Θαλής 2014-2015 Θέματα + Λύσεις

Post on 08-Nov-2015

215 Views

Category:

Documents

1 Downloads

Preview:

Click to see full reader

DESCRIPTION

΄Θαλής

TRANSCRIPT

  • 75

    ,1 2014

    ,

    1. . 2. ,

    , , , , , , .

    3. .

    4. (3) (9-12 ). ' .

    5. ' , , . ... .

    6. . 7. ,

    , ' ..., 34, 106 79 , , , , .

    8. () ...

    9. 17 2015 28 2015 . ... 4 2015 , 32 (, 2015), 19 (, 2015) 56 (, 2015).

    10. , .. ... .

    11. .. .

    ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

  • ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    75

    1 2014

    1 :

    213 74 3 3 :89 9 37 4

    2 200 40% . 25% 50%, , . 3 , :

    1003 1007 1009 997 1011 999 1001 1005, , , , , , ,2015 2019 2021 2009 2023 2011 2013 2017

    .

    4 90 . . () . () .

    5 : 3 !

  • ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    75

    1 2014

    1

    4

    2 2

    1 6131 3

    xx x

    , 23

    4x

    .

    2 170 230. 4% 1

    3

    , , . 3 .

    2

    . , ,

    .

    4 1 2 1 2 , , 12

    37

    . . 1 2 . 5 : 3

  • ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    75

    1 2014

    1 :

    2 23 3 3 3

    22 2 2 2 22

    4 2014 2014 3 5 2014 12015 2013 2016 2012 18 20142014 4029 2014 4027 5 2014 1 4 2014

    .

    2 2 . 100 120 4000 . 50 10% 60 20% 1680 . . 3 :

    22 2x y xy 22 2 4 42 2x y xy x y , ,x y . () ,x y x . () , ,x y . 4 ABCD 100oA 40 .oD DB CDA DB DC ,

    CAB . 5 : 3 !

  • ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    75

    1 2014

    1 k x . : 1

    11

    k

    kxx

    1

    2

    11

    k

    kxx

    .

    2 ,x y :

    2 22 10 13 2 5x xy y x y

    3 ABC ( AB AC BC ) ( )c ( O R ) D, E B, C , ( ( )c ). 1( )c ( A AE ), AC K . 2( )c ( AD ), AB ( ) L . EK DL ( )c . 4 100 x . 100, 70. 78, . 5 : 3 !

  • ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    75

    1 2014

    1 2 3 5 186,y x x . x . 2 :

    4 2 2 4

    2 2

    9113

    x x y yx xy y

    3 ( ( , )C O R . ( , )C O R , Z . . ( , )C O R . . , ( , )C O R . , . 4 n ,

    1 2 3 4d d d d : 1 2 3 4 640d d d d . 5 : 3 !

  • 1

    ( ) 34

    106 79 . 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (leftheriou Venizelou) Street

    GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025

    e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

    75

    1 2014

    1 :

    213 74 3 3 :89 9 37 4

    2 213 74 3 3 13 74 3 4:8 :89 9 37 4 9 9 37 3

    13 2 16 13 2 16 :8 13 6 2 9:8 1.9 3 9 9 3 9 9 9 9 9

    2 200 40% . 25% 50%, , . x . 200 x . 25 125

    100 100x xx

    , 150200100

    x .

    140200100 , 280 .

    125 150 140200 200 12,5 15 3000 2800

    100 100 1002,5 200 80.

    x x x x

    x x

    80 200 80 120 .

  • 2

    3 , :

    1003 1007 1009 997 1011 999 1001 1005, , , , , , ,2015 2019 2021 2009 2023 2011 2013 2017

    .

    :

    () - () = 1012. :

    1003 1012 1007 1012 1009 1012 997 10121 , 1 , 1 , 12015 2015 2019 2019 2021 2021 2009 20091011 1012 999 1012 1001 1012 1005 10121 , 1 , 1 , 12023 2023 2011 2011 2013 2013 2017 2017

    , , :

    2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 20122009 2011 2013 2015 2017 2019 2021 2023

    :

    2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 20121 1 1 1 1 1 1 1 ,2009 2011 2013 2015 2017 2019 2021 2023

    10112023

    ,

    9972009

    . 4 90 . . () . () .

    1

  • 3

    2 () 45 , 45 . 180 90 45 45 , . , : . , . () , . 60 , 60 90 150 . :

    180 150 152

    .

    , , , , :

    15

    1

    4

    2 2

    1 6131 3

    xx x

    , 23

    4x

    .

    2 24 2

    22 2 2 2

    1 11 6 6 1 6 ,13 13 3 131 3 1 3

    x xx xxx x x x

  • 4

    2 23 4 16

    4 3 9x

    : 2

    2

    22

    16 2561 11 6 6 6 175 6 1699 81 13.2563 13 13 13 13 13 1316 33 819

    xx

    2 170 230. 4% 1

    3

    , , . n . 4

    100n

    . 1 4 43 100 300 75

    n n n . , n , 75 ,n k k .. , 170 230n , :

    170 230 20 5170 75 230 2 3 3.75 75 75 75

    n k k k k 75 3 225n . 3 .

    2

    . , ,

    .

    3

    2

    2 2

    2 3 3 .2 4 2

    : 21 1 3 3 3 3 .

    2 2 2 2 8

  • 5

    3

    : . 3 5

    2 2 3

    2 ,

    21 5 3 5 3

    2 2 2 8 .

    52

    : 1 322 43

    2

    .

    , : 3 360 .2 2 4

    : 21 5 3 5 3

    2 2 4 16 .

    : 2 2 25 3 5 3 15 3

    8 16 16 ,

    2

    2

    2 2

    3 36 3 28 .

    515 3 15 316

  • 6

    4 1 2 1 2 , , 12

    37

    . . 1 2 . 1 2, 1 2, , .

    1 22 2 2

    1 2

    2 2 21 1 2 2, ,

    2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

    2 2 2 2

    (1)

    :

    1 1 2 1 22

    37 3 7 3 7 10

    1 2

    3 7,10 10

    (2)

    (1) (2)

    2 22 21 2 1 2 1

    2 29 49 58 .

    100 100 100

    58% , 100-58 = 42%.

    1 :

    2 23 3 3 3

    22 2 2 2 22

    4 2014 2014 3 5 2014 12015 2013 2016 2012 18 20142014 4029 2014 4027 5 2014 1 4 2014

    .

    , , . . , 2014,x :

  • 7

    3 3 3 3 2 2

    2 2 2 22 2 2

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    22

    2 2 2 2

    2 22

    4 3 5 11 1 2 2 182 1 2 1 5 1 4

    2 3 2 3 4 3 5 15 4 1 5 4 1 5 4 1 5 4 1

    2 5 11 12 35 4 1 5 4 1 5 4 1 5 4 1

    5 4 1 5 42 3

    x x xx x x x xx x x x x x

    x x x x x x xx x x x x x x x

    xx x

    x x x x x x x x

    x x x xx x

    22

    2 2

    1 10 2 2 3 0 0.5 4 1 5 4 1

    x x xx x x x

    2 23 3 3 3

    22 2 2 2 22

    4 2014 2014 3 5 2014 12015 2013 2016 2012 18 2014 02014 4029 2014 4027 5 2014 1 4 2014

    2 2 . 100 120 4000 . 50 10% 60 20% 1680 . . x y . :

    100 120 4000 5 6 200x y x y (1) 90 8050 60 1680 45 48 1680

    100 100x y x y (2)

    5 6 200 45 54 1800 6 120

    45 48 1680 45 48 1680 45 48 1680

    20 20.1680 48 16

    45

    x y x y yx y x y x y

    y yy xx

    16 20 . 3 :

    22 2x y xy 22 2 4 42 2x y xy x y , ,x y .

  • 8

    () ,x y x . () ,x y . ()

    22 2 2 2 2 24 4 2 2 2 2 3 3

    4 3 2 2 3 4

    2 2 22 3 2 .

    x y xy x y xy x y xy

    x y x y x y x y xyx x y x y xy y

    : 2 2 22 2 2 2 2 2

    4 4 2 2 2 2 3 3

    4 3 2 2 3 4

    2

    2 2 22 3 2 .

    x y xy x y xy x y xy

    x y x y x y x y xyx x y x y xy y

    () , , : 22 2 4 3 2 2 3 42 4 6 4 ,x y xy x x y x y xy y

    22 2 4 4 4 3 2 2 3 4 4 4

    4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4

    22 2

    2 2 2 4 6 4

    2 2 4 6 4 2 4 2 3 2

    4 ,

    x y xy x y x x y x y xy y x y

    x x y x y xy y x x y x y xy y

    x y xy

    ()

    2 2 2 2B 2 2 ,x xy y x xy y ,x y

    2 22 2 3 0.

    2 4y yx xy y x

    4 ABCD 100A 40 .D DB CDA DB DC , CAB . DB CDA , 20CDB BDA DBC 80DBC DCB 180 - 100 20 =60DBA . BK BL, , = BK BL 80BAK , BAK BLC , BA = BC. , BAC : 20CAB .

  • 9

    4

    1 k x . : 1

    11

    k

    k

    xx

    1

    2

    11

    k

    k

    xx

    .

    (1 ) :

    22 11

    1 2 1 2

    22 1 2 1

    1 2 1 2 1 2

    1 1 11 1B1 1 1 1

    11 2 1 2 ,1 1 1 1 1 1

    k k kk k

    k k k k

    kk k k k k k

    k k k k k k

    x x xx xx x x x

    x xx x x x x xx x x x x x

    , 0x k , : 0, 1 , 10, 0 1 , 0 1

    x xx x .

    2

    2 2 2 2

    1 2 1 2

    2 1 2

    1 2 1 2

    ( 1)( 1) 1( 1) ( 1)

    2 ( 1)1 1 1.( 1) ( 1)

    k k k k k

    k k

    k k k k

    k k

    x x x x xx x

    x x x x xx x

    , , , 1x . :

    , 1x A B , 0 1x .

  • 10

    2 ,x y :

    2 22 10 13 2 5x xy y x y 2 22 10 13 5 2x xy y x y (1) :

    22 2 22 2 2 225 25 52 10 13 2 5 13 2 0,

    4 2 2 2y y y yx xy y x xy y x

    , : 5 0 02yx y x y .

    (1) : 55 2 0 0,1, 2 ,

    2x y x y x y

    : 1. 0x y x y . :

    2 2 2 22 10 13 5 1 1 1,x x x x x x : , 1, 1 , 1, 1x y x y .

    2. 1 1 1 1 1x y x y x y x y x y . 1x y : 2 22 1 10 1 13 3y y y y 25 6 1 0y y , 56

    3. 2 2 2 2 2x y x y x y x y x y . 2x y : 2 22 2 10 2 13 1y y y y

    25 12 7 0y y , 4 12 2 71 .

    10 5y y y

    , 3,1x y 2x y : 2 22 2 10 2 13 1y y y y

    25 12 7 0y y , 4 12 2 71 .

    10 5y y y

    , 3, 1x y . : 1, 1 , 1,1 , 3,1 , 3, 1 .

    3

  • 11

    ABC ( AB AC BC ) )c( ( O R ) D, E B, C , ( )c( ). )c( 1 ( A AE ), AC K . )c( 2 ( AD ), AB ( ) L . EK DL )c( . DL )c( E, K, M . EAC , EC )c( . AEK ( AE, AK )c( 1 ). : AEK AKE 45 . (1)

    5 BAD , BD )c( , DAL . ADL ( AD, AL )c( 2 ). ADL ALD 45 . (2) ADM=ADL AEM ,

    )c( AM , AEM ADL (3) (1), (2) (3) AEK AEM 45 , , , . 4 100 x . 100, 70. 78, .

  • 12

    8 100 8 70 70 240x xx x , (1) :

    70 240 240. . 70x xx x x . (2)

    78, 30x , (2) :

    240 240. . 70 70 78,

    30x

    x x

    (3)

    78. 30,x 30x . 30x ,

    30 8 100 30 8 70 30 70 8 30. . 70 8 7830 30 30

    , x 30.

    1 2 3 5 186,y x x . x . 2 3 5 186,y x x x 1 1 2 2,0 ,0 ,x x 1 2,x x :

    2 3 5 186 0, .x x : 1 2

    1 2

    3 5, (1)186 (2)

    x x ax x .

    1x 2x , , 1 2x x , (2), 1x , 2x , 186 2 3 31 . : 1 2, 1,186 , 2,93 , 3,62 , 6,31 , 1, 186 , 2, 93 , 3, 62 , 6, 31x x (1) : 1 2 5

    3x x ,

    : 64, 14 , -30, -20 . 2 :

  • 13

    4 2 2 4

    2 2

    9113

    x x y yx xy y

    (1 ) 2 2x y : 24 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22x x y y x y x y x y x y xy x y xy , 7

    139122 xyyx .

    , : 2 2 2 22 20 10x y x y , 3xy .

    : 2 2 2 210 10

    3 2 6x y x y

    xy xy

    ,

    ,

    22 2

    2 2 2

    16 42 1622 4 4

    4 4 4 4 2 2 2 2

    , 3,1 , 1, 3 , 1, 3 , 3, 1 .

    x y x yx y xyx yx y xy x y

    x y x y x y x yx y x y x y x yx y x y x y x y

    2

    2 24 2 2 4 2 22 2 2 2

    91 91,

    13 13

    x x y y x y xyx xy y x xy y

    , 2 2 x y xy , 2 2

    2 2

    91911313

    7 10 10.

    13 3 3x y

    xy

    , . 3 ( )R,O(C . )R,O(C , Z . . )R,O(C . . , . , .

  • 14

    1 )R,O(C . :

    2

    1 .

    1 . :

    2

    1 .

    6

    11 , . : 11 , 11 , . : 12 . :

    11 . : 12 .

    . 4 n , 1 2 3 4d d d d :

    1 2 3 4 640d d d d .

    1 1d , 4d n 2 3d d n .

  • 15

    ,

    1 2 3 4 2 3 2 3

    72 3 2 3

    640 1 640

    1 1 640 1 1 2 5

    d d d d d d d dd d d d

    1 2 3 4 2 31 2 1 1d d d d d d d2 d3 , : 2 3 2 31 4,1 160 3, 159 3 53d d d d , , 3 159n

    . 2 3 2 31 5,1 128 4, 127d d d d , , 4 127n

    . 2 3 2 31 8,1 80 7, 79d d d d , 7 79 553n 2 3 2 31 10,1 64 9, 63,d d d d , 9 63n

    . 2 3 2 31 16,1 40 15, 39,d d d d , 15 39n

    . 2 3 2 31 20,1 32 19, 31,d d d d 19 31 589n , 553 589.

top related