从「数学思考」 到「思考数学 」

勤益科技大学基础通识教育中心 刘柏宏102 年 11 月 19 日于浙江师范大学

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大发现解决大问题，但并不是只有大发现才有存在的价值。每一个问题都必须要有某种发现才行。数学有两面， ......以欧几里德的方式呈现的数学，看起来像是一门有系统的演绎科学；但发展中的数学，又像是一门实验的归纳科学。--《如何解题》

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NCTM (1980) ：数学解题应当成为学校数学教学的中心焦点 NCTM (1989) ：数学解题应为学校教学的主要目标，并整合所有的数学活动 NCTM (2000) ：数学解题应为学校数学的基石

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ICME-4 (1980): 数学解题被分派在课程的独特面向项目之下 ICME-5 (1984): 数学解题为 7 个 TSG 之一 ...... ICME-9 (2000): 数学解题为 23 个 TSG 之一 ICME-10 (2004): 数学解题为 29 个 TSG 之一 ICME-11 (2008): 数学解题为 38 个 TSG 之一 ICME-12(2012): 数学解题为 37 个 TSG 之一

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猜想与试验利用变数绘制图形寻找模式先解较简易题目另解等价题目从结果反推......

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旧有脉络 水平迁移脉络

垂直迁移脉络

?

?

新脉络

?

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信念beliefs

后设认知metacognition

情绪emotion

知识knowledge

解题problem solving

问题情境context

认知cognition

knowing about knowing ( 知道你知道什么 ) thinking about thinking ( 思考你思考什么 )和个人的认知管理 (cognitive management) 与自我修正 (self-regulative) 行为有关 在解题过程中如何有效地读取并配当相关的知识，决定在适当时机应用适当的解题策略

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我在思考……

我在思考我在思考什么……

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你看到什么？

Schoenfeld ：信念系统包含自我概念、情境、主题、和数学知识本身 含括理性与非理性的心理层面一个相当模糊的概念，缺乏明确的定义后设认知和数学信念有着紧密的连结 Schoenfeld ：构成解题者的数学世界观，进而影响解题者所采取的策略

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我在这里！

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叙述性信念 评价型信念

指示型信念

叙述性信念：教师培训几乎都在听演讲评价型信念：演讲内容对我都是有用的指示型信念：所以我乐意参加教师培训叙述性信念：领导希望我参加教师培训评价型信念：不参加培训领导会不高兴指示型信念：所以我会在这边参加培训

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领域信念

综合信念

学科信念

探究特定信念比较可行也比较有收获(Pajares, 1992)

数学认识信念 (epistemological beliefs): 对于数学知识和数学认识本质的信

念 (beliefs about the nature of mathematical knowledge and knowing)

宏观 (macro-) 和微观信念 (micro-belief)

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数学是一种逻辑演绎的科学？历史的进程显示，数学知识的发展先是直觉归纳，随后才继之以逻辑演绎。

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以微积分概念的发展历程为主架构以微积分历史上的关键问题为导向比较历史上东西方数学家解题策略了解数学概念发展过程的非逻辑性认知数学社群间的自我修正与建构观察学前学后学生数学信念的演变

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重新思考习以为常的观念！

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解构再建构！

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九章算术圆面积公式

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公元公元 263263年年曹魏大举进攻蜀汉，曹魏大举进攻蜀汉，进逼成都，刘禅出降，蜀汉亡进逼成都，刘禅出降，蜀汉亡

刘徽，三国曹魏数学家公元 263年，为九章算术做注释

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又按，为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！

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半圆周半径

半周半径相乘得积步

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《论圆的测量》：圆面积等于一个以此圆半径为高、圆周长为底之直角三角形的面积

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阿基米得求圆面积

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半径圆周

阿基米得洋葱术

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今有积四千五百尺。问为立圆径几何？答曰：二十尺。开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。

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《九章算术》一书中指出一圆球体积与其外切圆柱体之体积比为 π:4 。对不对？

r2

4r2

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刘徽注解时说明九章算术的公式有误。刘徽用了一个很特殊的立体「牟合方盖」但是未能找出正确的球体积公式。 200年之后的祖冲之与祖暅父子，才证明了正确的公式。

截面积比 = : 4

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+ =

+ =红色面积 蓝色面积 绿色面积

修编自香港梁子杰老师档案

+ =

+ =3

31 r r 3

= 3

32 r

牟合方盖体积81

牟合方盖体积81

修编自香港梁子杰老师档案

牟合方盖体积 3

328 r

3

316 r

因此，球体体积 3

316

4r

3

34 r

圆锥薄片体积 = h 2 h

=圆柱薄片挂于 h处之力矩

h

h

ha球体薄片体积 = h(2r h) h

2r-h

a2 = h(2rh)

= 2r(h2+a2) h = 2r(h2 +h(2r–h)) h = (2r)2 h h

2r

2r

h

圆球与圆锥挂于 2r处之力矩

h

h

h

ha

2r-h

2r 2r

2r

2r × (球体体积 +圆锥体体积 ) = r ×圆柱体体积

2r ×（球体体积 +8r3/3）= r ×(2r)2 × 2r

球体的体积为 4r3/3

刘徽：「勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之羃。」

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数学是一门绝对严谨的科学吗？

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Guido Grandi 计算算法一 :算法二 :算法三 :

?...111111 0...)11()11()11(

1...)11()11()11(1

2112

1...)111111(1...111111令

SS

SS

哪一个方法对？

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若我们随机地计算任意有限项之和，其值为0 或 1 。因此就机率观点而言应取其平均值 1/2。

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师： ，懂吗？生：懂！师：生：… #@%&*$…

28 )8(1lim

xx

?)3(

1lim 23

xx

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23 )3(1lim

xx

28 )8(1lim

xx

28 )8(1lim

xx

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自由落体之距离与时间的关系式为 s(t) = at2

令 Δs = s(t1) s(t0) = at12 at0

2 = a [(t0+Δt)2 t0

2] = a (2t0Δt +Δt2)因此 Δs /Δt = a (2t0Δt +Δt2) /Δt = 2at0+Δt…… (*)牛顿：当 Δt 为无穷小量时，将 (*) 式等号右边之 Δt忽略即可得 t0时之瞬间速度为 2at0

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虽然我对于你个人是陌生的，但是对于你在自己专门研究的学科所获得的声誉却不陌生。……我关于你的结论并没有什么争议，但关于你的逻辑和方法却有一点争辩。你是如何证明的呢？……那么这些流数是什么呢？渐渐消失的增量。那么这些渐渐消失的增量又是什么呢？他们既不是有限量，又不是无限小量，又还不是无。我们能不能称他们为逝去的量的鬼魂呢？

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xxxxxx n

1......32

1...1...111

2

xx

xxx n

01111

)...()111...( 22

xx

xx

xx

xx

xxxx

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机械式思考 拼图式思考

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高耸屹立的城堡 泥沙堆栈的建筑

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数学真理 数学真理

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直觉经验主义推论经验主义

推论相对主义

需要厚实数学知识背景的题目，抱持着精熟信念 (sophisticated beliefs) 的学生通常表现较佳仅需低度数学知识的非制式问题，抱持着素朴信念 (naïve beliefs) 的学生有时反而表现得较好

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宏观数学

微观数学

对数学解题的内涵已了解得相当透彻？它远比我们原先所想象的更为复杂？

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思考

解题

信念

信念

认知 解题可能是后者！

山穷水尽疑无路

柳暗花明又一村

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不见庐山真面目

只觉身在此山中 谢谢大家！