κολλέγιο ψυχικού

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Τάξη : Γ/

Μάθηµα : Μαθηµατικά κατεύθυνσης

ΘΕΜΑ Α

Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στην κόλλα σας αντίστοιχα

σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι

λανθασµένη

α) Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συµµετρικές ως προς

τον άξονα y/y

β) Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη , τότε η γραφική της παράσταση τέµνει

πάντοτε τον άξονα x/x σε ένα µόνο σηµείο

γ) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα Δ και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ,

τότε οι Cf , Cg τέµνονται το πολύ σε ένα σηµείο

δ) Αν µία συνάρτηση f δεν είναι 1-1 , τότε δεν είναι γνησίως µονότονη

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x2 − 6x + 9

B1. Nα βρεθεί το πεδίο ορισµού της f

B2. Nα εξετάσετε αν η f είναι 1-1

Β3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ef(x) µε x < 3 , είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε

την αντίστροφή της

Β4. Να λύσετε την ανίσωση g!g−1( ) 5x − 9( ) < f −3( )

ΘΕΜΑ Γ

Έστω η συνάρτηση f :!→ ! για την οποία ισχύουν τα εξής :

• f(x) - f(y) = f(x-y) (1) για κάθε x,y ∈!

• f(1)=1

• η εξίσωση f(x) = 0 έχει µοναδική ρίζα στο !

Γ1. Να υπολογίσετε το f(0)

Γ2. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f-1

Γ3. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

Γ4. Αν f(x) < 0 για κάθε x < 0 , τότε :

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την ανίσωση f(x2 + lnx) +f(x-1) < f(lnx) - f(f(-1))