СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ.СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ.

ГРАДИЕНТ.ГРАДИЕНТ.

Скалярное поле и его геометрическое Скалярное поле и его геометрическое изображение.изображение.

Опр-е:Опр-е: Скалярным полем называется часть Скалярным полем называется часть пространства (или все пр-во), каждой точке Р которой пространства (или все пр-во), каждой точке Р которой соответствует численное значение некоторой соответствует численное значение некоторой скалярной величины скалярной величины UU..Пр-ры:Пр-ры: неоднородное тело, каждой точке которого неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, соответствует определенное значение плотности, поле распределения температуры в данном теле; поле распределения температуры в данном теле; поле распределения электрического потенциала и поле распределения электрического потенциала и т.д.т.д. Скалярная величина Скалярная величина UU не зависит от времени, а не зависит от времени, а зависит от положения точки Р в пространстве.зависит от положения точки Р в пространстве. Величина Величина U U рассматривается как функция точки Р: рассматривается как функция точки Р: u=F(P)u=F(P). Эта функция называется . Эта функция называется функцией поля.функцией поля.

U=F(P)=F(x,y,z)U=F(P)=F(x,y,z) Всякая функция трех переменных Всякая функция трех переменных U=(x,y,z) U=(x,y,z) задает некоторое скалярное поле.задает некоторое скалярное поле. Скалярные поля изображаются геометрически с Скалярные поля изображаются геометрически с помощью поверхностей уровня.помощью поверхностей уровня.

Опре-е:Опре-е: Поверхностью уровняПоверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция поля U=F(x,y,z) имеет одно и то же значение С.Ур-е поверхности уровня имеет вид:

F(x,y,z)=C

Пр-р:Пр-р: 1) U=x2+y2+z2

поверхности уровня сферы : x2+y2+z2=С. 2) если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля будут так называемые изотермические поверхности, т.е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.

Производная по направлению.Производная по направлению.Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля U=F(x,y,z). Рассмотрим точку Р(x,y,z) этого поля и луч , выходящий из точки Р в направлении единичного вектора.

где - углы вектора c осями координат.Опр-е:Опр-е: Производной функции U=F(x,y,z) по направлению

называется предел .

Обозначение: .

Производная по направлению дает скорость

изменения функции U в этом направлении.

kjiel coscoscos

,, e

l

ul

0lim

l

u

l

u

l

l

Формула для:

(*)Следствие:Следствие: если вектор совпадает с одним из векторов , то производная U по направлению совпадает c соответствующей частной производной этой функции.. Пр-р:Пр-р: Найти производную функции u=x2-2xz+y2 в точке Р1(1;2;-1) по направлению, идущему от точки Р1 к точке Р2 (2;4;-3).

Решение:

соответствующий ему единичный вектор

l

u

cos),,(cos),,(cos),,(

zyxFzyxFzyxFl

uzyx

e

kji,,

kjikjiPP22)13()24()12(21

kjikji

PP

PPe

3

2

3

2

3

1

441

22______

21

_____

21

l

Найдем частные производные функции: u=x2-2xz+y2

Их значения в точке Р1 (1;2;-1);

Подставляем в формулу (*) найденные значения, получим искомую производную:

3

2cos;

3

2cos;

3

1cos

xz

uy

y

uzx

x

u2;2;22

4221 p

x

u

41 p

y

u

21 p

z

u

3

16)3

2)(2(

3

24

3

14

l

u

• Градие́� нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении.

• Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Градиент.

• В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

• Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

При изучении скалярных полей наряду с функцией поля U=F(x,y,z) рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией – градиент градиент скалярного поля. скалярного поля.

Опр-е:Опр-е: Градиентом в точке Р(x,y,z) скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией U=F(x,y,z), называется вектор, равный:

Связь между градиентом функции U=F(x,y,z) в данной точке и производной по направлению в этой же точке.

Теорема:Теорема: Проекция вектора grad u на единичный вектор равна производной ф-ии U по направлению

kzyxFjzyxFizyxFPgradF zyx

),,(),,(),,()(

kjie

coscoscos

l

ugraduпрl

l

! Проекция grad u на вектор равна скорости изменения поля U=F(x,y,z) в направлении вектора .

Пусть угол между и gradu.

Тогда

если , то имеет наибольшее значение ,

равное .

Вывод:Вывод: gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого

возрастания.

e

e

e

cos gradugraduпрl

cos

gradul

u

0l

du

gradu

• Наибольшая скорость изменения функции U в точке

М равна:

В этом состоит физический смысл градиента.

Приме́р:Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке А(-1;1;-1)

Ре́ше́ние́:

22 2u u u

gradUx y z

x y zU

y z x

2 2 2

1 1 1;

( 1;1; 1) 2 0 2 2 2 .

z x ygradU i j k

y x y z z x

gradU i j k i k

Наибольшая скорость возрастания функции равна:

Отметим,что функция U будет убывать с наибольшей скоростью( ),если точка А движется в направлении - (антиградиентное направление).

( ) 4 0 4 2 2gradU A

2 2( ) 2 2gradU A i k

• Приме́р:Вычислить производную функции

в точке в направлении вектора

и градиент.

Ре́ше́ние́. Найдем значение частных производных в точке .

Вычислим направляющие косинусы

Тогда:1)

2)

• Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора .. В (3, 0).

• Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора  

• =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .

• Далее определяем модуль этого вектора:

ABNNNNNNNNNNNNNN

ABNNNNNNNNNNNNNN

ABNNNNNNNNNNNNNN

8 2 2AB NNNNNNNNNNNNNN

• Находим частные производные функции z в общем виде:

•  

• Значения этих величин в точке А :

22z

x yx

2

zxy

y

6z

x

4

z

y

• Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

• За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

• :

2 2cos cos

2 2 2 2

ABs i j i j

AB

NNNNNNNNNNNNNN

NNNNNNNNNNNNNN

s

• Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора

• Окончательно получаем:

• - значение производной заданной функции по направлению вектора .

ABNNNNNNNNNNNNNN

2cos

2

2cos

2

2 26 4 22 2

z

x