Фрактальная графика

Фрактальная графика

План Введение Понятие фрактала Классификация фракталов Применение фракталов Программные средства Самостоятельная работа

ВведениеМагия фрактала обусловлена его основным качеством -

самоподобием. Самоподобие - основополагающее свойство реальной Вселенной. Все Большое вырастает из Малого, а потому стремится, насколько это возможно, скопировать свойства этого Малого. "В Капле воды отражается Океан". И наоборот...

Подобием пронизан весь мир в котором мы живем. Это основополагающее свойство Вселенной с особой отчетливостью проявляется во фрактальной графике. Лицезрение фрактала есть прикосновение к сокровенным таинствам Вселенной. Вот почему созерцание фрактальной графики завораживает, подобно тому, как завораживает человека ночное пламя костра, или мерное течение прозрачной воды, в струях которой колышутся длинные плети водорослей.

Фрактальная графика, как и векторная вычисляемая, но отличается тем, что никакие объекты в памяти не хранятся. Изображение строится по уравнению, или системе уравнений, поэтому ничего кроме формулы хранить не надо. Изменив коэффициенты можно получить совершенно другую картину.

Фрактальными свойствами обладают многие объекты живой и неживой природы (снежинка, ветка папоротника).

Способность фрактальной графики моделировать образы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций, поверхности местности.

Введение

Понятие фракталаФрактал (лат. fractus — дроблёный) — термин, введённый Бенуа

Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных множеств. В его работах использованы результаты других учёных, работавших в той же области (Пуанкаре, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Фрактальная геометрия - это один из разделов теории Хаоса.

Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Основные свойства фракталов:

имеют тонкую структуру, т. е. содержат произвольно малые масштабы.

слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.

имеют некоторую форму самоподобия, допуская приближённую.

имеют дробную размерность Хаусдорфа — Безиковича.

Фигура, элементарные части которой повторяют свойства своих родительских структур, называется фрактальной. Простейшим фрактальным объектом является треугольник.

Понятие фрактала

Классификации фракталов В основном фракталы делят на геометрические,

алгебраические и стохастические. Однако существуют и другие классификации: Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те

фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Геометрические фракталы История фракталов началась с геометрических

фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая.

При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:кривая дракона; кривая Коха; кривая Леви; кривая Минковского; кривая Пеано.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

множество Кантора; треугольник Серпиньского; коврик Серпиньского; кладбище Серпиньского; губка Менгера; дерево Пифагора.

Геометрические фракталы

Алгебраические фракталыДля построения алгебраических фракталов

используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Примеры алгебраических фракталов: множество Мандельброта; множество Жюлиа; бассейны Ньютона; биоморфы.

Стохастические фракталы Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может

выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры, то получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря

Применение фракталовГенерация изображений природных объектов

Фрактальное деревоГеометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев,

кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические — при построении ландшафтов, поверхности

морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др.

Механика жидкостейФракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике

жидкостей и газов:динамика и турбулентность сложных потоков; моделирование пламени; изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

Применение фракталов

БиологияМоделирование популяций; биосенсорные взаимодействия; процессы внутри организма, например, биение сердца.

Фрактальные антенныИспользование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств

было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Применение фракталовСжатие изображенийСуществуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов.

Они основаны на теореме Банаха о сжимающих преобразованиях и являются результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.

Децентрализованные сетиСистема назначения IP адресов в сети Netsukuku использует принцип

фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Далее см. Примеры фракталов

Программы для генерации фрактальных изображений Ultra Fractal — пожалуй, самая мощная программа,

предназначенная для создания и анимации изображений по фрактальному алгоритму;

Fractal Explorer — одна из лучших на сегодняшний день программ для создания изображений фракталов;

XaoS — многоплатформенный генератор фракталов, позволяет приближать и удалять картинку в реальном времени;

Fractint — очень мощная многоплатформенная программа, развитие которой, к сожалению, давно остановилось;

Chaoscope — программа трёхмерной визуализации странных аттракторов;

Apophysis — программа для создания fractal flames. Fractal flames является расширением IFS фракталов;

Программные средстваСреди программных средств можно выделить продукты фирмы

Golden SoftWare: Surfer - создание трехмерных поверхностей; Grapher - создание двухмерных графиков; Map Viewer - просмотр карт.

Surfer позволяет обработать и визуализировать двумерный набор данных, описанных функцией z=f(x,y).

Grapher предназначен для обработки и вывода графиков, которые описаны функциями y=f(x).

Map Viewer позволяет производить корректировку карт - изменять масштаб, обрабатывать и приводить к графическому виду числовую информацию, привязаных к карте.

Пакет Iris Explorer (фирма Graphics) предназначена для создания моделей погодных условий на океане.

Пакет Earth Watch (фирма Earth Watch) предназначена для моделирования демонстрации изображений метеоусловий над Землей.

Модуль Chart в стандартном пакете MS Office позволяет легко строить графики на основе данных, что находятся в таблице. Можно представить графики в любых из 5 основных форм:

гистограмма; линии; площадь; в полярных координатах; поверхности.

Программные средства

Изучив лекционный материал, составьте в тетради:

8 ключевых понятий по данной теме 10-12 вопросов, ответы на которые

раскрывают полностью тему.

Источники литературы Федер Е.Ф32 Фракталы: Пер. с англ.-М.: Мир,

1991.-254 с., ил. ISBN 5-03-001712-7 Морозов А.Д.Введение в теорию фракталов.

— Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 стр.

http://yurkinsoft.chat.ru/rus/fractal/fractal.htm ait.ustu.ru/AIT/uch/Fractal