מודלים של שיווי משקל לצורכי תכנון תחבורה

מודלים של שיווי משקללצורכי תכנון תחבורה

הלל בר-גרא

המחלקה להנדסת תעשייה וניהול

אוניברסיטת בן-גוריון בנגב

תכנית ההרצאה

מודלים לצורכי תכנון תחבורה•

חשיבות דיוק החישוב לצורך השוואה בין •תרחישים

עקביות בקביעת קבוצת המסלולים שבשימוש •ובחלוקת הזרימה בין המסלולים

מודלים לצורכי תכנון תחבורה

הציפיות ממודלים לתכנון תחבורה:

חיזוי סביר של תפקוד מערכת התחבורה בעתיד • שנה(.20-50הקרוב )שנה שנתיים( והרחוק )

הערכה סבירה של ההשפעה של החלטות שונות •)תרחישים( על תפקוד מערכת התחבורה.

: מערכת )ממוחשבת( מודל לצורכי תכנון תחבורהלחיזוי התפקוד של מערכת התחבורה בתסריטים

שונים.

: סיוע המטרה של מודלים לצורכי תכנון תחבורהבתהליך קבלת ההחלטות בשלבי תכנון שונים.

?כיצד נמדד דיוק של מודל – התאמה בין תחזיות (accuracy)דיוק חיזוי 1.

המודל לבין ההתרחשויות בפועל.

דיוק מבני – מידת הפירוט בה מבנה המודל 2.תואם למציאות ולמאפייניה המורכבים.

יציבות/הדירות – שינויים קטנים בהנחות 3.מובילים לשינויים מתאימים בתוצאות.

– דיוק התוצאות (precision)דיוק החישוב 4.בהנחה שהנתונים של המודל נכונים.

מודלים של שיווי משקל

המערכת כוללת מספר מקבלי החלטות.•

ישנן השפעות הדדיות בין מקבלי ההחלטות השונים.•

במצב שיווי משקל אין לאף אחד ממקבלי ההחלטות •סיבה לשנות את החלטתו.

הנחה: רוב הסיכויים למצוא את המערכת בקירוב •במצב שיווי משקל.

מתמקדים באפיון התנאים שיווי משקל מודלים שלשאמורים להתקיים במצב שיווי משקל.

מתמקדים באופן התפתחות תהליכיםמודלים של המערכת.

גידול האוכלוסייה בהירושימה ונגסקי

Reproduced from Davis and Weinstein, 2002

6דוגמא – כביש מטרת המודל: חיזוי מספר המשתמשים בכביש אגרה.• נהגים.800מבוסס על סקרי "נכונות לשלם" של כ-• מהתחזית.85% הגיע לכ-2004מספר המשתמשים בשנת •

התחזית מבוססת על מיצוע של מודלים •.2010 ו – 2000מלאים לשנים

כולל את כל אורך הכביש 2010המודל לשנת •אחוזם-אליקים, וכן את כל כבישי הרוחב

והגישה.

המודל מבוסס על האגרה הבסיסית, ללא •תוספת הגביה ללקוחות מזדמנים ולמנויי וידאו.

מודל בחירת מסלולים: שיווי משקל המשתמשים

“The journey times on all the routes actually used are equal, and less than those which would be experienced by a single vehicle on any unused route.” )Wardrop, 1952(

כל משתמש מעוניין לבחור במסלול הקצר ביותר,•בהתאם לתנאי העומס ברשת הכבישים הנוצרים

מבחירת המסלולים של כלל המשתמשים.

במצב שיווי משקל, זמן הנסיעה בכל מסלול •שבשימוש אינו ארוך יותר מזמן הנסיעה בכל מסלול

חלופי.

מדד דיוק במודל בחירת המסלולים

עלות עודפת כוללת

עלות עודפת

עלות )דקות נסיעה(

זרם )רכבים לשעה(

מסלולמוצאיעד

0060CA1

101710CA2

00720DA3

0180DA4

505910DB5

00415DB6

20485DB7

סך הכל8060

הדרוש?(precision)מהו הדיוק מקרה לדוגמה:

במטרופולין פילדלפיה נשקלה האפשרות לקשר בין •.SR-42 ו I-295שני כבישים מהירים

בהתחשב במרכזיות הכבישים, צפויה השפעה על •נפחי התנועה בסביבה.

על המודל להיות מדויק מספיק בכדי לקבוע מהו •טווח ההשפעה של הפרוייקט.

זהו מקרה קלאסי של ניתוח עם/בלי פרוייקט, אשר •אופייני לרשויות תכנון תחבורה ברחבי העולם.

Convergence - Chicago Regional Network

1E-121E-111E-101E-091E-081E-071E-061E-05

0.00010.0010.010.1

110

1001000

0 10 20 30 40 50 60

CPU time (hours)

Exc

ess

Cos

t

( equi

vale

nt m

inut

es

)

Origin-based methodAverage Excess Cost

Frank-Wolfe methodAverage Excess Cost

Origin-based methodMaximum Excess Cost

Convergence - Chicago Sketch Network

1E-16

1E-14

1E-12

1E-10

1E-08

1E-06

0.0001

0.01

1

100

10000

0 5 10 15 20

CPU time (minutes)

Exc

ess

Cos

t

( equi

vale

nt m

inut

es

)Origin-based methodAverage Excess Cost

Frank-Wolfe methodAverage Excess Cost

Origin-based methodMaximum Excess Cost

ריבוי פתרונות זרימה במסלולים למודל שיווי המשקל

r’1 למסלול r1 ממסלול אם נעביר כמות זרם , סך הזרם בכל צלע r’2 למסלול r2וממסלול

יישמר, זמני הנסיעה לא ישתנו, ולכן "הצרחת" זרם מסוג זה לא משפיעה על תנאי שיווי המשקל.

r2

2 3 4 5

6 7 8 9

1

10

r1r'1r'2

מציאת חלופות בסיסיות

ניתן לנתח את כל פתרונות שיווי המשקל על ידי זיהוי קבוצה של חלופות בסיסיות.

במקרה הזה החלופה הבסיסית היא בין . זהו [4,6,7] לבין המקטע [4,5,7]המקטע

.r’2 לבין r2 , וגם בין r’1 לבין r1ההבדל בין

r2

2 3 4 5

6 7 8 9

1

10

r1r'1r'2

מסלולי שיווי משקל8דוגמא לקבוצה של

חלופות בסיסיות בקבוצת מסלולים

AB

C

D

E

D

E

network #OD pairs #basic alt. #routesSioux Falls 528 35 770Barcelona 7,922 74 11,309Winnipeg 4,345 138 9,880Tucson 366,087 284 1,568,387C. sketch 93,513 270 127,248C. regional 2,297,945 5,101 93,026,895

מספר מסלולי שיווי המשקל ומספר החלופות הבסיסיות ברשתות שונות

הצרחת זרם אלמנטרית

הצרחת זרם בין שני זוגות מסלולים הנבדלים באותה חלופה בסיסית נקראת הצרחה אלמנטרית.

within between

network origin origins core total

Sioux Falls 138 70 5 213

Barcelona 2,351 962 1 3,314

Winnipeg 2,455 2,942 0 5,397

Tucson 1,179,105 22,911 8 1,202,024

C. sketch 27,261 6,204 4 33,469

C. regional 89,822,183 901,656 92 90,723,931

סיווג הצרחות בסיסיות

elementary

חלוקת זרם עקבית בהצרחה אלמנטרית

חלוקת זרם בהצרחה אלמנטרית נקראת עקבית אם אותו יחס נשמר בשני זוגות

המסלולים. למשל:

r2

2 3 4 5

6 7 8 9

1

10

r1r'1r'2

5דרך 6דרך

r'1=40r1=60 9 ל 1מ

r2=120r'2=180 10 ל 2מ

עקביות בקבוצת המסלולים ובחלוקת הזרם ביניהם

תנאי העקביות בחלוקה של זרם בין מסלולים שקול •למציאת חלוקת הזרם בעלת האנטרופיה המקסימאלית,

אשר נחשבת לחלוקה ה"סבירה ביותר".בהינתן קבוצת מסלולים חלקית, הצרחה עלולה להיות •

חסומה אם המסלולים ה"מקוריים" נכללים בקבוצה, אבל אחד המסלולים החלופיים לא כלול בקבוצה.

קבוצת מסלולים חלקית ללא "חסימות" נקראת קבוצה •. מציאת קבוצת מסלולים עקבית היא תנאי עקבית

ראשוני למציאת חלוקה עקבית של הזרם בין המסלולים.

מציאת פתרונות עקביים ברשתות שונות

networkInitial Entropy

Final Entropy

Duality Gap

CPU time

Sioux Falls38,96359,2351E-107 s

Barcelona15,46227,7592E-103 s

Winnipeg11,25719,820690.5 s

Tucson170,666425,1741E-97 s

C. sketch52,23597,7221E-93 s

C. regional411,454917,878

920,223

3,836

30

177 s

58 h

מסקנות

מודלים של שיווי משקל הם כלי שימושי בתכנון •תחבורה

אלגוריתמים חדשים מאפשרים:•

מציאת פתרונות מדויקים ויציבים.1.

מציאת קבוצת מסלולי שיווי המשקל.2.

מציאת חלוקת זרם עקבית בין המסלולים.3.

טיפול במודלים משולבים של בחירת מוצא יעד 4.אמצעי ומסלול.