§ 5.5 arma 时序分析法
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1
§5.5 ARMA 时序分析法 ARMA 法的基本思想:
强迫振动方程
差分形式的ARMA 模型
时移算子形式的 ARMA 模型
Z 变换形式的 ARMA 模型
ARMA系数
模态参数
一、 ARMA 模型 对确定性系统,系统输入输出有以下关系: ARMR 模型阶次
自回归系数 滑动平均系数 反映系统特性
反映系统特性
差分形式的 ARMA 模型:
lkl
q
l
klkl
p
l
k fbfbxax
1
0
1
(5.5-1)
2
lkl
q
l
klkl
p
l
k fbfbxax
1
0
1
或写成 (5.5-2)
bl = 0
1
1
kl
p
l
k xax
AR 模型 MA 模型
al = 0
lkl
q
l
kk fbfbx
1
0 (5.5-3)
定义时移算子 Dl 为: lkkl xxD (5.5-5)
则时移算子形式的 ARMA 模型: kk fDbxDa )()( (5.5-6)
式中算子 a(D) 和 b(D) 为
ll
q
l
ll
p
l
DbbDb
DaDa
10
1
1
(5.5-7)
3
二、强迫振动方程与 ARMA 模型的等价关系
)(tfkxxcxm (1.2-1)
ARMA(2,0) 模型
式中
2
2
0
22
21
)(
)(
)(
)(
2
tktcm
tb
tktcm
ma
tktcm
tcma
(5.5-9) 除 t 外,只与 m 、c 、 k 有关
1 .单自由度系统
2121
1
211
1
)(,
kkkkk
kkk
kk
xxxt
xxt
x
xxxt
x
ftkftfxtkxx
klkl
l
k fbxax 0
2
1
(5.5-8)
作差分
4
2 .多自由度系统 )}({}{][}{][}{][ tfxKxCxM (1.4-38)
对某坐标 x :
)()()()( 01)32(
32)22(
22
01)12(
12)2(
2
tftftftf
xxxx
nn
nn
nn
nn
(5.5-10)
lkl
n
l
klkl
n
l
k fbfbxax
22
1
0
2
1
(5.5-11)
ARMA(2n,2n-2) 模型
三、传递函数与 ARMA 模型的等价关系
1 . Z 变换 时间序列 xk 的拉氏变换: tks
k
k
exsX
0
)( (5.5-12)
5
为 Z 变换因子 tsez
kk
k
zxzX
0
)( (5.5-14) 记为
Z 变换将序列 xk 从时域变换到 z 平面, z 为复数。 Z 变换与拉氏变换完全等价,具有相同的性质,如线性性质、位移定理、时移性质、卷积定理、初值定理、终值定理等。
时移性质: )(zXzxZ llk
(5.5-16)
可证: ll zD (5.5-17)
)()( kxZzX (5.5-15) xk 的 Z 变换:
6
2 .传递函数与 ARMA 模型的等价关系
时移算子形式的 ARMA 模型: kk fDbxDa )()( (5.5-6)
ll
q
l
ll
p
l
zbbzb
zaza
10
1
)(
1)(式中
p = 2n ,q = 2n - 2
ll
p
l
ll
q
l
za
zbb
zazb
zF
zXzH
1
1
0
1)()(
)(
)()(Z 变换形式的
传递函数: (5.5-20)
作 Z 变换,并考虑式
ll zD
(5.5-18) Z 变换形式的 ARMA 模型: )()()()( zFzbzXza
7
01)(1
l
l
p
l
zazaARMA 模型的特征方程: 令
(5.5-21)
2n 个共轭复根 zi
1d
)(d)(
z
zaza
2n 个复频率 si
tsi
iez
izzefi za
zbR
)(
)( (5.5-23) 各阶模态的留数:
四、估算模态参数 1 .估算 ARMA 模型的系数 al 和 bl
nDOF 系统的 ARMA 模型: lkl
n
l
klkl
n
l
k fbfbxax
22
1
0
2
1
(5.5-24)
8
在采样点 k + 2n 处
Tklnkl
n
lnklnkl
n
lnk pfbfbxax
2
22
1202
2
12 (5.5-25)
式中 Tknknknkknknkk ffffxxxp 2221222212 (5.5-26)
Tnn bbbaaa 2210221 (5.5-27) {pk} 、 {}∈R4n - 1
令起始采样点号 k = 0,1,2,…, m
Px (5.5-28)
式中 Tmnnn xxxx 2122 ∈Rm+1 (5.5-29)
2221222212
3122121122
22212202212
1
0
][
mmnmnmnmmnmn
nnnnn
nnnnn
Tm
T
T
ffffxxx
ffffxxx
ffffxxx
p
p
p
P
∈R(m+1)×(4n - 1) (5.5-30)
9
实际测得
]~
[]~[ Px 和 LSE
xPPPTT ~~~~ 1
(5.5-33)
2 .估算复模态频率 mi 和复模态阻尼比 mi
01)(1
l
l
p
l
zaza (5.5-21) ARMA 模型的特征方程:
2n 个共轭复根 zi
mdi 、 mi 、 mi 、 mi
10
3 .估算复模态矢量 1d
)(d)(
z
zaza
各阶模态的留数: izz
efi za
zbR
)(
)((5.5-23)
e = 1,2,…, n , i = 1,2,…, n
nfnnfnf
fnff
fnff
RRR
RRR
RRR
R
21
22212
12111
(5.5-34) 留数矩阵
[R] 中各列即为系统各阶模态的复模态矢量
11
§5.6 多参考点复指数法( PRCE )
LSCE 法的推广 一、数学模型
脉冲响应函数矩阵:
t
i
T
iit
i
Tii
n
i
ii ea
ea
th*
*
**
1
∈RM×L (1.5-61)
H
T
i
i
t
t
a
a
e
eth
*
*
1diag0
01
diag
0
0][)]([ * (5.6-1)
)(diag),(diag** tttt ii eeee
][][][)]([ teth (5.6-2)
12
式中 ][][ * ∈CM×2n (5.6-3)
t
tt
e
ee *
0
0][
∈C2n×2n (5.6-4)
H
T
i
i
a
a
*
1diag0
01
diag
][ ∈C2n×L (5.6-5) 模态参与因子矩阵:
TtTT eth ][][][)]([ 转置 (5.6-6)
}{][][)}({ etT
e eth [h(t)]T 中第 e 列 (5.6-7)
13
e
sT
T
T
e
e
e
Z
Z
sh
h
h
)(
)1(
)0(
e = 1, 2, …, Mk = 0, 1, 2, …, s
∈C2n×2n
][][ teZ (5.6-10)
nLssT
T
T
Z
ZG
2)1(
][
1)1()(
)1(
)0(
}{
Lse
e
e
e
sh
h
h
h
}{][}{ ee Gh (5.6-11)
取采样点数 s ,使 sL≥2n ,则 [G] 行数比列数至少多 L 个,根据矩阵理论,存在 L×(s + 1)L 阶行满秩矩阵 ( [Ap] 为 L×L 阶满秩矩阵,p = 0, 1, 2, …, s ,且 [As] = [I] ),使:
][][ 110 ss AAAAA
[G] 各分块元素线性无关 ]0[]][[ GA (5.6-14)
14
pTp
s
p
ZAGAZP ][][][][][)]([0
相当于 Prony 多项式]0[)]([ ZP
∈CL×2n
(5.6-16)
e
sT
T
T
e
e
e
Z
Z
sh
h
h
)(
)1(
)0(
(5.6-10)
e
slT
lT
lT
e
e
e
Z
Z
Z
slh
lh
lh
1
)(
)1(
)(
起始采样点号为 l
(5.6-17)
15
}0{)}({][0
klhA ek
s
k
左乘 [A] 并展开,考虑式 (5.6-16)
(5.6-18)
)}({)}({][1
0
slhklhA eek
s
k
(5.6-19)
)}({}{][ slhhA eel (5.6-20) 脉冲响应序列的 AR 模型: 式中 ][][ 110 sAAAA ∈R L×sL (5.6-21)
)1(
)1(
)(
}{
slh
lh
lh
h
e
e
e
el ∈R sL (5.6-22)
16
二、估算模态参数 1 .估算自回归系数矩阵
脉冲响应序列的 AR 模型: )}({}{][ slhhA eel (5.6-20)
][][][ RTA
令 l = 0, 1, 2, …, m , e = 0, 1, 2, …, M ,写成矩阵形式
(5.6-23)
式中 ][][ 21 MTTTT ∈R sL×(m + 1) (5.6-24)
][][ 21 MRRRR ∈R L×(m + 1)M (5.6-25)
)1()()1(
)1()2()1(
)()1()0(
][][ 10
smhshsh
mhhh
mhhh
hhhT
eee
eee
eee
emeee
∈R sL×(m + 1) (5.6-26)
)]()1()([][ mshshshR eeee ∈RL×(m + 1) (5.6-27)
17
设 [T] 为行满秩矩阵
1
11
1 ][][][][)][]([][][][
T
ee
M
e
Tee
M
e
TT TTTRTTTRA (5.6-28)
由于 [Te] 的阶数很高,使用上式求逆时容易出现病态,故可采用 QL 分解。设 [T] 为行满秩矩阵,则 [T] = [L] [Q] , [L]∈RsL×sL 为具有正对角元的下三角矩阵, [Q]∈RsL×(m + 1)M 为行正交矩阵,即 [Q][Q]T = [I] 。
1][][][][ LQRA T (5.6-32)
2 .估算复频率 i
]0[][][][][][)]([0
pTp
s
p
ZAGAZP (5.6-16)
][][][ IAAAA s (5.6-33)
18
取一列
}0{}{)]([ iizp特征值问题: (5.6-35)
{i}∈CL 为 []T 的第 i
列
pip
s
p
i zAzp ][)]([0
∈CL×L 特征对: zi 、 {i}
i 、 []T
3 .估算模态矢量
nLssT
T
T
Z
ZG
2)1(
][
}{][}{ ee Gh (5.6-11)
}{][])[]([}{][}{ 1e
TTee hGGGhG (5.6-40) e = 1, 2, …, M
][][ 21 MT ∈C2n×M
TM ][][ 21 ∈C M×2n (5.6-41)
其前 n 列即n 个模态矢量。
19
§5.7 特征系统实现法( ERA ) 特征系统实现法( ERA )的基本思想:
MIMO 脉冲响应函数
广义 Hankel矩阵
系统最小实现
模态参数
特征系统实现法( ERA )的特点: 由于使用了现代控制理论中的最小实现原理,使计算量大大减少。 理论推导严密,技术先进,计算量小,是当时乃至目前最完善、最
先进的方法之一。 一、状态方程 1. nDOF 粘性阻尼时间连续系统
另一形式的状态方程: )}(]{[}{][}{ tfByAy (5.7-1)
状态空间矢量: 式中
x
xy
}{ ∈R2n×1 (5.7-2)
20
系统矩阵:
CMKM
IA
11
0][ ∈R2n×2n
1
0][
MB ∈R2n×L (5.7-3,4)
激励点数 输出向量(观测方程): yGz ∈R M (5.7-5)
位移、速度或加速度 ∈RM×2n 观测矩阵 响应测量点数
称 [A,B,G] 为系统的一个实现——与系统固有特性有关。
2. 时间离散系统 状态方程: )}({][)}({][)}1({ 11 kfBkyAky (5.7-13)
式中系统矩阵: ][][ 1
tAeA ∈R 2n×2n ; tBAB Δ][][][ 11 ∈R2n×L (5.7-11)
观测方程: )}({][)}({ kyGkz (5.7-14)
时间离散系统的一个实现: ],,[ 11 GBA
21
一个系统可以有无穷多个实现。可证,对任意非奇异方阵 [T] ∈R2n×2n , 都是系统的实现,其中以阶次最小的实现称为最小实现。具有最小实现的系统是完全能控和能观的。最小实现理论是指,已知观测向量 {z(k)} ,构造常值矩阵 [A1] 、 [B1] 、 [G] ,使 [A1, B1, G] 的阶次最小。
],,[ 11
11 GTBTTAT
3. 能控性与能观性 定义: 能控矩阵 ][][ 1
1211
21111 BABABABQ n 2n×2nL 阶 (5.7-15)
能观矩阵
121
21
1
][
nGA
GA
GA
G
P
2nM×2n 阶 (5.7-16)
22
系统是能控的充要条件: rank[Q] = 2n
系统是能观的充要条件: rank[P] = 2n
二、脉冲响应函数
时间序列的 Z 变换: kk
k
zxzX
0
)( (5.5-14)
Z 变换形式的传递函数: k
k
zkhzH
)]([)]([
0
(5.7-19)
状态方程: )}({][)}({][)}1({ 11 kfBkyAky
观测方程: )}({][)}({ kyGkz
ERA 的数学模型 ][]][[)]([
]0[)]0([
11
1 BAGkh
hk
经推导,可证
Z 变换
(5.7.24a)
(5.7.24b)
23
三、系统最小实现 [A1,B1,G]
设已测得脉冲响应矩阵 [h(k)] , M×L 阶。以之构造广义 Hankel 矩阵:
)2()1()()1(
)1()4()3()2(
)()3()2()1(
)1()2()1()(
)]1([
khkhkhkh
khkhkhkh
khkhkhkh
khkhkhkh
kH
(5.7-26)
式 (5.7-24b)
][][][)]1([ 11 QAPkH k (5.7-27)
能观矩阵
11
1][
GA
GA
G
P M×2n 阶 (5.7-28)
式中:
24
、分别称为能观、能控指数,且有 n
L
nn
M
n2
2,2
2 (5.7-30)
]][[)]0([ QPH (5.7-31)
][]][[)]([ 1 QAPkH k (5.7-32)
TVUH ]][][[)]0([ 对 [H(0)]做奇异值分解 (5.7-33)
[U] 、 [V] 为列正交矩阵 式中 ][][][],[][][ IVVIUU TT (5.7-34)
i 为 [H(0)] 的奇异值
),,,(diag][ 221 n (5.7-35)
设
阶
阶
LLIE
MMIE
LLLT
L
MMMT
M
]00[][
]00[][
(5.7-40)
能控矩阵 ][][ 11
1111 BABABQ 2n×L 阶 (5.7-29)
25
式 (5.7-26)
][)]([][)]1([ LT
M EkHEkh (5.7-41)
][][][])[][)]1([][][][][][)]1([ 2
1
2
1
2
1
2
1
LT
k
TTM EVVHUUEkh
(5.7-46)
[G] [A1] [B1]
与式 (5.7-24b) 比较,有
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
][][][][
][][][][
]][[)]1([][][][
UEG
EVB
VHUA
TM
LT
T
(5.7-47) 因 [A1] 的阶数为 2
n ,故由上式确定的 [A1, B1, G] 为系统的最小实现。
以 下 推 导很繁!
26
四、模态参数
可证矩阵 [A] 与 [A1] 具有相同的特征矢量。设矩阵 [A] 的特征值矩阵为
[] ,则 [A1] 的特征值矩阵为 。从而求得矩阵 [A1] 的特征对,即可得原系统的特征对,进而得到模态参数,其中模态矢量矩阵为[] = [G][] 。
][][ teZ
五、非随机噪声和非线性因素的影响
由于非随机噪声和结构非线性因素的影响,在对 [H(0)] 进行奇异值分解时有时存在定阶困难。 J. N. JUANG 和 R. S. PAPPA引入模态幅值相干系数 MAC(Modal Amptitude Coherence) 和模态相位共线性 MPC ( Modal Ph
ase Collinearity )来区分有效模态和噪声模态 [106]
27
六、 ERA 与 ITD 法的关系 1 . ITD 法
ITD 法的系统矩阵 [A] 由下式确定: ]][[][ xyyz DAD (5.3-58)
式中
nn
xykX
kXD
22)1(
)(][
(5.7-72)
nn
yzkX
kXD
22)2(
)1(][
(5.7-73)
{h(k+1)} 、 {h(k)}∈R2n
)}(]{[)}1({ khAkh (5.7-74) 取自由响应 x(k)为脉冲响应 h(k)
28
[G] [A1] [B1]
从而
阶
阶
阶
MMEG
LMEHB
MMHHA
TM
L
][][
][)]0([][
][)]1([][
1
#1
(5.7-78)
为系统的一个实现。 当 M = 2n , L = 1 时= 1
)}(]{[}{][}{][][)}1({ 11111 khABABAGkh kk (5.7-79)
此即 ITD 法的基本公式 (5.7-74)
这说明,当为单点激励 (L = 1) ,测点数恰为系统阶次 (M
=2n) 时, ERA 即退化为 ITD 法。为了给噪声模态留有出口, ITD 法需增加测点数和采样点数,从而导致式 (5.7-7
4) 中的 [A] 矩阵阶数增大,即 ITD 法中的系统矩阵 [A]不是最小实现。
][)]0([])[)]1(([][)]1([ #L
kTM EHHHEkh (5.7-77) 可导出:
2 . ERA 法
第 5 章完第 5 章完
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