Курс: Общий физический практикум

Курс: Общий физический практикумКурс: Общий физический практикум

Сегодня: _________________ 2009 г.

Склярова Елена Александровна

Лекция № Лекция № 1313

Тема: Тема: Применение теории Применение теории вероятности при обработке вероятности при обработке результатов физических результатов физических экспериментовэкспериментов

1. Вспомним! Ошибки измерения.2. Показатели точности измерения.3. Средние значения и их оценки, проверка гипотез.4. Вычисление средних для интервального ряда.5. Оценки истинного значения измеряемой величины.6. Сравнение средних при неизвестной дисперсии.7. Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов:

-- отыскание параметров линейной функции;-- отыскание параметров квадратичной функции.

Содержание лекции:

Сегодня: ______________ 2009 г.

Ошибки измерения Ошибки измерения

Численное значение физической величины получается в результате ее измерения, т.е. сравнения ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу. При выбранной системе единиц результаты измерений выражаются определенными числами.

Известно, что при достаточно точных измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга, и, следовательно, содержат ошибки.

Ошибки измеренияОшибки измерения

Ошибкой измерения называется

разность х – а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины.

Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины.

Поэтому одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам.

Ошибки измеренийОшибки измерений

Ошибки бывают: систематические; случайные; грубые.

Пример 1Пример 1

Таблица 1

Исходные данные

Расчет Контроль

х m u mu mu2 v mv mv2

35,6 1 –4 –4 16 –5 –5 25

35,9 3 –1 –3 3 –2 –6 12

36,1 3 1 3 3 0 0 0

36,2 2 2 4 8 1 2 2

36,6 1 6 6 36 5 5 25

Сумма 10 – 6 66 – –4 64

Пример 1Пример 1

В табл. 1 первые два столбца дают результаты десяти измерений некоторой величины (х – результаты измерений, m – число получений соответствующего результата).

Выбирая за начало отсчета с = 36,0 и полагая h = 0,1, подсчитываем значения

для третьего столбца. Сумма чисел четвертого и пятого столбцов

дают все данные для расчета и s*. В последних трех столбцах проведены

контрольные расчеты при другом начале отсчета с1 = 36,1, что соответствует сдвигу u = v + 1.

1,0

0,36

ii

i

x

h

cxu

x

Пример 1Пример 1

С помощью полученных сумм подсчитываем средние:

Контрольные расчеты дают те же результаты:

06,366,0 0,1 36,0 ;6,010

6 xu

.25,024,61,06,010

661,0 2* s

06,36)4,0( 0,1 36,0 0,4;10

4

xu

.25,024,61,04,010

641,0 2* s

Пример 2Пример 2

Таблица 2

Интервалы х m u mu mu2 v mv mv2

8,2758,3258,3258,3758,3758,4258,4258,4758,4758,5258,5258,5758,5758,6258,6258,6758,6758,7258,7258,7758,7758,8258,258,8758,8758,9258,9258,975

8,308,358,408,458,508,558,608,658,708,758,808,858,908,95

124581018171297601

–6–5–4–3–2–101234567

–6–10–16–15–16–100172427283007

3650644532100

174881

112150

049

–7–6–5–4–3–2–10123456

–7–12–20–20–24–20–18

01218212406

4972

10080724018012366396036

Сумма 100 – 60 694 – –40 674

Пример 2Пример 2

В табл. 2. приведен расчет средних значений и средних квадратичных отклонений для интервального ряда.

Здесь длина интервала h = 0,050. Для выбранного начала отсчета с = 8,600 имеем

Для контрольного начала отсчета с1 = 8,650 имеем

что убеждает в отсутствии ошибок в вычислениях.

050,0

600,8x

u 6,0100

60u 630,86,0 0,050 8,600 x

.128,058,6050,06,094,6050,0 2* s

050,0

650,8x

v 4,0100

40

v 630,8)4,0( 0,050 8,650 x

,128,058,6050,04,074,6050,0 2* s

Пример 3Пример 3

Для ста измерений, результаты которых приведены в примере 2 (табл. 2), были подсчитаны значения х = 8,63 и s* = 0,128 причем длина интервала h = 0,05. Требуется приближенно оценить истинное значение а измеряемой величины по правилу трех сигм.

Подсчитываем сначала исправленный эмпирический стандарт

затем применяем правило трех сигм

Можно считать, что а лежит в интервале (8,592; 8,668).

,127,050,605,02/158,605,0 s

.038,0100/127,0363,8 axa

Пример 4Пример 4

Пусть две серии 25 и 50 равноточных измерений дали средние значения соответственно и и средние квадратичные отклонения от них и .

Требуется сравнить средние значения и решить вопрос о значимости их расхождения с надежностью Р = 0,99.

Решение. Подсчитываем сначала величину

и затем отношение:

56,231 x 80,222 x

10,1*1 s

25,1*2 s

298,050

1

25

125,15010,125

73

111 22

21

nn

s

55,2298,0

80,2256,23

t

Пример 4Пример 4

По табл. Стьюдента при заданной надежности Р = 0,99 и числе степеней свободы

k = 25 + 50 – 2 = 73 находим значение t (0,99; 73) = 2,65.

Так как вычисленное отношение оказалось меньше этого числа, то мы не можем считать расхождение средних значимым.

С другой стороны, по той же табл.Стьюдента, но при надежности 0,98 мы находим значение t (0,98; 73) = 2,38, которое уже меньше вычисленного отношения t.

Если бы нас могла удовлетворить надежность вывода 0,98, то мы могли бы считать расхождение средних значимым.

Пример 4Пример 4

Если же нас такая надежность не удовлетворяет, то пробуем увеличить число измерений.

Например, если в первой серии довести число измерений с 25 до 28 и если при этом сохранятся те же значения и , то мы получим

что позволит сделать вывод о значимости расхождений средних с заданной надежностью Р = 0,99, так как t (0,99; 76) = 2,64.

1x*1s

286,005571,025,15010,12876

1

50

1

28

1 22 s

66,2286,0

80,2256,23

t

Пример 4Пример 4

Примечание.

В табл. Стьюдента нет значений t ни для числа степеней свободы k = 73, ни для k = 76. Соответствующие значения вычислены с помощью линейной интерполяции.

При Р = 0,99 в таблице находим два значения:

для k = 70 имеем t = 2,648,

для k = 80 имеем t = 2,639.

С помощью этих значений вычисляем:

для k = 73 значение t = 2,648 – 0,30,009 = 0,645,

для k = 76 значение t = 2,648 – 0,60,009 = 0,643.

Пример 5Пример 5

Пусть десять измерений, результаты которых приведены в таблице 1, выполнены для определенной точности измерений.

В той же таблице были подсчитаны средние

и . Оценить среднюю квадратичную ошибку измерений с надежностью Р = 0,99.

Решение. Рассмотрим сначала более простой случай, когда истинное значение измеряемой величины известно и равно а = 36. Тогда для дисперсии надо применить оценку , которую удобно рассчитать по формуле

что дает = (0,1)26,24 + (0,06)2 = (0,1)26,60.

06,36x 24,61,0 22* s

2*s

,1 22*

1

22* axsax

ns

n

ii

2*s

Пример 5Пример 5

Отсюда получаем приближенное равенство

s* = 0,12,57 = 0,257.

Для оценки этого приближенного равенства с доверительной вероятностью 0,99 найдем из табл. Стьюдента при k = 10 коэффициенты z1 = 0,630 и z2 = 2,154, что дает

0,257 0,630 < < 0,257 2,154,т.е. доверительный интервал (0,162; 0,554).

Если истинное значение измеряемой величины неизвестно, то оценку дисперсии производим с помощью эмпирической дисперсии

.93,6)1,0(9

1024,6)1,0(

1222*22

n

nss

Пример 5Пример 5

Отсюда получаем приближенное равенство

s = 0,12,63 = 0,263.

Для оценки этого приближенного равенства с доверительной вероятностью 0,99 воспользуемся снова табл. Стьюдента, но теперь уже при значении k = 9.

Это дает z1 = 0,618; z2 = 2,277 и, следовательно, доверительную оценку

0,163 = 0,263 0,618 < < 0,263 2,277 = 0,599.Отметим, что здесь ошибка в определении

может достигать 128 %.

Пример 6Пример 6

Пусть одним и тем же измерительным прибором произведено m = 20 серий измерений по n = 10 измерений в каждой.

Эмпирическая дисперсия в i-й серии измерений равна (i = 1, 2, …, m). Требуется оценить среднюю квадратичную ошибку измерительного прибора с надежностью Р = 0,99.

Решение. Так как число измерений в каждой серии одно и то же, то применяем оценку для дисперсий. Отсюда получаем приближенное равенство

.20

11 20

1

2

1

2

i

i

m

ii ss

mS

Пример 6Пример 6

Доверительная оценка этого приближенного равенства производится здесь при числе степеней свободы

k = mn – m = 180.

Поэтому при надежности Р = 0,99 по табл. Стьюдента находим q = 0,143 (что дает относительную ошибку в определении только 14 %).

Таким образом, доверительная оценка средней квадратичной ошибки имеет вид

0,857S < < 1,143S

с доверительной вероятностью 0,99.

Пример 7. Пример 7. Отыскание параметров линейной функцииОтыскание параметров линейной функции

Пример расчета линейной зависимости. Во втором столбце приведенной далее таблицы 3. даны значения функции у.

Пример 7Пример 7

Таблица 3

Номерточек

Значения функции

Расчет по семи точкам,N = 7, M = 4

Расчет по восьми точкам,N = 8, M = 4

k y l = k – 4 y+ – y– l(y+ –y–) l = 2k –9

y+ – y– l(y+ –y–)

12345678

2,352,412,602,732,903,113,253,45

–3–2–10123–

0,300700,90

–

0,301,402,70

–

–7–5–3–11357

0,170,510,841,10

0,171,534,207,70

(N = 7)Суммы(N = 8)

19,35

22,80

– – 4,40 – –

13,60

Пример 7. Пример 7. Отыскание параметров линейной функцииОтыскание параметров линейной функции

График

Пример 7. Пример 7. Отыскание параметров квадратичной функцииОтыскание параметров квадратичной функции

Пример расчета квадратичной зависимости. Во втором столбце приведенной далее таблицы 4 даны значения функции yk для равноотстоящих значений аргумента (сами значения аргумента в таблице не приведены, так как они не нужны для расчета). Для сравнения расчет выполнен по семи и по восьми точкам.

Для расчета квадратичной зависимости по семи точкам имеем

Найдя по табл. Х при N = 7 значения

H1(N) = 28; 3H2(N) = 252

,1,137

1

k

ky ,7,24)4(7

1

k

k ky .5,75)4(7

1

2 k

k ky

Пример 8Пример 8

Таблица 4

Номерточек

Значения функции

Расчет по семи точкам,N = 7, M = 4

Расчет по восьми точкам,N = 8, M = 4

k y l = k – 4 y l y l2 l = 2k –9 y l y l2

12345678

0,50,10,40,91,73,46,19,8

–3–2–10123–

–1,5–0,2–0,4

01,76,8

18,3–

4,50,40,40

1,713,654,9

–

–7–5–3–11357

–3,5–0,5–1,2–0,91,710,230,568,6

24,52,53,60,91,7

30,6152,5480,2

(N = 7)Суммы(N = 7)

13,122,9

– 24,7 75,5 – 104,9 696,5

Пример 8Пример 8

и вычислив (N2 – 1) / 4 = 12, получаем

следовательно, y = 0,275u2 + 0,882u + 0,771,

где

,275,01,13125,753252

11 a

,882,07,2428

11 b

;771,0275,041,137

11 c

,/ hxxu .2/ 471 xxxx

Пример 8Пример 8

Для расчета квадратичной зависимости по восьми точкам имеем

Найдя по табл. Х при N = 8 значения

2H1(N) = 84; 12H2(N) = 2016,

получаем

следовательно, y = 0,321u2 + 1,249u + 1,178,

где

,9,228

1

k

ky ,9,104)92(8

1

k

k ky .5,696)92(8

1

2 k

k ky

,321,09,22635,69632016

11 a

,249,19,10484

11 b ;178,1321,0

8

429,22

8

11 c

,/hxxu .2/2/ 481 hxxxx

Пример 8Пример 8

Обе рассчитанные параболы вместе с заданными точками изображены на рисунке.

Лекция окончена

Нажмите клавишу <ESC> для выхода