新昌县城关中学 陈芳英
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新昌县城关中学 陈芳英
A
B C
D
E
C
E
DA B
A
B E C
D
C
E
D
A B
教学内容• 教学内容是从八年级上册第二章特殊三
角形的第 50 页第 12 题引入,归纳出两个相似直角三角形构成的基本图形,例举了这个基本图形在折叠、动态几何等问题中的应用,并将此基本图形进行了拓展。 A
B C
D
E
C
E
DA B
A
B E C
D
教学目标能运用相似三角形的判定方法判断两个直角三角形相似;在理解基本图形的基础上,学会在折叠、测量等问题中应
用基本图形并能进行拓展;通过对基本图形的应用与拓展,培养学生独立思考的习惯,
发展学生的探究意识,提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。
教学重点:会将基本图形在折叠、动态几何、几何实际问题等问题中加以应用
教学难点:在复杂的图形中分解出基本图形和基本图形的拓展
如图, AD∥BC,∠ A=900 , E是 AB上一点,且 AE=BC,∠ 1=∠2,
(1)Rt△ADE与 Rt△BEC全等吗?请说明理由;
(2)△CDE是不是直角三角形?请说明理由 .
教材八年级上册第 50 页第 12 题
A
B C
D
E
1
2
A
B C
D
E
C
E
D
AB
A
B C
D
E
例 1 如图,折叠矩形 ABCD 的一边 CD ,使点 D 落在 AB 边的点 E 处, CF为折痕。已知 ,且 tan∠FEA=3/4 .
(1) △BCE 与△ AEF 有什么关系?
(2) 求矩形 ABCD 的周长。
5 5CE
C
AB
D
E
F
例 2 ( 08 宁波)如图 1 ,把一张标准纸一次又一次对开,得到“ 2 开”纸、“ 4 开”纸、“ 8 开”纸、“ 16 开”纸….已知标准纸的短边长为 a .
( 1 )如图 2 ,把这张标准纸对开得到的“ 16 开”张纸按如下步骤折叠:
第一步 将矩形的短边 AB 与长边 AD 对齐折叠,点 B 落在 AD 上的点 B’ 处,铺平后得折痕 AE ;第二步 将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠,点 B 正好与点 E重合,铺平后得折痕 AF .则 AD:AB 的值是 ,AD,AB 的长分别是 , .
( 2 )“ 2 开”纸、“ 4 开”纸、“ 8 开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值.
( 3 )如图 3 ,由 8 个大小相等的小正方形构成“ L” 型图案,它的四个顶点 E,F,G,H 分别在“ 16 开”纸的边 AB,BC,CD,DA 上,求 DG 的长.
( 4 )已知梯形 MNPQ 中 ,MN∥PQ ,∠ M=900 , MN=MQ=2PQ ,且四个顶点 M,N,P,Q 都在“ 4 开”纸的边上,请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积
A
B C
D
B C
A DE
G
H
F
F
E
B’
( 3 )如图 3 ,由 8 个大小相等的小正方形构成“ L” 型图案,它的四个顶点 E,F,G,H 分别在“ 16 开”纸的边 AB,BC,CD,DA 上,求 DG 的长.( 4 )已知梯形 MNPQ 中 ,MN∥PQ ,∠ M=900 ,MN=MQ=2PQ ,且四个顶点 M,N,P,Q 都在“ 4开”纸的边上,请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积
B C
A DE
G
H
F
a/4
√2a/4
DG:CF=HG:FG
例 2 如图,在笔直的公路 l 的同侧有 A , B 两个村庄,已知 A , B 两村分别到公路的距离 AC=3 千米, BD=4千米。
( 1 ) 现要在公路上建一个汽车站 P ,使该车站到 A , B 两村的距离相等,试用直尺和圆规在图中作出点 P (不写作法,保留作图痕迹);
( 2 ) 若连接 AP , BP ,测得∠ APB=900 ,求A 村到车站 P 的距离。
C D
A
B
lP
例 3 ( 06武汉)已知:将一副三角板( Rt△ABC和 Rt△DEF )如图 1摆放,点 E 、 A 、 D 、 B 在一条直线上,且 D 是 AB 的中点。将 Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角 α( 00<α<900 ) , 在旋转过程中 , 直线 DE 、 AC 相交于点 M ,直线 DF 、 BC 相交于点 N ,分别过点 M 、 N作直线 AB 的垂线,垂足为 G 、 H 。
E A DB
CF
图 1
A B
CEF
DG
M
H图 2
A
C
BG D H
M N
FE
图 3B
A DG H
CE
FM N
图4
( 1 )当α=300时(如图 2 ),求证: AG=DH ;( 2 )当α=600时(如图 3 ),( 1 )中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由;( 3 )当 00<α<900时,( 1 )中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图 4说明理由 .
例 4 ( 04南京)如图, AB⊥BC , DC⊥BC ,垂足分别为 B 、 C.
( 1 )当 AB=4 , DC=1 , BC=4时,在线段 BC 上是否存在点 P ,
使 AP⊥PD ?如果存在,求出线段 BP的长;如果不存在,请说明理由。
( 2 )设 AB=a , DC=b, AD=c,那么当 a 、 b、 c之间满足什么关系时,
在直线 BC 上存在点 P ,使 AP⊥PD ?
A
B C
D
P
例 1 ( 08莆田)阅读理解:如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中, AB CD∥ ,∠ B=900 ,点 P 在 BC 边上,当 ∠ APD=900时,易证△ ABP PCD∽△ ,从而得到 BP﹒PC=AB﹒CD. 解答下列问题:
( 1 )模型探究:如图 2 ,在四边形 ABCD 中,点 P 在 BC 边上,当∠B= C= APD∠ ∠ 时,求证: BP﹒PC=AB﹒CD.
( 2 )拓展应用:如图 3 ,在四边形 ABCD 中, AB=4 , BC=10 , CD=6 ,∠ B= C=60∠ 0 , AO BC⊥ 于点 O ,以 O 为原点,以 BC所在直线为 x轴,建立平面直角坐标系,点 P 为线段 OC 上一动点(不与端点 O 、C 重合) .
①当∠ APD=600时,点 P 的坐标;
②过点 P作 PE PD⊥ ,交 y轴于点 E ,设 OP=x , OE=y 求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围 .D
P
A
B C
图1
y
A
P C
D
B x
图 3
A
B P C
D
图 2
阅读理解:如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD ,∠ B=900 ,点 P 在 BC 边上,当 ∠ APD=900时,易证△ ABP∽△PCD ,从而得到 BP﹒PC=AB﹒CD
D
P
A
BC
图 1
( 1 )模型探究:如图 2 ,在四边形 ABCD 中,点 P 在 BC 边上,当∠ B=∠C=∠APD时,求证: BP﹒PC=AB﹒CD.
A
B PC
D
图 2
( 2 )拓展应用:如图 3 ,在四边形 ABCD 中, AB=4 , BC=10 , CD=6 ,∠ B=∠C=600 , AO⊥BC于点 O,以 O为原点,以 BC所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,点 P 为线段OC 上一动点(不与端点 O、 C 重合) .①当∠ APD=600时,点 P 的坐标;②过点 P作 PE⊥PD ,交 y轴于点 E ,设OP=x, OE=y求 y与 x的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围 .
y
A
P C
D
B x
图 3
例 2 ( 08金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 , 点 P 处放一水平的平面镜 ,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处,已知 AB⊥BD , CD⊥BD ,且测得 AB=1.2米, BP=1.8 米, PD=12 米, 那么该古城墙的高度是( )
A 、 6 米 B 、 8 米 C 、 18 米 D 、 24 米C
E
D
AB
1
2
321
变式 2 :如图所示,已知正方形 ABCD ,
E 是 AB 的中点, F 是 AD 上的一点,
EG⊥CF ,且 AF=1/4 AD ,
求证:( 1 ) CE 平分∠ BCF ;
( 2 ) AB2=CG · FG.
A
B C
D
E
F
G
A
B
C
DP
变式 1 :一只小鸟从高为 3 米的电线杆 AB 的顶端飞到地面
BD 的中点 P 处觅食 ,再飞到一高为 12 米的建筑物 CD 顶端 , 求小鸟飞过的路长 .
1. ( 08金华)如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB 是等边三角形 , 点 A 的坐标是( 0 , 4 ),点 B在第一象限,点 P 是 x 轴上的一个动点,连结 AP ,并把△ AOP绕着点 A 按逆时针方向旋转,使边 AO与 AB 重合,得到△ ABD. ( 1 )求直线 AB 的解析式;( 2 )当点 P 运动到点( ,0 )时,求此时 DP 的长及点 D 的坐标;( 3 )是否存在点 P, 使△ OPD 的面积等于 , 若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由
33
4
2. ( 08义乌)如图 1所示,直角梯形 OABC 的顶点 A 、C 分别在 y 轴正半轴与 轴负半轴上 . 过点 B 、 C作直线 .将直线 平移,平移后的直线 与 x 轴交于点 D ,与 轴交于点 E .( 1 )将直线 向右平移,设平移距离 CD 为 t (t 0) ,直角梯形 OABC被直线 扫过的面积(图中阴影部份)为 s, s关于 t 的函数图象如图 2所示, OM 为线段, MN 为抛物线的一部分, NQ 为射线, N 点横坐标为 4 .①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积;②当 2<t<4时,求 S关于 t 的函数解析式;( 2 )在第( 1 )题的条件下,当直线 向左或向右平移时(包括 与直线 BC 重合),在直线 AB 上是否存在点 P ,使 ΔPDE 为等腰直角三角形 ?若存在,请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 ;若不存在,请说明理由。
通过本节课的学习,你有哪些收获?(知识方面、能力方面、情感方面)
C
E
D
AB
A
B C
D
E
A
B E C
DC
E
D
A B
1.完成本堂课中没有详细解答的例题;2. 如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC ,顶点 D , C 分别在 AM , BN 上运动 ( 点 D 不与 A 重合,点 C 不与 B 重合 ) ,E 是 AB 上的动点 ( 点 E 不与 A , B 重合 ) ,在运动过程中始终保持 DE⊥CE ,且 AD+DE=AB=a 。( 1 )求证:△ ADE∽△BEC ;( 2 )当点 E 为 AB 边的中点时 ( 如图 2) ,求证:① AD+BC=CD ;② DE , CE 分别平分∠ ADC ,∠ BCD ;( 3 )设 AE=m,请探究:△ BEC 的周长是否与m值有关,若有关请用含m的代数式表示△ BEC 的周长;若无关请说明理由。
3.仿照本堂课请你寻找出一些基本图形。
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