Л огарифмы

ЛогарифмыПрезентацию выполнили

Ученицы 11«В» классаМОУ-СОШ №28Иванова Лида

Долгова Марина

СодержаниеЛогарифм – это . . .

Историческая справкаСвойства логарифмовВиды логарифмовЛогарифмические таблицыПрименение логарифмовПримеры

Логарифм – это . . .

показатель степени, в которую нужно возвести

основание a, чтобы получить число b.

Обозначается:

loga b

Историческая справка

Открытие Логарифм было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии.

Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544).

Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо

друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620).

Важный шаг в теоретическом изучении логарифма сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647),

обнаруживший связь логарифмов и площадей, ограниченных дугой гиперболы,

осью абсцисс и соответствующими ординатами.

Историческая справка

Термин «Логарифм»

возник из сочетания греческих слов logos (здесь —

отношение) и arithmos (число);

в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным»,

«тройным» и т. д. отношением. Для Непера слова «lógu

arithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть

Логарифм у Дж. Непера —

вспомогательное число для измерения

отношения двух чисел.

предложил Дж. Непер

Термин «натуральный

логарифм», понятие о модуле перехода ввёл

Н. Меркатор.

Современное определение

Логарифма впервые дано

английским математиком

В. Гардинером (1742) Гардин

ер

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

Виды логарифм

ов

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа

loga b имеет смысл

при a>0, a, b>0

Натуральные логарифмы

ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

e ln b = b

НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ - логарифм,

основание которого - неперово число

е = 2,718 28...

Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.

Десятичные логарифмы - логарифмы по

основанию 10.

Десятичный логарифм числа а

обозначают lg а. До изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов

обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется в различных областях науки, например:

Физика — интенсивность звука (децибелы).Астрономия — шкала яркости звёзд.Химия — активность водородных ионов (pH).Сейсмология — шкала Рихтера.Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам

нотных звуков.История — логарифмическая шкала времени.

Логарифмические таблицы

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614),

и они содержали только логарифмы тригонометрических

функций, причём с ошибками.Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783)

появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера)

Логарифмические таблицы

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались

несколько сборников таблиц логарифмов.

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М.,

1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они

содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и

некоторые другие полезные расчётные инструменты.

Логарифмическая функция, функция, обратная показательной функции.

Чтобы получить формулу логарифмической функции, напишем формулу показательной функции y=ax , выразим x через y и поменяем обозначения переменных:

y=ax

x=logayy=logax

В этой формуле число а – то самое, которое является основанием показательной функции. То есть а обязательно положительное число, не равное единице.

Теперь можно дать и другое определение: Логарифмической функцией называется функция,

которую можно задать формулой y=logax, где а - положительное число, не равное единице.

Логарифмическая функция

График взаимно обратных функций симметричен относительно прямой y=x. Поэтому мы можем построить график логарифмической функции без её исследования, а только опираясь на определение.

Получилась кривая, проходящая через точки(1;0) и (а;1).

По этому графику мы можем установить следующие свойства.

Логарифмическая функция с основанием, больше единицы.

Логарифмическая функция при основании, больше 1.

Область определения- та же, что и область значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

Область значений – та же, что и область определения показательной функции – множество всех действительных чисел.

Нулём функции является число 1, так как логарифмом единицы равен ноль.

Интервалы знакопостоянства (0;1) и (1; +∞) на первом функция отрицательна, на втором положительна.

Функция возрастает на всей области определения, так же, как и показательная функция с основанием, больше 1.

Функция стремится к - ∞, когда аргумент стремится к нулю. Функция стремится к + ∞, когда аргумент стремится к + ∞.

График взаимно обратных функций симметричен относительно прямой y=x. Поэтому мы можем построить график логарифмической функции без её исследования, а только опираясь на определение.

Получилась кривая, проходящая через точки(1;0) и (а;1).

По этому графику мы можем установить следующие свойства.

Логарифмическая функция с основанием, меньше единицы.

Логарифмическая функция при основании меньше 1.

Область определения- та же, что и область значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

Область значений – та же, что и область определения показательной функции – множество всех действительных чисел.

Нулём функции является число 1, так как логарифмом единицы равен ноль.

Интервалы знакопостоянства (0;1) и (1; +∞) на первом функция положительна, на втором отрицательна.

Функция убывает на всей области определения, так же, как и показательная функция с основанием, меньше 1.

Функция стремится к + ∞, когда аргумент стремится к нулю. Функция стремится к - ∞, когда аргумент стремится к + ∞.

Применение

логарифмов

Логарифмы в музыкеСтупени темперированной хроматической

гаммы(12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание

этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Положим, что ноте «до» самой низкой октавы - будем ее называть нулевой - соответствует частота,

равная n колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в два раза меньше

верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1: 2. Тогда ноте «до» первой октавы будут

соответствовать 2n колебания в секунду и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы

номерами p.

Тогда высоту, т.е. частоту, любого звука можно выразить формулой

Npm = n * 2m (√2)p

Логарифмируя эту формулу, получаем

lg Npm=lg n+ mlg 2 + plg2/12

lg Npm= lg n + (m +γ/12) lg2

Принимая частоту самого низкого «до» за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем

log2 Npm = m + γ/12

Звёзды, шум и логарифмы

Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость

шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым

образом - по логарифмической шкале.

Звёзды Астрономы делят звёзды по степени яркости на

видимые и абсолютные звёздные величины - звёзды первой величины, второй, третьей и т. п. Последовательных видимых звёздных величин, воспринимаемых взглядом, представляет собой

арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд

составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина»

звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Оценивая яркость звезды, астроном

оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости шума служит «бел», но практически используются единицы громкости, равные десятой доле,- так называемые «децибелы». Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бел и т. д. составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Шум

Логарифмы и ощущения Ощущения, воспринимаемые

органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы, едва видимой на ночном небе.

Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорционально десятичному логарифму величины раздражения.

Логарифмическая спиральСамолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над

Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из

которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь,

пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась все время одного

и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точку, имеющую ту же долготу, что и точка

вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще

ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса

сужающуюся спираль.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и

выше и толще детеныша.

Но раковины морских животных могут расти лишь в

одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в

длину, им приходится скручиваться, причем каждый

следующий виток подобен предыдущему. А такой рост

может совершаться лишь по логарифмической спирали

или ее некоторым пространственным аналогам.

ПаукиОдин из наиболее распространенных

пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по

логарифмической спирали.

Примеры1.log3 (2x+1)=2.

По определению логарифма

имеем 2х+1=32, х=4. Проверка: log3(2·4+1)=log39=2.

2. logπlog2log3 3x=0.

Применяя последовательно определение логарифма,

получим: log2log3 3x=π0, log2log3 3x=1, log3

3x=21, log3 3x=2, 3x=32, x=3.

Проверка: logπ log2log3 3·3= log

πlog2log39=log πlog22=log π1=0

Найти график функции y = Log2 x

yy

y

y

x

x

x

x 0

0

0

0

Вычисли

Lg 2 + lg 5

Log3 3 – 0,5 log3 9

Log 2 1/8

Log4 16 + log3 27

1

0

-3

5

Реши уравнения

Lg2 x -2 lg x – 3 =0

Log½ ( 3x – 5 ) = -1Log 2 x + log2 (x -

3) = 2Log2 (2-x)- Log2 x=

Log2 x-2ответы

Ответы решения уравнений

1000; 0,1

4

;