ساختمان داده ها و الگوریتم

الگوریتم و ها داده ساختمان

Data Structures and Algorithms

A.M. Safaei

بخشیگانه هستی خداوند نام بهو اول جلسه

دوم

باشد الگوریتم• می مسئله یک حل برای ها دستورالعمل از ای مجموعه

: باشد می زیر شرایط دارای که

ورودی- : 1 چند یا هیچ ورودی

خروجی- : 2 یک حداقل خروجی

3 :) الگوریتم- ) دستورات از واحدی برداشت مختلف افراد باشند دقیق قطعیت

. باشند داشته

خاتمه- : 4 ای مشخصشده مراحل طی پساز الگوریتم دستورات پذیری خاتمه

یابد

شوند • می سازی پیاده نویسی برنامه های زبان توسط الگوریتم

پیاده • را الگوریتم یک که نویسی برنامه زبان یک دستورات از ای مجموعه

. شود می گفته برنامه کند می سازی

الگوریتم اول جلسه

حل • توانایی لحاظ از الگوریتم بررسی الگوریتم یک تحلیل از هدف

. باشد می الگوریتم آن کارایی و مسئله

الگورتیم • یک کارایی بررسی

1) اجرا- ) سرعت اجرا زمان

مصرفی- 2 حافظ میران

خروجی- 3 و ورودی عملیات تعداد

و- ...4 مصرفی باند پهنای

مدت • ها، الگوریتم انتخاب در اصلی مالك مواقع، اکثر در «

» باشد می الگوریتم آن اجرای زمان

الگوریتم تحلیل اول جلسه

الگوریتم :• یک اجرای زمان در مؤثر عوامل

کامپیوتر- : 1• پردازنده ثابت) (سرعت بصورت موثر

نویسی- : 2• برنامه زبان کامپایلر ثابت) (نوع بصورت موثر

ورودی- 3• های داده برروی: ) اندازه زمانی موثر الگوریتم(پیچیدگی

ورودی- : 4• های داده (ترکیب مختلف) شرایط در گیری اندازه قابل

الگوریتم- 5• زمانی پیچیدگی

الگوریتم- : • زمانی T(n)پیچیدگی

نرم – و افزاري جزئیاتسخت از مستقل که معیاری الگوریتم زمانی پیچیدگی

. باشد می اجراکننده کامپیوتر افزاري

–. کند می بیان را ورودی اندازه و الگوریتم عملیات تعداد بین رابطه که است تابعی

ورودی – اندازه ازای به نظر مورد الگوریتم که عملیاتی تعداد می nیعنی انجام

دهد.

محاسبه ) ( – الگوریتم آن های گام شمارشخطوط از حاصل الگوریتم زمانی تابع

. شود T(n)می

الگوریتم های شمارشگام

گرفت : نظر در را زیر موارد باید الگوریتم یک های گام شمارش جهت

تعاریف- :1

ها- : 1 زیربرنامه و توابع صفر تعریف گام دارای

procedure p(..) و function f(..) و void f(..) و type f(..)

و- { } : 2 بدنه پایان و صفر شروع گام دارای

متغیرها- : 3 تعریف

گام : – یک باشد شده دهی مقدار که صورتی در

گام int x=0 1تعداد

صفر : – گام باشد نشده دهی مقدار که صورتی در

گام int x 0تعداد

ترتیبی- 2 دستورات

، محاسباتی دستورات شامل و شوند می اجرا یکبار فقط دستورات این

. باشند می جایگزینی و خروجی و ورودی

مثال:

گام x= x+2 1تعداد

گام write(x); 1تعداد

گام return x; 1تعداد

شرطی- : 3 if, switchدستورات

شرطی دستورات در گام دارد+ if: 1تعداد شرط بودن غلط یا درست

شرطی دستورات در گام ساختار+ switch: 1تعداد های حالت گام ماکزیمم

switch

مثال :

if (x>y) 1 گام

x=x-2; 1 گام

x=x +2; 1 گام

y=y-2; 1 گام

مثال : حل

: درست شرط ی ها گام تعداد

شرط ی ها گام تعداد

2+1نادرست :

4 : ) می- ) اجرا یکبار از بیش دستورات شمارشی ساده تکرار دستورات

شوند.

for (i=a; i<=b; i++)body;

حلقه تکرار b-a+2 = تعداد = b-a+1 تکرار bodyتعداد

for (i=a; i<b; i++)body;

حلقه تکرار b-a+1 = تعداد = b-a تکرار bodyتعداد

for (i=a; i<=b; i+ =c)body;

حلقه تکرار [c/(b-a+1) ] = تعداد+1

( = b-a+1/)c تکرار bodyتعداد

تمرین

: آورید بدست زیر دستورات گام شمارشfor ( i=5; i<=n; i++){

x=x+1 ; y=y+3;

شرطی- :5 تکرار یا ) ( : while دستورات هیچ دستورات، تکرار تعداد

. باشد می اجرا یکبار بیشاز

حلقه – بدنه اجرای دفعات عملیات)( whileتعداد به بستگی و باشد می نامعلوم

ورودی های داده وضعیت و حلقه خاتمه شرط حلقه، بدنه گرفته صورت

. دارد الگوریتم

شوند – می تقسیم یا ضرب عددی در آنها شمارنده که هایی حلقه تکرار تعداد

لگاریتم با است برابر عدد nتقریبا آن مبنای در

بدست: مثال را رو روبه الگوریتم گام شمارشآورید

(1) i=n;(2) while (i>1) {(3) y=y-2;(4) i=i/2; }

سطر تکرار تعداد

جمع

1log2 n

23log2 n

تمرین

(A ) دستور تکرار را someOperationتعداد. آورید بدست

i=n;while(i>1) {

J=1 ; while(j<n)

{ j=j*3;

someOperation; }

i=i/2 ;}

(B) را زیر الگوریتم گام شمارش مجموع. کنید محاسبه

for (i=0; i<=3; i++) for (j=8; j>=2; j--)

الگوریتم زمانی تابع T(n)محاسبه

T(n)= c1 + c2(n+1) + c3n

فرضشود که صورتی بین cدر مقدار باشد c1, c2, c3بیشترین

T(n)= c+c(n+1)+cn = c(2n+1)

(1) x=0;(2) for(i=0;i<n; i++)(3) x++;

سطر زمان تعداد تکرار

1 c1 1

2 c2 n+1

3 c3 n

تمرین

زمانی کنید T(n) تابع محاسبه را زیر عبارت

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0; j<n;j++)

الگوریتم اجرائی مرتبه

که – است عملیاتی به نیاز الگوریتم یک کارائی و اجرا زمان محاسبه برای

اینکه به توجه با باشد نویسی برنامه زبان و کامپیوتر از T(n)مستقل

متفاوت است ممکن مختلف نویسی برنامه های زبان در که است تابعی

بنابراین. .T(n)باشد نيست ها الگوریتم مقایسه برای مناسبی معيار

نماد F (n)تابع – سه با الگوریتم زمانی پیچیدگی یا و اجرائی مرتبه بعنوان

. دهد نمایشمی زیر

(Big-Oنماد • باال ) حد

(Big-Ωنماد • حدپائین)

(نماد • متوسط ) حد

الگوریتم تحلیل دوم جلسه

الگوریتم اجرائی مرتبه

بزرگ نماد )Big-ohاFی (Oیا باال( ) حد

نماد – الگوريتم‌ها، زمانی توابع رشد ميزان بررسی بکار Big-ohبرای را

عالمت با آنرا و .Oمی‌برند نمايشمی‌دهند

–T(n)O(f(n)) ثابت اگر فقط و صحيح Cاگر ثابت داشته noو وجود

مقادير همه برای که باشيم nnoباشند داشته ،T(n)Cf(n).

.Oنماد – باشد می اجرائی مرتبه برای باال کران یک

کلی – حالت پيچيدگی f(n)در g اصطالحا یا و الگوريتم اجرای زمانی مرتبه

با و می‌شود ناميده نيز الگوريتم .O(f(n))زمانی می‌شود داده نمايش

الگوریتم ) اجرائی (( Oنماد )مرتبه

بنابراین – باشد اگر قضیه

. بود خواهد

نماد )– زمانی تابع و( Oدر بگیریم درنظر را مرتبه بیشترین با جمله باید

. ندارد الگوریتم زمانی مرتبه در تاثیری جمالت ضرایب

نماد – باشد، Oکاربرد می توابع رشد نرخ برای باال حد دادن نشان جهت

تابع رشد نرخ تابع fیعنی رشد نرخ مساوی یا است gکوچکتر

تابع دیکر تابع fبعبارت با برابر سرعتی با .gحداکثر کرد خواهد رشد

تابع )– برای حدباالئی نماد رفتار f(nاین که می‌رود بکار وقتی و می‌دهد

. باشد داشته مقادیر برای را اجرا زمان بیشترین و حالت بدترین الگوریتم

الگوریتم تحلیل

01...)( nnananf mm )()( mnOnf

))(()( ngOnf

دوم جلسه

الگوریتم ) اجرائی (( Oنماد )مرتبه

تابع : رشد نرخ برای باالیی حد . T(n)مثال آورید بدست را

کنیم , ثابت باید مثال این nnoدر ، T(n)Cf(n).

مقادیر زیر نامساوی حل با و گیریم می نظر c , n0در

. کنیم می پیدا را

برای مقادیری کردن پیدا ، معادله حل از باشد c , n0هدف می

برای مقدار یک تنها کردن اثبات c , n0پیدا برای

کند کفایتمی

52)( 2 nnnT

))(()( nfOnT

2)( nnf

))(()( nfOnT

دوم جلسه

الگوریتم ) اجرائی (( Oنماد ) مرتبه

اجرای : زمان يا T(n)مثال مرتبه است موجود الگوريتم تعدادی به مربوط

. نماييد محاسبه را الگوريتم‌ها اين زمانی پيچيدگی

n0=2 T(n)Cf(n) و C=4 اگر T1(n) 4 n3 T1(n)O(n3)T1(n)= 3n3 +3n

T2(n)=4n+5nlogn+2 اگر C=11 و n0=10 T(n)Cf(n) T2(n) 11nlogn T2(n)O(nlogn)

دوم جلسه

تمرین

کنید ثابت را زیر عبارات نادرستی یا درستی

a) T(n)= (n+1) 2 O(n2)

b) T(n)= 3n3 + 2n2 O(n3)

c) T(n)= 5n O(n2)

نماد ) (Oخصوصیات

خواصحدی- :1

بازتابی- :2 خاصیت

3: ) تراگذاری- ) تعدی خواص

(Oنماد ) خصوصیات

خواص- 1 سایر

بزرگ (Ωنماد: )Big- ΩاFمگای پائین( ) حد

ثابت T(n) (f(n))تعريف: – اگر فقط و صحيح Cاگر ثابت داشته noو وجود

مقادير همه برای که باشيم nnoباشند داشته ،T(n) Cf(n).

که Ωنماد – می‌رود بکار وقتی و باشد می اجرائی مرتبه برای پائین کران یک

ورودی معین مقادیر برای را اجرا زمان کمترین و حالت بهترین الگوریتم رفتار

دارد

: قضیه

دوم جلسه

بزرگ (Ωنماد: )Big- ΩاFمگای پائین( ) حد

.(f(n))مثال : آورید بدست را زیر های الگوریتم

T (n)= an2 +bn +c a,b,c>0 : an2 +bn +c an2 C = a , n=1

T(n) (f(n))T(n) Cf(n)

T (n)= n4 +5n2 : n4 +5n2 n4

T(n) Cf(n)

C = 1 , n=1T(n) (f(n))

دوم جلسه

تمرین

برای – را زیر عبارات .T(n)درستی کنید ثابت شده داده

1- T (n)= 6n +4 (n)

2- T (n)= 3n+2 (n2)

دوم جلسه

نماد ) (Ωخصوصیات

خواصحدی- : 1

بازتابی- : 2 خاصیت

3: ) تراگذاری- ) تعدی خاصیت

نماد ) (Ωخصوصیات

خواص- :1 سایر

( نماد : )تتا متوسط( ) حد

ثابت‌های T(n) (f(n)): تعريف– اگر فقط و صحيح C2و C1اگر ثابت وجود n0و

مقادير همه برای که باشند .nn0 : C1f(n) T(n) C2f(n)داشته

قضیه : –

جمله بعبارتی بزرگترین درجه با برابراست دقیقا

o( تابع برای حدمتوسطی نماد صورت f(nاین به را الگوریتم اجرای زمان و می‌دهد

. می‌دهد نشان مسئله ورودی‌های نمونه کلیه با شده انجام عملیات تعداد از میانگینی

دوم جلسه

( نماد )

.(f(n))باشد T(n)=n2/2-3nاگر مثال : – نماييد محاسبه را

که: حل می‌دهيم .T(n)(n2)نشان می‌باشد

که : C1 , C2 , n0باید • بطوری باشند داشته وجود

T(n)(n2) C1n2 n2/2-3n C2n2

C1 1/2-3/n C2

ازای • به راست و C2 طرف ½n 1. است برقرار

ازای • به چپ و C1 طرف ¼n 7. است برقرار

ازای • به و C1 بنابراين ¼C2 و ½n 7 عبارتT(n)(n2). بود خواهد

بر n2تقسیم

تعريف طبق

دوم جلسه

( نماد )

تمرین

کنید – ثابت را زیر عبارات درستی

1. T1(n)= 6n +4 (n)

2. T2(n)= 3n +6 (n2)

T1(n)حل :

: C1n 6n+4 C2n

ازای به معادله راست ازای n0=2و C2=8طرف به معادله طرفچپ n0=1و C1=6وازای به معادله کل لذا است برقرار برقرار n0 2و C2=8و C1=6همواره همواره

است.

دوم جلسه

نماد ) (خصوصیات

خواصحدی- :1

بازتابی- :2 خاصیت

3:) تراگذاری- ) تعدی خاصیت

تقارنی- : 4 خاصیت

خواص- :5 سایر

نمادهای هندسی ، Oنمودارهای ، Ω

ifaiaf

)12)(1(...21

)1(...21

ریاضیسیکما خواصعملگر با Ʃآشنایی

از – حلقه هر جای به توان می الگوریتم یک پیچیده حالتهای تحلیل برای

. کرد محاسبه را سیگما حاصل نهایت در و کرد استفاده سیگما

دوم جلسه

در : تو های حلقه اجرائی مرتبه محاسبه الگوریتم تحلیل

هم- 1 از مستقل تو در تو های حلقه

حلقه = دو تکرارهای تعداد ضرب حلقه داخل دستوارت تکرار تعداد

مثال:

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1; j<=n;j++)

******************

n × n = n² O(n2)

دوم جلسه

تو : در تو های حلقه اجرائی مرتبه محاسبه الگوریتم تحلیل

هم- 2 به وابسته تو در تو های حلقه

باشد می بیرونی حلقه متغیر به وابسته داخلی حلقه تکرار تعداد

مثال:

for(i=1;i<=n; i++)

for(j=1; j<=I; j++)

نکته :

می- 1 ضرب یکدیگر در وابسته چه و مستقل چه تودرتو های حلقه اجرایی مرتبه

شوند.

2. شوند- می جمع یکدیگر با هم از جدا های حلقه اجرایی مرتبه

دوم جلسه

الگوریتم اجرائی مرتبه محاسبه جهت نکته چند

با ) ( – است برابر آن اجرائی مرتبه پيچيدگی دھد انجام ثابتی کار الگوریتم اگر

باشد – وابسته ورودی به تکرار و باشد موجود تکرار الگوریتم عملیات در اگر

حسب بر آن اجرائی ترین nمرتبه سنگین بررسی به فقط و شده محاسبه

در عملیات ترین سنگین تکرار دستورات مثال بعنوان پردازیم می عملیات

. باشند می الگوریتم یک

مثال:

for (i=0;i<n;i++)x++;*************O(n)

x++;Cout << “snu.ir”*************O(1)

for (i=0;i<n;i++)x++;for (j=0;j<m;j++)x++*************O(n+m)

دوم جلسه

تمرین :

for (i=0;i<n;i++)for (j=0;j<m;j++)x++*************??

If (x==t)for (j=0;j<n;j*=2)

x++else

cout<<“snu.ir”

*************??

دوم جلسه

میشوند : تقسیم دسته دو به معموال ها الگوریتم

1) غیربازگشتی- ) ترتیبی های الگوریتم

حبابی • سازی مرتب الگوریتم

•) خطی ) ترتیبی جستجوی الگوریتم

برنامه – از قسمتی مرتبه با برابر ترتیبی الگوریتم یک اجرای زمانی مرتبه

. باشد می دارا را زمان بیشترین که است

بازگشتی- 2 های الگوریتم

فاکتوریل • تابع بازگشتی الگوریتم

فیبوناچی • سری بازگشتی الگوریتم

هانوی • برج بازگشتی الگوریتم

بازگشتی های الگوریتم

فراخوانی – را خود غيرمستقيم يا مستقيم بصورت که الگوريتمی

می‌کند.

بازگشتی :– های الگوريتم اساسی ويژگی دو

بازگشتی :– فراخوانی

فراخوانی – عمل

فراخوانی – عمل از بازگشت

از ) – استفاده با قف تو (ifشرط

if ( رسیدی توقف حالت (به

کن حل را توقف حالت مسئله

کنی فراخوانی دیگر بار را تابع

دوم جلسه

فاکتوریل تابع روشبازگشتی

به تا کند می فراخوانی کمتر مقدار یک با را خود آنقدر تابع این

باز قبلی فراخوانی حل به را یک مقدار نهایت در که برسد صفر

. گرداند می

int fact ( int n) { if ( n = = 0) return 1 ; else return( n * fact ( n – 1) ) ; }

ریاضی مدل

f(3) = 3 * f(3 − 1)= 3 * f(2)= 3 * 2 * f(2 − 1)= 3 * 2 * f(1)= 3 * 2 * 1 * f(1 − 1)= 3 * 2 * 1 * f(0)= 3 * 2 * 1 * 1= 6

دوم جلسه

تمرین :

برج و فیبوناچی هایسری الگوریتم روشبازگشتی

. نمایید بررسی را هانوی

بازگشتی های الگوریتم زمانی پیچیدگی

که – است این بازگشتی تابع یک اجرائی مرتبه یا زمانی پیچیدگی از منظور

کلی حالت در .nتابع شود می فراخوانی بار چند

بصورت – تابعی و : f(n-m)اگر گیرد می صورت فراخوانی عمل بار باشد،

با است برابر اجرائی مرتبه

می – صورت بار فراخوانی عمل باشد بصورت تابعی اگر

با است برابر اجرائی مرتبه و گیرد

بصورت – تابعی فراخوانی f(n)= f(n-1)+f(n-1)اگر می 2nعمل صورت بار

با است برابر اجرائی مرتبه و O(2n)گیرد

بصورت – تابعی فراخوانی f(n)= f(n-2)+f(n-2)اگر می 2n/2عمل صورت بار

با است برابر اجرائی مرتبه و O(2n/2)گیرد

nfnmlog

)O(log nm

دوم جلسه

جایگذاری و روشتکرار به بازگشتی روابط حل

تولید را مناسب جواب توان می متوالی های جایگزاری از استفاده با روش این در

کرد.

.مثال آورید: بدست را رو روبه تابع زمانی پیچیدگی

T(n)=T(n-2)+d =(T(n-4)+d)+d=T(n-4)+2d = . . . =T(n-2i)+id (1)

n-2i=2 i=(n-2)/2 (2)

(1),(2) T(n) = T(2)+(n-2)/2*d C + (n-2)/2*d بنابراين T(n)O(n).

به زمانيکه تا را رو روبه T(2)رابطه

. اگر بنابراين مي‌دهيم ادامه نرسيده‌ايم

n-2i عدد آنگاه 2به می T(2)برسد، حاصل

: شود

دوم جلسه

جایگذاری و روشتکرار به بازگشتی روابط حل

. آورید: بدست را رو روبه تابع زمانی پیچیدگی مثال

T(n) = 2T(n/2)+d= 2(2T(n/2/2)+d)+d 4T(n/4)+3d= . . . 2i T(n/2i )+(2i -1)d (1)

(1),(2)

T(n) Cn + (n-1)d بنابراين‌‌‌‌‌ T(n)O(n)

به تا مي‌دهيم ادامه آنقدر را رابطه

T(1) برسيم

, T(1)=c

n/2i=1 i=logn2 (2)

دوم جلسه

با : تمرین – روشتکرار با رو روبه تابع زمانی پیچیدگی

. آورید بدست را جایگذاری

nifnCn

nifCnT

دوم جلسه

استقرا روشحدسو به بازگشتی روابط حل

.مثال آورید: بدست را رو روبه تابع زمانی پیچیدگی

کنيد – .1برابر c2و c1فرض باشد

–. آوريد دست به کانديد حل راه يک اول مقدار چند بررسی با

–: که زنيم T(n)O(n)بنابراين‌‌ T(n)= n+1 حدسمی

اصلی روشقضیه به بازگشتی روابط حل

می اند شده بیان زیر فرم به که بازگشتی مسائل حل برای روش این

باشد.

اگر – رابطه این :در داریم

– If a>bk :

– If a=bk :

– If a<bk :

)()()(

knnf )(

)()( logabnOnT

)()( lognknOnT

)()( knOnT

دوم جلسه

می اند شده بیان زیر فرم به که بازگشتی مسائل حل برای روش این

باشد.

اگر – رابطه این :در داریم

– If :

– If a=b :

)()()(

knnf )(

)()( logabnOnT

))(()( nfOnT

))((log)( nfOnnT

))((log nfOnab

دوم جلسه

.1مثال آورید: بدست را زیر بازگشتی تابع اجرائی مرتبه

اگر – رابطه این شرط a=2, b=2و k=0لذا در و

a>bk : لذا باشد می برقرار

(2)( n

1)( knnf

)()()( log nOnOnTab

دوم جلسه

.2مثال آورید: بدست را زیر بازگشتی تابع اجرائی مرتبه

– a=4, b=2,

TnT log)2

(4)( 2

nnnf log)( 2

)log()()log( 222loglog 42 nnOnTnnOnnn

دوم جلسه

Any Question

تحلیل : مبحث از کوئیز آینده جلسه

الگوریتم

ساختمان داده ها و الگوریتم

Documents

داده کاوی قرآنی

آموزش ساختمان داده ها - بخش نهم

ساختمان داده ها

الگوریتم ژنتیک

ساختمان داده گراف

طراحی الگوریتم فصل 1

مراکز داده

فصلنامه مهندسي ساختمان

دفاع از پایان نامه مدل سازی...

خلاصه پایان نامه مدل سازی...

آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی...

آموزش ساختمان داده ها - بخش هشتم

الگوریتم کلونی زنبور عسل مصنوعی

ارزیابی کیفیت داده در حوزه داده...

آموزش ساختمان داده ها - بخش چهارم

ساختمان عضله

طراحی الگوریتم بروش پنتیگ

الگوریتم آزادسازی لاگرانژ

ساختمان بدن موجودات زنده

ساختمان داده درختها