Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия....
Post on 08-Jan-2016
49 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс3.1. 2-й закон Ньютона и принцип недостижимости скорости света.
Релятивистская масса
Ньютон Исаак 1643 –1727
2-й закон Ньютона
Σ
a
Ньютон Исаак 1643 – 1727
i
iFam
Принцип существования предельной скорости материальных объектов
Фундаментальный закон природы:
существует предельная скорость движения материальных объектов, она одинакова во всех ИСО и численно равна скорости света в вакууме.
v
t
c
m → ∞
v → c, a → 0.
a = F/m.
Согласно этому принципу при разгоне тела какой-либо силой скорость может лишь приближаться к скорости света.
Из этого следует, что ускорение в конце концов будет стремиться к нулю:
Но согласно 2-му закону Ньютона:
И поскольку сила не равна нулю, то в этих условиях необходимо, чтобы масса разгоняемого тела
v
t
c
m → ∞
2
2
0
1cv
mm
v → c, a → 0,
Этому условию удовлетворяет зависимость массы тела от его скорости:
масса покоя
релятивистская (полная) масса
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.2. Кинетическая энергия, полная энергия, энергия покоя.
Закон сохранения энергии.
;
1 2
2
0
cv
mm
;0mm ?0 mm
Tсmm 20 - кинетическая
энергия тела
2mсE - полная энергия
200 сmE - энергия
покоя
Кинетическая энергия: 0EЕТ
222 /)/( смкгсмкгE )(джоульДж
Очевидно, что разность масс связана с движением тела. Будучи умноженной на скорость света в квадрате, она составляет энергию движения, или кинетическую энергию:
Размерность энергии:
Закон сохранения энергии
В изолированной системе тел (частиц) сумма их энергий со временем не меняется:
constEN
ii
1
constmN
ii
1
constmN
ii
10 !!!
(фундаментальный закон природы)
2mсE
Или: При этом:
Пример несохранения массы покоя: рождение двух фотонов за счет аннигиляции электрона и позитрона
2 ее
2
2
0 1c
vmm
Доказательство того, что фотон обладает массой: отклонение световых лучей (потока фотонов) от прямой вблизи Солнца за счет гравитации.
2 ее
2
2
0 1c
vmm
v=c,
00 m
02 0 em (!!!)
Пример несохранения массы покоя: рождение двух фотонов за счет аннигиляции электрона и позитрона
Но поскольку скорость фотона
то его масса покоя
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.3. Импульс.
Закон сохранения импульса
Импульс тела:
Фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса:
vmp
i i
iii constvmp
i i
ii const
c
v
vm
2
2
0
1
или
т v
p
рi
2
2
0
1cv
vm
для замкнутой (изолированной) системы тел
Импульс и полная масса тела – аддитивные величины. Масса покоя – неаддитивна!
i i
i
cv
m22
0
1
Доказательство.
Полная масса системы тел:
22
0
1 cV
MM
iim
В системе отсчета, связанной с системой тел в целом (V' = 0):
i i
i
cv
mMM
22
00
1
внутi
i EcmM
2
00- энергия внутреннего
движения системы
i
imM 00
vi'
V
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.4. Энергия и импульс.
Кинетическая энергия при малых скоростях
2mсE
TEЕ 0
mvp 2c
v
E
p ;
2
E
pcv
2
2
20
1cv
сmE
;1 02
2
Ec
vE 022
42
1 EcE
cpE
20
222 EcpE 20
22 EcpE
;1 2
02 EE
cp (Т – кинетическая энергия)
)2(1
0ETTc
p
С другой стороны:
Найдём связь полной энергии тела и его импульса.
- связь импульса с кинетической энергией тела
;mvp
)2(1
0ETTc
p
;cv ;12
2
0 c
vmm 00 mmmm
0EЕТ 20 cmm ;2cm
0.. EТет
02 2
1TET
c
~ 0
mT2
С другой стороны: mTvm 222
2
2mvT )( cvпри
Кинетическая энергия при малых скоростях
221
Tmcc
(пренебрегаем бесконечно малой величиной второго порядка)
Кинетическая энергия:
Импульс:
Т
При v << c обе зависимости совпадают.
Зависимость кинетической энергии частицы Tот скорости v в релятивистской модели (a)
и классической модели (b).
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.5. Изменение импульса со временем.
Сила как мера воздействия
Импульс тела:
2
2
0
1c
v
vmvmp
т v
p
Для свободной частицы: constp
Для несвободной частицы:
0..,
t
pет
0dt
pd
Т.е. величина скорости изменения импульса может служить мерой воздействия на данное тело со стороны других физических объектов: t
pF
F – сила воздействия. 2
1
с
мкг
сс
мкгF )(ньютонН
Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): FF
ii
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.6. Изменение энергии со временем.
Мощность силы
F
20
222 EcpE ,20
2 Ecpp 22 0cos pppp
?dt
dE
222 cdt
pdp
dt
dEE
2mc vm
cosFvvFdt
dE
20
22 EcpE
22 cFvmdt
dEmc
Пусть энергия тела меняется со временем. Определим, чему равна скорость её изменения, т.е. определим производную энергии по времени:
В §3.4 нами получена связь энергии и импульса:
поскольку
Возьмём производную слева и справа:
cosFvvFdt
dE
F
vα WvF
- мощность силы
dt
dEW сДжW )(ваттВт
;0ETE ;dt
dТ
dt
dE
dt
dТW Т – кинетическая
энергия тела
поскольку энергия покоя constE 0
Таким образом, мощность силы равна скорости изменения
кинетической энергии тела:
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.7. Работа силы
;vFWdt
dT
;..dt
rdF
dt
dTет
rdFdT
x
y
rdr
F
α
1
2
2
1
12
r
r
rdFTTT
r1
r2
cosdrF
;dt
rdvтеласкорость
откуда элементарное приращение кинетической энергии тела:
dArdF
- элементарная работа силы F на перемещении dr .
Изменение кинетической энергии тела на участке 1 – 2 :
Скорость изменения кинетической энергии тела:
S
2
1
12
r
r
rdFTTT
2
1
r
r
rdFA
- работа силы участке 1–2
Работа силы идет на приращение кинетической энергии тела: TA
Частный случай: constconstF , F
drα
S
rdFA
S
drF cos cos SF SFА
S
drF cos
Изменение кинетической энергии тела на участке 1 – 2 :
x
y
rdr
F
α
1
2
r1
r2
Графическое определение работы
x
F(x)
x1x2
F(x)
xF=F(x)
x1 x2
dxxFdA )(
dx
2
1
x
x
FdxA
dx
Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс
3.8. Уравнение Ньютона-Эйнштейна.
Решение основной задачи динамики
)()(
tFdt
tpd – уравнение
Ньютона-Эйнштейна
N
ii tF
dt
tpd
1
)()(
– при наличии нескольких воздействий
constFt
p
p
t
Начальные условия: пусть при t0=0 v0=0, p0=0
1 ?)( tp
tFp
F p(t)
Ускорение частицы постоянной силой
Ftp
c
cmFt
cmFt
v2
0
0
)(1
2 ?v
;1 22
0 Ftcv
vmp
222222
0 1 cvtFvm
;222
22222
0 tFc
vtFvm
22220
2222
tFcm
сtFv
;222
2220
2 tFc
tFmv
c
cm
Ft
cm
Ft
v2
0
0
)(1
;F
cmt o at
m
Ftv
0
;F
cmt o
cv
p
t
v
t
c
1) 1cm
Ft
o
2) ;1cm
Ft
o
atv
Только при малых скоростях: v << c
top related