Законы логики Упрощение сложных высказываний

Законы логики Законы логики

Упрощение Упрощение сложных сложных высказыванийвысказываний

Законы логикиЗаконы логики

ЗаконЗакон тождестватождества::В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

AA

Закон противоречияЗакон противоречия

Невозможно что-то одновременно утверждать и отрицать.

0AA &

Закон исключения Закон исключения третьего:третьего:

Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

1AA

Закон двойного Закон двойного отрицания:отрицания:

Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.

AA

Свойства констант:Свойства констант:

Отрицание лжи есть истина.

Отрицание истины есть

ложь.

11

0

10

A

AA

A1A

00A

01

&

&

Закон идемпотентности:Закон идемпотентности:

AAA

AAA

&

Законы коммутативности Законы коммутативности (сочетательные законы):(сочетательные законы):

Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

ABBA

ABBA

&&

Законы ассоциативности Законы ассоциативности (распределительные законы):(распределительные законы):

Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

CBACBA

CBACBA

&)&()&(&

)()(

Законы дистрибутивности:Законы дистрибутивности:

CABACBA

CABACBA

&&)(&

)(&)()&(

Законы поглощения:Законы поглощения:

ABAA

ABAA

&

)(&

Законы де Моргана:Законы де Моргана:Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний.

Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний.

BABA

BABA &

Правило замены операции Правило замены операции импликации:импликации:

BABA

Правило замены операции Правило замены операции эквивалентности:эквивалентности:

)(&)( BABABA

BABABA &&

Упрощение сложных Упрощение сложных высказыванийвысказываний

Задача «Уроки логики»Задача «Уроки логики»

На вопрос, кто из трех школьников изучал логику, был получен правильный ответ:

если изучал первый, то изучал и второй, но не верно, что если изучал третий, то изучал и второй.

Кто из учащихся изучал логику?

Задача «Уроки логики»Задача «Уроки логики»

Решение:

Р1 = «Первый школьник изучал логику»

Р2 = «Второй школьник изучал логику»

Р3 = «Третий школьник изучал логику»

Задача «Уроки логики»Задача «Уроки логики»

(Р1 → Р2) & (Р3 → Р2) =

= (P1 v P2) & (P3 v P2) =

= (P1 v P2) & (P3 & P2) =

= (P1 & P3 & P2) v (P2 & P3 & P2) =

= 0

= (P1 & P3 & P2)

По закону дистрибутивности вынесем А за скобки:

A1ABBABABA

&)(&&&

BABA && :Упростить

Пример 1Пример 1

)()( :Упростить BABA

A0ABBABABA )()()(

A0AA01AA0BBAABBAB

BAAABABA

)(

)()(

Способ 1. Применим закон дистрибутивности:

Способ 2. Перемножим скобки на основании того же закона дистрибутивности:

Пример 2Пример 2

YXYXYX

YXYYXYX1XY

Y,Y11X&X

&&&

&)(&&&&XX

:скобки раскроем далее

как распишем а , как Представим

&YXX :Упростить

YX1Y1X

XXYYYXYXYXYXYX

YXYXYXYXYXYXYX

X&Y

11

&&

)(&)(&&&&&

&&&&&&&

:слагаемые мсгруппируе и выражениюу полученном

к Добавим слагаемых. нем в имеющихся из любое

выражение в добавить позволяет стиимподентно Закон

Пример 3Пример 3

CBCA1CB1CA

A1CBB1CACBACB

CBACACBACBA

CBCACCBACBCA

1BACBCABACBCA

CC 11BA

C

&&&&&&

)(&&)(&&&&&

&&&&&&&

&&)(&&&&

&&&&&&&

: как распишем а , на &

умножим этого Для . слагаемому последнему к Добавим

BACBCA &&& :Упростить

Пример 4Пример 4

YX :Упростить

YXYXYX &&

:Моргана де закон Применим

Пример 5Пример 5

)(&)(&)(

)&(&)&(&)&(

:отрицание одно раскроем

&&&

:отрицания двойного законом мсяВоспользуе

ZXYXYX

ZXYXYX

ZXYXYX

ZXYXYX &&& :Упростить

Пример 6Пример 6

)(&)&&(

)(&)&&(

)(&)&&&&(

)(&)(&)(

:изменения без оставимскобку последнюю а

упростим, скобки, вторую и первую перемножим

ZXYXYX

ZX0YXYX0

ZXYYYXYXXX

ZXYXYX

)(&)()&&(&)&(

:Моргана де закон применим

&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&&&&

:скобки сяполучившие перемножим

&

ZYXYXZYXYX

ZYXYX

ZYXZYXYX

ZYXZYXYX0

ZYXZYXYXXYXX

YX

)(&&& :Упростить DCBABA

BA1BADC1BA

DCBA1BA

DCBABA

1

&&&))((&&

)(&&&&

)(&&& 1. Способ

BAP

EPP

DCBAEP

&

:поглощения закон применим&

)(&&B&A 2. СпособP

BACBBA &&& :Упростить

CBCB1CBBB

CBBCB1BCBAAB

CBBABABACBBA

1

1

)(&)(&)(

&&&&)(&

&&&&&&

0Y0YYXX

YXYXYXYX

Y0

&&&&

)&(&&)&(&

)&(& :Упростить YXYX

YXXY0X0Y

YYXXXY

YXYXYXYX

YXYXYX

00

YYXXXY

&&)(&)(

))&(((&))&(((

)(&)(&)(&)(

)(&)(&)(

)&()&(

)(&)(&)( :Упростить YXYXYX

ZYYX

1ZY1YX

XXZYZ1YX

ZYXZYXZYX1YX

ZYXZYXZYXYX

YYZXZYXYX

1ZXZYXYX

ZXZYXYX

&&

&&&&

)(&&)(&&

&&&&&&&&

&&&&&&&

)(&&&&&

&&&&&

&&&&

ZXZYXYX &&&& :Упростить

Вопросы и задания

Упростите следующие выражения:

CPACPACPACPA

BABABA

ACBCBA

PCCP

&&&&&&&& 4.

&&& 3.

&&& 2.

)(&)( 1.

CBACBCCA &)()(&& :Упростить

CACCCA

CCA1CCA

ACBBCCA

BACBCCA

CBACBCCA

)(&)(

&&&

)(&&

))()((&&

&)()(&&

BACBACBABCBA &)&( :Упростить

BBBABBABBACBA

BABCBABA0BCBA

BACBACBABCBA

BACBACBABCBA

&&

&&

&)&&&&&(

&)&(

CBACADBCADA &&&)&(&& :Упростить

)(&&))(&)((&&

)&(&&&&&&

&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&)&(&&

BACDABAAACDA

BAACDACBACADA

CBACADABCDA

CBACADDABCDAADA

CBACADBCADA

TET

0

PZXZYXYX &&&&& :Упростить

)&(&

)&&(&

&&&&&

PZYX

PZZYYX

PZXZYXYX

Y

)()( :Упростить CBBA

CB

CBCBACBBCBA

CBBACBBA

CBBACBBA

&

&&&&&&&

)&(&)()(&)(

)()()()(

BABBAA && :Упростить

1B1BAA

ABAABABBABA

BABBAABABBAA

1

A

&&&

)(&&&&

Вопросы и задания

Преобразуйте в равносильные формулы так, чтобы использовались только логическое сложение и отрицание :

APPA

ZXYX

&& 2.

)(& 1.

Вопросы и задания

Преобразуйте в равносильные формулы так, чтобы использовались только логическое умножение и отрицание :

)()( 2.

1.

ZXYX

CPA