المعادلات التربيعية المربعات الكاملة

:سبق فيما

ضرب ناتج إيجاد درستفي حد وحيدتي مجموع

بينهما . الفرق

التي- الحدود ثالثية أحللكامل . مربع صورة على

تتضمن- معادالت أحلكاملة . مربعات

الكامل- المربعحدود لثالثية

بالسرعة لماذا؟ والحجر الريشة تسقطإلى ستحتاج لذا الفراغ، في نفسها

المعادلة لمعرفة 0ل + 2ن5 = -0حل ،إلى يصل كي الجسم إليه يحتاج ما

ل ارتفاع من سقط إذا H 0األرض متراالزمن تمثل ن حيث األرض، فوق

الجسم . سقوط بعد بالثواني

صورة على حدود ثالثية تحليل : قاعدة تعلمت كامل مربع

) ب ) + أ الحد ثنائيتي ، 2 مفكوك) ب) – نواتج . 2 أ تلك بأن تذكر

معينة . قاعدة تتبع خاصة ضرب

) ب) + ( 2 أ + ( ) ب = ) + أ ب أ

ب + + + 2أ= أب 2أب

ب + 2 + 2أ= 2أب

) ب) – (2 أ – ( ) ب = ) – أ ب أب– – + 2أ= أب 2أب

ب + 2– 2أ= 2أب

للتحليل قابلة حدود ثالثية ولتكونأن يجب كامل، مربع صورة على

واألخير األول الحدان يكونالحد يكون وأن كاملين، مربعينالجذر ضرب ناتج ضعف األوسطواألخير األول للحدين التربيعي

سالبة . أو موجبة بإشارة

الحدود ثالثية H9س + 24 + 2س16فمثال أدناه موضح هو كما ،Hكامال Hمربعا تشكل

.ألن: 2س16 نعم؛ كامل؟ مربع األول الحد هل .2 س(4 = )2س16ضرب: 24 ناتج ضعف األوسط الحد هل س

األول الحدين من لكل التربيعي الجذرألن نعم؛ ( .3س( )4 )2س = 24واألخير؟

نعم؛: 9 كامل؟ مربع األخير الحد هل .23 = 9ألن

األول الحد هلكامل؟ مربع

ألن 2س16نعم؛ .2 س(4= )

األوسط الحد هلضرب ناتج ضعف

لكل التربيعي الجذراألول الحدين من

ألن نعم؛ واألخير؟( .3س( )4 )2س = 24

الحد هلمربع األخيرنعم؛ كامل؟

.23 = 9ألن

9س +24 + 2س16

: ثالثية تحليل أساسي مفهوم H كامال Hمربعا تشكل التي الحدود

: أ اللفظي ب + 2 + 2التعبير ( 2أب ب = ) + أ) + ( = ) ب) + أ ب .2 أ

ب + 2– 2أ (2أب – ( = ) – ( ) ب = ) – أ ب أ ب .2 أ

أمثلةس( = ) 4س( ) + 4س = ) + 16س + 8 + 2س: +4) 2

س( = ) 3س( ) – 3س = ) – 9س + 6– 2س –3) 2.

إرشادات تشكل للدراسة التي الحدود ثالثية تمييز

كامال مربعاثالثية في الثابت الحد كان إذا

ثالثية فإن سالبا، الحدودكامال، مربعا تشكل ال الحدود

الضروري من ليس لذا. األخرى الشروط من التحقق

1

وتحليلها Hكامال Hمربعا تشكل التي الحدود ثالثية تمييز

يأتي فيما حدود ثالثية كل كانت إذا حدد: وحللها ال، أم Hكامال Hمربعا تشكل

9ص + 12 + 2ص4أ(

مربع- 1 األول الحد هلكامل؟

.2 ص(2 = )2ص4نعم،

كامل؟- 2 مربع األخير الحد 23 = 9نعم، هل

يساوي- 3 األوسط الحد ص( 2 )2هل( .3ص( )2 )2ص = 12نعم، ؟( 3)

فإن متوفرة، الثالثة الشروط أن بماالعبارة

تشكل 9ص + 12 + 2ص4 حدود ثالثية. H كامال Hمربعا

23( + 3ص( )2 )2 + 2 ص(2 = )9ص + 12 + 2ص4

أ صورة على العبارة + 2اكتبب + 2 أ2أب

(3ص + 2= )2

القاعدة باستخدام حلل

4س + 6– 2س9ب(

كامل؟- 1 مربع األول الحد هل س(3 = )2س9نعم،

مربع- 2 .2 األخير الحد هل .22 = 4نعم، كامل؟

يساوي- -3 األوسط الحد 2هليساوي -6ال، -؟( 2س( )3) ال ( .2س( )3 )2س

يحقق ال األوسط الحد أن بماالحدود ثالثية فإن لذا 2س9الشرط،

H .4س + 6– كامال Hمربعا تشكل ال

16ص + 24 + 2ص9أ( 1

(4ص+3()4ص+3نعم، )

من تحققفهمك:

25أ + 10 + 2أ2ب( 1

ال

من تحققفهمك:

H تاما Hتحليال الحدود ثالثية تحليل يكونضرب ناتج صورة على كتب إذا

. تستعمل وقد أولية حدود كثيراتالحدود كثيرة لتحليل طريقة من أكثر

ملخص . ويساعدك Hتاما Hتحليالعند تبدأ أين من لتقرر المفهوم

وإذا Hتاما Hتحليال الحدود كثيرة تحليلال أو نمط، أي حدود كثيرة يناسب لم

. أولية تكون فإنها تحليلها يمكن

: طرق المفهوم ملخصالتحليل

الحدود الخطوات أمثلةعدد

: 1الخطوة بإخراج حلل

) . . أ) م ع

عدد أي – 2س2 + 3س4س 6

= 2 س + 2 )2س س –3)

تحقق: 2الخطوة الحدود كثيرة هلبين Hفرقا تشكلأنها أم مربعين

على حدود ثالثيةكامل مربع صورة

3أو 2( 4س + 3 = )16 – 2س9 + 2س16(4س – 3)

2 (3س + 4= )9س + 24

الحدود الخطوات أمثلةعدد : 3الخطوة أنماط طبق

س ل 2التحليلجـ+ + س ب

أس س + 2أو بكثيرة+ ) جـ

بصورة حدودحلل( أو ، عامة

بتجميع . الحدود

4أو 3

12س + 8 – 2س(6س( ) – 2س = ) –

ص 8ص + 9 + 2ص12ص( 9 + 2ص12 = )6+

(6ص + 8+ ) 2( + 3ص + 4ص )3= (3ص + 4)

=)4 3ص + ( ) ص + 32(

إرشادات إجابتك :للدراسة من تحقق

إجابتك من التحقق يمكنكالتوزيع •خالل: طريقة استعمال

التوزيع •بالترتيب خاصية استعمال

العبارة • من كل تمثيلبالرسم وتحليلها األصلية

. بينها والمقارنة

التام التحليل

اآلتية، الحدود كثيرات من Hكال حللفاكتب ،Hممكنا ذلك يكن لم وإذا

:" 80س – 5أ( أولية"

( 1الخطوة . . للحدين: ) أ م 80، - 2س5ع( .5هو . . أ ) م ع بإخراج حلل ،

اثنان،: 2الخطوة الحدود عدد أن بماتشكل الحدود كثيرة أن من تحقق لذا

مربعين . بين Hفرقا

2

(4س( ) + 4س ) – 5=

(16– 2س )5 = 80– 2س5

) . . أ) م ع5للحدين

– 2س )5= 24)

4×4 = 16س، ×س = 2س

مربعين بين الفرق تحليل

35س – 6– 2س9ب(

: 1الخطوة ) . . للحدود: ) أ م .1هو 35س، -6، -2س9ع

أن: 2الخطوة H 35بما مربعا ليس H مربعا تشكل ال الحدود فثالثية ،Hكامال

. H أس: 3الخطوة كامال النمط باستعمال 2حلل . ناتج+ + عددان يوجد هل ج س ب

أو( -35 )-9ضربهما ومجموعهما -315،نعم، -6 ضربهما -15، 21؟ 315ناتج

.6ومجموعهما -

س + + – 2س9 = 35س – 6– 2س9 ن س 35ماستخدم القاعدة س 21س – 15 + 2س9=

ن = -15م = 35– ،21(35س – 21س( + )-15 + 2س9= )

المشتركة العوامل ذات الحدود جمع(5س + 3 )7( – 5س + 3س )3=

تجمع كل حلل) . . أ ) م ع بإخراج ( 7س – 3( )5س + 3= )

مشترك 5س + 3 عامل

32– 2س2ب( 2

2- +4س) (4س()

من تحققفهمك:

تتضمن معادالت حلمتكررة عوامل

: المعادلة س = - 48– 2س9حلاألصلية 64س = - 48– 2س9 .64 المعادلة = 64س + 48– 2س9الطرفين 64أضف 0 إلى 0 = 2 (8( + )8س( )3 )2– 2 س(3)

ثالثية كانت إن تحقق 64س + 48– 2س9الحدود

H كامال Hمربعا تمثل

3

0 = 2 (8س – 3)

كامل مربع صورة على الحدود ثالثية حلل( 8س – 3( )8س – 3)

=0عاملين 2 (8س – 3اكتب ) ضرب كحاصل

0 = 8س – 3المتكررة = العوامل أحد 0ضع

الطرفين 8أضف 8س = 3 كال إلى 8س =

على 3 الطرفين كال 3اقسم

أ( 3 0 = 36أ + 12 + 2أ

6أ=-

: فهمك من تحققالمعادلتين من Hكال حل

صحة من وتحقق اآلتيتين،الحل:

الرياضيات قراءة

التربيعي الجذرسالب أو موجب يقرأ

لـ التربيعي .16الجذر ± 16

س مثل معادالت حللت أن 0 = 16– 2سبق H أيضا ويمكنك العوامل، إلى بالتحليل

المعادلة . لحل التربيعي الجذر استعمال

اكتب 0 = 16– 2سالمعادلة

الطرفين 16أضف 16 = 2س كال إلى

التربيعي 16 س = ± الجذر خاصيةل تربيعيان جذران يوجد أنه هما 16تذكر ،4- ،

هي. }-4 الحل مجموعة فإن ويمكنك{. 4، 4لذاب }± ذلك عن { .4التعبير

: التربيعي الجذر خاصية أساسي مفهوم

: المعادلة لحل اللفظي التعبيرس الصورة على ذ = 2التربيعية hخ ن،

طرف . لكل التربيعي الجذرن: <= حقيقي عدد ألي إذا 0الرموز ،

س س = = ± 2كان ن . ن،

س: 25 = 2مثال

.5 = ± 25 س = ±

س المعادلة في ن كانت ن = 2إذاإلى فتحتاج ،Hكامال Hمربعا ليست

لذا التربيعي، الجذر تقريب . إذا أما الحاسبة اآللة استعملفستحصل Hكامال Hمربعا ن كانت

دقيقة . إجابة على

الجذر خاصية استعمالالتربيعي 4

وتحقق اآلتية، المعادالت من Hكال حل: الحل صحة من

األصلية 81 = 2 (6ص) – المعادلة

التربيعي 81 = ± 6ص – الجذر خاصية

ص( ) – 81 = 2 (6أ

9×9 = 981 = ± 6ص –

الطرفين 6أضف 9 ± 6ص = كال إلىص = 9 + 6ص = – 6أو

معادلتين 9 إلى المعادلة افصل

بسط3 = -15=

هما ، -15الجذران3.

في بالتعويض تحققاألصلية المعادلة

األصلية 12 = 2 (6س) + المعادلةالتربيعي 12 = ± 6س + الجذر خاصية

كل 6اطرح 12جذر ± 6س = - منطرف هما - – 6، -12جذر + 6الجذران

الحاسبة، - .12جذر اآللة جذر + 6باستعمال .9,46 = -12جذر + 6، -2,54 = -12

أ( ) – 4 121 = 2 (10أ

1، -21أ=

من تحققفهمك:

: حل الحياة واقع من

ارتفاع: 5المعادلة من كرة أhسقطت 68فيزياءل. = - المعادلة كانت إذا Hل + 2ن5مترا

التي ن الثواني عدد إليجاد تhستعملاالرتفاع إلى للوصول الكرة إليها تحتاج

) ل) االبتدائي االرتفاع من بالمتر، 0لالكرة تستغرقه الذي الزمن فأوجد

األرض . إلى ل = للوصول األرض، مستوى واالرتفاع 0عندل 68االبتدائي .68 = 0إذن،

األصلية 0ل + 2ن5ل = - المعادلة

68 + 2ن5 = -0ل وعن صفر، ب ل عن 68ب 0عوض

2ن5 = -68-كال 68طرح من

الطرفين اقسم 2ن = 13,65على - التربيعي ن = ±3,7 الجذر خاصية

ليس هنا السالب العدد أن بماالكرة تستغرق لذا ،Hثوان 3,7منطقيااألرض . إلى للوصول Hتقريبا

تاريخ الرياضيات

جاليلى ) - 1564جاليليوأن (1642 أثبت من أول جاليليو كان

األوزان المختلفة األجساموذلك نفسها، بالسرعة تسقط

مختلفي جسمين باسقاطالمائل بيزا برج قمة من الوزن

عام إيطاليا .1589في ميالدية

تستغرقه( 5 الذي الزمن أوجدإذا األرض إلى للوصول الكرة

مبنى سطح من أhسقطتالمذكور االرتفاع نصف ارتفاعه

أعاله .ثوان 2.6

تقريبا

من تحققفهمك:

2(6س+5نعم، )

36 = 2س4( 6

3س=±

2و– 4و( 19

-2و +1و) (1و()

7 = 2 (4ص( ) – 28

7±4ص=

الدرس انتهى