חישוב שדה חשמלי על ציר הסימטריה של טבעת טעונה
Post on 11-Jan-2016
86 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
חישוב שדה חשמלי על ציר הסימטריה של טבעת טעונה
, הטעונה aנתונה טבעת מעגלית, בעלת רדיוס .Qבאופן אחיד במטען חיובי +
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
.xציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר
a
x
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של ממרכז הטבעת.x הטבעת כפונקציה של המרחק
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי, עלינו לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות
מאוד, כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+dq הנו dqהמטען
המטען ביחידת האורך הקטנה.
נוכל לראות את הטבעת כאוסף של מטענים נקודתיים שגודלם
dq
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq על השדה במרחק x.ממישור הטבעת
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+dq
elcdE
נוסף הנמצא dqעכשיו נתבונן על מטען נקודתי בדיוק מול המטען הראשון.
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+dq
(1)elcdE
בנקודה השדה על משפיע הוא גם
(2)elcdE
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה, נקבל כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען. לכן נקבל כי בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים
והשדה השקול שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה לכיוון החיובי, כמתואר בתרשים.xמכוון על ציר
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+dq
(1)elcdE
(2)elcdE
1 2 2elc elc XdE dE dE
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
total XE dE
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב .Xהשדה בציר
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+dq
elcdE
( ) coselc x elcdE dE
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
x
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
2 2 2elc
dq dqdE K K
r x a
x
2 2r x a
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
2 2cos
x
x a
x
2 2r x a
x
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב שתורם אלמנט מטען אחד.xהשדה בכיוון ציר
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+dq
( )elc xdE
( ) 2 2 2 2 1.52 2 ( )elc x
dq x dqdE K K x
x a x ax a
x
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
( ) 2 2 1.5( )
( )total elc x
dqE dE K x
x a
x
( )total elc xE dE
את כל הקבועים ניתן להוציא כגורם
משותף
a
Q
+
++
++
+
++ +
+
2 2 1.5( )total
xE K dq
x a
2 2 1.5
2 2 1.5
( )
( )
total
total
xE K dq
x a
QxE K
x a
נשאר לסכום את אלמנטי המטען
שסכומם נותן את מטען הטבעת
x
( )total elc xE dEa
Q
+
++
++
+
++ +
+
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ממישור הטבעת.Xציר הסימטריה שלה, במרחק
, חיובי או שליליxקשר זה נכון לכל
2 2 1.5( )total
QxE K
x a
x
( )total elc xE dEa
Q
+
++
++
+
++ +
+
x=0מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר E=0מתקבל
2 2 1.5( )total
QxE K
x a
xa
Q
+
++
++
+
++ +
+
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
2 2 1.5( )total
QxE K
x a
totalE
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
totalE
X
2 2 1.5( )total
QxE K
x a
2 2 1.5( )
QxE K
x a
2 2 1.5 2 2 0.5
2 2 3
2 2 0.5 2 2
2 2 3
( ) ( ) 3
( )
( ) ( 2 )
( )
Q x a x x a xE K
x a
Q x a a xE K
x a
נגזרת של מנה
2 2 0.5 2 2
2 2 3
( ) ( 2 )0
( )
2
22
Q x a a xE K
x a
ax a
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת הפונקציה ערך מכסימלי
totalE
X
2 2 1.5( )total
QxE K
x a
2
2x a
2
2x a
2 2 1.5( )total
QxE K
x a
(אבל לא שואף לאינסוף).x>>aכאשר
2 2 2x a x
2x a
QE K
x
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו את השדה של
מטען נקודתי, כלומר במרחק רב מהטבעת נוכל להתייחס אליה
כמטען נקודתי "המרוכז" במרכזה.
a
Q
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
totalE
X
The end
top related