Επανάληψη στη θεωρία 2016 για τα Μαθηματικά...
Post on 19-Jan-2017
11.868 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
1 . ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
1) Έστω Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς . Δείξτε ότι :
Απόδειξη
2) Κάθε διάνυσμα �⃗⃗� του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων 𝐢 και 𝐣 .
Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
3) Αν �⃗⃗� = (𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και �⃗⃗� = (𝐱𝟐, 𝐲𝟐) τότε :
i) �⃗⃗� + �⃗⃗� = (𝐱𝟏 + 𝐱𝟐, 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐) ii) 𝛌�⃗⃗� = (𝛌𝐱𝟏, 𝛌𝐲𝟏)
iii) 𝛌�⃗⃗� + 𝛍�⃗⃗� = (𝛌𝐱𝟏 + 𝛍𝐱𝟐, 𝛌𝐲𝟏 + 𝛍𝐲𝟐) Απόδειξη
i) ii) iii) 4) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του μέσου Μ(x,y) του ΑΒ όπου είναι 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐).
Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
5) Οι συντεταγμένες (x,y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐) δίνονται από τις σχέσεις :
𝐱 = 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏 𝛋𝛂𝛊 𝐲 = 𝐲𝟐 − 𝐲𝟏 Απόδειξη
6)Αν �⃗⃗� = (𝒙, 𝐲) τότε |�⃗⃗� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
7) Αν τα διανύσματα �⃗⃗� , 𝛃 ⃗⃗ ⃗έ𝛘𝛐𝛖𝛎 𝛔𝛖𝛎𝛕𝛆𝛌𝛆𝛔𝛕έ𝛓 𝛅𝛊𝛆ύ𝛉𝛖𝛎𝛔𝛈𝛓 𝛌𝟏 𝛋𝛂𝛊 𝛌𝟐
𝛂𝛎𝛕ί𝛔𝛕𝛐𝛊𝛘𝛂 τότε : �⃗⃗� ∥ �⃗⃗� ⇔ 𝛌𝟏 = 𝛌𝟐. Απόδειξη
8) Αν �⃗⃗� = (𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και �⃗⃗� = (𝐱𝟐, 𝐲𝟐) τότε �⃗⃗� · �⃗⃗� = 𝐱𝟏 · 𝐱𝟐 + 𝒚𝟏 · 𝒚𝟐 Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
9) Δείξτε ότι :
i) (𝛌�⃗⃗� ) · �⃗⃗� = �⃗⃗� · (𝛌�⃗⃗� ) = 𝛌 · (�⃗⃗� �⃗⃗� ) , λ𝝐ℝ
ii) �⃗⃗� (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) = �⃗⃗� �⃗⃗� + �⃗⃗� �⃗⃗�
iii) �⃗⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇔ 𝛌𝟏 · 𝛌𝟐 = −𝟏 όπου 𝛌𝟏 = 𝝀�⃗⃗� , 𝛌𝟐 = 𝝀�⃗⃗� (�⃗⃗� , �⃗⃗� ∦ 𝒚′𝒚)
Απόδειξη
10) Αν �⃗⃗� , �⃗⃗� είναι δύο διανύσματα και θ η γωνία των δύο αυτών διανυσμάτων , τότε να αποδείξετε ότι
Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
2. Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
11) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐) με 𝐱𝟏 ≠ 𝐱𝟐 είναι :
Απόδειξη
12) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σημείο 𝚨(𝐱𝟎, 𝐲𝟎) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.
Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
13) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐) με 𝐱𝟏 ≠ 𝐱𝟐 έχει εξίσωση :
Απόδειξη
14) Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx+Βy+Γ=0 (1) με Α≠𝟎 ή Β ≠ 0 και αντιστρόφως , κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.
Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
15) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 είναι παράλληλη στο
διάνυσμα �⃗⃗� = (𝚩,−𝚨). Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
16) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 είναι κάθετη στο διάνυσμα �⃗⃗� = (𝚨, 𝚩).
Απόδειξη
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016
top related