חדו"א 2א - פר' מיכאל סודין מועד מיוחד פתרונות

' א – פר' מיכאל סודין מועד מיוחד סמסטר ב 2 חדו"א : 1 שאלה

:חשבו את

∫0

1

cos ( lnx )dx

:פתרון

∫0

1

cos ( lnx )dx=[ t=lnx x=e t

dx=e tdt t (0 )=−∞ , t (1 )=0 ]=∫−∞

0

e t cost dt=[u=cost v=e t

v '=e t u'=−sint ]=[e t cost ]−∞0

+∫−∞

0

e t sintdt=[u=sint v=e t

v '=e t u'=cost ]=1+ [e t sint ]−∞0

−∫−∞

0

e t costdt

: 2 שאלה ?האם האינטגרל הבא מתכנס )בהחלט/בתנאי( או מתבדר

∫0

∞

(−1 )[x2 ]dx

:פתרון ראשית, ברור שהאינטגרל לא מתכנס בהחלט כי:

|∫0

∞

(−1 )[ x2 ]dx|=∫

0

∞

1dx=∞

נפריד:

∫0

∞

(−1 )[x2 ]dx=∑

n=0

∞

( ∫(2n )2

(2n+1)2

1dx¿− ∫(2n+1 )2

(2n+2 )2

1dx)=∑n=0

∞

[ (2n+2 )2¿−(2n )2]=∑n=0

∞

(4 n+4 )=∞ ¿¿

לכן, האינטגרל מתבדר.

: 3 שאלה

∑יהי n=1

∞ cnns

s>t. הוכיחו כי הטור מתכנס במ"ש ובהחלט עבור s=t מתכנס עבור

פתרון:נעיר כי:

∀ s>t ,∑n=1

∞ cnns

<∑n=1

∞ cnnt

<∞

של וויירשטראוס, הטור מתכנס במ"ש ובהחלט.Mלכן, לפי בוחן

: 4 שאלה חשבו:

( ∂2∂ x2+ ∂2

∂ y2 ) ln (x2+ y2)פתרון:נחשב:

©Noy Soffer 2013

( ∂2∂ x2+ ∂2

∂ y2 ) ln (x2+ y2 )= ∂∂ x ( 2x

x2+ y2 )+ ∂∂ y ( 2 y

x2+ y2 )=2( y2−x2

x2+ y2+ x

2− y2

x2+ y2 )=0 : 5 שאלה f קומפקטית, ופונקציה Kנתונה :K→R רציפה. הוכיחו כי הגרף של f:קומפקטית, כאשר

Γ f= {(x , f (x ) ) : x∈K }פתרון:

חסימות: קומפקטית אפילו(, אז:f(K) )למעשה I חסומה מוויירשטראוס f(K) חסומה, ו-Kמכיוון ש-

∃M 1≥0 :∀ x∈K ,||x||≤M 1

∃M 2≥0 :∀ y∈ f (K ) ,||y||≤M 2

לכן:

∀ ( x , y )∈Γ f ,||x+ y||≤||x||+||y||=M 1+M 2

חסומה.fולכן, הגרף של

סגירות:

yn∈Γתהי סדרה מתכנסת f : yn→ y נראה כי .y∈Γ f-מכיוון ש .yn∈Γ f:נסמן ,

yn={(xn , f (xn )) : xn∈K }

y=(a ,b)

=a סגורה, אז Kמכיוון ש- limn→∞

xn∈ K

fבאופן דומה, מכיוון ש- (K b=lim סגורה, אז (n→∞

f ( xn)∈ f (K רציפה, ולכן:f. בנוסף, (

b=limn→∞

f ( xn)=f ( limn→∞ xn)=f (a)ולכן:

y= (a , f (a ) )∈ Γ fΓולכן, f.סגורה ולכן, קומפקטית

©Noy Soffer 2013