אנרגיה קינטית ועבודה

ועבודה קינטית ועבודה אנרגיה קינטית אנרגיה

בשנת 1996באולימפיאדהשל בהנפה שיא 260הושג

.) הראש" ) מעל הרמה ג קפול 1957בשנת נכנס

, הניח למשטח מתחת אנדרסוןאת והרים שרפרף על ידיו את

. על כתפיו בעזרת המשטחמכוניות חלקי היו המשטח

במשקל עופרת מלאה וכספתשל .27900כולל ניוטון

עבודה יותר עשה מי? המשקל בהרמת

אנרגיהאנרגיה

של IIבאופן עקרוני בעיות תנועה ניתנות לפתרון בעזרת חוק ניוטון. בעזרת חוק זה מוצאים את התאוצה, ואז בעזרת

אינטגרציה פותרים את משואות התנועה ותנאי ההתחלה ומוצאים את המהירות והמיקום.

m d2r / dt2 = m a = F

v(t) = ∫a(t) dt

r(t) = ∫v(t) dt

עליות לו שיש משופע מישור במורד מחליק גוף לדוגמה , תהיה. מה התנועה ממשואות למצוא נוכל לא ומורדות

. המישור לקצה כשיגיע מהירותו

3 . ידועים. תמיד שלא פרטים דורש התנועה של הניתוח

משואות. 2 את לפתור ניתן תמיד לא ידוע הכוח אם גםהתנועה.

ידוע. 1 הכוח תמיד לא

הזאת הגישה עם בעיות כמה יש

. התברר אלו בבעיות לטיפול טכניקה שיש השנים עם התברר , כמו תנועה אין בהם במקרים גם שימושית הזו שהטכניקה

ביולוגיות פונקציות של לסיטואציות או כימיות ריאקציות למשל. גיאולוגים תהליכים או

. אנרגיה קוראים הזו לטכניקה

לה למצוא קל תמיד ולא רבות בצורות מופיעה אנרגיה . המתאר סקלרי גודל היא אנרגיה עבורנו מדויקת הגדרה

. גופים של צבר או אחד גוף של מצב

למצב הקשורה קינטית אנרגיה היא אנרגיה של הצורות אחת . הקינטית האנרגיה מהר יותר נע שהוא ככל הגוף של התנועה

. . אפס היא הקינטית האנרגיה נייח במצב גבוהה יותר

, , אפשר בזהירות האנרגיה את מגדירים שאם גם התברר. , ניסויים של תוצאות לנבא רבים במקרים

היא . מספראנרגיה ) הפעלת ) גופים לקבוצת הקשור סקלרשל והאנרגיה הגופים אחד של מהירותו את למשל משנה כוח

. משתנה המערכת

K = (½)mv2

[K = ]kg (m/s)2 = Joule

1 Joule = 107 erg = 107 g(cm/sec)2

במהירויות: רק תופסת קינטית אנרגיה של זו הגדרה הערה. האור למהירות יחסית קטנות

עבודהעבודה

, ולכן הגוף מהירות את מגדיל הוא כוח גוף על פועל כאשר . אנרגיה העביר הכוח שלו הקינטית האנרגיה את מגדיל

. לגוף הכוח ממקור

W. העבודה Wהעברת אנרגיה דרך הכוח קרויה עבודה, חיובית אם אנרגית הגוף גדלה ושלילית אם היא קטנה.

היא העברת אנרגיה.Wעבודה . אנרגיה להעביר פרושה עבודה לעשות

( Jouleיחידת העבודה גם היא ג’ול )

dחרוז נע על תיל מרחק . תוך כדי Fבהשפעת כוח קבוע

. vל - v0כך מהירותו משתנה מ- מהי עבודת הכוח?

d

v0

F

v

x

Fx = max ax = Fx/m

v2 =v02 + 2axd v2 -v0

2 = 2Fxd/m

(½)mv2 – (½)mv02 = Fxd

W = FxdW = F cos d

W = F•d:הערות

1. בלבד. קבוע כוח לגבי תופסת זו הוכחה

2. . יחד. לנוע חייבים חלקיו כל קשיח להיות חייב הגוף

[W = ]N.m = kg m/s2 .m = kg (m/s)2 = Joule

סיכום

.1 " יש העתק לאורך כוח י ע גוף על הנעשית העבודה לחישוב. ההעתק לאורך הכוח ברכיב רק להשתמש צורך

משפט העבודה – אנרגיה קינטיתמשפט העבודה – אנרגיה קינטית

על גוף וכתוצאה מכך השתנתה Wאם כוח עושה עבודה אזי קיים Kהאנרגיה הקינטית ב -

K = Kf – Ki = W

עבודה. 2 מבצע אינו להעתק המאונך הרכיב

3 , ההעתק. בכיוון רכיב לו יש אם חיובית עבודה עושה הכוח. להעתק מנוגד הרכיב אם שלילית ועבודה

דוגמה

בזמן סערה דוחפת הרוח ארגז בכוח הנתון d = -3iלאורך העתק

כאשר הכוח ניתן F = 2i –6jע"י בניוטון וההעתק במטרים.

Fd

? הכוח שעושה העבודה מהיW = F•d = ( 2i – 6j) •(-3i) = -6 Joule

. מהי 10Jהאנרגיה הקינטית ההתחלתית של הארגז היא האנרגיה הקינטית הסופית?

Kf – 10 = -6

Kf = 4 J

" גרביטציוניים כוחות י ע הנעשית " עבודה גרביטציוניים כוחות י ע הנעשית עבודה

נזרק כלפי מעלה במהירות mכדור שמסתו כלפי מטה פועל רק הכוח . v0התחלתית

mg .dהגרביטציוני

mg

mg

העבודה שעושה כוח הגרביטציה

העבודה שלילית כיון שהגוף נע בניגוד לכיוון כוח הגרביטציה. מהאנרגיה mgdהכוח הגרביטציוני מעביר אנרגיה בכמות

הקינטית.ליפול מתחיל והוא הגובה לשיא הגיע שהגוף אחרי זאת לעומת

תהיה העבודהWg = mgd

של הקינטית לאנרגיה אנרגיה עכשיו מעביר הגרביטציוני הכוחהגוף.

v0

v

Wg = mgd cos = -mgd

. הכוח Fנניח שאנו מרימים אנכית גוף ע"י הפעלת כוח אנכי

בזמן שהגרביטציה עושה עבודה W aעושה עבודה חיובית

.W gשלילית השינוי באנרגיה הקינטית

K = Kf – Ki = Wa + Wg

אם אין שינוי באנרגיה הקינטית, כלומר לגוף יש אותה מהירות לפני ואחרי ההרמה

העבודה של השלילי הערך היא החיצוני הכוח שעושה העבודה . " הגרביטציה כוח י ע הנעשית

Wa = -mgd cos

mg

F

d

= 180°mg

F

d

= 0°

הנמכההרמה

Wa + Wg = 0

Wa = - Wg

. לספורטאים נחזור

מטר. 2 ק"ג לגובה של 260זוכה מדלית הזהב הרים העבודה שעשה כוח הגרביטציה

Wg = mgd cos = 2548 • 2 • cos 180 = -5100

ג’ול.5100העבודה שעושה הספורטאי היא

הרים אנדרסון של 27900פול לגובה . 1ניוטון " העבודה מ סעשה שהוא

Wa = -Wg = - mgd cos = - 27900 • 0.01 • (-1) = 280 J

משתנה כוח של משתנה עבודה כוח של עבודה

. , משתנה אלא קבוע איננו הגוף על הפועל הכוח כללי באופן

דוגמה פשוטה לכך היאכוח משתנה בממד אחד.

הגרף מתאר את ערכו של של הכוח xרכיב ה –

הפועל. הוא תלוי במיקום הגוף, והוא פועל כאשר

. xf ל – xiהגוף נמצא בין

.jוזהו שטח המלבן

עבודת הכוח לאורך אותו קטע תהיה

כיון שאיננו קבוע, אנו מחלקים את המסלול

xלקטעים קטנים שלאורכם הכוח כמעט

קבוע, וערכו לאורך הקטע j ניתן ע"י ,Fj,avg .

Wj = Fj,avg xj

הקטעים לאורך העבודות סכום היא הגוף שעושה העבודההשונים.

W = Wj = Fj,avg xj

והוא המלבנים כל שטח זהושמתחת לשטח בקירוב שווה

לעקומה.

הגודל את להקטין כעת נוכלהמלבנים ושטח קטע כל של

מתחת לשטח ויתקרב ילךלעקומה.

W = lim Fj,avg xj = F(x)dx xj o

קפיץקפיץ

. שהקפיץ ככל כוח להפעיל צריך קפיץ לכווץ או למתוח כדי . הפעולה להמשך כוח יותר להפעיל צריך יותר מכווץ או מתוח

, והביטוי המשקל שיווי למצב מחזיר כוח מפעיל הקפיץ" י ע ניתן המתמטי

F = - kx

הוא מידת המתיחות או הכיווץ של הקפיץ ביחס xכאשר . הכוח תמיד מנוגד x = 0למצב שווי המשקל המוגדר בתור

להעתק.

k של הקפיץ והוא נותן את גודל הכוח "קבוע הכוח" הוא . x=0 מהנקודה הדרוש למתיחת או כיווץ הקפיץ במטר אחד

Ws = - (½)kx2

אם ההתארכות הסופית קרובה יותר לנקודת שיווי המשקל xi = 0מההתארכות ההתחלתית אזי העבודה חיובית. אם

העבודה תהיה

xf

Ws = (-kx)dx = (½)kxi2 – (½)kxf

2

xi

תהיה xj עד xiהעבודה שעושה הקפיץ בשינוי אורכו מ -

על הקפיץ ואורך הקפיץ משתנה ב – Faאם פועל כוח חיצוני x במשך אותה פעולה הכוח החיצוני עושה עבודה .W a .

השינוי באנרגיה הקינטית יהיה

K = Kf – Ki = Wa + Ws

ובהנחה שהאנרגיה הקינטית אינה משתנה

דוגמהגוף מונח על משטח חסר חיכוך, וקשור לקצהו של קפיץ

דרוש להחזיק את הקפיץ 4.9Nהחופשי להתנדנד. כוח בן =. mm x1 12במנוחה כאשר

כמה עבודה עושה הקפיץ על הגוף אם הוא נמתח ממצב שווי x2 = 17 mmמשקל עד ל - .

k = - F/x1 = - (-4.9)/ 0.012 = 408 N/m

Ws = -(½)kx22 = -(½) • 408 • 0.0172 = -0.059 J

. כמה עבודה עושה הקפיץ?x3=12 mmהגוף מוזז ל

Ws= (½)kxi2 – (½)kxf

2 = 408 • (0.0172 – 0.0122 )/2 = 0.030 J

Wa = -Ws

דוגמה

, ודוחס קפיץ v = 0.5 m/s גרם נע במהירות 400גוף שמסתו . בכמה מתכווץ הקפיץ כאשר k = 750 N/mשקבוע הכוח שלו

הגוף נמצא במנוחה רגעית.

Kf – Ki = Ws = -(½) kd2

0( – (½mv2 = -(½) kd2

d = ± v(m/k)½ = ±0.0115 m

משפט העבודה – אנרגיה קינטית עבור כוח משתנהמשפט העבודה – אנרגיה קינטית עבור כוח משתנה xf xf

W = F(x)dx = ma dx xi xi

ma dx = m(dv/dt)dx

dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v(dv/dx)

ma dx = m(dv/dx)v dx = mv dv vf

W = mv dv = (½)mvf2 – (½)mvi

2

vi

כלומר

. קבוע כוח של במקרה כמו תוצאה אותה בדיוק

W = Kf – Ki

העבודה של ממדי תלת ניתוח

F = Fxi + Fyj + Fzkdr = dx i + dy j + dz k

dW = F•dr = Fxdx + Fydy + Fzdz rf xf yf zf

W = F•dr = Fxdx + Fydy + Fzdz ri xi yi zi

:דוגמה

פועל על חלקיק ומשנה רק את F = 3x2i + 4jכוח של האנרגיה הקינטית שלו. כמה עבודה עושה הכוח כשהחלקיק

(. 0 , 3 ( לנקודה ) 3 , 2נע מנקודה ) 3 0

W = 3x2dx + 4dy = 7 J 2 3

הספקהספק

. וריצה עלייה העבודה עשיית קצב את לדעת חשוב לעתיםשל אבל 3לגובה עבודה אותה את מגופנו דורשות קומות

. קשה יותר הרבה הריצה. העבודה עשיית כקצב מוגדר ההספק

P = d(Work)/dt

[P = ]J/s = watt = W

שעה קילוואט לפי משלמים חשמל

1 kW • hour = 1000 watt • 3600 s = 3.6x106 J

של לגובה טון של משקל להרים אפשר הזאת העבודה בכמות360! מטר

Work = 1000 • 10 • 360 = 3.6x106 J

פועל על גוף, והגוף נע במהירות Fאם כוח קבוע )בזמן( קבועה )קטר מושך רכבת(.

P = dW /dt =F cos dx/dt = F cos v = F•v

. הרגעי ההספק את נותן לעיל הביטוי משתנה המהירות ואם