תהליכים סטוכסטיים 4:-2 הגדרה של ת"ס

Igor Kleiner (M.Sc.) igkleiner@gmail.com

2016

מ שונים"עד עכשיו דיברנו על מ

מבוא: תהליך סטוכסטי

מ שונים"עד עכשיו דיברנו על מ

מ"מ אחד נסתכל בסדרה של מ"אם במקום מ, מה יקרה: שאלה חשובה?

מבוא: תהליך סטוכסטי

מ שונים"עד עכשיו דיברנו על מ

מ"מ אחד נסתכל בסדרה של מ"אם במקום מ, מה יקרה: שאלה חשובה?

נסתכל בכמות הסטודנטים בשיעור במשך סמסטר, למשל

מבוא: תהליך סטוכסטי

מ שונים"עד עכשיו דיברנו על מ

מ"מ אחד נסתכל בסדרה של מ"אם במקום מ, מה יקרה: שאלה חשובה?

נסתכל בכמות הסטודנטים בשיעור במשך סמסטר, למשל

מבוא: תהליך סטוכסטי

מספר שיעור

t

1 2 3 4 ... 13 14

23 21 18 16 20 22 כמות

}14,...2,1:{ tXX t

tX

מ שונים"עד עכשיו דיברנו על מ

מ"מ אחד נסתכל בסדרה של מ"אם במקום מ, מה יקרה: שאלה חשובה?

נסתכל בכמות הסטודנטים בשיעור במשך סמסטר, למשל

הערות : מ"כמות סטודנטים בכל שיעור היא מ.

מ הם תלוים"יכול להיות שמ

מבוא: תהליך סטוכסטי

מספר שיעור

1 2 3 4 ... 13 14

23 21 18 16 20 22 כמות

}14,...2,1:{ tXX t

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא סדרה של :הגדרה

סימון:

הגדרה: תהליך סטוכסטי

}:{ TtXX t

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף של :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT יכול להיות בדיד או רציף

הגדרה: תהליך סטוכסטי

),,( PF

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף של :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT יכול להיות בדיד או רציף

הגדרה: תהליך סטוכסטי

),,( PF

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף שך :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT יכול להיות:

בדידt={0,1,2,3,….} אוt={0.25,0.5,0.75,1,…….}

רציף

הגדרה: תהליך סטוכסטי

),,( PF

),0( t

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף שך :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT יכול להיות:

בדידt={0,1,2,3,….} אוt={0.25,0.5,0.75,1,…….}

רציף

מ יכולים להיות בדידים או רציפים"מ

הגדרה: תהליך סטוכסטי

),,( PF

),0( t

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף שך :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמן T יכול להיות:

בדיד t={0,1,2,3,….} אוt={0.25,0.5,0.75,1,…….}

רציף

יכול להיות מ"מ:

ברנולי, גיומטרי, פואסון: בדיד, ....

בטא,גמא,ארלנג, נורמלי, מערכית: רציף,...

הגדרה: תהליך סטוכסטי

),,( PF

),0( t

תהליך סטוכסטי

T

X

זמן רציף זמן בדיד

עם זמן בדיד ומרחב ס"ת מרחב מצבים בדיד מצבים בדיד

עם זמן רציף ומרחב ס"ת מצבים בדיד

עם זמן בדיד ומרחב ס"ת מרחב מצבים רציף מצבים רציף

עם זמן רציף ומרחב ס"ת מצבים רציף

תהליך סטוכסטי

T

X

זמן רציף זמן בדיד

עם זמן בדיד ס"ת מרחב מצבים בדיד ומרחב מצבים בדיד

עם זמן רציף ס"ת ומרחב מצבים בדיד

עם זמן בדיד ומרחב ס"ת מרחב מצבים רציף מצבים רציף

עם זמן רציף ומרחב ס"ת מצבים רציף

תהליך סטוכסטי

T

X

זמן רציף זמן בדיד

עם זמן בדיד ס"ת מרחב מצבים בדיד ומרחב מצבים בדיד

DTMC

עם זמן רציף ומרחב ס"ת מצבים בדיד

Poisson Process, CTMIC

עם זמן בדיד ומרחב ס"ת מרחב מצבים רציף מצבים רציף

עם זמן רציף ומרחב ס"ת מצבים רציף

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף שך :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT בדיד או רציף :יכול להיות

מ יכולים להיות בדידים או רציפים"מ

בכיתה בכל שבוע במשך סטודנטים אם נחזור לדוגמא על כמות , למשל _____ומרחב מצבים ___ ס עם זמן "ת: אזי נקבל, הסמסטר

דוגמא: תהליך סטוכסטי

),,( PF

מספר שיעור

1 2 3 4 ... 13 14

23 21 18 16 20 22 כמות

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף שך :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT בדיד או רציף :יכול להיות

מ יכולים להיות בדידים או רציפים"מ

בכיתה בכל שבוע במשך סטודנטים אם נחזור לדוגמא על כמות , למשל בדידומרחב מצבים בדידס עם זמן "ת: אזי נקבל, הסמסטר

דוגמא: תהליך סטוכסטי

),,( PF

מספר שיעור

1 2 3 4 ... 13 14

23 21 18 16 20 22 כמות

זמןמסודרים על פי אינדקס מ"מתהליך סטוכסטי הוא אוסף שך :הגדרה ,

המוגדרים על אותו מרחב הסתברות

זמןT בדיד או רציף :יכול להיות

מ יכולים להיות בדידים או רציפים"מ

אם נחזור לדוגמא על כמות סטודנטים בכיתה בכל שבוע במשך , למשל בדידומרחב מצבים בדידס עם זמן "ת: אזי נקבל, הסמסטר

כאשר

דוגמא: תהליך סטוכסטי

),,( PF

}50,...,2,1,0{

}14,..3,2,1{

X

t

נניח שאנו צופים במצב המערכת בזמנים, נסתכל במערכת אקראית :

t=0,1,2,3,… .

נסמן ב- Xn מצב המערכת בזמן אתt . אזי סדרת משתנים מיקרים נקראת תהליך סטוכסטי בזמן בדיד

תהליך סטוכסטי בזמן בדיד

,....},,{ 210 XXX}:{ TtXX t

את הטמפרטורה במעלות צלסיוס הנמדדת פעם ביום בשעה -נסמם באזי הסדרה היא תהליך , באוניברסיטת חיפה 12:00

כאשר , סטוכסטי בזמן בדיד

1ס בזמן בדיד דוגמא "ת

,....}3,2,1:{ nX n

)100,273(iX

nX

את הטמפרטורה במעלות צלסיוס הנמדדת פעם ביום בשעה -נסמם באזי הסדרה היא תהליך , באוניברסיטת חיפה 12:00

כאשר , סטוכסטי בזמן בדיד

הוא בדיד או רציףכאן האם מרחב מצבים?

1ס בזמן בדיד דוגמא "ת

,....}3,2,1:{ nX n

)100,273(iX

nX

את תוצאת זריקה -נסמם בnאזי . ית של קובייה הוגנת

______ס בזמן בדיד עם מרחב מצבים "הוא ת

2ס בזמן בדיד דוגמא "ת

,....}3,2,1,0:{ nX n

nX

את תוצאת זריקה -נסמם בnאזי . ית של קובייה הוגנת

{1,2,3,4,5,6}ס בזמן בדיד עם מרחב מצבים "הוא ת

2ס בזמן בדיד דוגמא "ת

,....}3,2,1,0:{ nX n

nX

את תוצאת זריקה -נסמם בnאזי . ית של קובייה הוגנת

{1,2,3,4,5,6}ס בזמן בדיד עם מרחב מצבים "הוא ת

2ס בזמן בדיד דוגמא "ת

,....}3,2,1,0:{ nX n

nX

את כמות מכוניות במחסן בסוף יום -נסמם בn' . אזי

_____ מצביםס בזמן בדיד עם מרחב "הוא ת

3ס בזמן בדיד דוגמא "ת

nX,....}3,2,1,0:{ nX n

את כמות מכוניות במחסן בסוף יום -נסמם בn' . אזי

{…,0,1,2} מצביםס בזמן בדיד עם מרחב "הוא ת

3ס בזמן בדיד דוגמא "ת

nX,....}3,2,1,0:{ nX n

מ המסודרים לפי אינדקס הזמן "ס הוא סדרה של מ"ת

סיכום

}:{ TtXX t