Интерактивна система за технически изчисления,...

Интерактивна система за технически изчисления, визуализиране и

програмиране (MATLAB)

Приложение

– математически изчисления;– разработка на алгоритми;– моделиране, симулиране и създаване на прототипи;– представяне, визуализиране и анализ на данни;– графика;– разработка на приложения с графичен потребителски интерфейс.

Включва специални приложения (toolboxes) за обработка на сигнали, системи за управление, невронни мрежи, симулация и др.

Характеристики на системата MATLAB

1. MATLAB език – език от високо ниво за обработка на матрици;включва: оператори, функции, структури данни,вход/изход, обектно-ориентирано програмиране;

2. Работна среда на MATLAB – средства за управление на променливите в работната среда, внасяне и изнасяне на данни; разработка и управление на М-файлове, MATLAB приложения.

3. Управление на графика – двумерна и тримерна визуализация, обработка на изображения, анимация и представяне на графики; изграждане на графичен потребителски интерфейс.

4. Библиотека с математически функции – сума, тригонометрични функции, комплексна аритметика, обръщане на матрица, Беселови функции, бързи трансформации на Фурие и др.

5. Интерфейс за приложни програми – динамично свързване на модули, написани на C, C++, Java или Fortran с модули от MATLAB.

Стартиране на MATLAB

Start Programs MATLAB 6.5

Команден прозорец за въвеждане на променливи и изпълнение на функции и М-файлове

История на командите – за наблюдение изпълнението на архивни команди

Текуща директория – за управление на директории и файлове

Работно пространство – за изобразяване на променливите

Помощ

Старт – за изобразяване на документация, демо програми и специални приложения

MATLAB като мощен калкулатор

» указва въвеждане на команда

; блокира извеждане на резултата

ans променлива със стойността на резултата

= присвояване

fun() вградена функция

... пренасяне на израз на нов ред

» 2+3ans = 5

» x=sin(0.5)x = 0.4794

» V=[1 2 3 4];» sin(V)ans = 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568

» exp(V)ans = 2.7183 7.3891 20.0855 54.5982

» magic(3)ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

блокира извеждане на резултата

вградена функция

вектор

вградена функция

MAGIC(N) е NxN матрица от целите числа 1N2 с еднакви суми във всеки ред, стълб и диагонали, където N>0 без N=2.

Типове данни

15 типa данни (или класове)

Всеки тип данни е във формата на масив.

Двумерният масив се нарича матрица.

Едномерният масив се нарича вектор.

Матрица 1x1 се нарича скалар.

Тип данна Пример Описание

logical magic(3)>10 Логически масив от логически елементи 1 (истина) и 0 (лъжа).

char 'Java класове' Символен масив (всеки символ е 16 бита)

int8, uint8, int16, uint16, int32, uint32, int64, uint64

uint8(magic(3)) Масиви от цели числа със и без знак с размер 8, 16, 32 и 64 бита. Не се използват в математически операции, а за ефективно разпределение на паметта.

single 3*10^38 Масив от реални числа с единична точност. Не се използва в математически операции.

double 3*10^300

Масив от реални числа с двойна точност. Най-често използваният тип в MATLAB.

cell 15 'Java' Масив от елементи с различни размери, които съдържат други масиви

structure stud.fn=123456;

stud.name='Иван';

Масиви от структури с елементи, които съдържат други масиви.

@име_функция fhandle = @sin;

feval(fhandle,0.5)

Манипулатор на функция, който обикновено се предава като аргумент на функция и се оценява чрез функцията feval.

потребителски клас

inline('sin(x)') Създава се чрез използване на функциите на MATLAB като наследници на класа structure.

Java клас javax.swing.JFrame Използват се Java класове.

Оператори

1. Аритметични операториОператор Описание Оператор Описание

+ Събиране * Умножение на матрици

- Изваждане / Дясно деление на матрици

.* Умножение \ Ляво деление на матрици

./ Дясно деление ^ Повдигане на степен на

.\ Ляво деление матрици

+ Унарен плюс

- Унарен минус

: Двуеточие

.^ Повдигане на степен

.' Транспониране

' Комплексно спрегнато транспониране

» A=[7 2;4 3];» B=[1 4;6 7];

» A+Bans = 8 6 10 10

» A*Bans = 19 42 22 37

% поелементно» A.*Bans = 7 8 24 21

» A.^Bans = 7 16 4096 2187

% ляво деление» A\Bans = -0.6923 -0.1538 2.9231 2.5385» inv(A)*Bans = -0.6923 -0.1538 2.9231 2.5385

% дясно деление» B/Aans = -1.0000 2.0000 -0.7692 2.8462» B*inv(A)ans = -1.0000 2.0000 -0.7692 2.8462

Функция inv(A) – обръща матрицата А.

2. Оператори за сравнение

Оператор Описание Оператор

По-малко

По-малко или равно

По-голямо

По-голямо или равно

Равно на

Различно от

Пример: А==B – сравнява матриците елемент-по-елемент, A и B трябва да са с еднакви размери, резултантната матрица показва дали съответните елементи от A и B са равни.

» A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];» B=[1 5 10;2 5 8;4 7 9];» A==Bans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

3. Логически оператори

3.1. Поелементни логически оператори и функции

» А=[0 1 1 0 1];» B=[1 1 0 0 1];

Опе-ратор

Описание Пример Еквивалентна функция

& Връща 1, ако елементите и в двата масива са истина () и 0 за другите елементи.

A & B = 01001 and(A,B)

| Връща 1, ако елементите в единия масив или елементите в двата масива са истина (0) и 0 за другите елементи.

A | B = 11101 or(A,B)

~ Допълва всеки елемент на входния масив.

~A = 10010 not(A)

xor Връща 1, ако елементът само в единия масив е истина (0) и 0 за другите елементи.

xor(A,B)=10100

3.2. Побитови логически функции

» А=28; % двоично 11100» B=21; % двоично 10101

Функция Описание Пример

bitand Връща побитово И на два неотрицателни целочислени аргумента.

bitand(A,B)=20 (двоично 10100)

bitor Връща побитово ИЛИ на два неотрицателни целочислени аргумента.

bitor(A,B)=29 (двоично 11101)

bitcmp Връща побитово допълване като n-битово число, където n е вторият входен аргумент.

bitcmp(A,5)=3 (двоично 00011)

bitxor Връща побитово изключващо ИЛИ на два неотрицателни аргумента.

bitxor(A,B)=9 (двоично 01001)

3.3. Къси логически оператори (за скалари)

» А=28;» B=-21;

Оператор Описание Пример

&& Връща истина (1), ако и двата операнда са истина и лъжа (0) в противен случай.

А && B =1

|| Връща истина (1), ако единият или и двата операнда са истина и лъжа (0) в противен случай.

А || B=1

Изрази

Израз – състои се от операнди и операции; операндите могат да бъдат променливи, константи или функции.

1. Променливи

– автоматично се създава променлива за всяко име и се отделя необходимата памет;

– името на променливата се състои от букви, цифри, знак за подчертаване (_), като MATLAB използва първите 31 символа;

– различава малки и главни букви.

» A=10 % създава се 1x1 матрица с име А и един елемент със стойност 10

А = 10

2. Числа – съхраняват се с дълга плаваща запетая (16 значещи цифри, област 10-308 до 10+308).

Начини за представяне:

– десетично представяне с незадължителна десетична точка и водещ знак плюс;

– научно представяне чрез буквата е, определяща 10 на степен;

– имагинерните числа използват като суфикс i или j.10 -43 0.0013.4632987 1.63е-201.43i

Комплексно число

– модул (амплитуда)

m=abs(z) връща модула (амплитудата) на z

– фазов ъгъл

theta=angle(z) връща фазовия ъгъл на z в радиани

Комплексно число в полярни координати » z=3+j*4;% Конвертира z в полярни координати» A=abs(z)A = 5» theta=angle(z)theta = 0.9273% Обратно конвертира до z=x+jy» z=A*exp(j*theta)z = 3.0000 + 4.0000i

9273.05 jez

22 yxA

yarctg

3. Символи и коментари

Символна константа е последователност от символи, заградени в апострофи ′.

Коментар започва със символа %.

» A=[′София ′;′Пловдив′] % матрица 2x7А = София Пловдив

4. Оператори

– аритметични оператори;

– оператори за сравнение;

– логически оператори.

4.1. Оператор :a:b – резултатът е вектор-ред, съдържащ числата от a до b със стъпка 1.a:c:b – резултатът е вектор-ред, съдържащ числата от a до b със стъпка c.

» 1:10 % стъпка 1ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

» 100:-10:50 % стъпка -10ans = 100 90 80 70 60 50

5. Функции

аbs абсолютна стойностsqrt корен квадратенеxp е на степенsin синусclear изчиства променливите и функциите от

паметтаclear all изчиства всички променливи, глобални

променливи, функции и връзкиclose затваря фигураclose all затваря всички прозорци с фигури help получаване на помощformat установява изходния формат

Константи:

pi 3.1459265i имагинерна единица -1j имагинерна единица -1

» help elfun % елементарни математически функции» help specfun % специални математически функции» help elmat % матрични функции

» format short % мащабиран формат с фиксирана точка с 5 цифри» format long % мащабиран формат с фиксирана точка с 15 цифри» format hex % шестнадесетичен формат» format rat % апроксимация чрез отношение от малки цели числа

Примери:

» s=(1+sqrt(10))/2s = 2.0811» n=1:5 % оператор : -> вектор-редn = 1 2 3 4 5» n=n' % оператор ' (транспониране) -> вектор-стълбn = 1 2 3 4 5» x=n.^2 % оператор .^ (поелементно повдигане на степен)x = 1 4 9 16 25

Изчертаване на графики

plot(y) Създава начупена линейна графика на вектора y спрямо индекса на елементите на y.

plot(x,y) Създава линейна графика на вектора y спрямо вектора x.

plot(x1,y1,x2,y2,…) Създава много графики на векторите

yi спрямо векторите xi.

plot(x,y,′цвят_маркер_линия′) Изчертава графика с определен цвят, тип маркер и тип линия; цвят_маркер_линия e 1-, 2- или 3-символен низ; ако се дефинира цвят_маркер без линия, изчертава се само маркерът.

loglog(x,y) Създава логаритмична графика log10(y) спрямо log10(x).

semilogx(x,y) Създава полулогаритмична графика на вектора y спрямо log10(x).

semilogy(x,y) Създава полулогаритмична графика на log10(y) спрямо вектора x.

polar(theta,rho) Създава графика в полярни координати на радиуса rho спрямо ъгъла theta.

цвят_линия тип_линия тип_маркерr червен - плътна +b син -- тирета og зелен -. тирета и точки *w бял . от точки .k черен : двуеточия xc синьо зелен none без линияm пурпуренy жълт

Пример: Изчертава синусоида в интервала .

» t=0:pi/100:2*pi;» y=sin(t);» plot(t,y)

» polar(t,y)

xlabel(′текст′) Добавя текст до x–оста.

ylabel(′текст′) Добавя текст до y-оста.

title(′текст′) Добавя текст като заглавие.

text(x,y,′текст′) Добавя текст, който започва от т. (x,y) на графичния екран.

axis([xmin xmax ymin ymax]) Управлява мащабирането на осите.

grid Променя състоянието на мрежата.

grid on / grid off Добавя/премахва координатната мрежа.

hold Променя състоянието на графиката.

hold on / hold off Задържа текущата графика, като следващите графични команди се добавят към графиката / връща подразбиращия се режим.

figure(H) Създава нова фигура с манипулоатор H или прави текущата фигура да бъде H.

Пример: Изчертава синусоида.» t=-pi:pi/100:pi;» y=sin(t);» plot(t,y);» axis([-pi pi -1 1]);» xlabel('-\pi \leq \itt \leq \pi');» ylabel('\itsin(t)');» title('Графика на функцията синус');» grid on

\pi стойност на \leq ≤\it курсивен шрифт

Пример: Изчертава спрямо в интервала .

» x=0.1:0.1:100;» loglog(x,exp(x)),grid on

Пример: Изчертава спрямо в интервала .

» x = 0:.1:10;» semilogy(x,10.^x)

xe10log 100,1.0x

x x10log10

x10log

» y1=sin(t);» y2=cos(t);» subplot(211),plot(t,y1)» subplot(212),plot(t,y2)» subplot(111)

subplot(m,n,p)

илиsubplot(mnp)

Изчертава няколко графики в един прозорец, като разделя прозореца на mxn матрица от координатни системи и избира p-тата система.

subplot(111) Връща към пълен екран за изчертаване.

» plot(t,y1,t,y2)

plot(x1,y1,x2,y2,…) Изчертава няколко графики в един прозорец върху една координатна система.

plot3(x,y,z) 3-D аналог на plot. Генерира 3-D линия с координати елементите на трите вектора x, y и z (векторите трябва да бъдат с еднаква дължина) и създава 2-D проекция на линията върху екрана.

» t = 0:pi/100:10*pi;» y1 = sin(t);» y2 = cos(t);» plot3(y1, y2, t);» grid on;

stem(y) За дискретни сигнали изчертава данните във вектора y спрямо оста x като всяка точка е малка окръжност и права линия.

stem(x,y) Изчертава данните във вектора y спрямо вектора x.

stem(x,y,′filled′) Използва запълнени маркери.

stem(x,y,′тип_линия′) Използва тип_линия при изчертаването.

Пример: Изчертава дискретен сигнал y[x].

» x=1:5;» y=[1 2 3 4 5];» stem(x,y)

» stem(x,y,'filled')

» stem(x,y,'--')

Пример: Изчертава дискретния във времето сигнал x[n], зададен чрез следните стойности:x[0]=1, x[1]=2, x[2]=1, x[3]=0, x[4]=-1, където x[n]=0 за всяко друго n. Нека векторът n да съдържа стойностите на времето в интервал от -2 до 6s с нарастване 1s.

» n=-2:6;» x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0];» stem(n,x,'filled')» xlabel('n')» ylabel('x[n]')

Пример: Непрекъснатият сигнал се прилага към електронен ключ, който се затваря за много кратко вереме на всеки Т секунди. Изчертава модулирания сигнал – функция на дискретните точки на времето ,където n=...,-2,-1,0,1,2,..., а Т се нарича период на модулация. Нека Т=1s, n[0,30] и x[-1,1].

» n=0:30;» t=0:30;» x=exp(-0.1*t).*sin(2/3*t);» axis([0 30 -1 1])» stem(n,x,'filled')» xlabel('n')» ylabel('x[n]')

tetx t

2sin1.0

Пример: Изчертава периодичния дискретен сигнал за две стойности на : 1=/3 и 2=1,

където =0, А=1. Нека n[-10,30] и x[-1.5,1.5];възстановете възможността за изчертаване върхуцелия прозорец.» n=-10:30;» OMEGA1=pi/3;» OMEGA2=1;» x1=cos(OMEGA1*n);» x2=cos(OMEGA2*n);» subplot(211),stem(n,x1,'filled')» xlabel('n')» ylabel('x[n]')» axis([-10 30 -1.5 1.5])» subplot(212),stem(n,x2,'filled')» xlabel('n')» ylabel('x[n]')» axis([-10 30 -1.5 1.5])» subplot(111)

nAnx cos

Матрици

1. Определения

Матрица е правоъгълен масив от числа.Скалар е 1x1 матрица.Вектор е матрица само с един ред или стълб.

2. Въвеждане на матрици чрез явен списък от елементи – матрицата се запомня автоматично в работното пространство.

» А=[16 3 2 13;5 10 11 8;9 6 7 12;4 15 14 1]A = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

114154

811105

132316

3. Обръщение към матрица – чрез нейното име.

» АA = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

4. Сума от елементите във всеки стълб – резултатът е вектор-ред и се запазва в променливата ans.

» sum(А)ans = 34 34 34 34

5. Сума от елементите на всеки ред – резултатът е вектор-стълб.

Алгоритъм:1) транспониране на матрицата (операция ′);2) изчисляване на сумите по стълбове;3) транспониране на резултата.

» А′ans = 16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1» sum(А′)′ans = 34 34 34 34

6. Сума от елементите от главния диагонал.

» diag(А)ans = 16 10 7 1» sum(diag(А))ans = 34

7. Сума от елементите от второстепенния диагонал.

» sum(diag(fliplr(А)))ans = 34

Функцията fliplr обръща матрицата отляво надясно.

8. Индекси – елементът в ред i и стълб j се означава чрез A(i,j).

а) достъп до елемент на матрицата

» А(4,2)ans = 15

б) сума от елементите в 4-тия стълб

» А(1,4)+A(2,4)+A(3,4)+A(4,4)ans = 34

в) достъп до елемент на масив чрез един индекс –масивът се съхранява по стълбове като един дълъг вектор-стълб; напр. достъп до елемент A(4,2):

» А(8)ans = 15

9. Използване на оператор :

» sum(A(1:4,4)) % сума от 4-тия стълбans = 34

» sum(A(:,end)) % сума от последния стълбans = 34

10.Обратна матрица – функция inv

» A=pascal(3)A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6» inv(A)ans = 3 -3 1 -3 5 -2 1 -2 1

11.Специални матрици

zeros всички елементи са 0;

ones всички елементи са 1;

rand правилно разпределени случайни числа;

randn нормално разпределени случайни числа;

magic магически квадрат от степен N е NxN матрица с елементи естествени числа от 1 до N2 така, че сумата от числата във всеки хоризонтал, вертикал или главен диагонал е една и съща, равна на N(N2+1)/2;

pascal матрица на Паскал от степен N: симетрична положително дефинирана матрица с целочислени стойности, получени от триъгълника на Паскал (първото и

последното число във всеки ред е 1, а другите се получават като сума от двете числа над него).

» o=ones(2,4)o = 1 1 1 1 1 1 1 1

» A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

» A=pascal(3)A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6

12.Слепване на матрици

[] оператор за слепване» A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

» B=[A A+5;A+10 A+20]B = 8 1 6 13 6 11 3 5 7 8 10 12 4 9 2 9 14 7 18 11 16 28 21 26 13 15 17 23 25 27 14 19 12 24 29 22

13.Изтриване на редове и стълбове

[] двойка квадратни скоби

» A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

» A(2,:)=[] % изтрива втори ред от АA = 8 1 6 4 9 2

» A(:,2)=[] % изтрива втори стълб от АA = 8 6 4 2

14.Изграждане на таблици

» n=(0:9)'; % вектор-стълб» pows = [n n.^2] % таблица от квадратите на 2pows = 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81

15.Вход/изход на информация

– въвеждане на информация в диалогов режим – чрез функция input;

» A=[1 2 3 4 5];» A(6)=input('Enter A[6]=')Enter A[6]=6A = 1 2 3 4 5 6

» name=input('Ime=','s')Ime=Ivanname =Ivan

X=input('низ') Като подсказка се извежда низ, потребителят въвежда MATLAB израз, който се изчислява чрез променливите от работното пространство и резултатът се запазва в X.

X=input ('низ','s') Като подсказка се извежда низ, потребителят въвежда символен низ, който се запазва в X като MATLAB низ.

– извеждане на информация – чрез функция disp;

» disp(A(6)) 6

» disp(name)Ivan

disp(X) Извежда масива X, без да отпечатва неговото име. Ако X е низ, извежда се текстът.

Закони в електрическите вериги

1. Първи закон на Кирхоф – сумата от токовете, излизащи от възел, е равна на нула.

2. Втори закон на Кирхов – сумата от напрежителните падове в клоните на затворен контур е равна на сумата от електродвижещите сили на източниците в този контур.Уравнение на контурните токове

[Z][I]=[U] [Z] – матрица на съпротивленията

[I]=[Z]-1[U]

» I=Z\U % ляво деление или » I=inv(Z)*U

Уравнение на възловите напрежения [Y][U]=[I] [Y] – матрица на проводимостите,

[U]=[Y]-1[I] [U] – вектор на напрежения, [I] – вектор на токове

» U=Y\I % ляво деление или » U=inv(Y)*I

Пример: Изчисление на тока през резистора RB и мощността на постояннотоковия източник на напрежение по метод на контурните токове.

030)(5)(30

0)(515)(10

010)(30)(10

065530

053010

10301040

301040

UZI Уравнение на контурните токовеZ – матрица на съпротивлениятаI – вектор на контурните токовеU – вектор на напреженията

» % Уравнение на контурните токове ZI=U» % Матрица на съпротивленията Z» Z=[40 -10 -30;-10 30 -5;-30 -5 65];» % Вектор на напреженията U» U = [10;0;0];» % Вектор на контурните токове I» I=Z\U % или I=inv(Z)*U» IRB=I(3)-I(2) % ток през съпротивлението RB» P=I(1)*10 % мощност на захранващия източник

I = 0.4753 0.1975 0.2346

IRB = 0.0370

P = 4.7531

Файлова система MATLAB

Видове файлове:

1. .mat – двоичен файл, в който се записва работната сесия на системата.

Запазване съдържанието на работната сесия въвфайл име.mat

» save име

Зареждане на работната сесия от файл име.mat

» load име

2. .m – текстов файл, който съдържа функции и скриптове.

– файл-скрипт – съдържа команди на MATLAB:

– обработва съществуващи данни в работното пространство или създава нови данни;

– създадените променливи остават в работното пространство;

– файл-функция – има входни аргументи и връща изходни резултати:

– името на m-файла и името на функцията съвпадат;

– обработва променливи в тяхното собствено работно пространство, различно от основното.

Създаване на .m файл от командния прозорец

File New M-file

Запазване на .m файл от командния прозорец

File Save As…

Промяна на директорията за съхранение на .m файловете

File Set Path

Пример:

Файл-скрипт my.m

File New M-file

A=[… 16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 10.0 11.0 8.0 9.0 6.0 7.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0];File Save As… my

Изпълнение на .m файл

– в работното пространство

» my» AA = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Скриптът създава в работното пространство на MATLAB променлива А, която съдържа матрица.

Операторът my чете от файла my.m и използва създадената променлива А, която съдържа матрицата.

Пример:

Файл-функция my.mFile New M-file

function y=my()y=[... 16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 10.0 11.0 8.0 9.0 6.0 7.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0];

File Save As… myFile CompileИзпълнение на .m файл

– в работното пространство

» A=myA = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Функцията е с име my, няма входни параметри и връща матрица.

Извиква се функцията my и върнатият резултат се присвоява на променливата А, която получава матрицата.

Глобални променливи

global X

X – глобална променлива;

– ако X се дефинира в няколко функции и в работното пространство като global, тогава те споделят единствено копие на X;

– инициализира се с празна матрица.

Пример: Изследване на влиянието на фазата φ върху напрежението на независимия източник на напрежение .

Файл-функция vcos.m:function u = vcos(t)global FI % фазаuA=0.33E-3; % амплитуда=0.33mV

f=50; % честота=50Hz Figure No. 1u=uA*cos(2*pi*f*t+FI);

Изпълнение» figure(1);» t=0:0.001:0.2;» global FI» FI=0;» u=vcos(t);» plot(t,u);» hold on;» FI=45;» u=vcos(t);» plot(t,u);

ftutu A 2cos)(

Управляващи структури

1. Условен оператор if

if израз оператори elseif израз оператори else израз оператори end

2. Условен оператор switch

switch switch_израз case case_израз, оператор,…,оператор case case_израз,...,case_израз оператор,…,оператор ... otherwise оператор,…,оператор end

3. Оператор за цикъл for

for променлива=старт:нарастване:край, оператори end

4. Оператор за цикъл while

while израз оператори end

5. Оператор за прекъсване на цикъл break – прекъсва изпълнението на while или for.

» for k=1:10,x(k)=cos(k);еnd» xx = 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536 0.2837 0.9602 0.7539 -0.1455 -0.9111 -0.8391

или

» k=1:10;» x=cos(k);» x

» a=2;» b=5;» if(a>b) c=a;else c=b;end» cc = 5

Пример: 3-битов А/D конверторПреобразува аналоговиясигнал x в цифров сигнал yсъгласно уравнението:

5.35.2,6

5.25.1,5

5.15.0,4

5.05.0,3

5.05.1,2

5.15.2,1

Файл-функция AD3.m:function y=AD3(x)if x<-2.5 y=0;elseif x<-1.5 y=1;elseif x<-0.5 y=2;elseif x<0.5 y=3;elseif x<1.5 y=4;elseif x<2.5 y=5;elseif x<3.5 y=6;else y=7;endИзпълнение» y1=AD3(-1.25)y1 = 2» y2=AD3(2.57)y2 = 6» y3=AD3(6.0)y3 = 7

Нули на функция. Минимум на функция.

1. Числено решаване на уравнение f(x)=0X=fzero(FUN,X0)

Търси корените на функцията FUN около X0.

» X=fzero('sin(x)',3) % намира корена на sin(x) около x0=3X = 3.1416» X=fzero('sin(x)',[-1,1]) % намира корена на sin(x) в интервала [-1,1],X = % където sin(x) сменя знака си 0» X=fzero('sin(x)',[-4,-3]) % намира корена на sin(x) в интервала [-4,-3]X = -3.1416

2. Минимум на функция f(x)X=fminbnd(FUN,X1,X2)

Търси минимума на функцията FUN в интервала [X1,X2].

» min=fminbnd('sin(x)',-2,-1) % минимум на sin(x) в интервала -2<x<-1

-1.5708

Няма функция за намиране максимума на f(x) – max(f(x))=min(-f(x))

» max=fminbnd('-sin(x)',1,2) % максимум на sin(x) в интервала 1<x<2

1.5708

3. Диференциране

diff(f) Връща , x е подразбиращата се символна променлива

diff(f,n) Връща , x е подразбиращата се символна променлива

diff(f,x,n) Връща , x е явно зададена символна променлива

» syms x y; % дефинира реални символни променливи

» diff(x^y) % първа производна спрямо x (по подразбиране)ans =x^y*y/x

» diff(x^y,x) % първа производна спрямо xans =x^y*y/x

» diff(sin(y*x),x,3) % трета производна спрямо xans =-cos(y*x)*y^3

4. Интегриране

int(f) Връща , x е подразбиращата се символна променлива

int(f,x) Връща , x е явно зададена символна променлива

int(f,a,b) Връща , x е подразбиращата се символна променлива

int(f,x,a,b) Връща , x е явно зададена символна променлива

» syms x;

» int(x^2,x) % неопределен интегралans =1/3*x^3

» int((x^2-2)/(x^3-1),x,2,5) % определен интегралans =-2/3*log(2)+2/3*log(31)+2/3*3^(1/2)*atan(11/3*3^(1/2))-2/3*log(7)-2/3*3^(1/2)*atan(5/3*3^(1/2))

ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb – всички функции решават системата от обикновени диференциални уравнения y'=f(t,y);

ode15s, ode23s, ode23t и ode23tb решават системи от вида my'=f(t,y), като от последните с изключение на ode23s решават уравненията m(t)y'=f(t,y).

Нелинейни числени методиI. Числено решаване на обикновени диференциални уравнения

Всяко обикновено диференциално уравнение от n-ти ред може да се запише като система от n уравнения от първи ред така, че от лявата страна да се намират само производните, а от дясната страна производните да не участват:

[t,y]=ode_function('f',tspan,yo)

[t,y]=ode_function('f',tspan,yo,options)

[t,y]=ode_function('f',tspan,yo,options,p1,p2,...)

f е името на .m файла, който съдържа дясната страна на уравненията – функцията f(t,y) и връща вектор-стълб;има вида:function dydt = f(t,y)където t е скалар, dydt и y са вектор-стълбове.

tspan е вектор, определящ интервала [t0 tfinal];

yo е вектор, определя началните условия;

options е незадължителен параметър, който се създава чрез функцията odeset;

p1,p2,... са незадължителни параметри, които се предават на f;

[t,y] е матрица на решението.

Пример: Уравнение на Ван дер Пол

с начални условия:

Еквивалентно е на система от диференциални уравнения от 1 ред:

с начални условия:

)()()(1)(

tytytydt

Файл-фукция vdp.m:function dy=vdp(t,y) % u=1dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

% t=0 до 20st0=0; tfinal=20;y0=[2; 0]; % начални условия[t,y]=ode45('vdp',[t0 tfinal],y0);plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,2),'r')

Файл-фукция vdp.m:function dy=vdp(t,y,options,u)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=u*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

% t=0 до 20st0=0; tfinal=20;y0=[2; 0]; % начални условия[t,y]=ode45('vdp',[t0 tfinal],y0,[],5);plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,2),'r')

Анализ на преходни процеси

1. RC верига

а) разреждане на кондензатор

– времеконстанта

Ако кондензаторът е бил зареден до напрежение ,аналитичното решение е:

R C uc(t)

mC eUtu

б) зареждане на кондензатор

Ако кондензаторът не е билзареден, т.е. , аналитичното решение е:

C uc(t)E

)1()( RC

C eEtu

Пример: В момента t=0 ключът се затваря и RC веригата се свързва към източник на ток. Да се изчисли напрежението върху кондензатора, ако R=10, C=10F и е приложен постоянен източник на ток I=1A.

tduCti

)()()(

eIRtut

Файл-функции – зареждане на кондензатор1. RC1diff.m – диференциално уравнение

function duc=RC1diff(t,uc,options,I,R,C)tau=R*C;duc(1)=-uc(1)/tau+I/C;

2. RC1.m – аналитично решение

function u=RC1(R,C,I,t)tau=R*C;u=I*R*(1-exp(-t/tau)) )1()(

C eIRtu

C )(1)(

% RC верига – зареждане на кондензаторt0=0; % начално времеtfinal=0.003; % крайно времеuc0=0; % начално условие uc(t=0)=0I=1;C=10e-6;R=10;[t1,uc1]=ode45('RC1diff',[t0 tfinal],[uc0],[],I,R,C); % числено решениеu1=RC1(R,C,I,t1); % аналитично решение% Графика на uc=f(t)subplot(121),plot(t1,uc1)axis([0 0.003 0 12])xlabel('t[s]'),ylabel('uC[V]')subplot(122),plot(t1,u1)axis([0 0.003 0 12])xlabel('t[s]'),ylabel('uC[V]')

C uc(t)

0 0.5s

Пример: Входното напрежение на RC веригата е правоъгълен импулс с амплитуда 5V и ширина 0.5s. Да се изчисли напрежението върху кондензатора за две стойности на R=2.5К и R=10К , ако C=10F. Да се начертае графиката на напрежението на кондензатора в зависимост от времето.

Файл-функции1. Разреждане на кондензаторRCDdiff.m – диференциално уравнениеfunction duc=RCDdiff(t,uc,options,Um,R,C)tau=R*C;duc(1)=-uc(1)/tau;

RCD.m – числено решениеfunction u=RCD(R,C,Um,t)tau=R*C;u=Um*exp(-t/tau)

2. Зареждане на кондензаторRCdiff.m – диференциално уравнениеfunction duc=RCdiff(t,uc,options,E,R,C)tau=R*C;duc(1)=-uc(1)/tau+E/tau;

RC.m – числено решениеfunction u=RC(R,C,E,t)tau=R*C;u=E*(1-exp(-t/tau))

mC eUtu

tdu CC

)1()( RC

C eEtu

tdu CC )()(

% RC веригаt0=0; % начално времеtfinal=0.5; % крайно времеuc0=0; % начално условие uc(t=0)=0E=5; % амплитуда на правоъгълния импулсC=10e-6;

R=2.5e3;% Числено решение[t11,uc11]=ode45('RCdiff',[t0 tfinal],[uc0],[],E,R,C); % зареждане на CUm=uc11(end); % начално условие[t12,uc12]=ode45('RCDdiff',[t0 tfinal],[Um],[],Um,R,C); % разреждане на C

% Аналитично решениеu11=RC(R,C,E,t11); % зареждане на CUm=u11(end); % начално условиеu12=RCD(R,C,Um,t12); % разреждане на C

R=10e3;% Числено решение[t21,uc21]=ode45('RCdiff',[t0 tfinal],[uc0],[],E,R,C); % зареждане на CUm=uc21(end); % начално условие[t22,uc22]=ode45('RCDdiff',[t0 tfinal],[Um],[],Um,R,C); % разреждане на C

% Аналитично решениеu21=RC(R,C,E,t21); % зареждане на CUm=u21(end); % начално условиеu22=RCD(R,C,Um,t22); % разреждане на C

% Графика на uc=f(t) – числено решениеsubplot(211),plot(t11,uc11,'b',t12+0.5,uc12,'b',t21,uc21,'r',t22+0.5,uc22,'r')axis([0 1 0 6]),xlabel('t[s]'),ylabel('uC[V]')text(0.4, 2.0, 'R=2.5K'),text(0.6, 2.0, 'R=10K')

% Графика на uc=f(t) – аналитично решениеsubplot(212),plot(t11,u11,'b',t12+0.5,u12,'b',t21,u21,'r',t22+0.5,u22,'r')axis([0 1 0 6]),xlabel('t[s]'),ylabel('uC[V]')text(0.4, 2.0, 'R=2.5K'),text(0.6, 2.0, 'R=10K')

2. RL верига

а) разсейване на енергия в бобина

– време константа

Ако е началната стойност на тока през бобината,аналитичното решение е:

R uR(t)

tdiRLti

tutu RL

б) натрупване на енергия в бобина

Ако началната стойност на тока през бобината е 0, , решението е:

EtRidt

Etutu RL

R uR(t)E

)1()( t

Пример: За схемата токът през бобината е 0. В момента t=0 ключът се затваря към позиция 1, където остава 1s. След това закъснение от 1s ключът се премества от позиция 1 в позиция 2, където остава неограничено време. Напрежението на постоянотоковия източник е E=40V. Елементите в схемата са: R1=50Ω, R2=50Ω, R3=150Ω, L=200H. Да се начертае графиката на тока през бобината спрямо времето.

R2=50R3=150

Файл-функции

1. Разсейване на енергията в бобинаRLDdiff.m – диференциално уравнениеfunction diL=RLDdiff(t,iL,options,Im,R,L)tau=L/R;diL(1)=-iL(1)/tau;

RLD.m – числено решениеfunction i=RLD(R,L,Im,t)tau=L/R;i=Im*exp(-t/tau)

2. Натрупване на енергия в бобинаRLdiff.m – диференциално уравнениеfunction diL=RLdiff(t,iL,options,E,R,L)tau=L/R;diL(1)=-iL(1)/tau+E/L;

RL.m – числено решениеfunction i=RL(R,L,E,t)tau=L/R;i=E/R*(1-exp(-t/tau))

)1()( t

tdi )()(

% RL веригаR1=50;R2=50;R3=150;L=200;E=40;R=R1+R2; % ключът е в позиция 1 – натрупване на енергия в Lt0=0; % начално времеtfinal=1; % крайно времеiL0=0; % начално условие iL(t=0)=0[t1,iL1]=ode45('RLdiff',[t0 tfinal],[iL0],[],E,R,L); % числено решениеi1=RL(R,L,E,t1); % аналитично решение

R=R2+R3; % ключът е в позиция 2 – разсейване на енергия в Lt0=0; % начално времеtfinal=5; % крайно времеIm=iL1(end); % начално условие[t2,iL2]=ode45('RLDdiff',[t0 tfinal],[Im],[],Im,R,L); % числено решениеIm=i1(end); % начално условиеi2=RLD(R,L,Im,t2); % аналитично решение

% Графика на iL=f(t) – числено решениеsubplot(121),plot(t1,iL1,'r',t2+1,iL2,'r')axis([0 6 0 0.18]),xlabel('t[s]'),ylabel('i[A]'),title('RL')% Графика на iL=f(t) – аналитично решениеsubplot(122),plot(t1,i1,'b',t2+1,i2,'b')axis([0 6 0 0.18]),xlabel('t[s]'),ylabel('i[A]'),title('RL')

3. RLC верига

uC(t)u(t)

)()()()(

tutudt

tdiLtu

tutututu

)()(1)(

)()()(

tutydt

tdyLtRy

tdyCty

Пример: В момента t=0 ключът се затваря и RLC веригата се свързва към източник на напрежение.Да се изчисли напрежението върхукондензатора, ако R=10, L=10mH, C=100F и еприложен постоянен източник на напрежениеU=50V.

Файл-функция RLC.m – RLC верига

function dy=RLC(t,y,options,u,R,L,C)dy=zeros(2,1);a=1/L;b=R/L;c=1/C;dy(1)=a*u-b*y(1)-a*y(2);dy(2)=c*y(1);

% RLC веригаU=50;R=10;L=10e-3;C=100e-6;t0=0; % начално времеtfinal=30e-3; % крайно времеiL0=0; % начално условие iL(t=0)=0uC0=0; % начално условие uC(t=0)=0

[t,x]=ode45('RLC',[t0 tfinal],[iL0 uC0],[],U,R,L,C); % числено решение

plot(t,x(:,1),'b',t,x(:,2),'r')axis([0 30e-3 -10 60]),xlabel('t[s]')text(0.015, 2, 'iL(t)'),text(0.015, 52, 'uC(t)')

quad('f',a,b) – изчислява определен интеграл от f(x) от a до b с относителна грешка 1е-3, като използва адаптивното правило на Simpson;'f' е символен низ, съдържащ името на функцията;връща вектор от изходните стойности, ако е даден вектор с входни стойности;връща q=inf, ако е достигнато крайно ниво на рекурсия.

II. Числено интегриране

Квадратура е числен метод за апроксимация на площта под графиката на функцията f(x), дефинирана върху интервала [a,b], т.е. определен интеграл:

quad('f',a,b,tol) – интегрира, докато се достигне относителна грешка tol; за определяне на относителна и абсолютна грешка се използва tol=[относителна_грешка, абсолютна грешка].

quad('f',a,b,tol,trace) – интегрира до относителна грешка tol и при ненулева стойност на trace изчертава графика, показваща процеса на интегрирането.

quad('f',a,b,tol,trace,p1,p2,...) – позволява директно предаване на параметрите p1,p2,... към функцията f(x,p1,p2,...); за да се използват подразбиращите се стойности за tol и trace, те се предават в празна матрица [ ].

quad работи с нелинейни функции f(x,p1,p2,...) на скаларна променлива, т.е. една функция работи с друга функция; нелинейната функция f се представя чрез .m файл, чието име съвпада с името на функцията.

» q=quad('sin',0,pi,[],1)q = 2.0000

1. Интегриране на . dxx

2. Интегриране на .

» q=quad('sin',0,2*pi,[],1)q = 0

3. Апроксимация на числото чрез

Файл-функция p.m:

function y=p(x)y=4./(1.+x.^2);

» q=quad('p',0,1);» qq = 3.1416

Полиноми

I. Нули на полином

r=roots(p)

p – вектор-ред, съдържа коефициентите на полинома в намаляващ ред

r – вектор-стълб, съдържа корените на полинома p

Пример:

» p=[1 -6 -72 -27];

» r=roots(p)r = 12.1229 -5.7345 -0.3884

27726 23 sssp

1 ... asasasap nn

II. Коефициенти на полином

p=poly(r)

r – вектор-стълб, съдържа корените на полином

p – вектор-ред, съдържа коефициентите на полинома в намаляващ ред

Пример: Корените на полином са 12.1229, -5.7345и -0.3884

» r=[12.1229 -5.7345 -0.3884]';» p=poly(r)p = 1.0000 -6.0000 -72.0000 -27.0011

27726 23 sssp

III. Стойност на полином

y=polyval(p,s)

p – вектор-ред с дължина n+1, съдържа коефициентите на полинома в намаляващ ред

s – вектор-ред, съдържа стойности, за които полиномът ще се изчислява

y – вектор-ред, съдържа изчислените стойности на полинома

Пример: Стойности на полинома при s=1, 2 и 3

» p=[1 -6 -72 -27];» s=[1 2 3];» y=polyval(p,s)y = -104 -187 -270

27726 23 sssp

270)3(

187)2(

104)1(

IV. Апроксимиране с полином

p=polyfit(x,y,n)

x,y – данните, които се апроксимират

n – степен на полинома

p – вектор-ред с дължина n+1, съдържа коефициентите на полинома в намаляващ ред, който апроксимира p(x(i)) към y(i)

Пример: Апроксимиране с полином от степен 6на измерени данни » t=0:0.1:2.5;» i=[0 0.1125 0.2227 0.3286 0.4284 0.5205 0.6039 ... 0.6778 0.7421 0.7969 0.8427 0.8802 0.9103 0.9340 ... 0.9523 0.9661 0.9763 0.9838 0.9891 0.9928 0.9953 ... 0.9970 0.9981 0.9989 0.9993 0.9996];» p=polyfit(t,i,6)» plot(t,i,'ro',t,polyval(p,t))

Резултати:p = 0.0084 -0.0985 0.4222 -0.7440 0.1475 1.1064 0.0005

0004.01064.11475.07440.04222.00985.00084.0 23456 ttttttp

Променливотоков анализ

1. Променливотокова мощност

Ако и са периодични сигнали с период T:

Z - импеданс

)()()( titutp

)(tu )(ti

eff dttuT

eff dttiT

– ефективна стойност на напрежението

– ефективна стойност на тока

dttituT

– средна мощност

effeff IU

Ppf – фактор на мощността

Ако и са синусоидални:

)(tu )(ti

– реактивна мощност

iueffeff

iueffeff IUQ sin

iuiueffeff jIUS

sincos– комплексна мощност

rad180

2 – кръгова честота

– преобразуване на ъгъл от градуси в радиани

Пример: Да се изчислят средната мощност, ефективните стойности на напрежението и тока, фактора на мощността (аналитично и числено), ако и .

Файл-функции

voltage.mfunction u2=voltage(t)u2=(10*cos(120*pi*t+60*pi/180)).^2;

current.mfunction i2=current(t)i2=(6*cos(120*pi*t+30*pi/180)).^2;

power_average.mfunction p=power_average(t)i=6*cos(120*pi*t+30.0*pi/180);u=10*cos(120*pi*t+60.0*pi/180);p=i.*u;

60120cos10)( ttu 30120cos6)( tti

22 60120cos10)( ttu

22 30120cos6)( tti

)()()( titutp

w=120*pi; % кръгова честотаT=2*pi/w; % период на синусоидата% Числено решениеa=0; % долна граница на интегралаb=T; % горна граница на интегралаu=quad('voltage',a,b);Ueff=sqrt(u/T);i=quad('current',a,b);Ieff=sqrt(i/T);p=quad('power_average',a,b);P=p/T;pf=P/(Ueff*Ieff);% Аналитично решениеUeffa=10/sqrt(2);Ieffa=6/sqrt(2);Pa=Ueffa*Ieffa*cos(30*pi/180);pfa=cos(30*pi/180);% Извеждане на резултатитеdisp('Ueff'),disp(Ueff),disp(Ueffa);disp('Ieff'),disp(Ieff), disp(Ieffa);disp('P'), disp(P),disp(Pa);disp('pf'),disp(pf),disp(pfa);

Резултати:Ueff 7.0711 7.0711Ieff 4.2426 4.2426P 25.9808 25.9808pf 0.8660 0.8660

2. Комплексна форма на напреженията и токовете

Ако , то ,

– комплексно напрежение.

Ако е напълно синусоидално,

yarctg

zjzAejAAjyxz j

ImResincos

– амплитуда

– начална фаза

– комплексна амплитуда на напрежението

– комплексна честота

tm eeUeeUUteUtu cos

teUtu tm cos Utu Re

tUtu m cos

3. Предавателна функция

asasasa

bsbsbsb

изх

Комплексно честотно представяне

pspsps

zszszsksH

Линейна веригаuвх(t) uизх(t)

Линейна веригаUвх(s)est Uизх(s)est

– константа

– нули

– полюсиn

,...,,

– предавателна функция

– разлагане на множители

– дробни части

[r,p,k]=residue(num,den)

num – вектор-ред, съдържа коефициентите на полинома-числител в намаляващ ред

den – вектор-ред, съдържа коефициентите на полинома-знаменател в намаляващ ред

r – вектор-стълб, съдържа остатъците от частното на num и den

p – вектор-стълб, съдържа полюситеk – вектор-ред, съдържа директните изрази

Пример: За RLC веригата намерете: – предавателната функция ;– нулите и полюсите на ;– , ако . 402cos10 3 tetu t

вх tuизх

LCssRC

вхекв

вхвх

изх

uизх(t)uвх(t)

C=100u

23 js 402cos10 3 tetu tвх

вхmвх еeUU

jmjsвхизх eUsHUU 22

=> комплексна честота

– комплексна амплитуда на входното напрежение

– комплексна амплитуда на изходното напрежение

– предавателна функция

R=10;L=10e-3;C=100e-6;% Разлагане на множители на предавателната функцияnum=[R/L 0];den=[1 R/L 1/(L*C)];z=roots(num); % нулиp=roots(den); % полюсиdisp('z'),disp(z); % изобразява изчислените величиниdisp('p'),disp(p);[r,p,k]=residue(num,den); % разлагане на дроби на предавателната disp('r'),disp(r); % функцияdisp('p'),disp(p);disp('k'),disp(k);% Стойност на предавателната функция при дадена комплексна честотаs=-3+j*2; % комплексна честотаn=polyval(num,s);d=polyval(den,s);% Изходно напрежениеUout=10*exp(j*40*pi/180)*n/d; % комплексна амплитудаUm=abs(Uout); % амплитудаfi=angle(Uout)*180/pi; % начална фаза в градусиdisp('Um'), disp(Um);disp('fi'),disp(fi);

Резултати:z 0p 1.0e+002 *

-5.0000 + 8.6603i -5.0000 - 8.6603ir 1.0e+002 * 5.0000 + 2.8868i 5.0000 - 2.8868ip 1.0e+002 *

-5.0000 + 8.6603i -5.0000 - 8.6603ikUm 0.0362fi -173.8043

66.8510066.85100 jsjs

66.85100

8868.25100

66.85100

8868.25100

8043.1732cos0362.0

;8043.173,0362.03 tetu

изх

2. Честотен анализ

Честотна характеристика – отговорът на схемата при синусоидален входен сигнал

– амплитудно-честотна характеристика

– фазово-честотна характеристика

jjs eAsH

jъгълH

Пример: За RLC веригата начертайте амплитудно-честотната и фазово-честотната характеристика за две стойности на съпротивлението: R=10Ω и R=0.5Ω.

uизх(t)uвх(t)

C=100u

Файл-функция transfer.m – предавателна функция function h=transfer(w,R,L,C)h=(j*w*(R/L))./((j*w).^2+j*w*(R/L)+1/(R*C));

L=10e-3;C=100e-6;w=[0.1:0.1:10^4];R=10;H1=transfer(w,R,L,C);R=0.5;H2=transfer(w,R,L,C);f=w/(2*pi);

% Графика на амплитудно-честотните характеристики на RLC веригаsubplot(221),loglog(f,abs(H1),'b'),grid on,ylabel('|H(j\omega)'),xlabel('f[Hz]');subplot(222),loglog(f,abs(H2),'r'),grid on,ylabel('|H(j\omega)'),xlabel('f[Hz]');

% Графика на фазово-честотните характеристики на RLC веригаsubplot(223),semilogx(f,angle(H1)*180/pi,'b'),grid on;ylabel('\angleH(j\omega)(\circ)'),xlabel('f[Hz]');subplot(224),semilogx(f,angle(H2)*180/pi,'r'),grid on;ylabel('\angleH(j\omega)(\circ)'),xlabel('f[Hz]'); ,

При намаляване стойността на R от 10 до 0.5Ω лентата на пропускане на амплитудно-честотната характеристика намалява и качественият фактор на схемата нараства.

Интерактивна система за технически изчисления,...

Documents

ВИЗУАЛНО ПРОГРАМИРАНЕ - podai.me · pdf...

интерактивна комуникация 2012г

Програмиране с python 2012, лекция 0

Програмиране за .net framework 2.0

Ефекти на разтворителя, ...

Програмиране на c / c ++

Програмиране за начинаещи със c#

Програмиране с Питон - django, част 1

Курс по програмиране на c# 2013 - 1....

Програмиране на малки...

В света на хората-1 (за...

Програмиране на Пролог

Обектно-ориентирано...

Облачни изчисления

Многонишково програмиране и...

Курс по уеб програмиране

Сборник задачи по програмиране...

4810201 Системно програмиране

Курс по програмиране на c# 2013 - 6....

Програмиране под Интернет