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Analise Matematica II C

2010/11 (2o semestre)

Lista de exercıcios 3 - Curvas e funcoes vectoriais

1.  Esboce as seguintes curvas:

(a)   x = 4t − 1,  y = t + 2, em  R2;

(b)   x = 2t + 1,  y  =  t2, em  R2;

(c)   x = sin t,  y  = cos t − 3, em  R2;

(d)   x = 2 sin t, y = 4 cos t,  z  = 1, 0 ≤ t ≤ 2π, em  R3;

(e)   x = cos t, y  = sin t,  z  = t/2π, −2π ≤ t ≤ 2π, em  R3.

(f)   Para cada curva das alıneas anteriores calcule os vectores veloci-dade e aceleracao para todo o  t.

2.  Calcule os vectores velocidade e aceleracao para todo o   t  e a equacaoda recta tangente no valor de  t   especificado:

(a)   (sin(3t), cos(3t), 2t3/2);  t = 1

(b)   (t sin t, t cos t,

√ 3t); t = 0

(c)   (2cos t, 3sin t, t);  t =  π

(d)   (t2 − 1, cos t2, t4);  t = √ 

π

3.  Determine um equacao da recta tangente as curvas abaixo indicadas eno ponto referido

(a)   x = 1/t, y  =√ 

t + 1,  t0 = 2 (em  R2).

(b)   x =  θ − sin θ, y = 1 − cos θ,  θ0  =  π/4 (em  R2).

(c)   x =  t2

−1,y  = cos t

2

,  z  = t4, t0  = √ 

π  (em  R3).

4.  Considere a curva em R3 definida pelas equacoes

 x2

4  + 2y2 = 1 e z  = 2.

(a)  Determine uma representacao parametrica da curva.

(b)  Determine a recta tangente a curva no ponto  P 0 = (√ 

2, 1

2, 2).

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5.   Para cada uma das seguintes curvas determine a recta tangente no

ponto indicado.

(a)   16x2 + 9y2 = 1 em  R2, P 0  = (−1

4, 0).

(b)   y  = 3x − 2 em  R2, P 0  = (2

3, 0).

(c)   y  = cos(2x) em  R2,  P 0 = (−π

6, 1

2).

(d)   x =  y3 = z 2 + 1 em  R3, P 0  = (1, 1, 0).

6.  Considere a superfıcie S  =

 {(x,y,z )

 ∈R

3 : 1

−z  =  x2+3y2

∧z 

 ≥ −2

}.

Designe por C  a curva em  R3 correspondente ao bordo da superfıcie S.

(a)  Represente a curva  C   geometricamente.

(b)  Determine uma representacao parametrica da curva  C .

7. (a)   Identifique o domınio da funcao vectorial σ(t) =   1t i+   1√ 

t−1  j +   1

t−2 k.

(b)   Calcule σ(t) e σ(t).

8.   Sejam σ1(t) = et i+(sin t)  j +t3 k e  σ2(t) = e−t i+(cos t)  j −2t3 k. Calculeas seguintes derivadas:

(a)   ddt

[σ1(t).σ2(t)]

(b)  d

dt{σ1(t).[2σ2(t) + σ1(t)]}

(c)  d

dt[σ1(t2)]

9.   Seja  σ  uma funcao vectorial diferenciavel em  R, tal que  σ(t) = 0, ∀t.Mostre que se   t0   e ponto de maximo local da funcao   τ (t) = ||σ(t)||,entao σ(t0) e a σ(t0) sao perpendiculares.

10.   Seja   C   uma curva regular no espaco definida pela funcao vectorialσ(t) = f (t) i+ g(t)  j + h(t) k, t ∈ I . Considere o vector tangente unitario T (t) =   σ(t)

σ(t)  e o vector normal unitario    N (t) =   T (t)

 T (t) . Verifique que

 T (t)⊥  N (t), ∀t ∈ I .

11.   Suponhamos que uma partıcula segue um caminho   C , descrito por(et, e−t, cos t) ate ao instante t  = 0, a partir do qual segue pelo caminhodescrito pela recta tangente a  C   nesse instante. Onde se encontra apartıcula em  t = 2?

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12.  Considere a funcao vectorial σ(t) =   t2 i + cos(

√ 2 t)  j + sen(

√ 2 t) k. Seja

C   a curva com equacoes parametricas   x   =   t2 ,   y   = cos(√ 2 t) e   z   =

sen(√ 

2 t), t ∈ [0, 2π]. Suponha que a curva C  corresponde a trajectoriade uma partıcula  P .

(a)  Determine o vector tangente unitario em cada ponto da curva  C .

(b)  Calcule o comprimento da curva  C .

(c)   Determine a funcao comprimento de arco da curva  C .

(d)   Determine uma parametrizacao da curva   C   segundo o compri-mento de arco.

(e)  Determine a curvatura de  C .

(f)  Determine o vector normal principal em cada ponto da curva  C .

(g)   Determine as posicoes inicial e final da partıcula  P .

(h)  Determine a distancia percorrida pela partıcula  P   para  t =   π2

.

(i)   Em que ponto se encontra a partıcula  P   apos ter percorrido umadistancia de   π

2√ 2

.

13.   Suponha que uma partıcula  P  move-se no espaco com velocidade v(t) = i + cos(

  1

√ 2 t)  j − sen(

  1

√ 2 t) k   e que no instante   t   = 0 ocupa a posicao

(1, 0,√ 

2). Designe por   C   a curva que corresponde a trajectoria dapartıcula  P .

(a)  Determine a equacao da recta tangente a curva C para  t =   π√ 2

.

(b)   Determine a funcao comprimento de arco da curva  C .

(c)  Determine a distancia percorrida pela partıcula P entre os instan-tes  t = 0 e  t = 3.

(d)   Determine uma parametrizacao da curva   C   segundo o compri-

mento de arco.(e)  Determine a curvatura de  C .

(f)  Determine o vector normal principal em cada ponto da curva  C .

14.   Suponha que uma partıcula  P  move-se no espaco e no instante  t  temaceleracao a(t) =  i + 2  j + 4t k.

(a)  Determine os vectores velocidade v(t) e posicao σ(t) da partıcula

sabendo que v(0) =   j − 2 k  e σ(0) =  i −  j − k.

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(b)  Determine o vector tangente unitario para cada instante  t.

(c)  Escreva uma equacao da recta tangente a trajectoria da partıculano instante t=2.

(d)  Determine a curvatura da trajectoria definida pela partıcula  P .

15.   Seja   C   a trajectoria de uma partıcula   P  definida pelas equacoes pa-rametricas   x   =   f (t),   y   =   g(t),   z   =   h(t),   t ∈   I . Designe por   k   a

curvatura da curva. Verifique que  k = v × v

v3  , onde  v  = v(t) repre-

senta o vector velocidade da partıcula  P .

Sugestao: consulte Marsden-Weinstein, pag. 751.

16.   Considere a curva parametrica definida pelas equacoes:   x  =  e−t cos t,y  =  e−t sin t,  z  = 0, 0 ≤ t < +∞.

(a)   Faca um esboco da curva.

(b)  Determine a curvatura  k.

(c)  Estude o comportamento da curvatura quando  t → ∞.

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