Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1

Г.Полиа, Г.Сеге ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Содержание

От издательства 7 Предисловие 8 Обозначения и сокращения 16

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Глава 1. Вычисления со степенными рядами задачи решения

1 (1-31). Задачи из аддитивной теории чисел 19 181 2 (32-43). Биномиальные коэффициенты и прочее 23 188 3 (44-49). Дифференцирование степенных рядов 25 189 4 (50-60). Определение, коэффициентов при помощи

функциональных уравнений 27 190

5 (61-64). Мажорантные ряды 28 193 Глава 2. Преобразования рядов. Теорема Чеэаро задачи решения

1 (65-78). Преобразование последовательностей в последовательности в случае, когда в каждой строке схемы имеется только конечное число элементов, отличных от нуля

29 194

2 (79-82). Преобразование последовательностей в последовательности (общий случай) 32 197

3 (83-97). Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро 33 198

Глава 3. Структура вещественных последовательностей и рядов задачи решения

1 (98-112). Структура бесконечных последовательностей 37 202 2 (113-116). Показатель сходимости 40 206 3 (117-123). Максимальный член степенного ряда 40 207 4 (124-132). Части рядов 43 208 5 (133-137). Перестановки членов вещественного ряда 44 210 6 (138-139). Распределение знаков членов ряда 46 211 Глава 4. Смешанные задачи задачи решения

1 (140-155). Обвертывающие ряды 46 212

2 (156-185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам 50 216 ОТДЕЛ ВТОРОЙ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 1. Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников задачи решения

1 (1-7). Нижние и верхние суммы 57 227 2 (8-19). Степень приближения 59 228 3 (20-29). Несобственные интегралы в конечных пределах 61 232 4 (30-40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах 63 234 5 (41-47). Теоретико-числовые применения 65 236 6 (48-59). Средние значения. Произведения 67 238 7 (60-68). Кратные интегралы 70 241 Глава 2. Неравенства задачи решения

1 (69-97). Неравенства 72 244 Глава 3. Из теории функций действительного переменного задачи решения

1 (98-111). Интегрируемость в собственном смысле 82 252 2 (112-118). Несобственные интегралы 84 256 3 (119-127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые

функции 86 258

4 (128-146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса 87 264 Глава 4. Различные типы равномерного распределения задачи решения

1 (147-161). Числовая функция. Регулярные последовательности 91 269 2 (162-165). Критерии равномерного распределения 94 273 3 (166-173). Распределение кратных иррационального числа 95 275 4 (174-184). Распределение цифр в таблице логарифмов и

аналогичные задачи 97 276

5 (185-194). Другие типы равномерного распределения 99 281 Глава 5. Функции больших чисел задачи решения

1 (195-209). Метод Лапласа 103 283 2 (210-217). Модификации метода Лапласа 106 287 3 (218-222). Асимптотическое вычисление некоторых

максимумов 108 291

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЩАЯ ЧАСТЬ

Глава 1. Комплексные числа и последовательности задачи решения

1 (1-15). Области и кривые. Вычисления с комплексными числами 110 293

2 (16-27). Расположение корней алгебраических уравнении 112 296 3 (28-35). Продолжение: теорема Гаусса 115 299 4 (36-43). Комплексные числовые последовательности 116 302 5 (44-50). Продолжение: преобразования рядов 118 304 6 (51-54). Изменение порядка членов в комплексных рядах 119 308 Глава 2. Отображения и векторные поля задачи решения

1 (55-59). Дифференциальные уравнения Коши-Римана 120 309 2 (60-84). Специальные элементарные отображения 121 310 3 (85-102). Векторные поля 126 315 Глава 3. Геометрическое поведение функции задачи решения

1 (103-116). Отображение окружности кривизна и опорные функции 131 320

2 (117-123). Средние значения вдоль окружности 134 322 3 (124-129). Отображение круга. Площадь области, получаемой

при отображении 136 323

4 (130-144). Поверхность модуля. Принцип максимума 137 324 Глава 4. Интеграл Коши. Принцип аргумента задачи решения

1 (145-171). Интеграл Коши 140 328 2 (172-178). Формулы Пуассона и Иенсена 145 338 3 (179-193). Принцип аргумента 148 341 4 (194-206). Теорема Рушэ 150 344 Глава 5. Последовательности аналитических функций задачи решения

1 (207-229). Ряд Лагранжа и его применения 152 347 2 (230-240). Вещественная часть степенного ряда 157 355 3 (241-247). Полюсы на границе круга сходимости 159 359 4 (248-250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов 160 361 5 (251-258). Распространение сходимости 162 363 6 (259-262). Сходимость в разделенных областях 163 365 7 (263-265). Порядок возрастания последовательностей

полиномов 164 368

Глава 6. Принцип максимума задачи решения

1 (266-279). Различные формулировки принципа максимума 165 369 2 (280-298). Лемма Шварца 167 372 3 (299-310). Теорема Адамара о трех кругах 171 378 4 (311-321). Гармонические функции 173 381

5 (322-340). Метод Фрагмена и Линделёфа 174 383 Предметный указатель 389

Предметный указатель Адамара теорема о трех кругах 171,

172 Аналитическая функция 120 Аналитический ландшафт 138 Бернулли формула 128 - числа 49 Бесселевы функции 36, 105 Биномиальные коэффициенты 23 Бюрмана-Лагранжа ряд 153 Вейерштрасса теорема об

аппроксимации непрерывных функций 89, 91

Векторное поле 120 - - безвихревое 126 - - без источников и стоков 127 Гамма-функция 64 Дирихле - Мелера формула 142 Дирихле ряды 31 Дифференциальные уравнения

Коши-Римана 120 Дополнительные части ряда 44, 45 Дроби Фарея 101 Задача на взвешивание 182, 183 - - почтовые марки 182 - - размен денег 182 Звездообразная относительно точки

кривая 132 Иенсена формула 145, 146, 325 Колебание функции 84 Конформное отображение 121 Конформный центр тяжести кривой

137 Коши неравенство 78 - теорема об арифметическом и

геометрическом средних 74 Коши-Римана дифференциальные

уравнения 120 Коэффициенты Фурье 90 Критерий Римана интегрируемости

84

Лагерра обобщенные полиномы 155 Лапласа уравнение 127 - формула 142 Лежандра полиномы 142, 154 Лемма Шварца 167 Лемниската с n фокусами 140 Линейное искажение 123 Линии тока 127 Мажоранта 28 Максимальный член 41 Меркаторская проекция 122 Миноранта 28 Моменты функции 89 Неравенство Коши 78 - Шварца 78 Нули полинома 112, 114 Обвертывающий ряд 46 Опорная прямая 133, 205 - функция 133 Определенный интеграл

несобственный 61 - - собственный 56, 57 Ортогональные функции 134 Отображение 120 Паскаля треугольник 154 Плоскость потенциала 130 - потока 130 - скоростей 130 Поверхностное искажение 123 Поверхность модуля 137, 138 Показатель сходимости 40 Полиномы Лагерра обобщенные 155 - Лежандра 142, 154 - - производящая функция 155 - Якоби 154, 155 Полное изменение функции 228 Последовательность равномерно

распределенная 94, 95 - регулярная 93 Постоянная Эйлера 60, 231, 232

Потенциал векторного поля 127 Преобразование

последовательностей, сохраняющее сходимость 29, 30, 33, 118

Принцип аргумента 148, 149 - максимума 138, 139 Производящая функция полиномов

Лежандра 155 Пуассона формула 145, 146 Римана критерий интегрируемости

84 Рушэ теорема 150 Ряд Бюрмана-Лагранжа 153 - обвертывающий число 46 Ряды Дирихле 31 Силовые линии 127 Среднее (арифметическое,

геометрическое, гармоническое) функции 68, 73, 75

- (арифметическое, геометрическое, гармоническое) чисел 67, 72, 73

Степенной ряд примитивный 157 Стереографическая проекция 121,

122 Сумма верхняя, нижняя 56, 58, 70 Теорема Адамара о трех кругах 171,

172 - Вейерштрасса об аппроксимации

непрерывных функций 89, 91 Теорема Коши об арифметическом и

геометрическом средних 74 - Рушэ 150 - Чезаро о степенных рядах 33 Треугольник Паскаля 154 Тригонометрические моменты 90

Угол поворота 123 Уравнение Лапласа 127 Фарея дроби 101 Форма Эрмита 111 Формула Бернулли 128 - Дирихле-Мелера 142 - Иенсена 145, 146, 325 - Лапласа 142 - Пуассона 145, 146 Функции Бесселя 36, 105 - интегрируемые в смысле Римана 57 - ортогональные 134 - с ограниченным изменением 228,

229 Функция аналитическая 120 - выпуклая снизу (сверху) 75 - кусочно-постоянная 83 - медленно возрастающая 92 - невогнутая снизу (сверху) 75 - однолистная 124 - опорная 133 - тока 127 Фурье коэффициенты 90 Целые точки 22 Центральный индекс 41 Часть ряда 43 Чезаро теорема о степенных рядах 33 Числа Бернулли 49 Число оборотов кривой 148 Числовая функция

последовательности 91 Шварца лемма 167 - неравенство 78 Эйлерова постоянная 60, 231, 232 Эквипотенциальные линии 127 Эрмитова форма 111 Якоби полиномы 154, 155