ปลุกจิตคณิต ม.4 - ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร

ค ำวำ “ตรรกศาสตร” ไดมำจำกศพทภำษำสน

สฤตสองศพท คอ ตรรก และศำสตร

ตรรก หมำยถง กำรตรกตรอง ควำมคด ควำม

นกคด และค ำวำ ศำสตร หมำยถง วชำ ต ำรำ

รวมกนเขำเปน “ตรรกศำสตร” หมำยถง วชำวำ

ดวยควำมนกคดอยำงเปนระบบ ปรำชญท วไป

จงมควำมเหนรวมกนวำ ตรรกศำสตร คอ วชำ

วำดวย กำรใชกฎเกณฑกำรใชเหตผล

ประพจน (Proposition)

ประพจน คอ ประโยคทเปนจรงหรอเปน

เทจเพยงอยำงเดยวเทำนน

* ประโยคเหลำนอำจจะอยในรปประโยค

บอกเลำหรอประโยคปฏเสธกได

ประโยคเปด (Open sentence)

บทนยำม ประโยคเปดคอ ประโยคบอก

เลำ ซงประกอบดวยตวแปรหนงหรอมำกกวำ

โดยไมเปนประพจน แตจะเปนประพจนไดเมอ

แทนตวแปรดวยสมำชกเอกภพสมพทธตำมท

ก ำหนดให นนคอเมอแทนตวแปรแลวจะ

สำมำรถบอกคำควำมจรง

ตวเชอม (connective)

ตวเชอมประพจน ” และ ” ( conjunetion ) ใช

สญลกษณแทน Ù และเขยนแทนดวย P Ù Q แตละประพจนม

คำควำมจรง(truth value) ได 2 อยำงเทำนน คอ จรง(True)

หรอ เทจ(False) ถำท ง P และ Qเปนจรงจะไดวำ PÙQ เปน

จรง กรณอนๆ P Ù Q เปนเทจ

PQ P Q

TTFF

TFTF

TFFF

ตวเชอมประพจน ” หรอ ” ( Disjunction ) ใช

สญลกษณแทน V และเขยนแทนดวย P V Q และเมอ P V Q

จะเปนเทจ ในกรณทท ง P และ Q เปนเทจเทำนน กรณอน P

V Q เปนจรง

PQ P V Q

TTFF

TFTF

TTTF

ตวเชอมประพจน “ ถา….แลว” Conditional) ใช

สญลกษณแทน ® และเขยนแทนดวย P®Q

PQ PQ

TTFF

TFTF

TFTT

ตวเชอมประพจน “กตอเมอ” (Biconditional) ใช

สญลกษณแทน « และเขยนแทนดวย P«Q

นนคอ P«Q จะเปนจรงกตอเมอ ท ง P และ Q เปนจรงพรอม

กนหรอท ง P และ Q เปนเทจพรอมกน

PQ PQ

TTFF

TFTF

TFFT

PQ PQ

TTFF

TFTF

TFFT

นเสธ (Negation) ใชสญลกษณแทน ~ เขยนแทนนเสธของ P ดวย ~P ถำ P

เปนประพจนนเสธของประพจน P คอประพจนทมคำควำมจรงตรงขำมกน P

P P

TF

FT

สจนรนดร (Tautology) และ

ควำมขดแยง (Contradiction)

สจนรนดร (Tautology) คอ

รปแบบประพจนทมคำควำมจรงเปน

จรงเสมอโดยไมขนอยกบคำควำม

จรงของตวแปรของแตละประพจนท

มรปแบบเปนสจนรนดร เรยกวำ

ประพจนสจนรนดร (Tautology

statement)

P Q P v Q P PvQ

TTFF

TTTF

TTTF

TTTT

จำกตำรำงแสดงคำควำมจรงไมวำ P และ Q จะเปนจรง

หรอเทจกตำม ประพจน P® PvQ เปนจรงเสมอ ดงนน

ประพจนน เปน สจนรนดร

ควำมขดแยง (Contradiction)

คอ รปแบบประพจนทมคำควำมจรง

เปนเทจเสมอโดยไมขนอยกบคำควำม

จรงของตวแปรของแตละประพจนยอย

ประพจนทมรปแบบ เปนควำมขดแยง

เรยกวำ ประพจนควำมขดแยง

(Contradicithon statement)

ทฤษฎตรรกสมมล (Logical Equivalences)

ควำมรประพจนตรรกะสมมล (Logical

equivalent statement) มประโยชนมำก ส ำหรบกำร

หำขอโตแยงและขอสรปในทำงคณตศำสตร ซงในทำง

ปฏบตแลวกำรสรปเหตผลในแตละรปจะยงยำกมำก

หำกไมอำศยทฤษฎ ตรรกะสมมลในกำรกลำวอำง

ดงนนจงสรปทฤษฎตรรกะสมมลไวส ำหรบใชอำงอง

ตอไป

ก ำหนดให p , q , r แทนประพจนใดๆ t แทนสจนรนดร c แทน

ควำมขดแยง

1. กฎกำรสลบท (Commutative laws)

p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p

2. กฎกำรเปลยนหม (Associative laws)

(p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r)

3. กฎกำรแจกแจง (Distributive laws)

p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) ,

p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)

4. กฎเอกลกษณ (Identity laws)

p v t = t , p ^ t = p

5. กฎนเสธ (Negative laws)

p v ~p = t , p ^ ~ p = c

6.กฎนเสธซอนนเสธ (Double negative laws)

~(~p) = p

7. กฎนจพล (Idempotent laws)

p ^p = p , p = p

8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)

~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q

9. กฎกำรจ ำกดขอบขำย (Universal bound laws)

p v t = t , p ^ c = c

10. กฎกำรซมซบ (Absorption laws)

p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p

11. นเสธของ c และ t

~t = c , ~c=t

ตวบงปรมำณ

(Quantified statement)

ตวบงปรมำณ "ท งหมด" หมำยถงทกสงทก

อยำงทตองกำรพจำรณำในกำรน ำไปใชอำจ

ใชค ำอนทมควำมหมำยเชนเดยวกบ

"ทงหมด" ได ไดแก "ทก" "ทก ๆ" "แต

ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เชน คนทกคนตองตำย,

คนทก ๆ คนตองตำย,คนแตละคนตอง

ตำย, ใคร ๆ กตองตำย

ตวบงปรมำณ "บำง" หมำยถงบำงสวน

หรอบำงสงบำงอยำงทตองกำรพจำรณำ

ในกำรน ำไปใชอำจใชค ำอนทม

ควำมหมำยเชนเดยวกนได ไดแก"

บำงอยำง" "มอยำงนอยหนง" เชน สตว

มกระดกสนหลงบำงชนดออกลกเปนไข

, มสตวมกระดกสนหลงอยำงนอยหนง

ชนดทออกลกเปนไข

คำควำมจรงของประพจนทมตวบงปรมำณ

1.∀x[P(x)] มคำควำมจรงเปนจรง เมอ x ทกตวในเอก

ภพสมพทธท ำให P(x) เปนจรง

2. ∀x[P(x)] มคำควำมจรงเปนเทจ เมอม x อยำงนอย

1 ตวทท ำให P(x) เปนเทจ

3. ∃x[P(x)] มคำควำมจรงเปนจรง เมอม x อยำนอย 1

ตวทท ำให P(x) เปนจรง

4.∃x[P(x)] มคำควำมจรงเปนเทจ เมอไมม x ใดๆ ใน

เอกภพสมพทธทท ำให P(x) เปนจรง

กำรใหเหตผล

(Reasoning)

1.กำรใหเหตผลแบบนรนย เปนกำรใหเหต โดยน ำขอควำมทก ำหนดให ซงตอง

ยอมรบวำเปนจรง ท งหมด เรยกวำ เหต และขอควำมจรงใหมทไดเรยกวำ ผลสรป

ซงถำ พบวำเหตทก ำหนดนนบงคบใหเกดผลสรปไมได แสดงวำ กำรใหเหตผล

ดงกลำวสมเหตสมผล แตถำพบวำเหตทก ำหนดนนบงคบใหเกดผลสรปไมไดแสดงวำ

กำรใหเหตผลดงกลำวไมสมเหตสมผล

ตวอยำง เหต 1. คนทกคนตองหำยใจ

2 . นำยเดนตองหำยใจ

ผลสรป นำยเดนตองหำยใจ

2.กำรใหเหตผลแบบอปนย เปนกำรใหเหตผลโดยอำศยขอสงเกตหรอผลกำรทดลองจำก

หลำยๆตวอยำง มำสรปเปนขอตกลง หรอขอคำดเดำท วไป หรอ ค ำพยำกรณและจะตองม

ขอสงเกต หรอ ผลกำรทดลอง หรอ มประสบกำรณทมำกพอทจะปกใจเชอได แตกยงไม

สำมำรถแนใจในผลสรปไดเตมทเหมอนกบกำรใหเหตผลแบบนรนย

ตวอยำงกำรใหเหตผลแบบอปนย เชน เรำเคยเหนวำมปลำจ ำนวนมำกทออกลกเปนไข เรำจง

อนมำนวำ “ปลำทกชนดออกลกเปนไข ” ซงกรณนถอวำไมสมเหตสมผล ท งน เพรำะของสงเกต

หรอ ตวอยำงทพบวำยงไมมำกพอทจะสรป เพรำะโดยขอเทจจรงแลวมปลำบำงชนดทออกลก

เปนตว เชน ปลำหำงนกยง เปนตน