Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие...
Post on 05-Jan-2016
150 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Последствия Последствия ошибок в ошибок в
спецификации спецификации моделеймоделей
Замещающие Замещающие переменныепеременные
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
Возможные ошибки спецификации модели:
1. Неправильный выбор вида уравнения регрессии
2. В уравнение регрессии включена лишняя (незначимая) переменная
3. В уравнении регрессии пропущена значимая переменная
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
1. Неправильный выбор вида функции в уравнении
Пусть на первом этапе была сделана спецификация модели в виде:
2u
2
10F
σx)|M(u
0x)|M(u
u)a,a(x;fy
(1.1)
в которой функция fF(x,a0,a1) выбрана не верно
Предположим, что yT=fT(x,a0,a1) – правильный вид функции регрессии
Тогда справедливо выражение:
0φ1010 xa,a,xa,a,x ff FT (1.2)
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
Из выражения (1.2) следует:
0φ1010
1010
xMa,a,xMa,a,xM
a,a,xa,a,xM
ffff
FT
FT (1,3)
Иными словами, математические ожидания эндогенной переменной, полученные с помощью функций fT и fF не совпадают, т.е. первая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова M(ulx)=0 не выполняется
Следовательно, в результате оценивания такой модели параметры а0 и а1 будут смещенными
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
Симптомы наличия ошибки спецификации первого типа:
1. Несоответствие диаграммы рассеяния, построенной по имеющейся выборке виду функции, принятой в спецификации
2. В динамических моделях длительно сохраняется знак у смежных (по номеру t уравнений наблюдений) значений оценок случайных возмущений
Именно этот симптом и улавливается статистикой DW Дарбина–Уотсона!
В силу данного обстоятельства тесту Дарбина–Уотсона в эконометрике придается большое значение.
Пример исправления ошибки Пример исправления ошибки первого типапервого типа
Задача. Построить модель относительной стоимости подержанных автомобилей фирмы Ситроен
Прода-жа
p %
Кол-тво лет
Прода-жа
p %
Кол-во
лет
Прода-жа
p %
Кол-во
лет
1 100 0 9 52 3 17 42 6
2 80 1 10 57 3 18 40 6
3 76 1 11 50 4 19 40 6
4 80 1 12 50 4 20 37 7
5 70 2 13 45 4 21 37 7
6 65 2 14 50 5 22 33 7
7 60 2 15 45 5 23 35 8
8 49 3 16 45 5 24 37 8
25 32 9
Пример исправления ошибки Пример исправления ошибки первого типапервого типа
441791870
455040462
933588276
2 .D.DW.R
...
ut..p
L
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
441791920
16480
0800070040
ε1130394
ε
1
2
1130
10
01
.D.DW.R
u.p
...
t..pln
taalnpln
)u(aap
u
t.
t
e
e
1. Линейная модель 2. Нелинейная модель
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
2. В уравнение регрессии включена лишняя переменная
Пусть на этапе спецификации в модель включена «лишняя» переменная, например, X2
2u21
2
21
22110
σx,x|uM
0x,x|uM
uxaxaay(2.1)
«Правильная» спецификация должна иметь вид:
2u1
2
1
110
σx|uM
0x|uM
uxaay(2.2)
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
Последствия:
1. Оценки параметров а0, а1, а2 останутся несмещенными, но потеряют свою эффективность (точность)
2. Увеличивается ошибка прогноза по модели
2,021,0100 xa~xa~a~y~
как за счет ошибок оценок коэффициентов и σu, так и за счет последнего слагаемого
Это особенно опасно при больших абсолютных значениях регрессора
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
Диагностика:
В моделях множественной регрессии необходимо для каждого коэффициента уравнения проверять статистическую гипотезу H0: ai=0
Вспомним, что для этого достаточно оценить дробь Стьюдента
2
22 a~S
a~t
и сравнить ее значение с критическим значением распределения Стьюдента, которое вычисляется по значению доверительной вероятности и значению степени свободы 2 = n – (k+1)
Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели
3. В модели не достает важной переменной
0xaxaaxaxaax|uM 22110221101
Последствия такие же, как и в первом случае: получаем смещенные оценки параметров модели.
Для устранения необходимо вернуться к изучению особенностей поведения экономического объекта, выявить опущенные переменные и дополнить ими модель
Вот тут и возникают неприятности!
Замещающие переменныеЗамещающие переменные
Проблемы в использовании переменных:
1. Не возможно получение данных по переменной
2. Не возможно измерить количественно переменную
Такие ситуации характерны для переменных социально-экономического характера (качество образования и т.п.)
Выход из ситуации – подбор переменной заместителя
Замещающие переменныеЗамещающие переменные
Определение. Переменные, которые вводятся в эконометрические модели вместо тех переменных, которые не поддаются измерению, называются замещающими.
Требование. Замещающая переменная должна коррелировать с переменной, которую она замещает.
Если Cor(x,xpr)=1, то xpr – называют совершенным регрессором
В качестве замещающей переменной часто используется время и лаговые переменные
Замещающие переменныеЗамещающие переменные
Пример. Рассмотрим модель связывающую расходы потребителей на питание (y) с личным располагаемым доходом (х) и относительной ценой продовольствия (р)
ε210 plogbxlogbbylog (4.1)
Предположим, что нет доступа к данным о располагаемом личном доходе (х)
Если эту переменную не учитывать, то оценки оставшихся параметров будут смещенными, а соответствующие тесты не корректны
Предположим, что log(x) имеет временной тренд
Замещающие переменныеЗамещающие переменные
Тогда уравнение (4.1) можно записать в виде:
ε320 tbplogbby
РегресРегрессорысоры
Оценки коэффициентовОценки коэффициентов
RR22
bb11 bb22 bb33
Log(x), Log(x), log(p)log(p)
0.640.64
(0.03)(0.03)
-0.48 -0.48 (0.12)(0.12)
0.990.99
Log(p), Log(p), tt
-0.47 -0.47 (0.13)(0.13)
0.023 0.023 (0.001)(0.001)
0.980.98
Log(p)Log(p) 2.04 2.04 (0.33)(0.33)
0.630.63
Замещающие переменныеЗамещающие переменные
uxa...xaxaay kk 22110
zX μλ1
В общем случае, пусть «правильная» модель:
Предположим, что х1 не доступна для наблюдений
Введем переменную z, которая связана с х1
(4.2)
где: λ и μ неизвестные коэффициенты
uxa...xazaaay kk 22110 μλ (4.4)
(4.3)
После оценки модели (4.4) нет формальной возможности получить значения λ, μ, а1
Проблемы с использованием Проблемы с использованием замещающих переменныхзамещающих переменных
Пример построения производственной функции Кобба-Дугласа
Индексы реального объема производства, в промышленности США в 1899-1922 гг.
Год Y K L Год Y K L
1899 100 100 100 1911 153 216 145
1900 101 107 105 1912 177 226 152
1901 112 114 110 1913 184 236 154
1902 122 122 118 1914 169 244 149
1903 124 131 123 1915 189 266 154
1904 122 138 116 1916 225 298 182
1905 143 149 125 1917 227 335 196
1906 152 163 133 1918 223 366 200
1907 151 176 138 1919 218 387 193
1908 126 185 121 1920 231 407 193
1909 155 198 140 1921 179 417 147
1910 159 208 144 1922 240 431 161
Спецификация модели
ε
11
1
10
110
1
011
L
KlnabL
Yln
ulnLlnaKlnaalnYln
uta
ta
aY
t
t
t
t
ttt
tt LK
1,32DW 0,56;R 1, 0,t
0,048 0,039 0,017 /LKln0,20070,02836/KYIn
2
ttttt ε
Оценка модели
[dL; dU] = [1,26; 1,44]
Проблемы с использованием Проблемы с использованием замещающих переменныхзамещающих переменных
Проверка адекватности моделиДля проверки адекватности взяты данные за 1922г (Y1922 = 240; K1922 = 431; L1922 = 161). Для этого вычисляем величины
0,0545q10,048S
0,29;q0,9847;)/L1n(Kx
0y
0192219220
0
и делаем точечный прогноз значения y0 = ln(Y1922 /L1922) = 0,399:
0,3786.Sy y0,0734;Syy00 y00y00 tt криткрит
~~
Критическое значение критерия Стьюдента tкрит(0.99,21)=2.8 Тогда доверительный интервал:
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
Модель оказалась не адекватной
Дальнейшие возможности:
- проверить возможность исключения незначимых параметров
-попытаться изменить вид модели
- исследовать возможность включения дополнительной переменной
Делаем все по порядку
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
0,048 0,039 0,017
/LKln0,20070,02836/KYIn ttttt ε
1. Проверка возможности исключения параметров
Проверяем статистическую гипотезу Н0: bi=0, tкрит(0.95,21)=2.1
126250390
201012671
0170
028360
σσ10
1
1
0
0..
.
.
b
b..
.
.
b
btttt криткрит
Вывод: b0=ln(a0)=0,следовательно, a0=1
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
Исследуется спецификация модели вида:
ε
1
1
111
L
KlnaL
Yln
uta
ta
Y
t
t
t
t
tt LK(5.2)
Оценка модели (5.2) по тем же данным есть:
1,26DW 0,51;R 1, 0,t
(0,050) (0,023) )/Lln(K0,2522)/KIn(Y
2
ttttt ε
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
Проверка адекватности модели (5.2)
Вновь вычисляются необходимые величины:
0,055q10,050S
0,21;q 0,9847;)/L1n(Kx
0y
0192219220
0
0,248.x0,2522)L/~
1n(Yy~ 0192219220
Сделаем точечную проверку адекватности для доверительных вероятностей 0.99 и 0.95 tкрит(0.99,21)=2.8, tкрит(0.95,21)=2.1
7420550
24803990
σ0
00
0.
.
..
y
y~yt
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
2. Введем дополнительную переменную
Модели (5.1) и (5.2) не учитывают влияние технического прогресса на уровень выпуска продукции
Учтем это влияние с помощью замещающей переменной t – время следующим образом
Введем переменную Et –эффективность единицы труда
Et зависит от квалификации, образования и др. личных качеств работников
Простейшая модель технологического процесса
tt gEE 10 (5.3)
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
С учетом технологического процесса спецификация модели принимает вид:
1, 0,t1;a0 0;a
)u(1LKeaY
10
ta-1
tat
ta0t
113
(5.4)
где: a3 = (1-a1) · ln(1+g) 0
В логарифмическом виде модель (5.4) имеет вид:
1, 0,tσt),L ,K|E(
0t),L ,K|E(ta)/Lln(Ka)1n(a)/Lln(Y
2ttt
2ttt
t3tt10tt
εε
ε
(5.5)
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
Оценка модели (5.5) по тем же данным приняла вид:
0,67R 1, 0,t
t0,0120)/Lln(K0,0940,0046)/Lln(Y
2
ttttt
(0,043) (0,0048) (0,12) (0,018)
ε
Из (5.6) легко видеть, что оценки коэффициентов b0=ln(a0) и а1 оказались незначимыми (гипотезы Н0:b0=0 и H0:a1=0 не отвергаются исходными данными)
Но это приводит к абсурду: можно не затрачивая ни капитал ни труд производить продукцию
(5.6)
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
Вопрос. Почему статистические данные «не пустили» в модель время как заместитель технического прогресса?
Ответ. Переменная К (капитальные затраты) так же являются функцией времени.
В результате введения в модель еще переменной времени привело к мультиколинеарности матрицы коэффициентов наблюдения (матрица Х)
Выражение
YTa xxxT 1
стало не устойчивым из-за неустойчивости обратной матрицы
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
Вывод. Последствием неаккуратного использования замещающих переменных приводит к нарушению обязательного условия МНК о не вырожденности матрицы коэффициентов уравнений наблюдений
При использовании замещающих переменных необходим предварительный анализ степени корреляции между экзогенными переменными
Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа
3. Проверка возможности изменить вид модели
Откажемся от жесткого условия линейной однородности (а1+а2=1) производственной функции
Тогда модель примет вид:
ulnLlnaKlnaalnYln
uta
ta
aY
ttt
tt LK1
1
210
021 (5.7)
Оценка модели (5.7) в конечном итоге получилась следующей:
9601 2810230 .RuLKy .t
.tt
top related