Теорема Пика
Post on 12-Jan-2016
56 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Решение заданий В5
площади многоугольников
по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года
Теорема ПикаПусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
S = L + B/2 – 1
Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
1см
Теорема Пика
Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтомуS = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.
1см
Площадь прямоугольного треугольника
Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.
Тогда справедливы формулы:
21
S = ab
a
b
21
S = ch
c
h
Площадь произвольного треугольника
Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
21
S = aha
a
ha
a
ha
Площадь параллелограмма
Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
S = aha
a
ha
haa
Площадь трапеции
Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции.
Тогда справедлива формула:
b
h
2a + b
S = h
a
b
h
a
Площадь четырехугольника
Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
21
S = d1d2 sin
α
d2
d1 α
d2
d1
α
Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5.
Решение: abS
21
7
3
1см
.,S 5107321
Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
aahS21
8
4
1см
.S 168421
ha
Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS21
.S 128321
81см
ha3
Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS21
.S 126421
4
6
1см
ha
Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS21
.S 128321
3
8
1см
ha
Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33.
Решение: п/уΔ SS
.33827472
1см
18
9
8
6
8
2
1ΔS
2ΔS3ΔS
98ΔS 1821
6921
2821
Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15,5.
Решение: п/уΔ SS
.,, 515452143672
1см
7
9
8
1
5
1ΔS2ΔS
3ΔS
98ΔS 9821
4721
1521
4
14
1у/пS
Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 50.
Решение: 2aS
1см
17
5014917 222 а
по теореме Пифагора:
а
а
50S
Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 20.
Решение: abS
1см
2
6
4043626 222 а
по теореме Пифагора:
а
204001040 S
b
1
3101913 222 b
40а
10b
Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
1см
2121
ddS
4
8
164821
S
Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17,5.
Решение:
1см
5
517235
34521
,S
43
121
ahS
S 1ΔS
2ΔS
2121
hhaS
221
ah
Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 8.
Решение:
1см
6
846821
S
121
ahS
S 1ΔS
2ΔS
2121
hhaS
221
ah4
8
Задания открытого банка задач13. Найдите площадь трапеции, изображенной
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 30.
Решение:
1см
hba
S
2
5
4
305248
S
8
Задания открытого банка задач
Ответ: 36.
Решение:
1см
hba
S
2
7
2
368227
S
8
14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 28.
Решение:
1см
72874 S
4
aahS
Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 25,5.
Решение: п/уΔ SS
.,, 52552851372
1см
5
9
8
3
7
1ΔS
2ΔS3ΔS
98ΔS 9321
8721
2521
2
Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (1 способ)
1см
7
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2
3
513227
27321
,S
121
ahS
S 1ΔS
2ΔS
2121
hhaS
221
ah
Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (2 способ)
1см
hba
Sтрапеции
2
7
5387229
1 ,S
9
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
2
1
2224
229
2
S
22221
3 S
11221
4 S
51312225384321 ,,SSSSS
S2
S3
S4
Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 51.
Решение: п/уSS
.5166972
1см
6
9
8
2
3
1ΔS
2ΔS у/пS
98S 6321
2621
23
6
Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 31.
Решение: п/уSS
.3153672
1см
9
8
2
1ΔS
2ΔS
98S 9821 25
21
5
Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33,5.
Решение:
п/уSS
.,, 533785756
1см
7
8
2
1ΔS 2ΔS
78S 3521
2821
5
3ΔS
3
2721
2
Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24.
Решение:
кв.б.SS
.24251564
1см
8
8
3ΔS2 .кв.мS
88S 3521
2 55
5
5 3
Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14,5. 1см
7
8
3
4
53
Решение:
п/уSS
.,, 514151651056
1ΔS
2ΔS
78S 3721
4821
у/пS
35
Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18. 1см
7
8
Решение:
S
.181028
ΔS
7821
S
2273
3
трапецииS
2
Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
1см 4
4
4
4
Решение: (1 способ)Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.
4√2
4√2
Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16. 1см
Решение: (2 способ)
L = 15 (красные точки),
B = 4 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 15 + 4/2 – 1 = 16
Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5. 1см
Решение: (1 способ)
9
9
54
5
3
5
4
6
кв.SS
.,, 51916512181581
1ΔS
2ΔS
99S 6521
4921
3ΔS
5521
4253
.трапS
Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5. 1см
Решение: (2 способ)L = 16 (красные точки),
B = 9 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5
top related