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Análise Matemática II C
2010/11 (2º semestre)
Lista de exercícios 1 - Rectas, planos e superfícies quá-dricas
1. Considere a equação x = 2.
(a) Em R, represente geometricamente o conjunto dos pontos queverificam a equação.
(b) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação.
(c) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação.
2. Considere a equação x2 = x.
(a) Em R, represente geometricamente o conjunto dos pontos queverificam a equação dada.
(b) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos queverificam a equação dada.
(c) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação dada.
3. Considere a equação 2x + y = 3.
(a) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que a
verificam.
(b) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que a
verificam.
4. Considere a equação y = x2
+ 1.
(a) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação dada.
(b) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação dada.
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5. Considere a equação y = x + 1.
(a) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação.
(b) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação.
6. Considere os pontos A = (1,−1, 2), B = (2, 1,−1) e C = (1, 1, 5) emR
3. Escreva as equações vectorial, paramétricas e cartesianas
(a) da recta definida por A e B.
(b) do plano definido por A, B e C .
7. Considere os pontos (1, 0, 2) e (1, 1, 3) em R3. Escreva, de três formas
diferentes, as equações da recta que passa pelos pontos dados.
8. Considere os pontos P = (1, 0, 2), Q = (1, 1, 3) e R = (−1, 1, 0) em R3.
(a) Determine −→
PQ×
−→
PR
(b) Escreva a equação do plano que passa pelos pontos P , Q e R.
9. Considere a equação x2 + y2 = 2.
(a) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação.
(b) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que
verificam a equação.
10. Esboce em R3 as superfícies quádricas:
(a) x2 + 2y2 + z 2 = 1
(b) x2 + z 2 = 9
(c) x2
+ y2
= z 2
(d) z = x2 + y2
(e) z = x2 + y2 − 6
(f) z = x2 − y2
(g) x2 − y2 − z 2 = 9
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(h) x2 + y2 − z 2 = 9
11. Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verifi-
cam a equação x2 + 4y2 = 4.
12. Considere a superfície de equação z 2 = x2 + y2.
(a) Determine a intersecção da superfície dada com cada um dos pla-nos coordenados.
(b) Determine a intersecção da superfície dada com planos de equaçãoz = a, a > 0.
(c) Determine a intersecção da superfície dada com planos de equaçãoz = a, a < 0.
(d) Esboce o gráfico da superfície dada.
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