Динамический хаос
Post on 06-Jan-2016
47 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Динамический хаос
В.П. Крайновкафедра теоретической физики
МФТИ
19 октября 2005 г.
Содержание
• Обычный хаос: броуновское движение пылинки в воздухе
• Движение пылинки под действием стоячей звуковой волны в резонаторе
• Разреженный газ в сосуде со стенкой, дрожащей с высокой частотой
• Маятник Капицы в стохастическом режиме
1. Обычный хаос:броуновское движение пылинки в воздухе
( )xx
dum ku F tdt
k – коэффициент трения от сопротивления воздуха,F(t) – хаотическая сила от ударов быстрых молекул,ux – скорость пылинки вдоль оси X направления удара
2
( ) 0;
( ) ( ') ( ').
F t
F t F t F t t t
t – время корреляции (продолжительность одного удара)
0
1( ) exp ( ') ( ') '
t
xu t k t t F t dtm
Аналитическое решение:
22
0 0
22
2
( ) 0;
1( ) ' "exp 2 ' " ' " ;
( ) 1 exp 2 .2
x
t t
x
x
u t
u t dt dt kt k t t F t F tm
F tu t kt
km
Средние значения:
Пределы
Малые времена kt << 1:
Большие времена kt >> 1:
22
2( ) 2 ; ;
2x
F tu t D t D
m
D – коэффициент диффузии
22
2( ) const
2x
F tu
km
- стационарное броуновское движение
2. Движение пылинки под действием стоячей звуковой волны в резонаторе
Пылинка движется из-за давлениязвуковой волны вдоль оси X
Частота волны
Волновое число k
Система единиц:
m = k = = 1
x
резонатор
Возбуждение продольного звука в резонаторе
2
2cos sin ;
( 0) 0;
( 0) 0.
d xF x t
dtx t
dxt
dt
Уравнение Ньютона:
F – безразмерная амплитуда силы давления звука
0 100 200 300 400 500
100
200
300
400
x t( )
t
.
F = 0.5
(в периодах волны)
(в еди
ниц
ах дл
ины
вол
ны)
0 100 200 300 400 500
80
60
40
20
20
40
x t( )
t
.
F = 20
0 100 200 300 400 500
100
50
50
x t( )
t
.
F = 200
0 100 200 300 400 500
500
400
300
200
100
100
x t( )
t
.
F = 2000
3. Разреженный газ в сосуде со стенкой, дрожащей с высокой частотой
un
2a
L
Нет столкновений молекулдруг с другом
0( ) sinV t V t
0VL a
1 02 sinn n nu u V t
un+1
11
2n n
n
Lt t
u
Отображение Пуанкаре
1 0
11
2 sin ;
;
2 mod(2 ).
n n n
n nn
u u V
t
L
u
Возникновение динамического хаоса
1 1
1
n n n n
n n
K
- Коэффициент растяжения фазы;K < 1 – регулярное движениеK > 1 – хаотическое движение
02
2
n
LVK
u
Для примера газа в объеме с колеблющейся стенкой:
Диффузия скорости молекулы
22 2 2 21 0 04 sin 2n n nu u u V V
2Lt
u
2
20
( ) ;
( )
u D u t
VD u u
L
D – нелинейный коэффициент диффузии
20
0( ) ; 12
Vu t u t K
L max 0 02u LV V
3/ 2 1/ 2
0 max 0
1 2 2 1 2 1D
L L Lt
V u V
Время диффузионного набора скорости молекулы (нагрева газа)
t > tD – регулярное движение с прекращением набора скорости (K < 1)
0
0
0max
2;
2 sin ;
sin ;
( ) exp cos
Ldt
udu V t
V udut
dt LV
u t u tL
4. Маятник Капицы в стохастическом режиме
cosa t
L
0
0 /
a L
g L
Уравнение Ньютона в неустойчивом режиме:
22
2sin sin cos
dmL mg ma t
dt
Умножаем на d/dt и интегрируем по времени, получаем изменение энергии маятника
2 sin cosd
E MaL t dtdt
0
0
2
cosh
td
dt t
0 2L a
верхнееположениемаятникаустойчиво к малымколебаниям!
0 2L a
1
4
20 0
10 1
sin ;
4exp ;
2
1 32ln .
| |
n n n
n nn
E E E F t
MaLF
MgLt t
E MgL
0
tn
E MgL
∙
Изменение энергии за одно колебаниеэкспоненциально мало:
Отображение Пуанкаре
1
10 1
sin ;
32ln ;
| |
n n n
n nn
n n
E E F
MgL
E MgL
t
Условие стохастического режима для коэффициента растяжения фазы:
0 1
1.| |n
FK
E MgL
Диффузия энергии маятника
2
20
( ) 2 ;
.32
4ln| |
E D t
FD
MgLE MgL
Вывод: в окрестности верхней точки неустойчивого равновесия с течением времени маятник Капицы медленно уходит от нее(по диффузионному закону, а не равномерно!)либо в сторону колебаний, либо вращений – в зависимости отначального значения энергии E < MgL или E > MgL.
Заключение
• Для реализации динамического хаоса при классическом движении свободной или связанной в потенциале частицы под действием периодического возмущения необходимы два условия:
• 1. Суммарная сила, действующая на частицу, должна быть нелинейной
• 2. Амплитуда возмущения должна быть достаточно сильной
top related