro, que,como sugere o nome, tem como objetivocorrigir as relações de cointegração

11

k

t i t i t ti

x x a xβ β ε− −=

′∆ = ∆ + +∑

amanda econometria 002 (pdf)

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