פיתוח מודל ביו-מתמטי לחקר התפשטות מגיפת שפעת ...

פיתוח מודל ביו-מתמטי לחקר התפשטות מגיפת שפעת

פנדמית בישראל

טל נאוייעל מזרחי

מנחה: ד"ר עמית הופרטאוניברסיטת בר אילן

מגיפה פנדמית

מגיפה פנדמית הינה מגיפה כלל עולמית העלולה להיגרם

Aמנגיף השפעת מסוג התוקף יונקים ועופות.

כיצד נוצרת מגיפה פנדמית?

נגיף שפעת יונקים או עופות עלול לעבור מודיפיקציה ע"י החלפת מידע גנטי עם נגיף שפעת אדם. מדענים

סוברים כי נגד זן זה של שפעת לאדם אין חיסון טבעי, ומשום כך, כאשר נגיף זה מפתח יכולת מעבר מאדם

לאדם עלולה להיווצר המגפה.

חשיבות התחום

כיום, אנו נמצאים בעיצומה של שפעת פנדמית. לכל מדינה חשוב שתהיה תכנית כיצד להתמודד עימה באופן מתאים. לשם כך יש להבין כיצד הווירוס יתפשט באוכלוסיה,

ע"פ פרמטרים דמוגרפיים כגון גודל האוכלוסייה, התפלגות הגילאים והרשתות החברתיות בה.

מטרות הפרוייקט

שמדמה את האוכלוסיה agent based יצירת מודל •בישראל והבנת חשיבות הפרמטרים.

בחינת דרכי היערכות אופטימלית לשפעת פנדמית.•תוצאות הסימולציה יעזרו למקבלי החלטות להגיע •

להחלטות מושכלות יותר על סמך תוצאות מתמטיות המתאימות לאוכלוסיית ישראל.

היררכיית המודלים

מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי)

מודל רשת (התפלגות פואסון)

Scale Free(מודל רשת (התפלגות

מודל רשת מורכבת

מודל דטרמינסטי

מודל מרחבי פשוט

SIRמודל דטרמיניסטי

Time (days)

Peo

ple

S (Susceptible) I (Infected) R (Recovered)

1927 משנת Kermack-McKendrick של SIRמודל ה-

SIRהתפשטות מגיפה במודל ה – הדטרמיניסטי

S0 מספר התחלתי של אנשים שהם) - Susceptible הוא הקובע את עוצמת ( – לא תתפרץ מגיפה. S0 המגיפה. מתחת לערך סף מסויים של

ככל שגבוה יותר – המגיפה תתפרץ מהר יותר. R0 - the basic reproductive number מספר האנשים בממוצע שאדם -

Infected .(חולה) מדביק במשך זמן מחלתו

תתפרץ מגיפה.R0 > 1 כאשר

Reff - "Rאפקטיבי" – מספר האנשים הממוצע שידביק חולה באוכלוסיה

תתפרץ מגיפה.Reff >1כאשר Reff = R0S0 מחוסנת חלקית. N

היררכיית המודלים

מודל רשת (התפלגות פואסון)

Scale Free(מודל רשת (התפלגות

מודל רשת מורכבת

מודל דטרמינסטי

מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי)

מודל מרחבי פשוט

מודל סטוכסטי

הוא מודל פשוט וניתן לעשות לו אנליזה מתמטית. אך קיימות לו מודל דטרמיניסטי מספר מגבלות ביניהן אי התייחסות לאירועים אקראיים, ולכן יש לבנות מודל סטוכסטי.

או אקראי, הינו תהליך שהתפתחותו תלויה בגורמים מקריים, כלומר תהליך סטוכסטי ,שממצב התחלתי נתון של המערכת - קיימים מספר מצבים שונים אליהם יכולה המערכת

להגיע, בניגוד לתהליך דטרמיניסטי בו כל מצב התחלתי מסוים יתפתח בהכרח למצב מסוים אחר.

למודל סטוכסטי ע"פ אלגוריתם גילספיSIR השוואה בין מודל דטרמיניסטי של

מודל סטוכסטי

ההנחה במודל זה הוא שהאירועים מרחשים באופן רנדומלי, כלומר אירועים אקראיים, סטוכסטים.

Dan Gillespie שפותח ע"י Gillespie המודל הסטוכסטי מתבסס על אלגוריתם

ומייצר תוצאה אפשרית של משוואה סטוכסטית. 1977 ב –

ע"פ המודל, בכל שלב יש סיכוי שונה שתתרחש הדבקה או החלמה.

היררכיית המודלים

מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי)

Scale Free(מודל רשת (התפלגות

מודל רשת מורכבת

מודל דטרמינסטי

מודל רשת (התפלגות פואסון)

מודל מרחבי פשוט

רשתות חברתיות

היא קבוצה של אנשים שמתקיים ביניהם קשר. רשתות רשת חברתית חברתיות כוללות קבוצות של חברים, משפחות, איגודים מקצועיים ועוד.

(מושג מתורת הרשתות), כאשר גרףניתן להתייחס לרשת חברתית כאל כל צומת הוא אדם וכל קשת היא קשר בין שני בני אדם.

– מספר הקשתות המקושרות לצומת מסויים. דרגה של צומת

מודל רשת בה הקשרים מתפלגים פואסון

אינו משקף מציאות בה באוכלוסיה ישנם קשרים ואינטרקציות, ולכן Gillespie מודל ה – יש לבנות מודל עם רשת.

לכן יש ליצור רשת קשרים רנדומלית, שהתפלגות הדרגה בה אחידה, התפלגות פואסון. .1959 ב – Erdős–Rényi המודל הקלאסי של גרפים רנדומלים הוצג לראשונה ע"י

הנחות למודל רשת בה הקשרים מתפלגים פואסון

.באוכלוסיה יש קשרים אקראיים בין הפרטים -הזמן בדיד. (גם את המודל הדטרמיניסטי והGillespie ניתן לעשות בזמן

בדיד)..זמן המחלה קבוע. בשל סיבה זאת מתבצעת החלמה לאחר הדבקה .האוכלוסיה מתחלקת לגילאים.לכל גיל סיכוי הדבקה שונה המשתנה במשך תקופת המחלה

חלוקה לקבוצות גיל במודל הרשת

חלוקה לקבוצות גיל

14.8

8.18

19.52

58.8

0-4

5-19

20-64

65+

הנתונים לקוחים

מלמ"ס

היררכיית המודלים

מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי)

מודל רשת (התפלגות פואסון)

מודל רשת מורכבת

מודל דטרמינסטי

Scale Free(מודל רשת (התפלגות

מודל מרחבי פשוט

scale freeמודל רשת בה הקשרים מתפלגים

") אינן מתפלגת רנדומלית, אלא real world רשתות חברתיות אמיתיות ("

בעלות שאינה אחידה. scale free התפלגות

.”hubs“ לפרטים מסויימים יש יותר קשרים מאחרים – פרטים אלו נקראים הוצג power law המתפלגים scale free המודל המקובל הבסיסי של גרפים

.preferential attachment, ע"פ אלגוריתם של siáBarab ע"י 1999 ב – מספר האנשים שאדם פוגש ביום נקבע לפי הדרגה שלו.

scaleהנחות למודל רשת בהתפלגות free

.מספר האנשים שאדם פוגש ביום נקבע לפי הדרגה שלו.יש דרגה מקסימלית של קשרים לאדם

התפלגות דרגה במודל רשת Scale free באוכלוסיה של 10,000

1

10

100

1000

10000

1 10 100 1000

דרגה בסקלה לוגריתמית

ה רג

דת

רודי

ת

תמי

תרי

וגלה

קלס

ב

super spreaders במודל רשת scale free בהתפלגות

מספר מודבקים מפרט כתלות בדרגתו ברשת בהתפלגות Scale Free באוכלוסיה של 10,000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 50 100 150 200 250 300 350

דרגת האדם

עצמו

מב

ם קי

בדמו

הר

פס

מ

super spreaders

super spreader פרט מאד מדבק באוכלוסיה שמעביר את המחלה לפרטים רבים - אחרים.

scale freeמודל רשת המתפלגת

מספר מודבקים במודל רשת בהתפלגות SF לעומת מודל רשת בהתפלגות פואסון באוכלוסיה של 10,000

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 30 60 90 120

זמן (ימים)

םקי

בדמו

ר פס

מ

פואסון

Scale Free

היררכיית המודלים

מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי)

מודל רשת (התפלגות פואסון)

Scale Free(מודל רשת (התפלגות

מודל רשת מורכבת

מודל דטרמינסטי

מודל מרחבי פשוט

מודל רשת מורכבת

1

30

3

4

56

710

12 14

15

18

19

20

21

23

39

25

27

2829

31

32

24

35

36

37

33

2

9

0

ברשת חברתית לילדים יש יותר קשרים ממבוגרים, ולכן יש צורך בבניית רשתות:3 מודל מתאים. במודל זה האוכלוסיה מתחלקת ל –

רשת ילדים, רשת מבוגרים ומשק בית המשלב בין רשת הילדים והמבוגרים.

scaleהנחות למודל רשת מורכבת בהתפלגות free

ישנה חלוקה לרשת ילדים, רשת מבוגרים ורשת משק בית. • לילדים יש יותר קשרים ממבוגרים. •.scale freeרשתות הילדים והמבוגרים מתפלגות •החלוקה לפי משקי בית לפי נתוני למ"ס. •

התפלגות דרגה במודל עם רשת מורכבת באוכלוסיה של 10,000

1

10

100

1000

10000

1 10 100 1000דרגה בסקלה לוגריתמית

הרג

ד

תרו

די ת

חלוקה למשקי בית

הנתונים לקוחים

מלמ"ס

מודל רשת מורכבת

היררכיית המודלים

מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי)

מודל רשת (התפלגות פואסון)

Scale Free(מודל רשת (התפלגות

מודל רשת מורכבת

מודל דטרמינסטי

מודל מרחבי פשוט

מודל מרחבי פשוט

בניית מודל מרחבי על מנת לראות כיצד מיקום פרטים במרחב •משפיע על התפשטות המגיפה.

.cellular automataבניית המודל ע"פ עקרונות •

החוק העיקרי הוא שאם אדם חולה – הוא יכול להדביק אחד משמונת • שכניו.

מגבלות המודל – אינו משקף אוכלוסיה אנושית בחיי היום-יום.•

R, ירוק – I, אדום – Sכחול –

חלוקה לגילאים מיוצגת ע"פ גודל עיגול

תוצאות ומסקנות

השוואת התוצאות בין המודלים

אנשים10,000תוצאות עבור אוכלוסיה של R0% Imax - זמן הגעה לImax

מודל דטרמינסטי1.56.3956

Gillespieמודל ע"פ אלגוריתם 1.56.3555

עם רשת בהתפלגות פואסון1.486.4149

scale freeעם רשת בתפלגות 2.039.6322

מודל רשת מורכבת2.0710.2420

R0 במודלים שונים

0

0.5

1

1.5

2

2.5

מודל דטרמינסטי gillespie מודל מודל עם רשתבהתפלגות פואסון

sf מודל עם רשת מודל עם רשתמורכבת

מודל

R0

השוואת התוצאות בין המודלים

השוואה בין המודלים עם וללא רשת ילדים

הוספת ילדים לרשת Scale Free באוכלוסיה של 10,000

0

200

400

600

800

1000

0 20 40 60 80 100

זמן (ימים)

infe

cted

ר ספ

מ

SF עם ילדים

SF בלי ילדים

דרכי התמודדות למניעת או עצירת מגיפה פנדמית

ישנם כמה דרכי התמודדות עם מגיפה פנדמית. העיקריותשבהן:

- תרופות אנטי ויראליות.

- אסטרטגיות התנהגותיות כגון הסגרים.

– בו התמקדנו בעבודתנו.חיסון - החיסון הוא אמצעי ריפוי מונע שיעביר אנשים מאוכלוסיית ה –

susceptible - לאוכלוסיית ה recovered נרצה למצוא כמות .מינימלית מספקת של מחוסנים על מנת לעצור את התפשטות

המגיפה.

S (Susceptible) I (Infected) R (Recovered)

חיסון

.חסינות עדר - חיסון המוני באוכלוסייה – כאשר מספר הsusceptible.יירד מתחת לסף הקריטי תווצר חסינות עדר

1> המחלה לא תתפשט באוכלוסיה למרות שלא כל האוכלוסיה מחוסנת. כלומר R0 .

:חישוב האחוז מן האוכלוסיה שיש לחסן נעשה ע"י המשוואהאחוז האוכלוסיה שיש לחסן בכדי למנוע או לעצור התפרצות

מגיפה באמצעות עקרון העדר

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1 1.5 2 2.5 3 3.5

R0

סןח

לש

שיה

סילו

וכא

המ

ז חו

א

מסקנות לגבי חיסון במודלים שהצגנו

שינויים בR0 בעקבות חיסון של 33% מהאוכלוסיה

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

מודל דטרמינסטי gillespie מודל מודל עם רשתבהתפלגות פואסון

מודל

R0 לפני מתן החיסון

לאחר מתן החיסון

בשלושת המודלים הראשונים שהוצגו: מודל דטרמיניסטי, מודל ע"פ אלגוריתם gillespie מהאוכלוסיה 33% ומודל רשת בהתפלגות פואסון מצאנו כי מספיק לחסן

. חיסון רנדומלי ע"י מתן R0 = 1.5במקרה של

ומודל רשת scale freeבשני המודלים המתקדמים יותר: מודל רשת בהתפלגות מורכבת מצאנו כי יש צורך במתן חיסון לאחוז מאד גבוה. אחת הדרכים לפתור בעייה

(ע"פ פרופ' שלמה הבלין)."חיסון היכרות"זו היא בשיטת

דיון ומסקנות

:agent basedפרמטרים חשובים בבניית מודל

גילאים-

אופי הקשרים – מבנה הרשת-

סיכויי ההדבקה-

בהכנסת פרמטרים אלו למודל התבססנו על הנחות (מאמרים קודמים ונתונים סטטיסטיים). יש לזכור כי תוקף המסקנות שאנו מסיקים משימוש במודל תלוי

לבסוף בהנחות העומדות בבסיסו.

מודעות מתמדת להנחות המשולבות במודלים תאפשר שימוש מושכל בהם ככלי בתכנון אסטרטגיה.

לסיכום...

אנו נמצאים בעיצומה של שפעתפנדמית. חשוב שלכל מדינה

תהיה דרך היערכות אופטימלית למגפה.

בעבודה זו בנינו מידול מתאיםלאוכלוסיית ישראל.

על מנת לעצור או להאט מגפהיש לבדוק דרכי התמודדות

נוספות כגון טיפול אנטי ויראלי, סגירת מוסדות לימוד והגבלת

נסיעות.

תודות

ד"ר עמית הופרט,

מכון גרטנר לחקר אפידימיולוגיה בתל השומר

מר ארנון עצמון