Системы линейных уравнений
Post on 30-Dec-2015
49 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
• Ее можно записать в векторно-матричном виде
• где
Ax b
1
2
n
x
xx
x
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
1
2
n
b
bb
b
Методы решения линейных систем
• 1. Прямые методы
• 1.1 Метод Гаусса.
• 1.2 Метод Крамера.
• 1.3 Метод обратной матрицы.
• 2. Итерационные методы.
• 2.1 Уточнение решений.
• Найдем решение системы линейных уравнений
• Пусть с помощью некоторого прямого метода вычислено приближенное решение
(1)Ax b
(0)x
• Подставляя это решение в систему (1) получим
(0) (0) (2)Ax b
• Вычитая (2) из (1)
• обозначив
,
• Получаем систему уравнений
• и находим
(0) (0)x x x (0) (0) (0)r Ax b b b
(0) (0)A x r
(0)x
• далее уточняем решение
• подставляя это решение в систему (1) находим
(1) (1)Ax b
(1) (0) (0)x x x
(1)b
• (обозначив
, )
• Получаем систему уравнений
• и находим
(1) (0) (1)x x x (1) (1) (0)r b b
(1) (1)A x r (0)x
• уточняем решение
• и так далее…..
(2) (1) (1)x x x
• Процесс продолжается до тех пор, пока очередное значение погрешности (поправки) не станет достаточно малым
( )kx
• критерием окончания итерационного процесса можно считать выполнение неравенства
( ) ( 1)
1max , (4)k k
i ii n
x x
• Пример. Найти решение СЛАУ методом уточнения решения с точностью .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 3 1,
2 4 3,
3 5 2
x x x
x x x
x x x
0,01
• 1. Методом обратной матрицы найдем решение системы
• находим из системы
(0)
1,32
0,37
1,26
x
(0)b (0) (0)b Ax
(0)
0,98
2,98
1,97
b
• находим
• Получаем систему уравнений
• и находим
(0) (0)r b b
(0) (0)A x r
(0)
0,0042
0,0016
0,0032
x
• далее уточняем решение
(1) (0) (0)x x x
(1)
1,3118
0,3664
1,2662
x
• 2.3 Метод Гаусса-Зейделя.
• Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными. Запишем ее в виде
• (будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля).
1 1 , 1 1 , 1 1 ,i i i i i i i i i i i n n ia x a x a x a x a x b
1,2, , .i n
• В соответствии с методом Гаусса-Зейделя k-е приближение к решению можно представить в виде
( ) ( ) ( )1 1 , 1 1
( 1) ( 1), 1 1
1k k ki i i i i i
ii
k ki i i in n
x b a x a xa
a x a x
1,2, , .i n
• Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения не станут близкими к т. е. в качестве критерия завершения итерации используется условие (4).
( )kix
( 1)kix
• Для сходимости данного итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:
• (при этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго)
, 1, 2, , .ii i ja a i n
• Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми.
• Проиллюстрируем этот метод на примере решения системы
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
,
,
.
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
• Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с но- номером k -1, как
( ) ( 1) ( 1)1 1 12 2 13 3
22
( ) ( ) ( 1)2 2 21 1 23 3
11
( ) ( ) ( )3 3 31 1 32 2
33
1,
1,
1,
k k k
k k k
k k k
x b a x a xa
x b a x a xa
x b a x a xa
• Пример.
• Решить СЛАУ с помощью метода Гаусса-Зейделя (точность ).
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 4,
2 6 7,
2 3 0.
x x x
x x x
x x x
0,1
( ) ( 1) ( 1)1 2 3
( ) ( ) ( 1)2 2 1 3
( ) ( ) ( )3 1 2
14 ,
41
7 2 ,61
2 ,3
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
• В качестве начального приближения примем
(0)
0
0
0
x
(1)1
(1)2
(1)3
14 0 0
41
7 2 061
1 23
x
x
x
(0) (1)
0 1 1
| | 0 0,833 0,833
0 0,889 0,889
x x
• далее
(2)1
(2)2 2
(2)3
1 5 8 714 0,986
4 9 9 72
1 71 8 717 2 0,986
6 72 9 72
1 71 71 712 0,986
3 72 72 72
x
x
x
(0) (1)
1 0,986 0,014
| | 0,833 0,986 0,153
0,889 0,986 0,097
x x
• 2.2 Метод простой итерации.
запишем исходную систему в виде (1)
выполним ряд преобразований
;Ax b
x Bx b
• Тогда по известному k-му приближению можно найти (k+1)-е приближение
• - метод простой итерации.
( 1) ( ) , 0,1,...k kx Bx b k
• Теорема.
Пусть . Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы.
det 0A
В A E
• Для некоторых типов матрицы A можно указать правило выбора . В простейшем же случае можно положить, например 1, 0.1 и т.д.
top related