расчет дифракционных...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

Л.Л. ДОСКОЛОВИЧ

РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК В РАМКАХ СТРОГОЙ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний

С А М А Р А Издательство СГАУ

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 535.42 ББК 22.343 Д703

Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэро-космических и геоинформационных технологий"

ПРИО

РИТЕТНЫЕ

АЦИ ОНА Л ЬНЫ

Е ПРОЕКТЫ

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор В.В. Ивахник,

д-р физ.-мат. наук, профессор И.П Завершинский. Досколович Л.Л.

Д703 Расчет дифракционных решеток в рамках строгой электромаг-нитной теории: учеб.пособие / Л.Л.Досколович. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. – 80 с.: 30 ил. ISBN 978-5-7883-0607-0

Рассмотрены методы решения прямых и обратных задач дифракции на одномерных и двумерных дифракционных решетках в рамках электромаг-нитной теории. Прямые задачи состоят в расчете отраженного (прошедшего) поля, возникающего при дифракции света на рельефе дифракционной ре-шетки. Обратные задачи состоят в расчете профиля периода решетки из ус-ловия формирования заданной интенсивности порядков дифракции. Методы применимы к расчету многослойных покрытий и фотонных кристаллов. Предназначено для студентов специальностей и направлений «Прикладные математика и физика», «Прикладные математика и информатика».

УДК 535.42 ББК 22.343

ISBN 978-5-7883-0607-0 © Досколович Л.Л., 2007 © Самарский государственный

аэрокосмический университет, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...................................................................................................................................4 1. Дифракция на идеально проводящих решетках со ступенчатым профилем .................5

1.1. ТЕ-поляризация .......................................................................................................7 1.2. ТМ-поляризация ......................................................................................................9

2. Дифракция на идеально отражающих решетках с непрерывным профилем (приближение Рэлея).......................................................................................................13

3. Дифракция на диэлектрических дифракционных решетках.........................................16 3.1. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем

(ТM-поляризация) ..................................................................................................17 3.2. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТM-поляризация) ........22 3.3. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем

(ТЕ-поляризация) ...................................................................................................25 3.4. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТЕ-поляризация) ........27 3.5. Примеры расчета решеток....................................................................................29

4. Градиентные методы решения обратной задачи расчета дифракционных решеток ...32 4.1. Расчет отражающих решеток со ступенчатым профилем .................................32 4.2. Расчет диэлектрических бинарных решеток.......................................................35 4.3. Расчет идеально проводящих решеток с непрерывным профилем

в приближении Рэлея.............................................................................................47 5. Дифракция на двумерных диэлектрических решетках ..................................................53

5.1. Дифракция на бинарных дифракционных решетках..........................................63 5.2. Синтез субволновых антиотражающих покрытий .............................................67 5.3. Расчет поля от линзовых растров ........................................................................72

Заключение ............................................................................................................................76 Список контрольных вопросов ............................................................................................77 Список специальных терминов ............................................................................................78 Библиографический список ..................................................................................................79

ВВЕДЕНИЕ Дифракционные решетки как прибор для пространственно-частотного

разделения компонент спектра оптического сигнала являются важными ком-понентами большого числа оптических систем. Если характерные размеры ступенек микрорельефа дифракционной решетки, на которых происходит ди-фракция света, сравнимы с длиной волны, то скалярное приближение не по-зволяет адекватно описать процесс дифракции. В этом случае требуется ис-пользовать общую электромагнитную теорию света, основанную на уравнени-ях Максвелла. В пособии приведены решения ряда прямых и обратных задач дифракции на одномерных и двумерных дифракционных решетках в рамках электромагнитной теории. В разделе 1 рассматривается дифракция плоской волны на одномерной идеально отражающей дифракционной решетке, период которой представляет собой набор прямоугольных ступенек различной глуби-ны. Эта задача включает в себя задачу дифракции на одномерной бинарной решетке. В разделе 2 рассматривается задача дифракции на одномерной отра-жающей решетке с непрерывным профилем в приближении Рэлея. Приближе-ние Рэлея представляет собой вариант использования строгой теории дифрак-ции и приближенных граничных условий. В разделе 3 рассматривается задача дифракции на одномерных диэлектрических решетках с непрерывным и би-нарным рельефом. Для решения задачи дифракции использован удобный мат-ричный формализм. В разделе 4 рассматриваются методы решения обратных задач расчета одномерных дифракционных решеток. Обратные задачи состоят в расчете профиля решеток из условия формирования заданных интенсивно-стей дифракционных порядков. Методы решения обратных задач основаны на минимизации функционалов-критериев с помощью градиентных методов. Ме-тоды раздела 4 обобщают итерационные алгоритмы расчета дифракционных решеток, разработанные в рамках скалярной теории дифракции. В разделе 5 рассматриваются задачи дифракции на двумерных диэлектрических дифракци-онных решетках. С использованием представленных методов произведен синтез двумерных антиотражающих покрытий и исследована работоспособность бинар-ных линзовых растров с размерами линз всего в несколько длин волн.

Рассмотренные в пособии методы решения прямых и обратных задач ди-фракции на дифракционных решетках непосредственно применимы к расчету многослойных покрытий, фотонных кристаллов, композитных структур. Ма-териал пособия также является дополнением к созданному в рамках ПРОГРАММЫ программному обеспечению Grating для расчета и моделиро-вания дифракционных решёток.

1. ДИФРАКЦИЯ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ РЕШЕТКАХ СО СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ

Рассмотрим дифракционную решетку, изготовленную из абсолютно про-

водящего материала и имеющую K прямоугольных штрихов на периоде d (рис. 1). Положение l-го штриха определяется координатой xl начала штриха, шириной штриха cl и глубиной штриха hl. Предположим, что дифракционная решетка освещается плоской монохроматической волной с единичной ампли-тудой и волновым вектором

)( )sin , cos , 0θ − θ

( )22 2 20 0/ 2π/k c= ω = λ

0 0k= εk ,

где , λ0 — длина волны, ε - диэлектрическая проницае-мость среды, θ - угол падения (рис. 1).

Рис. 1. Дифракционная решетка со ступенчатым профилем

( ),xВ среде с диэлектрической проницаемостью yε и магнитной прони-цаемостью равной единице поле описывается следующими базовыми уравне-ниями [1]:

( ) ( ) ( )( )

, , , ,, , .

ik x y x y zx y z

− εH EE H( )

, ,, ,

rot x y zrot x y z ik

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

Поскольку свойства среды не зависят от переменной z, то электрическое и магнитное поля имеют вид

( ) ( ), , , ( , ), , ( , )x y z x yE E x y z x y= =H H

0x y y x z

. (2) Подставляя (2) в (1), получим

0 0, ,y z x x z yH ik E H ik E∂ = − ε − ∂ = − ε ∂ H H ik E− ∂ = − ε

0x y y x zE E ik H∂ − ∂ =

0 0, ,y z x x z yE ik H E ik H∂ = − ∂ = , (3)

∂где x x∂ =

∂. Используя (3), представим компоненты поля Ex, Ey, Hx, Hy через

компоненты Ez, Hz в виде

1 1, ,x y z y x zE H E Hik

= ∂ε εik

−= ∂

1 1,x y z y x zE H Eik ik

−= ∂ = ∂H , (4)

где компоненты Ez, Hz удовлетворяют уравнениям Гельмгольца 2 2 2

2 2 0,z zE Ek E

x y∂ ∂ ∂ 2

2 20 02 2 0.z z

z zH H

k Hx y

∂+ + ε =

∂ ∂ ∂ (5) + + ε =

0, 0z zH

Задача дифракции плоской волны на одномерной дифракционной решетке сводится к рассмотрению двух независимых задач: задачи дифракции плоской волны с ТЕ-поляризацией ( E ≠ =

0, 0z zH E≠ =

) и задачи дифракции плоской волны с ТМ-поляризацией ( ) [1]. При этом плоская волна с произволь-ной ориентацией вектора поляризации может быть представлена в виде линей-ной суперпозиции волн этих двух типов. Уравнения Гельмгольца (5) должны быть дополнены граничными условиями. Граничное условие на поверхности абсолютного проводника имеет вид

, (6) где — тангенциальная составляющая электрического поля. Условие (6), с учетом (4), принимает вид

∂ =⎧⎨ =⎩

=⎧⎪⎨

для горизонтальных участков профиля решетки и

(8) ∂ =⎪⎩

для вертикальных участков профиля решетки. Кроме того, компоненты электрического поля должны быть непрерывны

при y=0. Граничные условия (7), (8) должны быть дополнены условием непре-рывности тангенциальных компонент Hx, Hz магнитного поля при y=0 в облас-ти штрихов, то есть при , 1,i i ix x x c i K≤ ≤ + = [1-6]. Компоненты магнитного поля при y=0 между штрихами, в отличие от компонентов электрического по-ля, терпят разрыв, равный плотности поверхностного тока.

Рассмотрим решение задачи дифракции c использованием так называемого модового метода [1-6]. Метод основан на сшивке при y = 0 тангенциальных компонент двух полей. Первое поле является решением уравнения Гельмголь-ца внутри штрихов при , 0, 1,i ii ix x x c≤ ≤ + h y i K− ≤ < = , а второе – решени-ем уравнения Гельмгольца в области над штрихами при y>0.

Поле в области над штрихами представляется в виде разложения Рэлея:

( ) ( )( )

( )( )0expn n nik x yε α + β0 0 0, expn

u x y ik x y R∞

=−∞

= ε α − β + ∑ , (9)

где Rn — коэффициенты отражения дифракционных порядков (рис. 1),

( ) 0ndλ

21n nsinnα = θ , = − α . (10) β

Скалярная функция u(x,y) в (9) соответствует компоненте Еz(x,y) для слу-чая ТЕ-поляризации и компоненте Hz (x,y) для случая ТМ-поляризации. Разло-жение Рэлея (9) является решением уравнения Гельмгольца (5), представлен-ным в виде суперпозиции плоских волн (порядков дифракции). Отметим, что разложение (9) содержит однородные плоские волны ( )2 1nα <

( )2 1nα >

и неоднородные

плоские волны , экспоненциально-затухающие при удалении от по-

верхности дифракционной решетки. Слагаемое ( )0n dλ ε в (10) вытекает из теоремы Флоке и характеризует наличие постоянного фазового сдвига между соседними периодами решетки.

Решение задачи дифракции состоит в определении коэффициентов отра-жения Rn из граничных условий при y =0. Представление для компонент поля внутри штрихов решетки различно для случаев ТЕ и ТМ-поляризации.

1.1. ТЕ-поляризация

(Для ТЕ-поляризации электрическое поле ),lzE x y

20 0l l

z zE k EΔ + ε =

внутри l-го штриха удовлетворяет уравнению Гельмгольца

( )( ),

lz x y C

E x y∈

= , (12) с граничным условием

[ ], ,0l lx x y h= ∈ − , где Cl — контур штриха, состоящий из трех отрезков

,l lx c= + [ ] [ ], , l lx x cx ,0ly h∈ − и l ly h x= − ∈ + .

Условие (12) является конкретизацией условий (7), (8). Используя метод раз-деления переменных для решения уравнения Гельмгольца, получим поле внутри l-го штриха в виде следующего разложения по ортогональным функциям:

( ) ( ) ( )( )sinl ln lx x y h⎛ ⎞

μ +⎜ ⎟⎝ ⎠1

π, sinl lz n

nE x y Bc

= −∑ , (13)

где 2

nk k kc

⎛ ⎞2 2lnμ = − = ε⎜ ⎟

⎝ ⎠. (14)

nR lnB

Дальнейшее решение задачи дифракции сводится к нахождению коэффи-циентов и из граничных условий при y=0. Запишем условие непрерыв-ности z-компоненты электрического поля ( ),zE x y при y = 0:

( ) ( )

( ) ( )sin ,n l ln lB x x h⎛ ⎞

= − μ⎜ ⎟⎝ ⎠

exp exp

/ 2 πrect sin

l nl l

ik x R ik x

x x c nc c

=−∞

α + α =

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ (15)

1, 0,5rect

0, 0,5x

⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩

( ) , ,pik x p− α = −∞ ∞

где .

Заменим уравнение (15) условием равенства коэффициентов Фурье в раз-ложении правой и левой частей данного уравнения. Для этого умножим (15) на

и проинтегрируем по периоду. В результате получим следующую систему линейных уравнений: exp

( )1 1

R p∞

+ δ = ∑∑ , ,l lpn nAA B p = −∞ ∞

( )1, 00, 0

δ = ⎨ ≠⎩

, (16)

где ,

( ) ( ) ( )exp dpl

m i⎛ ⎞

sin πexp sinlkc

lm llpm p l

hAA ik x

kd kcμ

= − α ξ − α⎜ ⎟⎝ ⎠

( )nR=

∫ ξ ξ . (17)

Система линейных уравнений (16) содержит две последовательности ко-эффициентов и ( )R l

. Для того, чтобы найти второе уравнение

связи между наборами коэффициентов R и B, воспользуемся условием непре-рывности для тангенциальных составляющих магнитного поля. Тангенциаль-ная составляющая магнитного поля Hx y zE∂ должна быть непрерывной при

y=0 в области штрихов, то есть при , 1,l l lx x x c l K≤ ≤ + =

. Условие непре-

рывности x y zH E∂ при y=0 имеет вид

( ) ( )

l lm l

∞0 0

ik ik x ik

− β α + β α =

⎛ ⎞− μ⎜ ⎟

⎝ ⎠= μ

∑ (18)

( )( )/ ,l lx csin πm x −

при ,l l l 1,x x x c l K≤ ≤ + = ,m = −∞ ∞ . Умножая (18) на

и интегрируя по x на отрезке [ ],l l lx x c+ , получим выражение для коэффици-ентов разложения внутри l-го штриха в виде:

( ) ( )( ) ln n mnR n DD= β − δ

nlm lm l

=−∞μ μ ∑ , (19)

где

( ) ( )exp i d .nl l

m⎛ ⎞

1 πexp i sinlkc

lmn n lDD k x

kc kc= α ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ α ξ ξ (20)

Подставляя (19), (20) в (16), получим систему линейных уравнений для на-хождения коэффициентов Рэлея:

, ,s pR D p⋅ = = −∞ ∞

( )ps s ps

=−∞∑ , (21)

AA M p s= β − δ − , (22) где

( ) ( )*ln l l lns np

hDD DD

( )0 0p pD M p= β + δ

ps ll n

tgikM cd

= ∑∑ , (23)

. (24) При расчете система бесконечного числа линейных уравнений (21) заме-

няется конечной системой из 2N + 1 уравнений: ⋅ =AA R D , (25)

( ) ( ) ( ), ,N N Nps NAA R= =AA R p N p ND− − −=Dгде . (26)

При этом ряды в (19) заменяются суммами из , 1,ln l K=

( ),lz

членов. Эта замена предполагает, что для представления поля внутри l-го штриха достаточно nl членов.

1.2. ТМ-поляризация

Решение для случая ТM-поляризации во многом аналогично рассмотрен-ному решению для ТЕ-поляризации. Внутри l-го штриха решетки магнитное поле H x y удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

200,l l

z zH k k= = ε

H kΔ + (27) с граничным условием

∂, (28)

где n — вектор нормали к контуру штриха Cl. Условие (28) являются следствием общих граничных условий (7), (8). Используя метод разделения переменных для уравнения Гельмгольца (27), получим ( ),l

zH x y в виде следующего ряда:

( ) ( ) ( )( )cosl ln l1

π, cosl lz n

nH x y B xc

= −∑ x y h⎛ ⎞

μ +⎜ ⎟⎝ ⎠

nR lnB

, (29)

где коэффициенты μln определены в уравнении (14). Для нахождения коэффициентов и воспользуемся граничными ус-

ловиями при y = 0. Условие непрерывности z-компоненты магнитного поля H x y при y = 0 в области штрихов решетки дает следующее функциональ-

ное уравнение:

( ) ( ) ( ) ( )cosl ln ln x x h

⎛ ⎞− μ⎜ ⎟

⎝ ⎠

πexp exp cosln n n

ik x R ik x Bc

∞ ∞

=−∞ =

α + α =∑ ∑ , (30)

lx x x c≤ ≤ + 1,l K=

где и . Граничное условие для тангенциальной состав-

ляющей электрического поля x y zE H∂ требует при y = 0 равенства нулю про-

изводной y zH∂ на горизонтальных участках профиля и непрерывности произ-

водной

y zH∂ l l l в области штрихов (при x x x c≤ ≤ + , 1,l K=

nR lnB

). Данные условия

дают второе функциональное уравнение для коэффициентов и в виде

( ) ( )sin .l lm lB x x h

⎛ ⎞− μ⎜ ⎟

⎝ ⎠

exp exp

/ 2 πRect cos

n n nn

Kll lm lm

l ml l

ik ik x ik R ik x

x x c mc c

=−∞

− β α + β α

⎛ ⎞− −= − μ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ (31)

( )( )cos πm x / , ,l lx c m−Умножая (30) на = −∞ ∞

[ и интегрируя по x на от-

резке ],l l lx x c+ , получаем следующее уравнение для коэффициентов разло-

жения внутри l-го штриха:

( ) ( )( )l ln mnR n DD

=−∞

+ δ∑2cosm

, (32)

( )где ( )π exp dnl l

⎛ ⎞

1 exp coslkc

lmn n lDD ik x

kc= α ξ α⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ξ ξ . (33)

Далее заменим уравнение (31) условием равенства коэффициентов Фурье для правой и левой частей. В результате получим следующую систему линей-ных уравнений:

,l lm pmB AA p( )0

p pl m

p R i∞

−β δ + β = ∑∑ = − ∞ ∞ , (34)

( ) ( ) ( )π exp dpl

⎛ ⎞

sinexp cos

lkclm ll lm

pm p l

hAA ik x

kd kμ μ⎛ ⎞= − α ξ − α⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )ps p

⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ξ ξ . (35)

Подставляя (32), (33) в (34), получим систему линейных уравнений отно-сительно коэффициентов Рэлея в виде (21), (25), где

psAA M p s= − β δ − , (36)

( ) ( )*l lln l ns nph DD DD= μ

( )0 0p pD M p= − − β δ

l n ln

= = μ∑ ∑ , (37)

. (38) В скалярном приближении Кирхгофа интенсивности дифракционных по-

рядков определяются как квадраты модулей коэффициентов Фурье 2nc функ-

ции ( )(i xϕ )exp ( )x, где функция ϕ описывает набег фазы, формирующийся при отражении плоской волны от профиля решетки. Введем понятие интен-сивности порядка для отражающей решетки в рамках электромагнитной тео-рии. Рассмотрим область D, ограниченную снизу профилем решетки, сверху отрезком прямой x = p, p > 0, справа и слева – отрезками прямых x = 0, x = d. Используя закон сохранения энергии, приравняем к нулю поток вектора Умо-ва—Пойнтинга ( ) *8π Re ,c ⎡ ⎤= ⎣ ⎦S E H через область D [1]. В результате полу-чим следующее условие нормировки [1]:

20 n n

R∈∑β = β , (39)

где { }2 1nU n= α <

— множество индексов, соответствующих распростра-няющимся отраженным плоским волнам (порядкам дифракции) в (9). Величи-ны определены в (16) и равны косинусам углов между осью Oy и направ-лениями отраженных порядков. Уравнение (39) имеет ясную физическую ин-терпретацию: энергия падающей волны равна сумме энергий отраженных по-рядков. Согласно (39), под интенсивностями порядков следует понимать сле-дующие нормированные значения коэффициентов Рэлея:

2n nI R

, 1 .nn

β ⎛ ⎞= =⎜ ⎟β ⎝ ⎠∑ (40)

Пример 1. Рассмотрим работу простейшей бинарной решетки с одним штри-хом длины d/2 на периоде d. На рис. 2 приведены зависимости интенсивно-стей 0-го и –1-го порядков от глубины штриха h. Интенсивности порядков

2 sm d⋅λ = − ⋅

рассчитывались по формулам (25), (36) — (38) при d=λ и угле падения θ = 30° для случая ТМ-поляризации. Отметим, что при указанных пара-метрах выполняется условие Брэгга [1,4] при m = –1. В этом случае существуют только 0-й и –1-й распространяющиеся порядки. При этом направление распространения –1-го порядка противоположно направлению па-дающей волны. Все остальные по-рядки соответствуют неоднород-ным волнам

( )in θ

( )2 1nα >

, экспоненци-ально затухающим при удалении от поверхности решетки. Рис. 2 пока-зывает следующие интересные мо-менты в работе бинарной решетки. Во-первых, при глубинах штриха

0,1λ, 0,42λ, 0,57λ и 0,93λ энер-гия делится пополам между 0-м и –1-м порядками, то есть решетка работает как делитель пучка. Во-вторых, при глубинах штриха 0,22λ и 0,72λ энергия падающей волны концентрируется в –1-м порядке, т.е. при данных глубинах решетку можно использовать как дефлектор (отклонитель) пучка. По общему виду графиков на рис. 2 можно предположить, что интенсивности 0-го и –1-го порядков меняются периодически. На рис. 3 приведена зависимость интенсивностей порядков би-нарной решетки от глубины штриха для ТЕ-поляризации. Для ТЕ-поляризации бинарная решетка не обладает свойством концентрировать излучение в –1-ом порядке. Как делитель пучка решетка работает при глубине штриха 0,55λ.

h/λ0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 2. Зависимость интенсивностей –1-го

( ) ( )1I− и 0-го 0I порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТМ-

поляризации при d = λ, θ= 30°

h/λ0,6 0,80,2 0,4

Рис. 3. Зависимость интенсивностей –1-го

( ) ( )1I− и 0-го 0I порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТЕ-поляризации при d = λ, θ = 30°

2. ДИФРАКЦИЯ НА ИДЕАЛЬНО ОТРАЖАЮЩИХ РЕШЕТКАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПРОФИЛЕМ (ПРИБЛИЖЕНИЕ РЭЛЕЯ)

( )( )0max

Рассмотрим решение задачи дифракции на идеально отражающей дифрак-ционной решетке (период d) с непрерывным профилем y=f (x) в приближении Релея [1,5,6]. Согласно (9), поле над профилем дифракционной решетки при y a f x

≤ ≤> =

представляется в виде разложения Рэлея. Из этого не сле-

дует, что при y < a поле также описывается разложением Рэлея. Однако при не-глубоком и гладком профиле f (x) эту гипотезу можно считать оправданной. Приближение Рэлея предполагает, что разложение (9) описывает поле не только над решеткой при y > a, но и внутри решетки при y < a. Напомним, что скаляр-ная функция u (x,y) в (9) соответствует компоненте Ez электрического поля для ТЕ-поляризации или компоненте Hz магнитного поля для ТМ-поляризации.

Для расчета коэффициентов Рэлея Rn в (9) достаточно воспользоваться граничным условием (6) при y=f (x). Согласно (6), поле (9) должно удовлетво-рять граничному условию

( ), 0

y f xu x y

== (41)

для ТЕ-поляризации и граничному условию

( )( )

dy f x

) ) ( )( )0exp 2ik f x= − − β

, ,n pR B p⋅ = = −∞ ∞

( ) ( )( )0n

для ТМ-поляризации, где n — единичный вектор нормали к профилю решетки. Подставляя (9) в (41), получаем в случае ТЕ-поляризации для расчета ко-

эффициентов Rn следующее уравнение:

( ) ( ) (( )( 0 0expn n nn

R ik x f x∞

=−∞

α − α + β − β∑ . (43)

Заменяя (43) условием равенства коэффициентов Фурье в разложении пра-вой и левой частей, получим для расчета Rn следующую систему линейных уравнений:

=−∞∑ , (44)

( )2π

exppnAA i n= ξ −∫ p i H d+ β − β ξ ξ

( )( )02 dB i H ip

где , (45)

expp = − − β ξ − ξ ξ∫ , (46)

( )2π

dH kf ξ⎛ ⎞ξ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

— нормированная высота. Проводя аналогичные вычисления, несложно получить в случае ТМ-поляриза-

ции для расчета коэффициентов Rn систему линейных уравнений вида (44), где

( ) ( )2π

exppn n nAA H i n pdλ⎛ ⎞′ ( ) ( )( )0 dni H= β − α ξ ξ −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ + β − β ξ ξ , (48)

( )2π

exppB Hdλ⎛ ⎞′= β + α ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ( )( )02 di H ip− β ξ − ξ ξ

⋅ =AA R B( )

. (49)

На практике для расчета коэффициентов Rn используется конечная система из 2N+1 уравнений:

, (50)

( ) ( ), ,N N Npn NAA= =AA R n N n NR B− − −=B

d >> λ

где .

При приближении Рэлея переходит в приближение Фраунгофера. Действительно, при ( )0 0n ( ) ( )d >> λ β − β ≈ и 0d H ′λ ξ ≈

. В этом случае

матрица АА в (50) становится диагональной ( =AA ) и коэффициенты Рэлея будут пропорциональны коэффициентам Фурье в разложении функции

, где функция

( ))x(exp iϕ

( ) ( )02 / 2πx k f xdϕ = − β ⋅ (51) описывает набег фазы, формируемый при отражении плоской волны от решет-ки с высотой ( )2πf xd

( ) ( )1

. Интересно отметить, что приближение Фраунгофера

соответствует выбору первого члена в асимптотическом разложении для ко-эффициентов Рэлея. Действительно, используя матричное разложение

∞−

+ = −∑E C C ,

представим коэффициенты Рэлея в виде

1 12π

= ⋅ =

= − ⋅

R AA B E

AA B ( )

1 10 1

= ± − − ⋅∑ ∑

F AA F

/ 2π, ,/ 2π 1, .

где F — вектор коэффициентов Фурье, а — матрица с элементами

A p nAA

AA p n≠⎧⎪= ⎨

⎪⎩ − = (53)

Пример 2. Для оценки точности приближения Рэлея рассмотрим работу коси-нусоидальной решетки с профилем

2πcos2h xf x

d⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (54)

Для характеристики точности приближения Рэлея введем относительную ошибку ( )

( ) ( )

Int Reln n

−hε = , (55)

( ) (где h — амплитуда профиля, ),Int Reln nI h I h

— интенсивности n-го порядка, рассчитанные точным интегральным методом [1,5,6] и в приближении Рэлея

по формулам (44) — (47). На рис. 4 приведены

графики относительной ошибки для интенсивно-стей 0-го и –1-го порядков в зависимости от норми-рованной амплитуды про-филя h/λ при периоде d=λ и угле падения θ = 30° для ТЕ-поляризации. Из рис. 4 видно, что приближение Рэлея дает ошибку менее 10% при h < 0,325λ. При-веденный пример показы-вает, что приближение Рэлея применимо при глад-ких неглубоких профилях (h < d/3), даже при перио-дах близких к длине волны.

h/λ0,25 0,30,2 0,35

Рис. 4. Ошибка приближения Рэлея для интенсивностей –1-го ( )( ) ( )( )1 h−ε и 0-го 0 hε порядков косинусоидальной решетки в зависимости от амплитуды для ТЕ-поляризации при d = λ, θ = 30°

3. ДИФРАКЦИЯ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТКАХ

( ) )Рассмотрим дифракцию плоской волны с волновым вектором

( )( 0 0s ,0 , k k− θ = εsin , cok= θk на диэлектрической решетке с профилем y = f (x) и периодом d. Геометрия задачи дифракции приведена на рис. 5, где Rn и Tn — коэффициенты отражения и пропускания дифракционных порядков. Для приведенной геометрии задачи имеются три зоны с различной диэлектри-ческой проницаемостью ε. Зона 1 соответствует области над решеткой при y > a, где a — максимальная высота профиля решетки. Зона 2 соответствует зоне профиля решетки 0 < y < a. Зона 3 соответствует области подложки y<0. В зонах 1 и 3 диэлектрическая проницаемость постоянна. Без ограничения общности будем считать, что в первой зоне ε = 1, а в третьей зоне ε > 1. Во второй зоне – зоне модуляции, диэлектрическая проницаемость является функцией ε = ε (x,y).

y=f(x)

3 ε>1

ε ε= (x,y)x

0,z ≠0zH = 0, 0z zH E

Рис. 5. Геометрия задачи дифракции на диэлектрической решетке

Как и в пункте 1, достаточно рассмотреть две независимых задачи ди-фракции; задачу дифракции плоской волны с ТЕ-поляризацией ( E

) и задачу дифракции плоской волны с ТМ-поляризацией ( ≠ =

( )( )0expn n nik x yα + β

). В зонах 1 и 3 z-компоненты полей являются решениями уравнений Гельмголь-ца (5). Решения уравнений Гельмгольца могут быть представлены в виде раз-ложений Рэлея (суперпозиций плоских волн). В зоне 1 z-компоненты полей имеют вид

( ) ( )( )0 0 0, expn

u x y ik x y R∞

=−∞

= α − β + ∑ , (56)

( ) 20 , 1 .n nndλ

+sinnα = θ β = − α (57) где

Как и ранее, функция u (x,y) представляет компоненту Еz (x,y) электриче-ского поля для случая ТЕ-поляризации и компоненту Hz (x,y) магнитного поля для случая ТМ-поляризации. В зоне 3 z-компоненты имеют вид

( )( )0, expn n nik x y= α − β%( )n

u x y T∞

=−∞∑ , (58)

где 2n nβ = ε − α%

2 0u k uΔ + =2 2

0k k= 2 20k k= ε

( ) ( )

. (59) Разложения Рэлея (56), (58) являются решениями уравнения Гельмгольца

(60) при и , соответственно.

3.1. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем (ТM-поляризация)

В зоне модуляции поле описывается системой дифференциальных уравне-

ний, различных для случаев ТЕ- и ТМ-поляризаций. Для TM-поляризации

( )( ), 0,0, ,zx y H x y=H уравнения (1) примут вид

( ) ( ) ( )( ) ( )

, , , ,

( )( )( ) ( ) ( )0

, , , .

x y y x z

E x y E x y ik H x y

∂ −∂ = −

∂ = (61) ( )( )

H x y ik x y E x y

E x y =

ik x y E x y

∂ = − ε

∂ = ε

Из первых двух уравнений в (61) получим:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 1, , ., , x zH x y

x y= ∂

ε ε, , ,x y z yE x y H x y E x y

ik x y ik−

= ∂ (62)

Подставляя (62) в последнее уравнение в (61), будем иметь:

( )( )

( )( ) ( )

x yH x y

y⎛ ⎞

2 20 0

,1 1, ,

zH x y Hx x yk x y k x y

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂+ + =⎟⎟∂⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ε ε⎝ ⎠. (63)

Для дальнейших выкладок удобно ввести функцию: ( )( ) 2

x yyk x y

∂∂ε

( ),xE x y%

E x y =% . (64)

Введение функции (64) оказывается удобным, поскольку, согласно (62), функция пропорциональна второй тангенциальной компоненте поля Ex(x,y) на границах зоны модуляции y=0, y=a. Представим (63) в виде системы из 2-х уравнений:

( ) ( )

( ) ( ) ( ), ,

zH x yk E x y

E x yH x y

x⎛ ⎞

−⎜ ⎟∂⎝ ⎠y x k

⎧∂=⎪ ∂⎪

⎨∂ ∂∂⎪ = −⎪ ∂ ∂⎩

% (65)

( , )zH x y)

является квазипериодической [1,5-9]: Функция ( ) ( ) ( ( )0 0 0p , sink x= α α = θ

(, , exzH x y v x y i , (66)

)где ,x yν ( — периодическая по x функция с периодом d. Разлагая )x, yν

в ряд Фурье по переменной x, представим H )x y

)0 0 0, /m m

в виде

( ) ( ) (, expz mm

H x y H y ik x m d=−∞

= α α = α + λ∑( ),xE x y%

( ) ( )0, expx m mE y ik x∞

= α% %

. (67)

Функция также является квазипериодической:

E x y∞

=−∑ . (68)

( ),xE x y% ( , )z, HВ дальнейшем будем считать, что функции x y в зоне мо-дуляции могут быть аппроксимированы отрезками своих рядов (57), (58) с 2N+1 членами.

( ) ( )20k x y k= ⋅Функции 2, ,x yε ( ) и 21/ ,k x y

( ) ( )

являются периодическими по x с периодом d:

( )( ) ( )

k x y c

=−∞

2π, exp ,

1 2πexp .

y i nxd

c y i nxd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Подставим разложения (67) — (69) в систему (65) и, при учете 2N+1 чле-нов разложений, получим:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

dexp exp

dd 2πexp exp

exp exp

m l lm N l N n

m nm N n

l l l ml N m N

H yik x E y ik x

E yik x c y i n

ik H y ik x H y ik

=− =− =−∞

=− =−∞

=− =−

α = α ⋅

∂ ⎛α = − ⎜∂ ⎝

⎞× α α −⎟

∑ ∑

2πexp ,

c y i nxy d

⎫⎛ ⎞⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎪⎪⎛ ⎞× ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎪⎪α⎪⎭

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях 2exp ,i mxdπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

,m N N= − , приведем уравнения (70) к системе 4N+2 дифференциальных уравнений, не зависящих от x:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l p ll N

p l p l ll N

H yE y c y p

k c y Hy

−=−

⎧= =⎪

⎪⎨⎪ = α α −⎪⎩

, , .p

y H y p N N

Таким образом, в зонах 1 и 3 решения имеют вид (56) и (58), а в зоне мо-дуляции необходимо решать систему уравнений (71). Для поиска общего ре-шения системы (61) необходимо найти 4N+2 линейно-независимых частных ре-шений. При отсутствии модуляции ( ( ),x yε = ε ) система (71) принимает вид

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22 20 0

H yE y c p

k c H yy

⎧= =⎪

⎪⎨⎪ = α −⎪⎩

, , ,p

H y p N N

( ) ( )1 22 20 0 0 0, 1/c k c k= ε = ε

. (73) где

Базисные решения системы (72) имеют вид

( ) ( )

H y ik

⎧ = ±⎪⎪⎨ β

= ± ±⎪ε⎪⎩

y p N N

ik y p N N

β = −

β = −% (74)

Для согласования решения в зоне модуляции с решением (74) в зоне 3, граничные условия для системы (71) определим в виде

( )( ) ( )0

0 , , , ,

k m j N N

ε = −

1, 0,0, 0.m

=⎧⎨ ≠⎩

( )( )

0 0,..., .

0 0N N

− −

⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

H HE E% %

0 ,mj m j

mj m m j

E i−

⎧ = δ⎪⎨

= β δ⎪⎩

m %% m (75)

где δ =

Для удобства выкладок введем 4N + 2 объединённых векторов начальных условий вида

( )( )

0 0,..., ,

0 0N N

+ +− −+ +− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

H HE E% %

Обозначим , 1, 4 2i y i NΨ = +

( )( )

... , ,N N

y yy y

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞Ψ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎝ ⎠

вектора функций:

( )( )

, ... , , ,N N

y yy y

+ +−+ +− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠% % %

являющихся решениями системы (71) с граничными условиями (76). При этом общее решение системы принимает вид

( ) ( )N N

m j mjj N j N

( ), , ,j mjH y C y− −

=− =−

= Ψ +∑ ∑ C y m N N+ +Ψ = − (78)

( ) ( )N N

m j mjj N j N

E y C y C− −

=− =−

= Ψ +∑ ∑% % ( ), , .j mj y m N N+ +Ψ = −%

Для определения коэффициентов пропускания Tn и отражения Rn в уравне-ниях (56), (58) воспользуемся условиями непрерывности функций H x y

( ),xE x y%

( ) ( )

0 0 exp

⎛ ⎞Ψ α =⎟

⎝ ⎠

на границах зоны модуляции при y=0 и при y=a. Условия непрерывности при y=0 дают следующие функциональные уравнения:

( ) ( )0

n nn N n N

j nj jn N j N j N

n n nn N

T ik x H

C C ik x

=− =−

− − +

=− =− =−

= Ψ +⎜

= + α

∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )

n n nn N n N

j nj j njn N j N j N

n n nn N

i T ik xk

iC C ik x

=− =−

− − + +

=− =− =−

− 0 0

0 0 exp

E ik x

β α =ε

= Ψ +⎜

β= −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎛ ⎞Ψ α =⎟

⎝ ⎠

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях 2exp ,i pxdπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

,p N N= − , получим:

,p p p pT C C T− += + − = , ,p pC C p N N− +− + = − . (82) Решение системы линейных уравнений (82) имеет вид:

, 0, ,pC p N N− += = = −p pT C . (83) Согласно (83), поле в зоне модуляции имеет вид:

( ) ( )( ) ( )

N Nm mj

j jj N j Nm mj

H y yC T

E y y−

=− =−

⎛ ⎞Ψ Ψ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑%( )

, ,( )

ym N N

− −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠% % . (84)

( ),z ( )H x y , Условия непрерывности функций ,xE x y% на верхней границе зоны модуляции (y=a) дают следующие уравнения:

( ) ( )0expn n nH a ik x( ) ( )( )

( ) ( )

exp exp

n N n N

j nj nn N j N

R i ik x a

T a ik x

=− =−

+ α − β = α =

⎛ ⎞= Ψ α⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑ (85)

( )( ) ( )( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0exp .N

j nj n

ik x a

a ik x( ) ( )

exp exp

n n nn N

n nn N n N j N

i iR ik x a

E a ik x T

=− =− =−

β βα + β − α − β =

⎛ ⎞Ψ α⎜ ⎟

⎝ ⎠∑= α =

∑ ∑% % (86)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях 2exp ,i pxdπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

,p N N= − , получим две системы линейных уравнений вида:

0 0 0 ), , ,ik a p N N− β = −( ) exp( ) exp(N

j pj p p pj N

T a R ik a−

Ψ = β + δ∑ (87)

( ) 00

) , , .i

k a p N Nk k

ββ = −0 0exp( ) exp(

j pj p p pj N

iT a R ik a i−

βΨ = β − δ −∑ % (88)

Системы линейных уравнений (87), (88) представим в матричном виде: ( )01 02 0 0

( ), exp(p j pj p j p j

0 ), , , ,pH a H i−−

⋅ = + − β ⋅

= Ψ = δ ⋅

H T H R δ

k a p j N Nβ = − (89)

011 12 0 0

11 12 00

, epp j pj p j p j

xp( ), , , .pH a H ik

−−

β⋅ = − − β ⋅

β= Ψ = δ ⋅

H T H R δ

% (90)

k a p j N Nβ = −

ββ − ⋅ ⋅H D H δ

Здесь δ — вектор столбец, центральный элемент которого равен единице, а остальные элементы равны нулю. Из уравнений (89), (90) получим вектора коэффициентов Рэлея в виде:

( )0 02exp ik a= −T , (91)

( )0 0exp 2ik a+ −112 11−= ⋅ β ⋅T δ

R H H , (92)

0 / , ,pk i p N Nβ = −где — диагональная матрица с элементами .

3.2. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТM-поляризация)

В случае решетки с непрерывным профилем для решения системы (71)

используются численные методы типа метода Рунге — Кутта. Для бинарной решетки коэффициенты Фурье функций ( )2 ,k x y , ( )21/ ,k x y (69) не зависят от переменной y:

( ) ( )

112 202

⎧ ε −⎪⎪= ⎨

ε −⎪ + −⎪⎩

2πp , 0,

1 , 0,

i nx nn d

⎛ ⎞− − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

2πp , 0,

i nx nd

⎛ ⎞− − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2, ... ,

1/ 11 ex

2π1/ 1

ε −⎧⎪⎪= ⎨

ε −⎪ + −⎪⎩

∑ (94)

xгде К — число штрихов решетки, Kx — координаты границ штрихов (см. рис. 6). В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифференци-альных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

( )( )

TMy yy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E E% %

, (95)

( ),y yH E% – вектора из функций ( ) ( )где , , ,p pH y E y% p N N= − TMA

⎛ ⎞⎜ ⎟

−⎝ ⎠

TD T D E

, - мат-рица системы.

Согласно (71), матрица системы имеет вид

TM ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠2

F, (96)

где нули обозначают матрицы с нулевыми элементами, F1, F2 - матрицы вида ( ) ( )1 22

1 , 2 , 0i j i j i j i j i j, , , ,i jF c F k c− −= = α i j N N−α − δ = − , (97)

T1, T2 — матрицы из Фурье коэффициентов функций ε(x,y) и 1/ε(x,y) ( ) ( )1

1 , 0 2 ,/ ,i j i j i jT c k T= = 22 20 , , 1, 2 1i jk c i j N− − = + , (98)

E-единичная матрица, Dα- диагональная матрица c элементами , ,i i N Nα = − . Отметим, что система (95) 4N+2 дифференциальных уравнений первого по-рядка может быть также сведена к системе 2N+1 дифференциальных уравне-ний второго порядка

( ) ( )2

21 2 02

d ( ) ( )1 2y y kdy

= ⋅ ⋅ =H F F H yα α −T D T D E H , (99)

x x x x x x1 2 3 4 2K-1 2K

Tn Рис. 6. Геометрия задачи дифракции на бинарной диэлектрической решетке

Решение системы (95) с постоянными коэффициентами для вектора гра-ничных условий X может быть представлено в компактном матричном виде: 0

( ) ( ) 0exp TM y⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

01H 11H

( )exp TM a= ⋅ ⋅A BC

( )( )

0 0N N

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

EH HDE E% %

. (100)

Матричное представление (100) позволяет компактно выразить матрицы и в (91), (92) через матрицу системы и граничные условия в виде:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (101)

где матрица BC составлена из второй половины векторов граничных условий (75), (76):

( )( )

, ...−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠BC , (102)

где E — единичная матрица размера (2N +1)×(2N+1), а D — диагональная мат-

рица с элементами 0/ , ,ji k j N N− β ε = −%

Рассмотренный метод решения задачи дифракции на бинарной решетке обладает медленной сходимостью, особенно для случая комплексной диэлек-трической проницаемости. Напомним, что система дифференциальных урав-нений (95), (96) была получена при учете 2N+1 членов в разложении функций

( ) ( ) ( )2 2, , , 1/ ,, , ,z xH x y E x y% k x y k x y в (67) — (69). Медленная сходимость в данном случае означает, что для стабилизации результатов расчета требуется учет большого числа членов в разложении функций ( ) ( ) ( )2, , , , ,z x,H x y E x y k x y%

( )21/ ,k x y

, превышающего в десятки раз число распространяющихся порядков

в зонах 1 и 3. При этом для случая ТЕ-поляризации такого эффекта не наблю-далось. В 1996 году в работах [10-12] была предложена другая форма системы дифференциальных уравнений, устраняющая медленную сходимость. В рабо-тах [10-12] было предложено вместо системы уравнений (85), (86) использо-вать систему вида

( )( )

2 10 2

0y yky y

− ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎝ ⎠

H HTE EE %

1 12 1,

0ddy −

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ D T D% . (103)

Система (103) получается из исходной системы (95), (96) формальной за-меной матриц T1, T2 на матрицы − −T T , соответственно. Теоретическое обоснование использования системы в виде (103) приведено в работе [12]. В этой работе показано, что система (103) обеспечивает равномерное выполне-ние граничных условий на вертикальных участках профиля решетки в зоне модуляции. Отметим, что на вертикальных участках нормальная составляю-щая вектора электрического смещения Dx непрерывна, а компонента Еx терпит разрыв. Система в виде (103) обеспечивает равномерную сходимость по N ря-да (68) к функции ( ),xE x% y на вертикальных участках профиля, а исходная система (95) – неравномерную. Равномерное выполнение граничных условий на вертикальных участках профиля и приводит к улучшению сходимости метода. Система (103) может быть также представлена в системы дифферен-циальных уравнений второго порядка

2 10 22

d ( ) ( )11y k y− −

α α= −D T D E Hdy

H T . (104)

В заключение отметим, что матричное представление (100) для бинарной решетки может быть использовано для решения задачи дифракции на решетке с непрерывным профилем. Действительно, введем разбиение , 0, ,iy i N=

0 0, Ny y a= = 1i iy y y−

зоны модуляции на N слоев. В каждом слое ≤ ≤ непре-

рывный профиль аппроксимируем бинарным профилем. Полагая при в (71)

1i iy y y− ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,n n ic y c y 2 2n n ic y c y≈ ≈% % (, где )1 / 2i i iy y y−= +%

1i iy y y− ≤ ≤

( ) ( )( )

( )( )

1 2 2 1

y y −

, аппроксимируем при систему дифференциальных уравнений (71) с переменными коэффициентами системой уравнений с постоянными коэффи-циентами. Используя матричное представление (100) для решения системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, получим мат-рицы и в виде 01H

( ) ( )( )(

( )( )) ( )

exp ... exp

exp exp

⎛ ⎞= ⋅ − × ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

× ⋅ = ∏

A BC A% %

⋅ − ×

⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠BC

( )где BC — матрица граничных условий (102), а TMiyA % — матрица системы (71)

при ( ) ( ) ( ) (1 1n nc y c y= % )i

( ) ( ) ( () и )2n ic y%

( ) ( )( )1TM

i i iy y y −⋅ −%

( )1 0i i iy y y −Δ = − →

( ) ( )

2nc y = . При этом коэффициенты Rn, Tn также

определяются по формулам (91), (92). Отметим, что произведение матриц 1

( ) expTMN

Ω = ∏A A , (106)

в пределе, при и N→∞ соответствует мультипликативно-

му интегралу [13], представляющему решение системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Произведение (106) соответствует стандартной аппроксимации мультипликативного интеграла при сведении ре-шения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициента-ми к решению N систем с постоянными коэффициентами [13].

3.3. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем (ТЕ-поляризация)

( ( )), 0,0, ,zx y E x y=EДля ТЕ-поляризации базовые уравнения (1)

примут вид: ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

x y y x

E x y ik H x y

( ) ( )0

, , .zH x y H x y

∂ = −

∂ − ∂

ik x y E x y= − ε

( ) ( ), , ,x yH x y H x y : Выразим из первых двух уравнений в (107) компоненты

( ) ( ) ( )

( )0 0

1, ,y x z1, , ,x y zH x y E x y H x

ik= ∂ y E x y

ik= − ∂

. (108)

( ), , ,x yHПодставляя x y H x y

( ),zE x y

в последнее уравнение в (107), получим

для компоненты уравнение Гельмгольца:

( ) ( ) ( )2, , , 0z zk x y E x y =

( ),zE x y

( ) ( )0expz m mE y ik x∞

E x yΔ + . (109)

Функция является квазипериодической [1,5-9]:

E x y∞

=−∑ . (110)

Подставляя (110) и (69) в (109), получим систему 2N+1 дифференциаль-ных уравнений 2-го порядка:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

12 202

n n n m mm N

E yk E y c y E

y −=−

− α + ∑ 0, ,y n N N= = − . (111)

Для поиска общего решения системы (111) необходимо найти 2(2N+1) ли-нейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции ( ( ),x yε = ε

) базисные решения системы (111) имеют вид

( ) 0 , ,p pik y p N Nβ = −%expE y± = ± . (112)

Для согласования решения в зоне модуляции с решением (112) в зоне 3, определим 2(2N+1) векторов граничных условий для системы (111) в виде

( )( )

mj m j

−⎧ = δ⎪

∂⎨= β⎪ ∂⎩

, , , .m m j m j N N−δ = − (113)

При этом общее решение системы (111) принимает вид

( ) ( )N N

m j mjj N j N

E y C E y− −

=− =−

= +∑ ∑ ( ), ,j mjC E y m N N+ + = −

( )mjE y±

( , )zE x y

0( ) exp( )j mj mE y ik x+⎛ ⎞α⎟

⎝ ⎠

, (114)

где решения системы (111) с граничными условиями (113). Подставляя (114) в (110) получим, что в зоне модуляции имеет вид:

( , ) ( )N N N

z j mjm N j N j N

E x y C E y C− − +

=− =− =−

= +⎜∑ ∑ ∑ . (115)

Для определения коэффициентов пропускания Tn и отражения Rn в (46), (48) запишем условия непрерывности тангенциальных компонент поля

( ),zE x y ( ) ( ), ~ ,x y zH x y E x y∂

p pT C−= 0pC+

на границах зоны модуляции при y =0 и y=a. Из условия непрерывности тангенциальных компонент на нижней границе зоны модуляции несложно получить, что, как и в случае ТМ-поляризации,

, а = . При этом решение в зоне модуляции принимает вид

0( ) exp( )j mj mT E y ik x−= α

( )( )0 0 0 0

xp ,ik x a

β + α − β

( , )N N

m N j N

E x y=− =−∑ ∑ . (116)

На верхней границе зоны модуляции условия непрерывности тангенци-альных компонент поля имеют вид:

( )( )

0( ) exp(

j m j mm N j N

m m mm N

T E a ik x

R ik x a

=− =−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= α +

∑ ∑

∑ (117)

( )( )

( )exp( )

N Nm j

j mm N j N

m m m mm N

E aT ik

ik R ik x a ik

=− =−

⎛ ⎞∂α =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

= β α + β −

∑ ∑

∑ ( )( )0 0 0 0 0exp .

ik x aβ α − β

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях

2 , ,i mx m N Ndπ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 0 0 ), ,ik a p N N− β = −

exp , получим две системы линейных уравнений вида:

( ) exp( ) exp(N

j p j p p pj N

T E a R ik a−

= β + δ∑ , (119)

( )exp( )

j p pj N

E aT ik R ik

yp N N

∂= β β −

∑ 0 0 0 0exp( ),p pa ik ik aδ β − β (120)

Системы (119), (120) представим в матричном виде

( )01 02 0 0

01 02 0

( ), exp(p j pj p j p j

E E a E i−−

⋅ = + − β

= = δ

E T E R δ

), , , ,pk a p j N Nβ = − (121)

( )11 12 0 0 0 0

11 12 0 0

( ), epj

p j p j p j p

ik ik a

E aE E ik

⋅ = − β − β

∂= = δ β

E T E R δ

xp( ), , , .pik a p j N Nβ = −

Из уравнений (121), (122) получим вектора коэффициентов Рэлея в виде:

0 11 01a−

β− ⋅E D E δ

( )0 0exp 2ik a= + − βT δ

0 0 02 expik ik= − β − βT , (123)

102 01−R E E , (124)

0 , ,pik p N Nβ = −где — диагональная матрица с элементами , а δ — вектор

столбец, у которого все нули кроме единицы в центре.

3.4. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТЕ-поляризация)

( )Для бинарной решетки коэффициенты Фурье 1nc не зависят от перемен-

ной y. В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифферен-циальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

( ) ( ) 0TEy y+ ⋅ =E A E2

, (125)

( ) , ,E y p N N= − TEAгде Е(y) – вектор из функций , - матрица системы: p

( )1 , , ,j i jk c i j N N− −+ = −2 2, 0

TEi j i i= − α δA . (126)

Запишем решение системы дифференциальных уравнений (125) для гра-ничного условия с номером m в (113) в матричном виде [13]

)(( ) ( ) ( ) ( )sin

cos 0TEm my y

−⋅ ∂+

01E 11E

− −= ⋅E A E . (127)

Матричное представление (127) позволяет выразить матрицы и в

(123), (124) через матрицу системы (126) и граничные условия (113) в виде

( ) ( )

( ) ( ),

sincos

⎧⎪ = ⋅ ⋅ +⎪⎨⎪

= − ⋅ ⋅⎪⎩

⋅⋅

+ ⋅ ⋅

где Е, Dβ — единичная и диагональная матрица с элементами 0 , ,jik j N N= −

01E 11E

( )1exp TE a ⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

− β .

Матрицы и также можно выразить через матричную экспоненту в

виде, аналогичном представлению (101) для случая ТМ-поляризации. Дейст-вительно, заменим систему 2N+1 дифференциальных уравнений 2-го порядка (125) эквивалентной системой 4N+2 дифференциальных уравнений 1-го по-рядка и получим

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (129)

где , E — единичная матрица.

Как и для случая ТМ-поляризации, матричные представления (128), (129) для бинарной решетки могут быть использованы для решения задачи дифракции на решетке с непрерывным профилем [5,6]. Действительно, аппроксимируя непре-рывный профиль набором N бинарных слоев и используя для расчета дифракции на слое соотношение (129), получим коэффициенты Rn, Tn в виде (123), (124). При

( )01 a ( )11 11 a=E Eэтом матрицы и 01 =E E в (123), (124) вычисляются, как и для

случая ТМ-поляризации, через мультипликативный интеграл.

3.5. Примеры расчета решеток

В данном пункте мы рассмотрим работу простейших решеток. Под интен-сивностями отраженных и прошедших порядков будем понимать следующие нормированные значения квадратов модулей коэффициентов Рэлея [1,5,6]

1R Tn n

n U n UI I

∈ ∈

⎛ ⎞2 2

, ,R Tn nn n n nI R I T

β β= = ε

%+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ , (130)

1R Tn n

n U n UI I

∈ ∈

⎛ ⎞2 2

, ,R Tn nn n n nI R I T

β β= = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑β εβ

% (131)

для ТЕ- и ТМ-поляризаций, соответственно. U1, U2 в (130), (131) - являются множествами индексов, соответствующих распространяющимся отраженным и прошедшим порядкам;

{{ } ( ) }2/ 1n nn2

1 21 ,U n U= α < = α ε < . (132)

Эти формулы аналогичны уравнению (39) для случая дифракции на иде-ально отражающей решетке. Пример 3. Рассмотрим работу простейшей бинарной решетки с одним штри-хом шириной d/2 на периоде d. На рис. 7 приведены графики интенсивностей 0-го отраженного и 0-го и –1-го прошедших порядков в зависимости от высо-ты штриха a для случая ТЕ-поляризации. Расчет интенсивностей порядков проводился по формулам (123), (124), (129) при следующих параметрах: d=λ0, угол падения θ=30°, ε=2,25. Рис. 7 показывает ряд интересных моментов в работе бинарной решетки. Во-первых, при высоте штриха a∼0,8λ0 энергия рав-номерно распределена между 0-ым и +1-ым прошедшими порядками, то есть при данной высоте решетку можно использовать в качестве делителя пучка. Во-вторых, при высоте штриха a ≈ 1,6λ0 около 95% энергии падающей волны перете-кает из 0-го в –1-ый прошедший порядок, то есть при данной высоте решетку можно использовать как дефлектор (отклонитель) пучка. По общему виду графи-ков на рис. 7 можно также предположить, что интенсивности прошедших 0-го и -1-го порядков меняются периодически.

На рис. 8 приведена зависимость интенсивностей порядков бинарной ре-шетки от высоты штриха для случая ТМ-поляризации. Для ТМ-поляризации бинарная решетка работает как делитель пучка при высоте штриха a∼λ0. При a∼2λ0 более 95% энергии падающей волны содержится в -1-ом прошедшем порядке, то есть решетка работает как дефлектор пучка.

Пример 4. Рассмотрим работу решетки c треугольным профилем [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

/ , 0, ,/ , , ,

ax d x df x

a x d d d a x d d⎧ ∈⎪= ⎨− − − + ∈⎪⎩

где d1 — абсцисса вершины решетки. На рис. 9 — 11 для ТМ-поляризации приведены интенсивности порядков

для симметричной треугольной решетки (d1 = d/2), для правой пилообразной решетки (d1=d) и для левой пилообразной решетки (d1 = 0). Расчет интенсив-ностей порядков проводился по формулам (91), (92), (105) при периоде d = λ0, угле падения θ = 30° и ε=2,25. При расчетах треугольный профиль был ап-проксимирован шестнадцатью бинарными слоями, что соответствует кванто-ванию треугольного профиля решетки по 17 уровням. Из рис. 9 можно видеть,

что при высоте профиля a ≈ 1,7λ энергия равномерно распределена между 0-ым и –1-ым прошедшими поряд-ками и решетка работает как делитель пучка. При a~3,4λ более 95% энергии содер-жится в –1-ом прошедшем порядке, то есть при данной высоте решетка работает как дефлектор пучка. Таким об-разом, симметричная тре-угольная и бинарные решет-ки на рис. 7, 8 обладают свойствами делить пучок и собирать энергию в –1 по-рядке. Для симметричной треугольной решетки дан-ные эффекты происходят при примерно в полтора раза большей высоте про-филя.

Графики интенсивно-стей порядков для правой и левой пилообразных ре-шеток на рис. 10, 11 показы-вают, что, варьируя высотой профиля, нельзя сконцен-трировать энергию в –1-ом прошедшем порядке. Таким

Рис. 7. Зависимость интенсивностей –1-го и 0-го прошедших ( )1 0

T ( )0,TI I−R и 0-го отраженного I

порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТЕ-поляризации при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25

Рис. 8. Зависимость интенсивностей –1-го и 0-го прошедших ( )1 0

T ( )0,TI I−R и 0-го отраженного I

порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации при d = λ0, θ=30°, ε=2,25

образом, несимметричные пилообразные решетки не могут быть использова-ны как дефлекторы пучка. При этом левая пилообразная решетка (рис. 11) в отличие от правой пилообразной решетки (рис. 10) не позволяет равномерно рас-пределить энергию между 0-ым и –1-ым прошедшими порядками.

Рис. 9. Зависимость интенсивностей –1-

го и 0-го прошедших порядков (Рис. 10. Зависимость интенсивностей –1-

го и 0-го прошедших порядков ( )

правой пилообразной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации

при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25

)1 0,T TI I−

симметричной треугольной решетки от высоты профиля для ТМ-поляризации

при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25

1 0,T TI I−

Рис. 11. Зависимость интенсивностей -1-го и 0-го прошедших порядков

левой пилообразной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации при d = λ0, θ = 300, ε = 2,25

( )1 0,T TI I−

4. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК

4.1. Расчет отражающих решеток со ступенчатым профилем Решение прямой задачи дифракции на решетке со ступенчатым профилем,

изготовленной из идеально проводящего материала, приведено в разделе 1. В данном пункте рассматривается градиентный метод решения обратной задачи, состоящей в расчете параметров ( )1 1 1, ,..., , ,...,K K K,...,x x c c h h профиля решетки

(см. рис. 1) из условия формирования заданных значений интенсивностей ди-фракционных порядков [5,6,14]. Интенсивности порядков определены в урав-нении (40) и пропорциональны квадратам модулей коэффициентов Рэлея.

Для построения градиентной процедуры расчета профиля дифракционной решетки введем некоторую функцию ошибки ( )ε p

( ) ( )( )ε = εp I p , I%

( )1 1 1, ,..., , ,...,

, характеризующую отли-

чие рассчитанных значений интенсивности в дифракционных порядках от

требуемых значений :

, (134)

где K K Kx x c c h h

=p — вектор параметров, K — число штрихов

на периоде решетки, ( ),MM

n nM MI I

− −= =I I% %

( )1n n t+ = − ⋅∇εp p p

— вектора рассчитанных и требуе-

мых значений интенсивности порядков. Градиентная процедура минимизации функции ошибки состоит в итерационной коррекции параметров профи-

ля по правилу

( )ε p

, (135)

где n — номер итерации, t — шаг градиентного алгоритма,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

,..., , ,...,K Kx x c

∂ε ∂ε ∂ε ∂ε∇ε =

∂ ∂ ∂p p p p

p , ,...,Kc h h

∂ε ∂ε⎛ ⎞⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( )∇ε p

— градиент функ-

ции ошибки. Рассмотрим вычисление градиента функции ошибки . Со-

гласно (134), (40), элементы вектора градиента ( ) ip∂ε p ∂ , где pi — компонен-

та xi, ci или hi вектора p, имеют вид

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j jj j

R RI p

∂ β⎛ ⎞∂⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ β⎝ ⎠

j M j Mi j i

jj M j i

Ip I p

=− =−

∂ε ∂ε∂ε= =

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ε β ∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂ β ∂⎝ ⎠

∑ ∑

I,I I,pp

I,I p% (136)

Уравнение (136) удобно представить в виде реальной части скалярного произведения

( ) ( )2Re , ,

i ip p∂⎛ ⎞

= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

p R pL

∂ε (137)

векторов

( )( ) ( ) ( )0

Mj j, ,

j j jj M j

RI=−

∂ε∂ β=

∂ β∑I,I%

Mj i M

p p −−

⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

pR pL . (138)

Коэффициенты Рэлея Rj в (138) определяются из решения системы линей-ных уравнений (25). Для расчета вектора производных коэффициентов Рэлея в (137) продифференцируем систему (25) по переменной pi:

( )i ip p

∂ ⋅

i ip p∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂

R DR AAAA R AA . (139)

Согласно (139), вектор производных имеет вид

i i ip p p− ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

R D AAAA R . (140)

Таким образом, компоненты градиента функции ошибки вычисляются по

формулам (137), (138), (140). Матрицы ,ip

∂∂AAAA и вектора , ,

ip∂∂

DR D в (140)

рассчитываются из уравнений (22) — (25) для случая ТЕ-поляризации и из уравнений (25), (36) — (38) для случая ТМ-поляризации. В частности, для слу-чая ТЕ-поляризации производные ip∂ ∂AA ip∂ и ∂D могут быть получены из (23) — (25) в виде

D AAp p

∂ ∂=

∂ ∂, (141)

( ) ( ) ( )*ln l l lns np

hDD DD

μ∂ μ

tg2pss s p l

AA k cx d

∂= −β α − α ∑ , (142)

( ) ( )*2 1 l lns np

DD DDhμ2

1 cosps

AA ik ch d

∂= β

∂ ∑ , (143)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3 21

π sin 2 2tg22 cos

ln l lln ls

n ln l ln ln l

ln l l ll s p ns np

n hhikd c

hic MD DD

⎛ − μ +μ⎜=

*n l l lns np

hDD DD

⎛ ⎞μβ + +⎜ ⎟⎜ ⎟μ⎝ ⎠⎜ μ μ⎝

μ ⎞+ α − α ⋅ ⋅ ⎟

μ ⎠

∑ (144)

( ) ( )exp dn lm i c⎛ ⎞

1 πexp sink

lmn n lMD ik x

k k= α

где ξ α⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ξ ξ . (145)

ipДля ТМ-поляризации расчет производных ∂ ∂AA ip∂, ∂D

аналогичен и состоит в дифференцировании уравнений (36) — (38).

Для исследования целесообразности расчета решеток в рамках электро-магнитной теории оценим работоспособность решеток, рассчитанных в при-ближении Кирхгофа для формирования M = 2N + 1 равных порядков. Для ха-рактеристики работы решеток будем использовать значения энергетической эффективности

E M I=−

= ∑ (146)

и среднеквадратичной ошибки формирования заданной равной интенсивности порядков

( ) ( )1221 1 N

M I II M =−

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦∑δ = , (147)

где ( ) /I E M M= — среднее значение интенсивности. Пример 5. Для исследования была выбрана 11-порядковая бинарная дифрак-ционная решетка с глубиной штрихов h=λ/4 и с координатами штрихов (x1,c1)=(0, 0,06857), (x2,c2) = (0,20885, 0,23582), (x3, c3) = (0,5293, 0,19171), (x4, c4) = (0,72854, 0,13583). Приведенные координаты штрихов нормированы на период решетки. Данная решетка в скалярном приближении имеет энергетиче-скую эффективность E=76,6% при среднеквадратичной ошибке δ менее 1% [15]. Для оценки применимости скалярного приближения Кирхгофа был про-веден расчет интенсивностей порядков при следующих размерах периода d: 7,2λ, 15,2λ, 25,2λ, 35,2λ. Расчет проводился для случая ТЕ-поляризации по формулам (22) — (25) при нормальном падении плоской волны. Значения среднеквадратичной ошибки δ и энергетической эффективности E составили 30,2% и 83,8% при d = 7,2λ, 17% и 78,9% при d = 15,2λ, 12,1% и 78,5% при d=25,2λ, 10,6% и 83,8% при d = 35,2λ. Результаты расчетов показывают, что

для 11-порядковой решетки при периоде d > 25λ ошибка δ ~ 10% и скалярное приближение дает приемлемую точность. В то же время при d =7,2λ расчет в скалярном приближении приводит к значительной ошибке δ >30%. Приведен-ный пример демонстрирует актуальность точных процедур синтеза решеток в рамках электромагнитной теории при малых (относительно длины волны) пе-риодах. Пример 6. Градиентный метод (135), (137), (140) был использован для расчета бинарных решеток с равными порядками. В качестве функции ошибки исполь-зовалась квадратичная функция

( ) ( )( )2N

j jj N

I I=−

ε = −∑p p % . (148)

В таблице 1 приведены результаты расчета решеток при нормальном паде-нии плоской волны для случая ТЕ-поляризации. Данные таблицы 1 показыва-ют работоспособность градиентного метода. В частности, рассчитанная для d=7,2λ 11-порядковая решетка, в отличие от решетки рассчитанной в скаляр-ном приближении, имеет в 4 раза меньшую среднеквадратичную ошибку δ. Градиентный метод позволяет рассчитывать не только бинарные решетки, но и решетки с различной глубиной штрихов. В качестве примера была рассчитана 5-порядковая решетка. Решетка имеет на периоде d = 3,2λ два штриха с глуби-ной 0,1λ и 0,2584λ и с координатами (x1, c1) = (0,034224, 0,173889), (x2, c2) = (0,465776, 0,308846). Значения энергетической эффективности E и среднеквад-ратичной ошибки δ для этой решетки составили 89,6% и 2,9%. Оптимизация с учетом глубины штрихов hi позволяет достичь высокой энергетической эф-фективности и малой ошибки δ при существенно большей ширине минималь-ного штриха ( )( )1n ,i i i i ic x x c+ − +miΔ = . В частности, 5-порядковая решетка со

штрихами разной глубины имеет почти такие же значения E и δ, как бинарная решетка в таблице 1, но при почти в 2 раза большей величине минимального штриха.

4.2. Расчет диэлектрических бинарных решеток

В разделе 3 приведено решение прямой задачи дифракции на диэлектриче-ской решетке. В данном пункте рассмотрен градиентный метод решения об-ратной задачи расчета бинарной диэлектрической решетки [5,6,16,17]. Метод состоит в расчете координат штрихов профиля (рис. 6) из условия формирова-ния заданных интенсивностей дифракционных порядков. Отметим, что метод решения прямой задачи в разделе 3 позволяет моделировать решетки, изготов-ленные из материала с комплексной диэлектрической проницаемостью. По-этому обратную задачу можно формулировать как для прошедших, так и для отраженных порядков. Рассмотрим для определенности расчет координат

штрихов профиля из условия формирования заданных интенсивностей поряд-ков , ,nI n M M= −% , соответствующих прошедшим волнам в (58). Интенсивно-сти порядков пропорциональны квадратам модулей коэффициентов пропуска-ния Tn

2n n nI t T= ⋅

, (149)

где коэффициенты определены в уравнениях (130), (131).

Таблица 1. Результаты расчета бинарных отражающих решеток в рамках электромагнитной теории

Средне-квадра-тичная ошибка

δ (%)

Энергети-ческая эф-фектив-ность

Глубина штрихов

Число поряд-ков

Число штри-хов

Нормированные координаты штрихов Период

(d/λ) (xi, ci) / d (h/λ) E (%)

3 1 3,2 (0, 0,5) 92 0 (0, 0,089204), 5 2 3,2 0,25 87,2 3,5 (0,397067, 0,29625)

7 2 3,2 0,2241 (0,098974, 0,453849), 99,4 1,9 (0,751026, 0,146244)

9 3 5,2 0,2450 (0,117498, 0,095706),

91,2 4,1 (0,401101, 0,066281), (0,643485, 0,289262) (0,043523, 0,030163),

11 5 7,2 0,2363 (0,196521, 0,094899), (0,331266, 0,013970), 86,5 7,5 (0,381802, 0,161684), (0,651364, 0,282746)

Расчет профиля решетки состоит в градиентной минимизации функции ошибки (134), представляющей отличие рассчитанных значений интенсивности (вектор ) в порядках от требуемых значений (вектор ). Градиентная мини-мизация функции ошибки состоит в итерационной коррекции координат штрихов (вектора

( 1 2,..., K )x x=p ) по правилу (135). Рассмотрим вычисление

градиента функции ошибки ( )∇ε p для случая ТМ-поляризации. Согласно

(134), частные производные ( ) mx∂ε ∂p

имеют вид

( ) ( )

( ) ( ) ( )*2Re 2Re , ,

j Mm j m

j jj M j m m

Ix I x

∂ε ∂∂ε= =

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ε ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

I, I pp

I,I p T pL

% (150)

где

( )( ) M( )

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

pT p ( )∂, ,

j j j jMj M j

L L t TI−

∂ε= =

∂∑I, I

. (151)

Согласно (131), коэффициенты в (150), (151) имеют вид

%. (152)

( )Для расчета вектора производных mx∂ ∂T p в (150) продифференцируем уравнение (91):

( )( ( ) )( )

11 .m mx x

1 0101 11

2 expm m

ik ax x

∂ ∂= − β

∂ ∂

∂= − − −

HH D H

⋅ − =

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

H D H δ

Для расчета производных 01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂H H воспользуемся аналитиче-ским представлением матриц H01, H11 в (101). Дифференцируя (101), получим

( )( ) ( )

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟ = ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ A BC

где

( ) ( ) ( )1 TMn j jTM

m mx x− − ∂

∂ ∂AA A

nTM nTM

∂= ∑

A . (155)

( )При численном расчете производные

A в (154) следует вычислять

с использованием рекуррентной формулы

( ) ( ) ( )1 1n n n

m mx x−∂

+ ⋅∂

AA A∂ ∂= ⋅

∂ ∂A A . (156)

При этом расчет производных матриц H01 и H11 по порядку сложности эк-вивалентен вычислению экспоненты в степени матрицы через ряд. Для расчета производной TM

mx∂ ∂A TMA воспользуемся представлением матрицы в урав-нении (96). Дифференцируя (96), получим

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂ , (157)

где матрицы 1 2,m mx x∂ ∂ ∂ ∂F F имеют вид ( )

( ) ( ) ( )1 2

01 1 2 π1 exp , , ,ml jm

c ki l j x l j N N

x x d d−∂ ε −∂ ⎛ ⎞= = − − − = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

F , (158)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2220 1 1

1/ 1 2 π1 exp

l jN l N j

i ld d

−− + + − + +

∂∂= α α

ε −× − − −

, , , .

N l N jm

j x l j N N

− + + − + += α α ×∂

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Таким образом, компоненты градиента функции ошибки имеют вид реаль-ной части скалярного произведения:

( ) ( ) 1

01 112 Re−

∂ε= − ⋅

pH D H 0111 ,

m m mx x x⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

HHD T L , (160)

где вектор T определен в (91), вектор L определен в (151), матрицы H01 и H11 аналитически выражаются через матрицу системы (96) и граничные условия (75) в виде (101), а матрицы производных 01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂H H определены в уравнениях (154) — (159).

Отметим, что высота бинарного профиля a также может рассматриваться как параметр оптимизации. Производная функции ошибки по параметру a также имеет вид (160), где матрицы 01 11,a a∂ ∂ ∂ ∂H H могут быть получены из (101) в виде

( )( )01

exp TM TMaa

∂⎛ ⎞⎜ ⎟ ∂∂⎜ ⎟ = ⋅ ⋅

∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

A BCH ( )exp TMa a= ⋅ ⋅ ⋅A A BC . (161)

(Рассмотрим вычисление градиента функционала невязки )∇ε p

для слу-чая ТЕ-поляризации. Для ТЕ-поляризации компоненты вектора градиента для функции ошибки также имеют вид (150), (151), где вектор T определен в (123), а коэффициенты t имеют вид

β= ε

%. (162)

( )Для вычисления производных mx∂ ∂T p в (150) продифференцируем уравнение (123):

−∂= − − ⋅11

T E D E

m m mx x xβ β

⎛ ⎞∂∂− ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

0111 EED T . (163)

Для расчета производных 01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂E E от матриц E01 и E11 восполь-зуемся аналитическими представлениями (128). Согласно (128), матрицы

01 11,m mx x∂ ∂E∂ ∂E имеют вид

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

sincos

1 12 ! 2 1 !

1 1 ,2 ! 2 1 !

n nn nn nTE TE

n nTE TEn nn n

n nm m

a ax n n

a an x n x

+∞ ∞

⎛ ⎞⋅∂ ∂ ⎜ ⎟= ⋅ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

AEA E D

A E A D

A AE D

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

sin cos

12 1 !

1 12 1 !

−∞ ∞

∂ ∂= − ⋅ +

∂ ∂

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟− ∂⎝ ⎠

∑ ∑

EA A E

A E2 1

n nn nn TE

n nTEn n

a an x

⎛ ⎞⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

A AE D

( ) ( )где ( )1 TEn j jTE

m mx x− − ∂

∂ ∂AA A

nTE nTE

∂= ∑

A . (166)

( )nTEmx∂A∂При численном расчете производные в (164), (165) также

следует вычислять по рекуррентной формуле (166). В этом случае расчет про-изводных матриц E01 и E11 по порядку сложности эквивалентен вычислению через ряд косинуса и синуса от матрицы. Матрица TE

mx∂ ∂A в (164), (165) мо-жет быть получена из (126) в виде

( ) ( ) ( )1 2

0 1 2π1 expTE

c ki l

x x d d−∂ ε −∂ ⎛= = − −⎜∂ ∂

A , , ,mj x l j N N⎞− = −⎟⎝ ⎠

( )ε p

. (167)

Таким образом, для случая ТЕ-поляризации компоненты вектора градиен-та имеют вид

( ) ( ) 1

11 012 Re−

∂ε= − ⋅

pE D E 01 11 ,

m m mx x x⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

E ED T L , (168)

где вектор T определен уравнением (123), вектор L определен уравнениями (151), (162), матрицы E01 и E11 аналитически выражаются через матрицу сис-темы (126) и граничные условия (113) в виде (128), а матрицы производных

01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂E E

определены уравнениями (164), (165). При минимизации функции невязки с учетом высоты профиля производ-

ная a∂ε ∂p также имеет вид (168), где матрицы 01 11,a a∂ ∂ ∂ ∂E E могут быть получены из (128) в виде

sin cos

∂ ∂= ⋅

∂ ∂ ⎜⎝

= − ⋅ +

A A E )

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎟⎠

) )( ) ((( ) (

11 sin

cos sin

TE TE TE

a a∂ ∂

= − ⋅∂ ∂

= − ⋅ ⋅ −

A A E A )cos

+ ⋅ =

A D (170)

Для исследования целесообразности расчета диэлектрических решеток в электромагнитном приближении был проведен анализ работы решеток, рас-считанных в приближении Кирхгофа для формирования M=2N+1 равных по-рядков. Для характеристики работы решеток были использованы значения энергетической эффективности E (146) и среднеквадратичной ошибки δ фор-мирования заданной равной интенсивности порядков (147). Пример 7. Для исследования были выбраны 11 и 7-порядковые дифракцион-ные решетки с глубиной штриха, соответствующей фазе π, и с координатами штрихов (x1, x2) = (0, 0,06857); (x3, x4)=(0,20885, 0,44467); (x5, x6) = (0,5293, 0,72101); (x7, x8) = (0,72854, 0,86437) и (x1, x2) = (0, 0,23191); (x3, x4) = (0,42520, 0,52571), соответственно. Приведенные координаты штрихов нормированы на период решетки. Согласно [15], в скалярном приближении данные решетки формируют 11 и 7 порядков с энергетическими эффективностями E(11)=76,6% и E(7) = 78,6% при неравномерности интенсивности порядков менее 1%. В таблице 2 для указанных решеток приведены значения E и δ, рассчитанные в рамках электромагнитной теории при различных длинах периода. Значе-ния E и δ в таблице 2 приведены парами и соответствуют случаям ТМ- и ТЕ-поляризации. Расчет интенсивности прошедших порядков проводился по формулам (91), (101) и (123), (128) при ε = 2,25 и θ =0. Согласно данным таблицы 2, 11-порядковая решетка фактически неработоспособна при пе-риоде d<20λ0. При этом δ становится менее 10% только при d>50λ0. Для 7-порядковой решетки ошибка становится менее 10% уже при d>20λ0. Лучшая работа 7-порядковой решетки при малых значениях d/λ0 объясняется большим

размером штрихов. В частности, для 11-порядковой решетки минимальная ши-рина штриха Δ =0,008d, а для 7-порядковой решетки Δ =0,1d. Проведенный расчет демонстрирует актуальность точных процедур синтеза решеток.

Таблица 2. Характеристики работы решеток, рассчитанных в скалярном приближении (ε = 2,25; θ = 0)

Период решетки

(d/λ0) 11-порядковая решетка 7-порядковая решетка

E(%)(ТМ/ТЕ) E(%)(ТМ/ТЕ) δ(%)(ТМ/ТЕ) δ(%)(ТМ/ТЕ) 5.5 90,3 / 82,9 95,9 / 144,0 81,3 / 79,0 35,8 / 38,2 10 78,9 / 77,6 42,7 / 52,3 76,2 / 75,9 19,6 / 22,2 15 75,9 / 75,9 28,6 / 34,2 75,9 / 75,5 13,4 / 14,1 20 75,4 / 75,4 22,4 / 25,1 75,6 / 75,5 11,4 / 11,7 25 74,9 / 74,8 18,0 / 20,4 75,5 / 75,4 9,1 / 8,4 30 74,6 / 74,6 16,3 / 16,9 75,5 / 75,4 7,8 / 7,1 50 74,0 / 74,0 9,9 / 8,6 75,4 / 75,4 4,8 / 4,1

Пример 8. Разработанный градиентный метод был использован для расчета бинарных диэлектрических решеток (ε = 2,25) с равными порядками. В качест-ве функции невязки была использована квадратичная функция ошибки (148). В таблице 3 приведены результаты расчетов решеток с периодом d=5,5λ0 при нормальном падении для случаев ТЕ- и ТМ-поляризации. Данные таблицы 3 показывают, что точный электромагнитный расчет дает решетки, существенно отличающиеся от ранее рассмотренных 11-порядковой и 7-порядковой реше-ток, рассчитанных в скалярном приближении. Использование градиентной процедуры в рамках электромагнитной теории позволяет, как и в скалярном случае, снизить среднеквадратичную ошибку δ до 1 — 5%, но при большей на 5 — 10% энергетической эффективности [5,6, 16—20]. В частности, рассчи-танные 11-порядковые решетки с 3 штрихами, имеют энергетическую эффек-тивность более 90%.

Пример 9. В скалярном приближении распределение интенсивности в поряд-ках дифракции бинарной решетки может быть только симметричным. Приме-ры электромагнитного расчета поля от простейших решеток в пункте 3 пока-зывают, что при d=λ0, θ = 30°, симметричные решетки позволяют сконцентри-ровать излучение в –1-ом порядке [21]. Такая асимметрия возможна не только при малых периодах. В таблице 4 приведены результаты градиентного расчета бинарных дефлекторов с максимумом в –1-ом порядке при нормальном паде-нии для случая ТЕ-поляризации. В качестве функции ошибки была использо-вана квадратичная функция ошибки

( )ε = ( )( )211 minI−− →p p . (171)

Таблица 3. Результаты градиентного расчета бинарных диэлектрических решеток в рамках электромагнитной теории (d = 5,5λ0; ε = 2,25; θ = 0)

Число порядков

M Число

штрихов К Высота штрихов

(a/λ0) Координаты профиля E

(%) δ

(%) ТМ-поляризация

5 2 0,9 (0,1820, 0,4822), (0,5544, 0,8546) 80,1 3,1

7 2 0,9 (0,2454, 0,4367), (0,5999, 0,7912) 85,1 1,0

9 3 1,56 (0,0925, 0,1963), (0,3728, 0,4786), (0,6155, 0,7185)

96,1 0,6

11 3 1,6 (0,1515, 0,3435), (0,4845, 0,5753), (0,7162, 0,9046)

94,0 5,1

ТЕ-поляризация 5 2 0,8 (0,1798, 0,4816),

(0,5550, 0,8567) 80,7 2,5

7 2 0,875 (0,2579, 0,4297), (0,6070, 0,7787) 83,8 1,1

9 3 1,0 (0,0091, 0,1924), (0,3145, 0,4811), (0,7769, 0,9547)

89,7 3,6

11 3 1,57 (0,0444, 0,3390), (0,5033, 0,5567), (0,8259, 0,8792)

91,5 4,3

Таблица 4. Результаты градиентного расчета бинарных дефлекторов, концентрирующих излучение в –1-ом порядке (ε = 2,25; θ = 0, ТЕ-поляризация)

Период (d/λ0)

Число штрихов К

Высота штрихов

(a/λ0) Координаты профиля E (%)

3,5 2 1,68 (0,2596, 0,4378, 0,6082, 0,6754, 0,8469, 0,8780)

4,5 4 1,69 (0,2617, 0,4009, 0,5426, 0,6043, 0,7001, 0,7361, 0,8521, 0,8734)

5,5 5 1,78

(0,2714, 0,3982, 0,4997, 0,5565, 0,6100, 0,6473, 0,7243, 0,7560, 0,8793, 0,8984)

6,5 5 1,5

(0,1809, 0,4334, 0,4717, 0,5302, 0,6113, 0,6530, 0,7566, 0,7845, 0,8997, 0,9142)

Таблица 4 показывает, что в –1-ом порядке можно собрать более 80% энергии и при «больших» периодах. При этом для достижения высокой энергетической эффективности (>80%) на периоде d = pλ0 необходимо порядка p штрихов.

Решетки, позволяющие сконцентрировать излучение в –1-ом порядке, имеют большое практическое значение. Рассмотрим возможность использова-ния таких решеток для расчета различных фокусирующих ДОЭ, например линз. В скалярном приближении для расчета ДОЭ используется приближение тонкого оптического элемента. В приближении тонкого оптического элемента микрорельеф ДОЭ однозначно определяется фазовой функцией. Пусть

[ ]x , 0,x dϕ ∈ — фазовая функция ДОЭ, рассчитанная в приближении гео-метрической оптики из условия фокусировки в заданную область. Расчет в приближении геометрической оптики основывается на использовании уравне-ния наклонов, определяющего направление преломленного луча через фазо-вую функцию ДОЭ в виде

( ) ( )( ) 0d x d xdx dxϕ ϕ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

sin2πrλ

θ = ,

( ) ( )0 0 sinx k x0 /λ = λ ε ϕ — длина волны в среде, где = θ ⋅ — фазовая функ-ция освещающего пучка при y=0. Уравнение (172) совпадает с уравнением дифракционной решетки

( ) ( ) 0sin /m d= θ + λ

( )sin mε ⋅ θ

при периоде 2π /d d x dx= ϕ

( )( )sign /m d x dx= ϕ

и m=±1. Знак m определяется знаком произ-водной фазы;

. xДанное значение периода совпадает с размером зоны ДОЭ Δ , определяемой

( ) ( ) ( )2π , 2π/ .

d x d xx x x

dx dxϕ ϕ

Δϕ = ≈ Δ Δ = (174)

Таким образом, приближение геометрической оптики предполагает, что каж-дая зона ДОЭ работает как «однопорядковая» решетка, концентрирующая из-лучение в –1-ом или +1-ом порядках. В скалярном приближении Кирхгофа однопорядковой решетке соответствуют левая или правая пилообразная ре-шетка. При малых зонах геометрооптическое и скалярное приближения нера-ботоспособны, поскольку неработоспособной оказывается пилообразная решет-ка. В частности, для правой пилообразной решетки с высотой ( )0 / 1a = λ ε −

интенсивность 1-го порядка стремится к нулю при (рис. 12). 0d → λМожно предположить, что при замене непрерывных зон ДОЭ бинарными

решетками, рассчитанными в электромагнитном приближении из условия мак-симума –1-го или +1-го порядка, получится высокоэффективный бинарный

ДОЭ. Хотя формулы (172)-(174) являются лишь эвристическим обоснованием метода «замены зон ДОЭ однопорядковой решеткой», на практике метод ока-

зывается работоспособным. В частности, в работе [22] рассмотрен расчет внеосе-вого сегмента бинарной отражающей линзы, имею-щей для случая ТМ-поляризации эффективность ~90%. Расчет линзы в [22] основывался на замене зон непрерывной дифракционной линзы простейшей отра-жающей бинарной решеткой с одним штрихом. Для ТМ-поляризации при d ~ λ0, θ ~30° и высоте штриха a ~ 0,25λ0 такая решетка кон-центрирует излучение в -1 порядке (см. рис. 2).

Рис. 12. Интенсивность 1-го порядка правой

пилообразной решетки в зависимости от длины периода для ТЕ-поляризации при ε = 2,25,

θ = 0 и высоте профиля ( )0 / 1a

Пример 10. Проиллюстрируем работоспособность метода на примере расчета преломляющей линзы. Фазовая функция дифракционной линзы имеет вид

( ) ( ) ( )( )2 20 ,

2πmod sin

x x x x f c⎛ ⎞

− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

0 00,89 1,17xλ ≤ Δ ≤ λ

0~x λ

[ )[ )0

0, 0, / 2 ,, / 2, .

x xa x x x

∈ Δ⋅λ ∈ Δ Δ

( ) ( )( )

ϕ = − ⋅ θ − ελ

где (x0, f) — координаты фокуса, c - константа. При d = 20λ0, θ =30° и (x0, f) = (–20λ0, –85λ0) фазовая функция линзы имеет 20 зон с размером

. Для расчета бинарной линзы требуется заменить зоны линзы (165) бинарной решеткой, имеющей максимум в -1-ом порядке. При θ =30° и размерах зон Δ достаточно простейшей решетки с одним штрихом

( )2h x⎧⎪= ⎨⎪⎩

В частности, для ТМ-поляризации и ε = 2,25 решетка (166) концентрирует излучение в -1-ом порядке при a ~ 2λ0 (см. рис. 8). На рис. 13 и 14а приведены полученный бинарный рельеф линзы и распределение интенсивности

( ) *, ,x zE x f H x f= ⋅, ReI x f

= λ ε −

(в фокальной плоскости y=–85λ0. Указанное выражение для интенсивности

),I x f пропорционально модулю у-компоненты вектора Умова—Пойнтинга. Для сравнения на рис. 14б приведено распределение интенсивности для линзы с непрерывным рельефом

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) [ ]2 , 0, ,0

cos sin

mod sin

f c x dx + ∈+

ε − θ= ×

ε − θ ε − θ

× ⋅− θ − ε −

рассчитанным в приближении тонкого оптического элемента.

Распределение интенсив-ности на рис. 14б оказывается размазанным в отличие от ост-рого пика на рис. 14а с шири-ной 5λ0, сформированного бинарной линзой. Приведен-ный пример расчета линзы демонстрирует возможности и практическую важность задачи расчета решеток с максимумом энергии в –1-ом или +1-ом порядках. Большие, по сравне-нию с длиной волны зоны, требуют более сложных реше-ток с несколькими штрихами. При этом актуален расчет од-нопорядковых решеток для некоторого интервала перио-дов

]min max,d d

( )1 ,I d− p

, определяюще-го изменение размера зон ДОЭ. Расчет бинарной решетки с максимальной ин-тенсивностью в –1-ом порядке при

Рис. 13. Бинарная линза с апертурой d = 20λ0 для фокусировки в точку (x0, f) = (–20λ0, –85λ0)

при θ = 300, ε = 2,25

[ ]min max,d d d∈

( )( )211 , d minI−− ξ ξ →p p

может быть про-веден рассмотренным градиентным методом с функцией ошибки определен-ной, например, в виде

( )max

dε = ∫ , (178)

где р — вектор координат штрихов решетки.

а) б)

Рис. 14. Распределения интенсивности в фокальной плоскости (при y = –85λ0) для бинарной линзы на рис. 13 (а) и для линзы

с непрерывным рельефом (177) (б) для ТМ-поляризации

Пример 11. Простейшая бинарная решетка (166) с одной ступенькой может быть использована только при размерах зон близких к длине волны. Приведем пример расчета более сложной бинарной линзы с большим интервалом изме-нения размеров зон. При параметрах размер апертуры d = 30λ0, координаты точки фокусировки (x0,f) = (0,–130λ0), θ=100, ε =2,25 линза с непрерывным рельефом (177) имеет 10 полных зон с размером от 5λ0 в начале апертуры до 2λ0 на краю апертуры. Для расчета бинарной линзы требуется рассчитать ре-шетку из условия максимума –1-го порядка для интервала периодов [2λ0, 5λ0]. Такая решетка с тремя штрихами была рассчитана градиентным методом для ТМ-поляризации при функции ошибки (178). Нормированные координаты штрихов решетки равны p=(0,0429, 0,2981, 0,4556, 0,5771, 0,7745, 0,8276) при высоте штрихов a =2,07λ0. Данная решетка при периоде [ ]0 02 , 5d ∈ λ λ кон-центрирует в –1-ом порядке не менее 80% энергии. На рис. 15а приведен про-филь бинарной линзы, полученный заменой зон линзы (177) рассчитанной би-нарной решеткой, а на рис.15б — распределение интенсивности, сформиро-ванное бинарной линзой при y = –130λ0. Для сравнения на рис. 15 также пока-заны профиль непрерывной дифракционной линзы (177) и распределение интен-сивности

p 2π d

i xu uf f

⎛ ⎞ε ε

πsinc

d d xf f

= − =⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠

( ) ( )sinc sin /

⎛ ⎞ε ε= ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠

∫ (179)

xгде x x= , формируемое в скалярном приближении Кирхгофа в фо-кальной плоскости идеального сферического фронта. Рис. 15 показывает хорошую

работоспособность рассчитанной бинарной линзы и демонстрирует возможность замены задачи расчета ДОЭ существенно более простой задачей расчета однопо-рядковой решетки при значительном диапазоне изменения размеров зон.

а) б) Рис. 15. Бинарная линза (d = 30λ0) для фокусировки в точку (x0, f) = (0, –130λ0) при

θ =100, ε = 2,25 и непрерывная линза (177) (а), распределение интенсивности, сформированное бинарной линзой для ТМ-поляризации и распределение

интенсивности при идеальном сферическом фронте (б)

4.3. Расчет идеально проводящих решеток с непрерывным профилем в приближении Рэлея

Решение задачи дифракции на решетке с непрерывным профилем в при-

ближении Рэлея, изготовленной из идеально проводящего материала, приведе-но в пункте 2. Рассмотрим градиентный метод расчета профиля решетки ( )f x из условия формирования заданной интенсивности дифракционных порядков [5,6,23]. Интенсивности порядков (40) пропорциональны квадратам модулей коэффициентов Рэлея; 2

0/n n nI R= β β . Для удобства будем работать с норми-

рованной функцией высоты профиля решетки ( ) x2π

df ⋅H x k ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ . Для по-

строения градиентной процедуры расчета профиля ( )H x введем функционал

ошибки ( )Hε , характеризующий отличие расчетных значений интенсивно-

стей порядков от требуемых значений : nI nI%

( ) ( )( )H Hε = ε I , I%

где и - вектора расчетных и заданных интенсивностей дифракционных порядков. Отметим, что компоненты вектора также являются функционала-ми от профиля решетки ( )H x . Градиентная минимизация функционала (180)

состоит в итерационной коррекции функции ( )H x согласно правилу:

( ) ( ) ( )n n1H x H x t x′= − ⋅ε+ ,

( )′ xгде n — номер итерации, t — шаг градиентного метода, ε — градиент

функционала. Для вычисления градиента ( )′ xε

( ) рассмотрим приращение

функционала Hε (, вызванное малым приращением высоты профиля )H xΔ :

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )*

j jj M j

H H H H

R H R HI

∂εΔε = ε + Δ − ε =

∂ε β⎛ ⎞= Δ ⋅⎜ ⎟∂ β⎝ ⎠

∑I, I%

( ) ( )( )e , ,

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

j jM MH L H

− −=

j jj M j

L RI=−

Δ = Δ

∂ε β=

∂ β∑

где

( )HСогласно (50), вектор приращений ΔR

( )1− Δ − Δ ⋅A B AA R

( ) ( )( )dH

имеет вид:

( )HΔ =R A , (184) где матрица AA и вектор B определены в уравнениях (45), (46) для случая ТЕ-поляризации и в уравнениях (48), (49) для случая ТМ-поляризации. Для случая ТЕ-поляризации из (45), (46) получим вектор приращений в виде

( ) ( )2π

H i−Δ = ⋅ Δ ξ ξ − ξ ⋅ ξ∫1R AA B A R%% , (185)

где

( ) ( )( )( ) ( ) (

A i−

ξ = ξ

) ( ) ( )( )0 0 ,nn p i Hξ = β − β ⋅ ξ − + β − β ξ

% (186)

( ) ( )( ) ( ), 2N

p pNB B

−( )( )0 0exp 2i H ipξ = ξ ξ = − β − β ξ − ξB% % % . (187)

Подставляя (185) в (182), получим приращение функционала ошибки ( )Hε

( ) ( )( )( ), d

в виде

( )2π

2 ImH H −Δε = − Δ ⋅ ξ − ξ ⋅ ξ∫ 1AA B% A R L%

( ) ( )( )( ),x x− ⋅B A R L%%

. (188)

Согласно (188) градиент функционала имеет вид мнимой части скалярного произведения:

( ) 2 Imx −′ε = − ⋅ 1AA . (189)

Проводя аналогичные выкладки для случая ТМ-поляризации, несложно получить градиент функционала ошибки также в виде (189), где вектор R ищется из уравнений (48) — (50), а матрица ( )( )

ξA% и вектор ξB имеют вид: %

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

npn n n

A n pd

−ξ = ξ

α λ⎛ ⎞ ( ) ( ) ( )( )0 0 ,ni n p i Hξ = β β −β + − ξ − + β −β ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

% (190)

( ) ( )( )

( ) ( )( )0 0xp 2 .i H ip2 0

−ξ = ξ

α λ⎛ ⎞ξ = − β + − β ξ − ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

% (191)

Рассмотрим расчет шага t для градиентной процедуры (181). Для расчета t рас-смотрим функционал ( )Hε

( ) ( )( )t H t H′ε = ε − ⋅ε

( )1 tε

( ) ( ) ( )1 1 10 0t t′ε = ε + ε ⋅

вдоль направления антиградиента как функцию от t:

. (192) 1

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0

. (193)

( )HПредполагая, что минимальное значение функционала ε

( ) ( )1 10 / 0t ′= −ε ε

( )1 0′ε

равно ну-лю, приравняем правую часть уравнения (193) к нулю и получим величину шага t в виде

. (194)

( ) ( ) (Для расчета рассмотрим приращение )1 1 1 0t tΔε = ε − ε

функции

при t=0. Для расчета ( )1 tΔε1ε воспользуемся формулой (188) при

( ) (H H t′Δ = −ε . В результате получим )1 t

) ( )( )( ), d

Δε в виде

( ) ( ) (2π

2 Imt t H −′Δε = ε ⋅ ⋅ ξ − ξ ⋅ ξ∫ 1AA B% A R L% . (195)

( )1 0′ε имеет вид Согласно (195) производная

( ) ( )2π

0 4 Im −′ε = − ⋅ ( )( )( )( )2, dξ − ξ ⋅ ξ∫ 1AA B% A R L%

( ) ) )( )1

, (196)

а значение шага определяется по формуле

( ) ( )((2π

0 2 Imt−

−= ε ⋅ ⋅⎛ ⎞

ξ − ξ ⋅ ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

R L∫ 1AA B A%% . (197)

( ) ( )xA% xМатрица и вектор B%

d >> λ

в (197) определены в уравнениях (186),

(187) для ТЕ-поляризации и в уравнениях (190), (191) для ТМ-поляризации. В пункте 2 показано, что при приближение Рэлея переходит в прибли-жении Фраунгофера, для которого коэффициенты Рэлея соответствуют коэффи-циентам Фурье в разложении функции (

( ))i xϕ ( )x, где exp ϕ - фазовая функция

(51). Это позволяет рассматривать широко используемые градиентные алгоритмы синтеза решеток в приближении Фраунгофера как частный случай общего гради-ентного алгоритма (181), (189), основанного на приближении Рэлея.

Пример 12. Рассмотренный градиентный метод был применен к расчету ре-шеток с 2M+1 равными порядками. В качестве функционала ошибки был ис-пользован квадратичный функционал:

( ) ( )( )2M

j jj M

H I H I=−

ε = −∑ % . (198)

Шаг t градиентного метода определялся из условия минимума функции, яв-ляющейся линейной аппроксимацией функционала ( )Hε вдоль направления ан-

тиградиента. Расчет проводился для нормального падения плоской волны для ТЕ-поляризации. На рис. 16 — 19 приведены расчетные профили ( )H x и интенсив-

ности дифракционных порядков для 5, 7, 9 и 11-порядковой решеток с периодами 3,6λ, 5,2λ, 6,2λ и 7,2λ, соответственно. В качестве начальных точек для градиент-ной процедуры в приближении Рэлея использовались профили, рассчитанные гра-диентным методом в скалярном приближении. Начальные профили показаны на рис. 16а — 19а пунктирными линиями. Значения энергетической эффективности Е (146) и среднеквадратичной ошибки δ (147), рассчитанные для начальных про-филей в скалярном приближении, составили 95,2% и 1,1% для 5-порядковой ре-шетки, 98,1% и 1,4% для 7-порядковой решетки, 99,6% и 1,9% для 9-порядковой решетки и 98,6% и 0,8% для 11-порядковой решетки.

Inf(x)/

0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d

0-3 -2 0-1 21 3

Рис. 16. Профили 5-порядковых решеток (а) и интенсивности порядков (б), рассчитанные в скалярном приближении (штриховая линия) и приближении Рэлея (непрерывная линия)

(x)/λ n

0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d

0-4 -2 0 2 4

(x)/λ n

0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d

0-6 -4 -2 0 2 4 6

(x)/λ n

0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d

0-n -6 -8 0 64 -2 2 4

Рис. 19. Профили 11-порядковых решеток (а) и интенсивности порядков (б), рассчитанные в скалярном приближении (штриховая линия) и приближении Рэлея (непрерывная линия).

Интенсивности порядков для начальных профилей, рассчитанные в при-ближении Рэлея, показаны пунктирными линиями на рис. 16б — 19б. Исполь-зование приближения Рэлея для начальных профилей дает увеличение ошибки δ до 25-30% при снижении энергетической эффективности Е на 1,5-2,5%. Гра-диентный метод в приближении Рэлея (181), (189) позволяет скорректировать скалярные решения. Профили решеток и интенсивности порядков, рассчитан-ные градиентным методом в приближении Рэлея, показаны сплошными ли-ниями на рис. 16 — 19. Значения Е и δ для рассчитанных в приближении Рэлея решеток составили 92,5% и 1,7% для 5-порядковой решетки, 94,2% и 0,8% для 7-порядковой решетки, 99,3% и 0,5% для 9-порядковой решетки и 96,3% и 0,7% для 11-порядковой решетки. Для оценки точности полученных решений был проведен расчет интенсивности порядков с использованием точного инте-грального метода [1]. Результаты расчетов показали, что для рассчитанных в приближении Рэлея профилей, увеличение ошибки δ при точном расчете ин-тенсивностей порядков составляет всего 2 — 3%. Приведенные примеры пока-зывают как хорошую сходимость и точность градиентной процедуры в при-ближении Рэлея, так и необходимость корректировки решений, полученных в рамках скалярной теории.

5. ДИФРАКЦИЯ НА ДВУМЕРНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕШЕТКАХ При описании дифракции на двумерной решетке ось z направим перпен-

дикулярно плоскости расположения дифракционной решетки. Как и в одно-мерном случае будем выделять три зоны. Зона 1 соответствуют области над решеткой при z>a, где a – максимальная высота профиля. Зона 2 соответствует зоне модуляции 0<z<a. И наконец зона 3 соответствует области подложки z<0. Над решеткой и под решеткой диэлектрическая проницаемость постоянна. В зоне модуляции диэлектрическая проницаемость является функцией ε = ε(x,y,z). Магнитную проницаемость будем считать равной единице во всех трех зонах.

Рассмотрим первоначально общее представление поля в среде с постоян-ной диэлектрической проницаемостью ε. Это позволит записать поля в зонах 1 (z>a) и 3 (z<0). Поскольку свойства среды не зависят от z, то электрическое и магнитное поля имеют вид

( , ) exp( ),

( , ) exp( ),( )( )

x y z x y ik z

H H (199)

( )0cos ,где γ = ε γ γ0 - угол с осью z. Подставляя (199) в базовые уравнения (1.9), (1.10), получим

y z y x

x z x y

y x zx y

H ik H ik EH ik H ik EH H ik E

∂ − γ = − ε+ γ = − ε

∂ − ∂ = − ε

y z y x

−∂ x z x y

x y y x z

E ik E ik HE ik E ik HE E ik H

∂ − γ =−∂ + γ =

∂ − ∂ = (200)

Используя (200), представим тангенциальные компоненты поля через z-компоненты в виде

( ) ( )

x y z x z

y x z y z

= ∂ + γ ⋅∂

= ∂ − γ ⋅∂γ

−ε − γ

ε −

x y z x z

y x z y z

H E Hik

= ε⋅∂ −γ⋅∂ε−γ

−= ε⋅∂ + γ⋅∂

ε−γ

где Ez, Hz удовлетворяют уравнениям Гельмгольца 2 2

E Ex yH Hx y

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂

( ) 0,

( ) 0.

+ + ε − γ =

+ + ε −

(202) γ =

∂ ∂Решая (202) методом разделения переменных, получим

( ) ( )( )( ) ( )( )

0 0 0 0

x y ik z, , exp

, , exp

E x y z ik

H x y z ik

= ε x y ik z

α + β ± γ

α + β ± γ (203)

2 20 01

где γ = ε − α − β . (204)

Далее рассмотрим так называемые волны Е и Н типов. Для Е-волны Ez≠0, Hz=0, а для Н-волны Hz≠0, Ez=0 [24]. Из уравнений (201) для Е-волны получим

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0x y ik z02 2

1 expx x zE E ikik

γ εα−= γ ⋅∂ = ⋅ ε α + β ± γ

ε − γ ε − γ

m, (205)

1y y zE E

= γ ⋅∂ =ε − γ ( ) ( )( )0

0 0 0 02exp ik x y ik z

γ εβ

ε − γ

m, (206) ⋅ ε α + β ± γ

1x y zH E

ik= ε ⋅∂ =

ε − γ ( ) ( )( )00 0 0 02

exp ik x y ik zε εβ

, (207) ⋅ ε α + β ± γε − γ

1y x zE

= ε ⋅∂ =ε − γ

H( ) ( )( )0

0 0 0 02exp ik x y ik z

−ε εα. (208) ⋅ ε α + β ± γ

ε − γ

Поскольку решение задачи дифракции требует наложения условий равен-ства тангенциальных компонент полей на границах зоны модуляции, то оказы-вается удобным введение следующего четырехкомпонентного вектора танген-циальных компонент:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )( )0 0 0 0x y ik z

2 2 00 0

1 exp ik

γα⎛ ⎞⎜ ⎟−εα⎜ ⎟ ε α + β ± γ⎜ ⎟γβγε α + β ⎜ ⎟

εβ⎝ ⎠

m. (209)

Вектор (209) дополнительно пронормирован на величину

( ) ( )2 20 02

εc = . γε α + βε − γ

При указанной нормировке z-компонента вектора Умова-Пойнтинга

z x y y xS E H E H= − (210)

равна единице. Для Н-волны из уравнений (201) получим

1x y zE H

= ∂ε − γ ( ) ( )( )0 0 0 0x y ik zε α +0

2exp ik

− εβ= ⋅ , (211) β ± γ

ε − γ

1y x zE H

ik= ∂

ε − γ ( ) ( )( )0 0 0 0x y ik z02

exp ikεα

= ⋅ ε , (212) α + β ± γε − γ

x x zHik

γ= ∂

ε − γmH

( ) ( )( )00 0 0 02

exp ik x y ik zγ εα

ε − γ

m, (213) = ⋅ ε α + β ± γ

y y zHik

−γ= ∂

ε − γH

( ) ( )( )00 0 0 02

exp ik x y ik zγ εβ

ε − γ

m. (214) = ⋅ ε α + β ± γ

Как и для Е-волны, введем четырехкомпонентный вектор из тангенциаль-

ных компонент с нормировкой на величину ( ) ( )2 2

εc = γ : α + βε − γ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )( )0 0 0 0x y ik z

2 2 00 0

1 exp ik

−β⎛ ⎞⎜ ⎟γβ⎜ ⎟ ε α + β ± γ⎜ ⎟αγ α + β ⎜ ⎟

γα⎝ ⎠

. (215)

Плоская волна произвольной поляризации может быть представлена в ви-де суперпозиции Е- и Н-волн. Поэтому полученные выражения (203), (209), (215) позволяют представить электромагнитное поле (при ε=const) в виде не-прерывной суперпозиции по α и β волн Е и Н типов.

При дифракции на двумерной решетке направления дифракционных по-рядков (Е- и Н-волн) в области над решеткой (z>a) описываются дискретным набором углов

0 00 0

, mx y

n md d

λ λβ = β +

ε ε, (216) nα = α +

2 20 1nm n mγ = ε − α − β

, ,, ,

, (217)

где ε0 – показатель преломления среды в зоне 1, dx, dy – периоды решетки по осям Ox, Oy. Будем предполагать, что для описания поля в зонах 1 и 3 доста-точно (2N+1)2 порядков с номерами от (-N,-N) до (+N,+N). В этом случае четырехкомпонентный вектор отраженного от решетки поля запишем в виде конечной суперпозиции дифракционных порядков

( ) , ,, ,N N

R E nm E nmn N m N

x y z R=− =−

= +∑E V H nm H nmn N m N

=− =−∑ V

, (218)

где (n,m) – индексы порядков дифракции, E nm H nmR R

- коэффициенты отраже-

ния, E nm H nm± ±V V - четырехкомпонентные вектора, описывающие Е- и Н-волны:

( )( )( )0 0 0n m nmx y ik zα + β ± γ

nm mnm n m

γ α⎛ ⎞⎜ ⎟−ε α⎜ ⎟= ε⎜ ⎟γ βγ ε α + β ⎜ ⎟

ε β⎝ ⎠

m, (219)

( )( )

n m nmx y ik z

−β⎛ ⎞⎜ ⎟γ β⎜ ⎟

0 0exp

± = ×⎜ ⎟α+ β ⎜ ⎟

γ α⎝ ⎠

α + β ± γ

V (220)

Знак «+» в верхнем индексе четырехкомпонентных векторов E nm H nm± ±V V

описывает волны, распространяющиеся вдоль оси z, а знак «-» - волны, рас-пространяющиеся против оси z. Пусть электрический вектор падающей волны имеет вид

( ) ( )( )( )( )

0 0 0 0

0 0 0 0 0

, , exp

exp exp( )

x y z ik x y ik

ik x y ik z

= ⋅ ε α + β −

= ⋅ ε α + β γ =

p E ( )0 0 0

0 0 0, exp( ) ,

x y ik z

⋅ γ (221)

где (α0,β0,-γ0) – единичный вектор направления распространения волны, а р - единичный вектор поляризации, перпендикулярный вектору распростране-ния волны. Падающая волна может быть представлена в виде суперпозиции Е- и Н-волн. Действительно, обозначим IE,00, IH,00 – коэффициенты разложения падающей волны (221) по базовым Е- и Н-волнам. Для отыскания коэффици-ентов IE,00 IH,00 приравняем компоненты Еx, Ey исходной волны и суперпозиции Е- и Н-волн. В результате получим следующую систему уравнений

( ) ( ),00

2 20 0

− ,000 0

2 20 00 0

HI Iγα −β⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟−γβ α⎝ ⎠γ α + β

H nm H nmn N m N

R R+ +

=− =−

+∑ ∑ V

, ,, ,

H nm H nmn N m N

T− −

=− =−∑ V

⎝ ⎠⎝ ⎠ γε α + β. (222)

Таким образом, поле над решеткой, представленное в виде четырехкомпо-нентного вектора, имеет вид

,00 ,00 ,00 ,00 .

E nm E nmn N m N

E E H HI I=− =−

− −

V V (223)

Аналогично, четырехкомпонентный вектор поля в области под решеткой (z<0) поле имеет вид

( ) , ,, ,N N

T E nm E nmn N m N

x y z T=− =−

= +∑E V , (224)

, ,,где E nm H nmT T , ,, - коэффициенты пропускания, E nm H nm± ±V V

- четырехкомпо-нентные вектора, описывающие Е- и Н-волны в зоне 3:

( )( )

nm mn m

m nmx y ik z

γ α⎛ ⎞⎜ ⎟−ε α⎜ ⎟= ×⎜ ⎟γ βα + β ⎜ ⎟

ε β⎝ ⎠

α + β ± γ

%%m%% %%

V (225)

( )( )

s n m nmx y ik z

⎛ ⎞−β⎜ ⎟

γ β⎜ ⎟= ×⎜ ⎟α+ β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ α⎝ ⎠

α + β ± γ

V% % (226)

где

00 0 0

λα = α ε ε = α ε ε +

λ= β ε ε +β = β ε ε

% (227)

2 21nm s n mγ = ε − α − β%% % , (228)

где εs-диэлектрическая проницаемость материала подложки. Рассмотрим описание поля в зоне модуляции. Представим базовые урав-

нения (1.9), (1.10) в покомпонентном виде

y z z y x

x z z x y

x y y x z

H H ik EH H ik EH H ik E

∂ − ∂ = − ε+ ∂ = − ε

∂ − ∂ = − ε

y z z y x

−∂ x z z x y

y y x z

E E ik HE E ik HE E ik H

− ∂ =−∂ + ∂ =

∂ − ∂ = (229)

Из последних уравнений в столбцах выразим Ez, Hz:

1z y x x yE H H

ik= ∂ − ∂

ε, (230.1)

1z x y y xH E E

ik= ∂ − ∂ . (230.2)

Подставляя (230) в оставшиеся 4 уравнения в (229), получим

z y x y

E ik Hik

x y x x y

y x x y

⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ − ∂⎜ ⎟∂ = + ⎣ ⎦ε⎝ ⎠

⎛ ⎞ (231.1)

⎡ ⎤∂ − ∂⎜ ⎟∂ = − + ∂ ⎣ ⎦ε⎝ ⎠

x x y y x

y x y y x

H ik E E Eik

H ik E

∂ = − ε

∂ = ε E Eik

+ ∂ ∂ − ∂

+ ∂ ∂ − ∂ (231.2)

Компоненты электрического и магнитного полей являются квазипериоди-ческими функциями, то есть представимы в виде

( ) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( )( )

0 0 0 0

ik x y, , , , exp

, , , , exp

x y z x y z

H U ik x y

ε α + β

ε α + β (232)

где S(x,y,z)=(Sx(x,y,z), Sy(x,y,z), Sz(x,y,z)), U(x,y,z)=(Ux(x,y,z), Uy(x,y,z), Uz(x,y,z)) – периодические по переменным x, y функции. Разлагая функции S(x,y,z), U(x,y,z) в ряды Фурье по переменным x, y, получим

( ) ( ) ( )( )

k x y,

, , exp

x y z z i

x y z z

=−∞

H U ik x y

ε α + β

ε α + β (233)

где Snm(z)=(Sx,nm(x), Sy,nm(z), Sz,nm(z)), Unm (z)= (Ux,nm(x), Uy,nm(z), Uz,nm(z)), а αn, βm имеют вид (18). В зоне модуляции функции ε(x,y,z), 1/ε(x,y,z) являются перио-дическими

( ) ( )

, , ex

1/ , , exp

2 2p ,

x y z c z i nx i myd d

x y z c z

=−∞

∑ i nx i myd d

⎛ ⎞π π⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞π π

⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Подставим разложения (233), (234) в уравнения (231) и приравняем коэф-фициенты при одинаковых гармониках. В результате получим бесконечную систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффици-ентами. Ограничиваясь рассмотрением конечного числа гармоник, запишем систему дифференциальных уравнений в виде

( ), 20 , 0 0 ,

, ,..., ,

y qt q n t m q mn m N

dSik U ik c

dzq t N N

− −=−

= + ε α

∑ ( ), , ,x nm n y nmU Uβ − α (235.1)

( ),0 0 , ,

, ,..., ,

y qtt q y qt t x qt

dUik S S

dzq t N N

= ε β α −β +

( )10 , ,

q n t m x nmn m N

ik c S− −=−

∑ (235.2)

( ), 20 , 0 0 ,

, ,..., ,

x qt q n t m tn m N

dSik U ik c

dzq t N N

− −=−

= − + ε β

∑ ( ), , ,m x nm n y nmU Uβ − α (235.3)

( ),0 0 , ,

, ,..., .

x qtq q y qt t x qt

dUik S S

dzq t N N

= ε α α −β −

( )10 , ,

q n t m y nmn m N

ik c S− −=−

∑ (235.4)

Система (235) может быть записана в матричном виде ( )

( ) ( )z

dz= ⋅

( ), ,x qtS z

( ), , , ,...,t z q t N N= −

2 20 0

⎛ ⎞ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

D C D E

, (236)

где V(z) – вектор столбец, составленный из 4(2N+1)2 функций

, A(z) – матрица системы. Матрица системы имеет вид:

( ) ( ), ,, ,y qt y qt x qU z S z U

1 20 0

α β α

− ε

− ε ε=

−ε ε −

E D C D

C D DA

, (237)

где нули обозначают матрицы из нулевых элементов, E – единичная матрица, С(1), С(.2) – матрицы, составленные из коэффициентов Фурье ( )( ) ( ) ( )1 2,nm nmc z c z , Dα, Dβ - диагональные матрицы. Диагональные элементы матриц Dα, Dβ соот-ветствуют наборам элементов αn и βn, n= -N,…,N, повторенным (2N+1) раз.

При записи системы дифференциальных уравнений (237), Фурье коэффи-

циенты произведений ( )1, ,x y z y x x yE H H∂ − ∂ε

E Eε ε были вычислены с ис-

пользованием так называемого прямого правила Лорана, основанного на пря-мом перемножении рядов Фурье сомножителей [25, 27]. При учете конечного числа Фурье гармоник использование прямого правила Лорана не является оптимальным [25, 26]. В работах [25, 26] рассмотрены специальные правила вычисления отрезков рядов Фурье для произведений функций, обладающих лучшей точностью представления. Соответствующий вид системы диффе-

( ) (ренциальных уравнений аналогичен (237), только матрицы )1 2,C C

S zU z

zS zU z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

имеют модифицированный вид. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением сис-темы (237). Использование представлений из работ [25, 26] необходимо только при работе с решетками из материалов с высокой проводимостью, таких как серебро или золото.

Таким образом, поле над решеткой и под решеткой имеет вид (223) и (224), а в зоне модуляции описывается системой дифференциальных уравне-ний (236), (237). Для поиска общего решения системы (236) необходимо найти 4(2N+1)2 линейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции (ε(x,y,z)=εs), решения системы (236) имеют вид

( )( )( )( )

( )( )0

mnm s n

γ α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟γ ε α ⎜ ⎟⎝ ⎠

S zU z

zS zU z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−ε αγ β+βε β

, (238.1)

( )( )( )( )

±S% ( )02 2

nm mnm

nnm n m

⎛ ⎞−β⎜ ⎟

γ β⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟αγ α +β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ α⎝ ⎠

%%% %% %m

, (238.2)

где n,m = -N,…,N. Граничные условия для системы (238) определим в виде вектор столбцов с 4(2N+1)2 компонентами. Каждый вектор граничных условий будем представлять как совокупность 4 векторов (Sx(0), Uy(0), Sy(0), Ux(0)). Указанные 4 вектора имеют размерности (2N+1)2 и состоят из начальных зна-чений функций Sx,nm(0), Uy,nm(0), Sy,nm(0), Ux,nm(0), соответственно. Определим граничные условия как вектора, у которых все элементы равны нулю за ис-ключением четырех компонент, соответствующих базисным решениям (238):

( ), 0E nm± =S%

( )2 2

nm mnm s n m

γ α−ε αγ βγ ε α + βε β

%%m%% %%

, , ,...,m n N N

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (239.1)

( ), 0H nm± =S%

( )2 2

nnm n m

⎛ ⎞−β⎜ ⎟

γ β⎜ ⎟⎜ ⎟αγ α + β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ α⎝ ⎠

%%% %% %m

, , ,...,m n N N= − . (239.2)

Такое определение граничных условий удобно для согласования решения в зоне модуляции с решением под решеткой.

(Обозначим ), ,,E nm H nmz z± ±D D

( ) ( )( )

( )( )

H ij H ij

− −

= + +D

( ) ( ),

,M nmn m

решения системы с введенными граничными условиями. При этом общее решение системы (236) принимает вид

E ij E iji j N

− −

G D (240)

Соответственно поле в зоне модуляции имеет вид

( )( )( )( )

, ,, ,

, ,, ,, ,

E x y zH x y z

x y zE x y zH x y z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = z x yϕ =∑E G

( )( )

( )( ) ( )

, , , ,

H ij H ij

H ij nm

C z x y

⎞ϕ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,, ,

E ij E ijn m N i j N

E ij E ij H iji j N

=− =−

− − −

⎛⎜⎝

∑ ∑

∑ D D (241)

( )где ( )( )0xp n m, enm x y ik x yε α + βϕ = . (242)

Для определения коэффициентов пропускания и отражения используем условия непрерывности тангенциальных компонент на границах зоны модуля-ции при z=0 и z=a. Вектор тангенциальных компонент поля в зоне модуляции при z=0 имеет вид:

( ) ( ) ( ),

0 ,M nmn m

, ,0x y x y= ϕ =∑E G

( )( )

( )( ) ( )

( )) ( )

0 0 , .

j H ij

j H ij nm

⎞ϕ =⎟

, , ,, ,

, , ,,

E ij E ij H in m N i j N

E ij E ij H ii j N

E nm E nm H nm Hn m N

E nm E nm H nm H

=− =−

− − −

⎛= +⎜

∑ ∑

Аналогично, вектор тангенциальных компонент поля под решеткой при z=0 описывается выражением

, , , , 0

H nm H nmT x y

− − =

( )) ( )

( )( ) ( )

0 0 , .

H nm nm

− −

( ) ( )

( ) ( )( )

, ,, ,

, , , ,,

, , 0 , ,0

T E nm E nmn m N n m N

E nm E nm H nm H nm nmn m N

x y T x y

=− =−

− −

∑ ∑

D D (244)

Запишем условие непрерывности тангенциальных компонент полей (243), (244) при z=0:

, , ,,

, , , ,

E nm E nm H nmn m N

E nm E nm H nm H nm

E nm E nm H nmn m N

− − − −

D D (245)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях ϕnm(x,y) в (245), получим

, ,0, 0,E nm E nm H nm

E nm E nm

− −

,, , , , ,

, , .H nmT n m N N

n m N N

( )( )( )( )

, ,, ,, ,, ,

E x y zH x y z

zE x y zH x y z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )) ( ), , ,ij H ij nmT z x y− −⎛ ⎞+ ϕ⎟

⎝ ⎠D D

( )( ) ( )

, , , ,

H nm H nm

R x y a

Согласно (246), поле в зоне модуляции принимает вид

, ,M x yE

( )( , ,, ,

E ij E ij Hn m N i j N

T z=− =−

= ⎜∑ ∑ . (247)

Далее используем условие непрерывности тангенциальных компонент на верхней границе зоны модуляции при z=a

( ) ( )

, ,, ,

,00 ,00 ,00 ,00

, , , ,, ,

, , , ,

N N N N

E nm E nmn N m N n N m N

E E H H

E ij E ij H ij H ijn m N i j N

R x y a

I x y a I x y a

=− =− =− =−

− −

=− =−

⎛ ⎞ϕ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

( ) (где четырехкомпонентные вектора ), ,,E nm H nm± ±V x V x определены в уравне-

ниях (219), (220) и могут быть представлены в виде: ( ) ( ) ( ), , ,E nm nmz x y± ±= ⋅ϕS ( ) ( ) ( ), , ,H nm H nm nmz x y± ±= ⋅ϕV x S , (249) E nmV x ,

где

( )( )

γ α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟γ β⎜ ⎟

ε β⎝ ⎠

nm n m

z± −ε=

γ ε α + βS

m, (250.1)

( )( )

( )0exp

nm mnm

−β⎛ ⎞⎜ ⎟γ β⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟α⎜ ⎟

γ α⎝ ⎠

, , , ,, , ,

nm n m

z± =γ α + β

. (250.2)

Приравнивая в (248) коэффициенты при одинаковых функциях ϕnm(x,y), получим систему 4(2N+1)2 линейных уравнений относительно 4(2N+1)2 неиз-вестных коэффициентов

E nm H nm E nm H nmR R T T

( ) ( )( ), , ,

,..., ,

H ij H ija T a

n m N N

− −+ =

, 0, 0,0 0, 0.

n mn m

= =≠ ≠

( ) ( )

( ) ( )( ), , , , ,

, ,00 , , , ,

E nm E nm H nm H nm E ij E iji j N

E nm E H nm H nm nm

R a R a T

I a I a

− −

= − + δ

∑S S

S S (251)

где 1

δ = ⎨⎩

5.1. Дифракция на бинарных дифракционных решетках

Рассмотрим бинарные дифракционные решетки. Для бинарных решеток функции ε(x,y,z), 1/ε(x,y,z) не зависят от переменной z. Соответственно, коэф-фициенты Фурье ( ) ( )1 2,nm nmc c в (234)-(237) также не зависят от переменной z. При этом поле в зоне модуляции описывается системой линейных дифференциаль-ных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

( ) ( )z

dz= ⋅

VA V , (252)

где А – матрица системы (237), а V(z) вектор столбец, составленный из функ-ций ( ) ( ) ( ) ( ), ,,y qt x qtS z U z, ,, ,x qt y qtS z U z . Решение системы дифференци-

альных уравнений с постоянными коэффициентами удобно представить через экспоненту в степени матрицы:

( ) ( ) 0z exp z= ⋅ ⋅V A X , (253)

где X0– вектор граничных условий. Как и в одномерном случае, матричное представление (253) позволяет выразить значения ( ) ( ), ,,E nm H nma a− −D D

( )exp a= ⋅ ⋅D A C

реше-

ний системы дифференциальных уравнений при z=a, входящие в конечную систему линейных уравнений (251), в виде

, (254)

( ) ( ) , , ,...,m n N N= −, ,,E nm H nma a− −D Dгде D – матрица значений , а С – матри-ца, составленная из векторов граничных условий, ненулевые компоненты ко-торых определены в (239). Представление (254) удобно при решении задач оптимизации, поскольку позволяет легко записать приращения коэффициентов отражения и пропускания в (251) при малом изменении параметров профиля решетки. В двумерном случае мы не будем рассматривать градиентные проце-дуры решения обратных задач расчета решеток, поскольку, согласно (251), (254), их единственное отличие от одномерного случая состоит в громоздкости формул из-за наличия двойных индексов.

Рассмотрим некоторые аспекты численного решения задачи дифракции на бинарной решетке. Наибольшей вычислительной сложностью обладают проце-дура решения системы дифференциальных уравнений (235) и процедура реше-ния системы линейных уравнений (251). Решение системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению экспоненты в степени матрицы в (254). Спе-циальный вид матрицы системы (237) позволяет существенно упростить реше-ние этой задачи. Действительно, перегруппируем дифференциальные уравнения системы (235) и представим вектор столбец ( )zV% искомых функций в виде

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,...,z q t N N= −

, , ,, , ,x qt y qt x qt y qtS z S z U z U . (255) В этом случае система (37) примет вид

dz= ⋅

2 20 0

⎛ ⎞ε − ε⎜ ⎟⎜ ⎟−ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

E D C D

, (256)

где (257)

1 20 0

α β α

β α β

ε −=

−ε ε −

− ε ε

D C DA

D D D C

C D D D

- матрица системы. Решение задачи дифракции требует вычисления вектора искомых функций ( )z ( )V% при z=a. Расчет aV% сводится к вычислению к вы-

числению экспоненты в степени матрицы ( )exp a⋅A%

. Обозначим W,

Λ матрицу собственных векторов и диагональную матрицу собственных зна-чений матрицы

= ⋅A A% %

1A%. (258)

В дальнейшем будем предполагать, что матрица не имеет кратных соб-ственных значений [7-9]. Экспонента в степени матрицы может быть пред-ставлена в виде [13]:

( )1exp exp ( ) ( )1 1exp− −= ⋅ ⋅W W WΛ Λ

1A% ( )1exp A%

0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ ⋅A W% , (259)

где exp(Λ) - диагональная матрица с элементами exp(λi), а λi, i=1,…,4(2N+1)2 -

собственные значения матрицы . Таким образом, вычисление сво-

дится к расчету собственных значений и собственных векторов матрицы .

Покажем, что представление матрицы в виде (257), (258) позволяет в два раза уменьшить размерность задачи на собственные значения [9]. Представим матрицы

W, Λ в виде блочных матриц с размером блока 2(2N+1)2×2(2N+1)2 [9]:

11 12121

21 2221

0⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

W WAA W

%. (260)

−Поскольку = ⋅ Λ ⋅A W W%

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 11 12 22

21 11 22 22

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

W WW W

Λ ΛΛ Λ

21 11 11 11 11

22 22 12 22 22

Λ Λ Λ

12 21=B A A% %

, то

11 12 1112

21 22 2121

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

W WAW W WA

12 21 12 22

21 11 21 12

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

A W A WA W A W

и будем иметь

12 21 11 12

12 21 12 12

A A W A

% % % (261)

Введем матрицу

(262) и представим (261) в виде

2 212 12 22⋅ =B W WΛ Λ

2 211 11 12 22, , ,W WΛ Λ

121 21 11 11 22 21,−= = −W A W W WΛ%

11 11 11,⋅ =B W W . (263)

Согласно (263), - матрицы собственных векторов и диа-гональные матрицы собственных значений одной и той же матрицы B. Поэтому

11 12 22 11,= = −W W Λ Λ и . (264) Соотношения (264) определяют собственные значения и собственные век-

тора матрицы через собственные значения и собственные вектора матрицы B в два раза меньшего размера виде:

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

11 111 1

21 11 11 21 11 11

,− −

⎛ ⎞= ⎜ −⎝ ⎠

A W A WΛ

Λ Λ% % . (265)

В работе [9] отмечено, что уменьшение в 2 раза размерности задачи на собственные значения эквивалентно сведению системы (256), (257) 4(2N+1)2 дифференциальных уравнений первого порядка к системе 2(2N+1)2 уравнений второго порядка.

В заключение отметим, что граничные условия (239) позволили предста-вить решение задачи дифракции в простом виде. Действительно, общее пред-ставление поля в зоне модуляции (241) содержит 4(2N+1)2 произвольных ко-эффициентов E ij H ijC C± ±

. В общем случае решение задачи дифракции требует

совместного определения коэффициентов E ij H ijC C± ±

, RE,ij, TE,ij из условий равенства тангенциальных компонент поля на границах зоны модуляции. Вид граничных условий (239) позволил аналитически выразить коэффициенты

,E ijC±H ijC±

через коэффициенты TE,ij в виде (246). Таким образом, мы исклю-

чили из рассмотрения коэффициенты E ij H ijC C± ±

( )2 22 1

1 1exp

l l ll l

C z+ +

− − −

− + λ∑ S

и свели решение задачи к совместному определению только коэффициентов RE,ij, TE,ij из условия равен-ства тангенциальных компонент поля на верхней границе зоны модуляции.

Тем не менее простой алгоритмический подход (239), (246), (251) обладает недостатками с точки зрения численной реализации. Основной недостаток состоит в необходимости вычисления диагональной матрицы exp(Λ) в (259). Матрица exp(Λ) содержит элементы exp(λi), где λi - собственные значения матрицы системы дифференциальных уравнений (256). При увеличении глубины профиля a собственные значениях λi растут, что приводит к перепол-нению при вычислении экспонент exp(λi) [8,9]. Для численной реализации, исключающей переполнение, общее решение системы дифференциальных уравнений (256), (257) представляется в виде:

( )( )

( )( )2 2 1 2

expl l lz C z a+ + += λ∑V S% , (266)

,l l± ±λ S

( )exp l a+λ ( )exp l z+λ

где – собственные числа и собственные вектора матрицы (257) [8,9]. Согласно (258), (265), первая половина собственных значений матрицы (257) имеет положительную действительную часть, а вторая половина – отрицатель-ную. Знаки ‘±’ в индексах собственных чисел и векторов обозначают знаки действительной части собственных значений. Представление решения системы (256), (257) в виде (266) позволяет избежать переполнения за счет введения множителей , компенсирующих значения экспонент на верхней границе зоны модуляции при z=a. Отметим, что представление реше-ния системы в виде (266) соответствует использованию в качестве граничных условий собственных векторов матрицы (257). Коэффициенты , RE,ij, TE,ij определяются из условий равенства тангенциальных компонент поля на гра-ницах зоны модуляции:

( ) ( )

( )( )2

, ,1 1

l l l nml l

C a C+

+ − −

λ +∑ ∑S S( )2

E nm E nm H nm H

l l nm

T T− −

++ += −

S S% %

( ) ( ) ( ) ( )

,00 ,00

H Ha I a

− −+ =

, , , ,, , ,

( ) ( )2 2

, , , , ,00 ,00

2 2 1 2 2 1

, ,1 1

E nm E nm H nm H nm E E

l l nm l l nm ll l

R a T a I

+ ++ + − − −

= +∑ ∑

S S (268)

где вектора E nm H nm E nm H nm± ± ± ±S S S S% %

определены в (238), (239). Уравнения (267), (268) определяют систему 8(2N+1)2 линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Несмотря на то, что система линейных уравне-ний (267), (268) имеет в два раза большую размерность, чем система уравне-ний (251), ее решение не является более сложным. Можно показать, что урав-нения (267), (268) позволяют выразить коэффициенты отражения и пропуска-ния RE,ij, TE,ij через коэффициенты C ± , а расчет lC ± свести к решению системы 4(2N+1)2 линейных уравнений. Мы не приводим конечных расчетных формул только из-за их громоздкости.

Таким образом, мы получили два представления решения задачи дифрак-ции. Представление (239), (246), (251) является простым и наглядным, а пред-ставление (266)-(268) устраняет возможные переполнения и обладает лучшей вычислительной устойчивостью.

5.2. Синтез субволновых антиотражающих покрытий

Приведенный метод решения задачи дифракции был использован для рас-чета субволновых антиотражающих бинарных дифракционных решеток. Тер-мин «субволновые решетки» означает, что решетка имеет только нулевые от-раженный и прошедший распространяющиеся порядки. Остальные порядки соответствуют затухающим волнам. Для существования только нулевых порядков при нормальном падении, периоды dx, dy решетки должны удовле-творять условиям

( ) ( )0 0max ,y

ε ε,

max ,xd λ

<ε ε

. (269)

Пример 13. В качестве антиотражающего покрытия была использована про-стейшая бинарная решетка с равными периодами dx=dy=d по осям Ox, Oy и имеющая на периоде одну квадратную выемку c размером стороны r∈(0,d) и с глубиной h. Интенсивности отраженных и прошедших порядков для двумер-ной решетки рассчитываются по формулам

, ,Rnm E nm H nmI R R= +

, ,, .Tnm E nm H nmI T T= +

Расчет антиотражающего покрытия состоял в вычислении интенсивности ну-левого отраженного порядка RI

при различных значениях глубины выемки h и размера ступеньки r при фиксированном периоде d. Значения h, r, обеспечиваю-щие минимум отражения RI , и будут оптимальными параметрами решетки.

Для расчета были выбраны следующие параметры: λ=10,6 мкм, ε0=1, εs=5,76, d=0,25λ=2,65 мкм. Указанные значения диэлектрической проницаемо-сти εs и длины волны соответствуют случаю синтеза антиотражающего покры-тия из ZnSe (цинк селенид) для CO2 лазера. Задача синтеза такого покрытия является особенно актуальной при большой мощности CO2 лазера. На рис. 20 приведен график функции ( )00 , /RI h r d

)( )00 , /RI h r d

при h∈(0, 3.5)мкм и r/d∈(0.1, 0.8). Рас-чет проводился по формулам (266)-(268) при N=5 для случая нормального па-дения плоской волны. Падающая волна представлялась в виде суперпозиции Е- и Н- волн с равными коэффициентами IE,00, IH,00 в (222). Такое представле-ние моделирует случай неполяризованного света. Рис. 20 показывает, что при r/d~0,8 и h~1,8 мкм имеется ясно выраженный минимум коэффициента отра-жения . На рис. 21 приведен график коэффициента отражения

при оптимальном размере выемки r=0,8d и различных значениях

(00 , /RI h r d

высоты. Из графика на рис. 21 видно, что для решетки с квадратной выемкой коэффициент отражения падает фактически до нуля при глубинах 0,18 λ, 0,49 λ, и 0,82λ. При этом на плоской границе раздела “цинк селенид – воздух” коэффициент отражения составляет около 17%.

Рис. 20. Зависимость коэффициента отражения

00RI от глубины h∈(0, 3,5)

мкм и размера стороны квадратной выемки r/d∈(0,1, 0,8)

00RI от глубины (h/λ)

при оптимальном размере стороны выемки r/d=0,8

Пример 14. Были исследованы антиотражающие свойства бинарной решетки, имеющей на периоде круглую выемку. На рис. 22 приведен график функции

при h∈(0, 3,5) мкм, r/d∈(0,1, 0,45). Рис. 22 показывает, что мини-

мум коэффициента отражения достигается при r/d=0,45 и h~1,9 мкм. График коэффициента отражения

( )00 , /RI h r d

( )00 , /RI h r d при оптимальном радиусе выемки

r=0,45d и различных значениях высоты приведен на рис. 23. Рис. 23 показыва-ет, что для решетки с круглой выемкой коэффициент отражения падает факти-чески до нуля при глубинах 0,17λ, 0,5λ, и 0,83λ.

Пример 15. Была исследована возможность использования простейших би-нарных решеток с квадратной и круглой выемками в качестве отражающего покрытия для вольфрама в видимой части спектра при λ=0,55 мкм. В этом случае диэлектрическая проницаемость комплексная и для λ=0,55 мкм

(εs=4,8+19,11i. Графики коэффициента отражения )00 , /RI h r d для бинарных

решеток на вольфраме при периоде d = 0,85λ приведены на рис. 24. Рис. 24 показывает, что минимум коэффициента отражения достигается при размере квадратной выемки r = 0,75d и при радиусе круглой выемки r = 0,4d при при-мерно равной глубине h ~ 0,35λ.

00RI от глубины h∈(0, 3,5) мкм

и радиуса выемки r/d∈(0,1, 0,45) для бинарного покрытия

00RI от глубины h/λ

при оптимальном радиусе выемки r=0,45d

а) б)

Рис. 24. Зависимость коэффициента отражения от глубины (h/λ)∈(0, 0,4) мкм и размеров выемки r/d для решеток с квадратной выемкой (а) и с круглой выемкой (б)

Графики коэффициентов отражения при оптимальных размерах выемок

приведены на рис. 25. Из графиков на рис. 25 видно, что коэффициент отраже-ния для плоской границы вольфрам-воздух близок к 50%. С ростом глубины коэффициент отражения уменьшается, достигая нуля при глубине h ≈ 0,33λ

для решетки с квадратной выемкой и при глубине h ≈ 0,38λ для решетки с круг-лой выемкой. В отличие от диэлектрических решеток на рис. 21, 23, вторичные минимумы выражены слабо.

На рис. 26 приведены графики для коэффициентов отражения при оптималь-ных размерах выемок в зависимости от длины волны в диапазоне от 0,35 мкм до 3,5 мкм. Верхние графики на рис. 26 показывают коэффициент отражения для плоской границы раздела вольфрам-воздух. Рис. 26 показывает наличие резких минимумов коэффициента отражения вблизи расчетной длины волны λ=0,55 мкм. При этом в пределах всего видимого диапазона коэффициент отражения для би-нарных решеток более чем в 2 раза меньше, чем для плоской границы раздела.

а) б) Рис. 25. Зависимость коэффициента отражения от глубины h/λ для решеток

с квадратной выемкой размера r=0,75d (а) и с круглой выемкой с радиуса r=0,4d (б)

а) б) Рис. 26. Зависимость коэффициента отражения от длины волны для решеток с квадратной выемкой при r = 0,75d и h = 0,33λ (а)

и с круглой выемкой при r = 0,4d и h = 0,38λ (б)

На рис. 27 приведены графики интенсивности отраженных порядков для рассчитанных решеток в зависимости от угла падения θ в диапазоне от 0 до 45°. В этом случае единичный вектор n=(-cos(θ),0,sin(θ)) направления падаю-щей волны в (221) расположен в плоскости XOZ, а угол θ отсчитывается от оси Оz. Как и ранее падающая волна соответствует суперпозиции Е и Н волн с равными коэффициентами IE,00, IH,00. Рис. 27 показывает, что в пределах 45°

интенсивность нулевого отраженного порядка составляет менее 8%. При θ>8,63° появляется дополнительный порядок дифракции (-1,0). Интересно от-метить, что интенсивность -1-го порядка оказывается значительно выше ин-тенсивности 0-го порядка. Несмотря на сильный -1-ый, решетки отражают зна-чительно меньше, чем плоская граница раздела вольфрам-воздух. При θ<45° суммарные коэффициенты отражения для решеток не превышают 20%, в то время как для плоской границы коэффициент отражения близок к 50%.

а) б) Рис. 27. Зависимость интенсивности 0-го и -1-го отраженных порядков

от угла падения для решеток с квадратной выемкой при r = 0,75d, h = 0,33λ (а) и с круглой выемкой при r = 0,4d, h = 0,38λ (б)

5.3. Расчет поля от линзовых растров

Метод решения задачи дифракции был использован для исследования структу-ры поля, формируемого растром бинарных линз. Растр бинарных линз является ча-стным случаем бинарной дифракционной решетки. Пусть растр линз предназначен для фокусировки в области подложки (зона 3), выполненной из непоглощающего диэлектрика. Для удобства фокус линз определим в длинах волн в зоне 3 в виде

3 0 / sf N N= − λ = − λ ε . (271) В этом случае высота ступенек и радиусы зон бинарной линзы определя-

ются по формулам

3, / 42 1

= = λε −

, 1, 2,..., 2 ,m mN m M+ = (272)

где М – полное число зон. Формулы (272) получены в рамках геометрической оптики. Интересно исследовать фокусирующие свойства растра бинарных линз (272) при «экстремальных параметрах», когда радиус апертуры линзы R составля-ет всего несколько длин волн, а фокус сравним по величине с радиусом.

Пример 16. На рис. 28 приведено расчетное распределение интенсивности поля, формируемого растром бинарных линз в диэлектрике (εs=2,25) при нор-

) ( ) ( )( )

мальном падении плоской волны, соответствующей суперпозиции Е и Н волн с равными коэффициентами IE,00, IH,00 в (222). Единицы длины вдоль осей на рис. 28 приведены в длинах волн λ3. Под распределением интенсивности по-нимается модуль z-компоненты вектора Умова-Пойнтинга:

( ) ( ) (* *, ,T y T xE H= −x x x

( ) ( ), ,Re T x T yI E Hx x , (273)

( ) ( ), ,, , ,T y T xE Hx x x x, ,T x T yE Hгде – компоненты вектора тангенциальных

компонент прошедшего поля (224).

а) б)

Рис. 28. Распределение интенсивности для растра бинарных линз с параметрами R = 3,54λ3, фокусом f = 2λ3 в фокальной плоскости z = -f (а) и в плоскости XOZ (б)

Расчет поля (273) проводился при следующих параметрах λ0 = 0,55 мкм,

3 0 / sλ = λ ε ≈ 0,37 мкм, радиус апертуры R = 3,54λ3, фокус линзы f = 2λ3. При указанных значениях параметров линза растра имеет две зоны. Период решет-ки является квадратным со стороной d = 2R. При этом в зоне периода, распо-ложенной вне апертуры линзы, диэлектрическая проницаемость совпадает с диэлектрической проницаемостью подложки εs=2,25. На рис. 28а показано распределение интенсивности, рассчитанное в фокальной плоскости z = -f в пределах периода. Расчет проводился по формулам (266)-(268) при N=15, что соответствует учету 225 порядков в прошедшем поле (224). На рис. 28а виден резкий пик интенсивности с диаметром порядка 1,5λ3. Таким образом, несмотря на то, что радиус линзы растра всего в 3,5 раза больше длины волны, а фокус лин-зы меньше радиуса в 1,7 раза, бинарная линза сохранила свои фокусирующие свойства. В углах периода видны вторичные всплески, обусловленные наличием на краях периода зон с постоянной диэлектрической проницаемостью, незанятых линзой. Расчетное распределение интенсивности в плоскости XOZ на рис. 28б показывает формирование пика вдоль оптической оси с размером порядка 2λ3.

На рис. 29, 30 приведены расчетные распределения интенсивности поля для растра бинарных линз с большими радиусами 4,9λ3, 5,6λ3 и большими, относительно величины радиусов, фокусами 5λ3 и 7λ3. При указанных пара-

метрах линзы растра также имеют две полных зоны. Рис. 28-30 показывают, что с увеличением радиуса и уменьшением числовой апертуры фокальный пик становится более резким, а вторичные колебания интенсивности слабеют. В рамках скалярной теории величина пика интенсивности в фокусе бинарной линзы определяется по формуле

25 ln 1f Rf

⎛ ⎞⎛ ⎞π= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠

0.40I% , (274)

где коэффициент 0,405 представляет потери, обусловленным бинарным типом рельефа линзы. Из трех представленных растров линз, параметры линзы на рис. 30 наиболее близки к скалярной теории. Для линзы на рис. 30 относитель-ное отличие величины пика от значения, рассчитанного в рамках скалярной теории по формуле (274),

I 0,0,I fI

− −Δ =

%, (77)

составляет 10,4%. Для линзы с наиболее экстремальными параметрами на рис. 28 отличие составляет более 46%. Таким образом, скалярное приближение дало ошибку 10% уже при радиусе в 5,6 длин волн и фокусе всего лишь на 20% больше радиуса.

а) б)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотрены решения задачи дифракции плоской волны на одномерных

дифракционных решетках различных типов. В рамках электромагнитной тео-рии проведен анализ работы дифракционных решеток различных типов. Про-веденный анализ показывает актуальность и необходимость использования точных процедур расчета при исследовании дифракционных решеток с разме-ром периода, сравнимым с длиной волны.

На основе приведенных решений прямых задач, в рамках электромагнит-ной теории разработаны градиентные методы решения обратных задач расчета дифракционных решеток. Решения обратных задач, состоящих в расчете про-филя решетки из условия формирования заданных интенсивностей порядков, основаны на градиентной минимизации функционалов-критериев. Приведен-ные результаты расчетов показывают актуальность точных процедур синтеза решеток и подтверждают эффективность разработанных градиентных проце-дур. Показана работоспособность градиентной процедуры в задаче расчета однопорядковых бинарных решеток, концентрирующих излучение в -1-м или +1-м порядке. Однопорядковые решетки имеют ряд интересных применений. В частности, преобразование рельефа дифракционной линзы по закону бинар-ной однопорядковой решетки позволяет достичь энергетической эффективно-сти более 90% при бинарном профиле.

Детально рассмотрены решения задачи дифракции на диэлектрической решетке в общем трехмерном случае. Рассмотрены аспекты численного реше-ния задачи для трехмерной бинарной решетки. Проведен расчет субволновых бинарных антиотражающих покрытий. Показано, что простые бинарные ре-шетки, имеющие на периоде одну прямоугольную или круглую выемку, по-зволяют свести потери на отражение фактически до нуля как в видимой, так в инфракрасной части спектра. Проведено исследование структуры поля, фор-мируемого растром бинарных линз. Показано, что растр бинарных линз сохра-няет свои фокусирующие свойства даже при экстремальных параметрах, когда радиус линзы растра составляет всего 3,5 длины волны, а фокус линзы меньше радиуса в 1,7 раза.

СПИСОК КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ

1. Какие уравнения Максвелла используются при решении задачи дифрак-ции на решетке?

2. Какие граничные условия используются при решении задачи дифракции на идеально проводящих и диэлектрических решетках?

3. В каком виде представляется отраженное (прошедшее) поле вне дифрак-ционной решетки?

4. В чем состоит приближение Рэлея? 5. Что такое квазипериодическая функция и как они используются при опи-

сании полей в дифракционных решетках? 6. Какие уравнения представляют поля внутри диэлектрической решетки

для ТЕ- и ТМ-поляризаций? 7. Какие матричные функции используются для представления поля внутри

бинарных диэлектрических решеток? В чем удобство матричного форма-лизма?

8. В чем суть градиентных методов расчета дифракционных решеток? 9. Какое представление используется для отраженного и прошедшего полей

в случае двумерной диэлектрической решетки? 10. Какие субволновые антиотражающие структуры рассмотрены в пособии?

СПИСОК СПЕЦИАЛЬНЫХ ТЕРМИНОВ Дифракционные решетки Дифракционные порядки Интенсивности прошедших и отраженных дифракционных порядков Приближение Рэлея Разложение Рэлея Квазипериодическая функция ТЕ-поляризация и ТМ-поляризация Градиентные методы расчета дифракционных решеток Е-волна и Н-волна Субволновая решетка

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Electromagnetic Theory of Gratings: Topics in current physics / Ed. by R.Petit, - 22, N.Y.: Springer-Verlag., 1980.- 286 pp.

2. Kok, Y.L. Relative phases of electromagnetic waves diffracted by rectangular-grooved grating / Y.L. Kok, N.C. Gallagher // JOSA A. - 1988. – Vol. 5 (1). – p. 65-73.

3. Kok, Y.L. Design of a binary chirped grating for near-field operation / Y.L. Kok // Opt. Eng. – 1994. – Vol. 33 (11). – p. 3604-3609.

4. Moharam, M.G. Rigorous coupled-wave analysis of metallic surface-relief gratings / M.G. Moharam, T.K. Gaylord // JOSA A. – 1986. – Vol. 3 (11). – p. 1780-1787.

5. Методы компьютерной оптики (Издание второе, исправленное) / под ред. Сойфе-ра В.А.- М.: Физматлит, 2003. - 688 с.

6. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements / Edited by Victor A. Soifer - A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 765 pp.

7. Moharam, M.G. , Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary grating / M.G. Moharam, E.B. Grann, D.A. Pommet // JOSA A. – 1995. - Vol. 12 (5). - p. 1068-1076.

8. Moharam, M.G. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for sur-face-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach / M.G. Moharam, D.A. Pommet, E.B. Grann // JOSA A. – 1995. – Vol.12 (5). – p. 1077-1086.

9. Peng, S. An efficient implementation of rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings / S. Peng, G.M. Morris // JOSA A. – 1995. – Vol.12 (5). – p. 1087-1096.

10. Lalanne, P. Highly improved convergence of the coupled-wave method for TM polari-zation / P. Lalanne, G.M. Morris // JOSA A. – 1996. – Vol.13 (4). – p. 779-784.

11. Popov, E. Grating theory: new equations in Fourier space leading to fast converging results for TM polarization / E. Popov, M. Nevier // JOSA A. - 2000. – Vol. 17 (10). – p. 1773-1784.

12. Li, L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures / L. Li // JOSA A. – 1996. – Vol. 13 (9). – p. 1870-1876.

13. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер - М.: Наука, 1988. - 548 c. 14. Doskolovich, L.L. A gradient method for design of multiorder varied-depth binary

diffraction gratings - a comparison / L.L. Doskolovich [and other] // Opt. And Lasers in Eng. 1998. – Vol. 29(4). – p. 249-259.

15. Zhou, C. Numerical study of Dammann array illuminator / C. Zhou, L. Liu // Appl.Opt. – 1995. – Vol. 34(26). – p. 5961-5969.

16. Doskolovich L.L. Designing binary dielectric gratings and 1-D Does using the electro-magnetic theory /L.L. Doskolovich // Opt. Memory and Neural Networks. – 2000. – Vol. 9 (1). – p. 1-12.

17. Досколович, Л.Л. Расчет бинарных диэлектрических решеток и одномерных ДОЭ в рамках электромагнитной теории / Л.Л. Досколович // Компьютерная оп-тика. – 1999. – №19. – С. 21-28.

18. Doskolovich, L.L. Analytical initial approximation for multiorder binary grating design / L.L. Doskolovich [and other] // J.Opt.A: Pure Appl.Opt. - 1994 - Vol. 3. – p. 921-930.

19. Doskolovich, L.L. Direct two-dimensional calculation of. binary DOEs using a non-binary series approach / L.L. Doskolovich [and other] // Int. Jour. of Optoelectronics. - 1995. – Vol. 10. – p. 243-249.

20. Soifer, V. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich - London, Taylor&Francis Ltd., 1997. - 244 pp.

21. Moharam, M.G. Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings / M.G. Mo-haram, T.K. Gaylord // JOSA A. - 1982. – Vol. 72 (10). – p. 1385-1392.

22. Veldkamp, W.B. High efficiency binary lenses / W.B. Veldkamp, G.C. Swanson, D.C. Shaver // Opt. Com. - 1984. – Vol. 5 (6). – p. 353-358.

23. Doskolovich, L.L. Gradient method for the design of multiorder diffraction gratings using the Rayleigh method / L.L. Doskolovich [and other] // Proc. SPIE. – 1997. – Vol. 3310. – p. 725-733.

24. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Ни-кольский, Т.И. Никольская. - М.: Наука, 1989. - 543 c.

25. Li, L. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings / L Li // JOSA A. – 1997. – Vol. 14 (10). – p. 2758-2766.

26. Li, L. Fourier modal method for crossed anisotropic gratings with arbitrary permittivity and permeability tensors / L Li // J.Opt.A: Pure Appl.Opt. – 2003. – Vol. 5. – p. 345–355.

Учебное издание

Досколович Леонид Леонидович

РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК В РАМКАХ СТРОГОЙ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ

Учебное пособие

Компьютерная верстка С. В. Смагин, Я.Е. Тахтаров, М.А. Вахе Редакторская обработкаа

Доверстка

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 5. Тираж экз. Заказ _______ . ИП- /2007

Самарский государственный аэрокосмический университет.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

расчет дифракционных...

Documents

Расчет сепаратора.docx

Расчет рамы в лира

Расчет импульсных...

Расчет дороги в вечной мерзлоте

сфальтоукладчики. онструкция и...

Расчет самозапуска асинхронного...

Основные серии двигателей,...

3. Расчетно конструктивный...

расчет дав жидкости

расчет экономии денег

Расчет конструкий загородного...

Содержание · 2019-10-16 · 2.2.2...

Баллон композит бандаж расчет i4...

Расчет kpi сотрудникам

Тема 7 ПРОЕКТИРОВОЧНЫЙ ТЯГОВЫЙ...

Трофимов Л.А. - Расчет ПФ

Расчет сушильной установки.docx

Кинематический расчет привода....

Расчет арбитражных ситуаций

РАСЧЕТ ПРИСПОСОБЛЕНИЙ НА...