Фадеев С.И. Лекции по спец. курсу
Post on 08-Jan-2016
90 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1
Фадеев С.И.Лекции по спец. курсу
Нелинейные краевые задачи
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
на конечном отрезке.
2
Нелинейные эффекты, моделируемые нелинейными
краевыми задачами
ВВЕДЕНИЕ
3
ТЕМА 1.
Формулировки нелинейных краевых задач. О проблемах их
численного анализа
4
Формулировка нелинейной краевой задачи для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
5
Формулировка нелинейной краевой задачи для дифференциального
уравнения высокого порядка
6
Исследование нелинейной краевой задачи
как вычислительный эксперимент
7
О численных методах исследования краевых задач
8
Геометрическая интерпретация решения краевой задачи в зависимости от
параметра
Формулировка краевой задачи с параметром q.
Система уравнений: 0<=x<=1, dy/dx = u, du/dx = - q/(1-y)^2. Краевые условия: u(o) = y(1) = 0. При 0< q < .35
краевая задача имеет два решения. При q > .35 решений нет.
График гладкой поверхности S в пространстве (x, y, q), состоящей из графиков решений краевой задачи.
9
Исследование предельных циклов
как краевая задача
10
ТЕМА 2.
Иллюстрации нелинейных эффектов
на примерах, имеющих точное решение.
11
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОКОЕ РЕЛЕ Простейшая модель
Уравнение движения:
Обозначения:
12
Уравнение движения
13
Множественность стационарных решений
14
Устойчивость стационарных решений
15
Параметры гистерезиса
16
Диаграмма стационарных решений
При q < qMAX – два решения: асимптотически устойчивое (yS < 1/3), и неустойчивое (уC>1/3). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = 1/3). При q > qMAX стационарные решения не существуют.
17
2. МОДЕЛЬ ПЛЕНОЧНОГО ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО РЕЛЕ
18
Формулы точного решения краевой задачи
19
Графики решений краевой задачи
в зависимости от параметра
Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).
20
Диаграмма стационарных решений.
При q < qMAX – два решения: асимптотически устойчивое (yS < .3883), и неустойчивое (уC>.3883). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = .3883). При q > qMAX стационарные решения не существуют.
График зависимости q = q(y0), y0 = y(0).
21
Устойчивость стационарных решений.
Физическая интерпретация диаграммы.
22
3. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Плоский сосуд
23
Графики решений краевой задачи
в зависимости от параметра
Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).
24
Диаграмма стационарных решений
Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.
25
Физическая интерпретация диаграммы
стационарных решений
26
4. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО
ВЗРЫВА Цилиндрический сосуд
27
Графики решений краевой задачив зависимости от параметра
Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).
28
Диаграмма стационарных решений
Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.
29
5. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Модифицированная постановка задачи
30
Диаграмма стационарных решений
Множественность
стационарных решений
в областях изменения
параметра q, границы
которых определяются
значениями q в точках
поворота, где q = .877
и q = 1.162 :
при 0 < q < .877 - 1 решение;
при .877 < q < 1.162 - 3 решения;
при q > 1.162 – 1 решение. Три стационарных решения при q=1. На рисунке y0 = y(0).
31
Гистерезис и устойчивость
Устойчивость стационарных
решений при движении с
ростом y0 по диаграмме:
0 < q < 1.162 , 0 < y0 < 2.354 -
1.162 > q > .877, 2.354 < y0 < 15.41 -
асимптотичекая устойчивость;
неустойчивость;
q > .877, y0 > 15.41 -
асимптотическая устойчивость.
Значения q в точках поворота являются параметрами гистерезиса.
32
Описание параметров гистерезиса.
33
Линейные краевые задачи
РАЗДЕЛ 1
34
ТЕМА 1.
Существование и единственность решения линейной краевой
задачи. Интегральное представление решения.
35
Существование и единственность решения.
36
Интегральное представление решения
*)Заметим, что разрешимость краевой задачи не зависит от выбора Ф.М.Р.
37
Матричные функции Грина
38
Матричные функции Грина
(продолжение)
39
ТЕМА 2.
Частные случаи задания
краевых условий
40
1.Задача Коши как частный случай краевой задачи.
41
2. Разделенные краевые условия
42
Краевые условия периодичности
43
Краевые условия периодичности (продолжение 1)
44
Краевые условия периодичности (продолжение 2)
45
ТЕМА 3.
Краевая задача для линейного дифференциального
уравнения высокого порядка
46
Эквивалентные формулировки краевой
задачи
47
Эквивалентные формулировки краевой
задачи (продолжение)
48
Условия, определяющие функции Грина.
49
Условия, определяющие функции Грина.
(продолжение 1)
50
Условия, определяющие функции Грина.
(продолжение 2)
Замечание. Рассмотрение частных случаев задания краевых условий (14) по аналогии с Темой 2 предоставляется читателю.
51
Функция Грина и примерыпредставления нелинейной
краевой задачи в виде нелинейного
интегрального уравнения.
ТЕМА 4.
52
Формулировка нелинейного интегрального уравнения.
53
Пример1. Нелинейное интегральное уравнение модели пленочного электростатического реле
54
Пример 2. Нелинейное интегральное уравнение модели теплового взрыва.
55
Пример 3. Нелинейное интегральное уравнение
модели пленочного электростатического реле
с учетом жесткости подвижного электрода.
56
Непрерывная зависимость решения краевой
задачи
ТЕМА 5.
57
Теорема 1.О разрешимости возмущенной краевой
задачи.
58
Непрерывная зависимость решения краевой задачи.Доказательство
Теоремы 1(продолжение 1)
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 1).
59
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 2).
60
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 3).
61
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 4).
62
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 5).
63
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 6).
64
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 7).
65
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 8).
66
Теорема 2О непрерывной зависимости решения краевой
задачи
67
Доказательство Теоремы 2 (завершение)
68
Численные методы решения краевых задач
РАЗДЕЛ 2
69
О численном решении линейных краевых
задач.
ТЕМА 1.
70
Метод «стрельбы».
71
Метод «стрельбы» (продолжение).
72
Метод «стрельбы». Пример «сплющивания» базисных решений.
73
Метод «стрельбы». Пример «сплющивания» базисных решений (продолжение).
74
Метод «множественной стрельбы»(метод ортогональных прогонок).
75
Метод «множественной стрельбы»Прямой ход прогонки
76
Метод «множественной стрельбы»Обратный ход прогонки
77
ТЕМА 2.
О численном решении нелинейных краевых
задач.
78
Метод Ньютона (метод квазилинеаризации). Хорошая обусловленность нелинейной краевой
задачи.
79
Хорошая обусловленность нелинейной краевой задачи(продолжение)
80
Понятие ОМЕГА-окрестности решения.
81
Теорема о сходимости метода Ньютона
82
Доказательство Теоремы о сходимости
83
Доказательство Теоремы о сходимости(продолжение 1)
84
Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 2)
85
Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 3)
86
Доказательство Теоремы о сходимости
(продолжение 4)
87
ТЕМА 3.
Метод множественной стрельбы
для численного решения
нелинейной краевой задачи.
88
Метод стрельбы
89
Метод множественной стрельбы
90
Метод множественной стрельбы(продолжение 1)
91
Метод множественной стрельбы(продолжение 2)
92
ТЕМА 4.
Метод Ньютона
для численного решения систем нелинейных уравнений
93
Теорема о сходимости метода Ньютона для численного решения систем
нелинейных уравнений
94
Доказательство леммы
95
Доказательство теоремы
Изложение метода Ньютона для решениия систем нелинейных уравнений замыкает описание метода множественной стрельбы для решения нелинейной краевой залачи
96
Замечание к методу Ньютона
97
Численное исследование систем нелинейных уравнений Метод продолжения решения
по параметру
РАЗДЕЛ 3
98
Общее положение
99
ТЕМА 1.
Метод продолжения по параметру, основанный на параметризации.
100
Теорема о неявной функции
101
Равноправие аргументов
102
Решение системы нелинейных уравнений как задача Коши
103
Решение системы нелинейных уравнений как задача Коши
(продолжение)
104
Пример пространственной кривой S,
определяемой из системы 2-х уравнений с параметром q
Система уравнений :
3x1 – x2 - 4 = 04sin(x1-2)-q+10 = 0где q – параметр, 6 <= q <= 10 Графики проекций пространственной кривой S
иллюстрируют множественность решений
105
Параметризация
106
Параметризация(продолжение)
107
Задание начального приближения
108
Адаптация шага по текущему параметру
109
Завершение процесса продолжения по
параметру
110
Пример применения метода продолжения по параметру
Графики компонент системы
Система уравнений : 3x1 – x2 - 4 = 04sin(x1-2)-q+10 = 0где q – параметр, 6 <= q <= 10
111
Продолжение решения по параметру как численный эксперимент
112
ТЕМА 2.
Продолжение решения системы нелинейных
уравнений как задача Коши.
113
Задача Коши с использованием параметризации
114
Метод Кубичека
115
Метод Кубичека (продолжение)
116
Схема вычислений по методу Кубичека
117
Замечание к использованию задачи Коши в методе
продолжения по параметру.
118
Численное исследование нелинейных краевых задач.
Метод продолжения решения по параметру
РАЗДЕЛ 4
119
ТЕМА 1.
Продолжение решения по параметру в методе
множественной cтрельбы
120
Линейная краевая задача, определяющая производную решения по параметру.
121
Система нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения
нелинейной краевой задачи
122
Серия задач Коши, необходимая для организации
продолжения решения по параметру
123
Серия задач Коши, необходимая для организации
продолжения решения по параметру (продолжение 1).
124
Серия задач Коши, необходимая для организации
продолжения решения по параметру (продолжение
2).
125
Серия задач Коши, необходимая для организации
продолжения решения по параметру (продолжение
3).
126
Завершение описания алгоритмапродолжения решения по параметру
127
ТЕМА 2.
Дискретная модель нелинейной краевой
задачи, основанная на сплайн-коллокации.
128
Определение сплайна
129
Условие коллокации
130
Дискретная модель нелинейной краевой
задачи
131
Матрица производных
132
Замечания
133
ТЕМА 3.
Адаптация сетки
134
Определение узлов сетки в задаче интерполяции сплайном
с заданной точностью.
135
Условие определения узлов сетки в дискретной модели краевой
задачи.
136
Алгоритм адаптации сетки
137
Схема определения узлов сетки при равномерном распределении
погрешности
138
Определение параметров
интерполяционного эрмитова сплайна 5-ой степени.
139
Завершение описания адаптации сетки.
140
Заключение
141
ТЕМА 3.
Дискретнные модели нелинейных интегральных
уравнений.
142
Формулировка нелинейного
интегрального уравнения
143
Интерполяционный
кубический сплайн
144
Определение параметров сплайна.
145
Дискретная модель интегрального уравнения
146
Вычисление коэффициентов
дискретной модели
147
ТЕМА 4.
Примеры численного
исследования нелинейных краевых задач1. Модель пленочного электростатического реле
2. Модель каталитического реактора
3. Осцилятор Ван дер Поля.
148
1. Модель пленочного электростатического
реле.
149
Модель пленочного электростатического
реле.(продолжение)
Рис.1. Первое решение краевой задачи при q = 2
150
Модель пленочного электростатического реле.
(продолжение)
Рис.2. Второе решение краевой задачи при q = 2
151
Модель пленочного электростатического реле
(продолжение)
Рис.3. Диаграмма множественности решений. График
зависимости y1(0) от параметра q.
152
2. Модель каталитического реактора
153
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.4. Первое решение краевой задачи при q = 200
154
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.5. Второе решение краевой задачи при q = 200
155
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.6. Третье решение краевой задачи при q = 200
156
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.7. Четвертое решение краевой задачи при q = 200
157
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.8. Пятое решение краевой задачи при q = 200
158
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.9. Диаграмма множественности решений. Грaфики
зависимостей y1(1) и y3(1) от параметра q
159
3. Осцилятор Ван дер Поля
160
Осцилятор Ван дер Поля(продолжение)
Рис.10. Предельный цикл при q = 5
161
Осцилятор Ван дер Поля (продолжение)
Рис.11. Предельный цикл при q=15
162
Осцилятор Ван дер Поля(продолжение)
Рис.12. Диаграмма множественности решений. Зависимость амплитуды колебаний и периода от параметра q
163
ЛИТЕРАТУРА
164
ЛИТЕРАТУРА
top related