формули зведення

На допомогу учням 10 класу при вивченні теми Формули зведення.

0 1

1

x

y

I чвертьII чверть

III чверть

IV чверть

0180

090

0270

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

• - це формули, що дозволяють виражати значення тригономе-тричних функцій будь - якого кута через функції кута першої чверті, тобто менших за 90°.

x

y

0 cos

sin

900+

1800+

2700+

Побудуємо довільний гострий кут повороту .

Тепер зобразимо кути 900+ , 1800+ , 2700+ и 3600+ .

сos(900+)

sin(900+)

сos(1800+)

sin(1800+)

sin(2700+)

cos(2700+)

, 3600+

З рівності прямокутних трикутників можна зробити висновок, що:

cos=sin(900+ )=–cos(1800+ )=–sin(2700+ )=cos(3600+ ), а также

sin=–cos(900+ )=–sin(1800+ )=cos(2700+ )=sin(3600+ ).

Розглянемо приклади:

В градусній мірі: В радіанах:

10200=900·11+300=900·12–60028

18 193 2 3 2 6

· ·

1020 901190

1209030

28 28 2 56 2 2 118 18 19

3 3 3 3 3 3·

Помножте отримані суму чи різницю на й отримайте шукані вирази.

2

В обох випадаках ми досягли наступного: аргумент тригонометричної функції подано у вигляді цілого числа прямих кутів плюс чи мінус якийсь гострий кут.

ПРАВИЛО 1. ЯКЩО КУТ ВІДКЛАДАЮТЬ ВІД ОСІ ОX, ТО НАЙМЕНУВАННЯ ФУНКЦІЇ НЕ

ЗМІНЮЄТЬСЯ.

0 x

y

02

III

III IV

2

ПРАВИЛО 1. А ЯКЩО КУТ ВІДКЛАДАЮТЬ ВІД ОСІ ОY, ТО НАЙМЕНУВАННЯ ФУНКЦІЇ

ЗМІНЮЄТЬСЯ.

0 x

y

0

23

III

III IV

2

2

23

cossin ctgtg

ПРАВИЛО 2. ЗНАК В ПРАВІЙ ЧАСТИНІ ФОРМУЛИ ВИЗНАЧАЄТЬСЯ ЗА ЗНАКОМ ФУНКЦІЇ В ЛІВІЙ

ЧАСТИНІ.

0 x

y

02

2sin sin

sin sin

tg tg

2cos cos

III

III IV

2ctg ctg

ПРАВИЛО 2. ЗНАК В ПРАВІЙ ЧАСТИНІ ФОРМУЛИ ВИЗНАЧАЄТЬСЯ ЗА ЗНАКОМ ФУНКЦІЇ В ЛІВІЙ

ЧАСТИНІ.

0 x

y

0

III

III IV

2

23

2sin cos

23cos sin

2tg ctg

tg

23ctg

Пригадаємо знаки тригонометричних функцій

х

0

у

1

1

х

0

у

1

1

х

0

у

1

1

Знаки синуса

Знаки косинуса

Знаки тангенса й котангенса

++ ++

+

+––––

–

–

Приклад.

Знайти sin 10200.

Розв‘язання. Спочатку подамо даний кут в потрібному нам вигляді:

10200=900·11+300=900·12–600

I II

0 0 0 01020 90 30 31 01sin sin · cos

0 0 0 01020 90 60 62 01sin sin · sin

У першому випадку нам доведеться змінювати дану функцію синус на кофункцію – косинус (кількість прямих кутів непарне – 11), у другому функція синус збережеться.

I

II

Залишається нез'ясованим питання про знак перед отриманим результатом. Для його вирішення нам необхідно вміти працювати з одиничним тригонометричним колом (уважно слідкуйте за обертанням точки):

?

?

х

у

0 1

1

х

у

0 1

1

I II

12

3 4

56

7 8

910

11

12

3 4

56

7 8

910

11 12

В будь-якому випадку виходить IV чверть, у якій синус набуває від‘ємних значень.

– –

Отже, 0 0 0 0 3

1020 90 3011 302

sin sin · cos

0 0 0 0 31020 90 6012 60

2sin sin · s in .