戎㌎ᤎ ᤎ屢ริง ตอนที่ 6a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b… ·...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 57

แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 6)

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง เซต มจ านวนตอนทงหมดรวม 19 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 1) - แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ 12. แบบฝกหดตอนท 2 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 2)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ 13. แบบฝกหดตอนท 3 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 3)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ 14. แบบฝกหดตอนท 4 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 4)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ 15. แบบฝกหดตอนท 5 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 5)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ 16 แบบฝกหดตอนท 6 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 6)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

17. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 18. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 19. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เรอง จ านวนจรง หมวด แบบฝกหด ตอนท 6 (6/6) หวขอยอย 1. แบบฝกหดขนพนฐาน 2. แบบฝกหดขนสง 3. แบบทดสอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจสมบตของคาสมบรณ 2. สามารถแกสมการคาสมบรณได 3. สามารถแกอสมการคาสมบรณได 4. สามารถวาดกราฟของสมการคาสมบรณได 5. สามารถวาดกราฟของอสมการคาสมบรณได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ

1. เขาใจสมบตพนฐานของคาสมบรณ 2. แกสมการคาสมบรณได 3. แกอสมการคาสมบรณได 4. วาดกราฟของสมการคาสมบรณได 5. วาดกราฟของอสมการคาสมบรณได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

แบบฝกหดขนพนฐาน ใชเพอวดความรความสามารถขนพนฐานของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 103 แบบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : สมบตพนฐานของคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 1 คอตองการทดสอบนกเรยนในเรองสมบตพนฐานของคา

สมบรณ 1.1 ให ,x y และ 0a ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. 0x 2. x y x y 3. x a กตอเมอ a x a 4. x x

เฉลย 2 เชน 1, 1x y

1.2 ให ,x y และ 0a ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. x x 2. x y x y

3. x a กตอเมอ x a หรอ x a 4. 2x x เฉลย 2 เชน 1, 1x y

1.3 ให ,x y และ 0a ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. x x 2. x y x y 3. 2x x 4. 2 2x x เฉลย 3 เชน ให 2x จะไดวา 2 2x ซงไมเทากบ x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : สมบตพนฐานของคาสมบรณ จดประสงคของขอ 2 ตองการทดสอบผเรยนในเรองสมบตพนฐานของคาสมบรณ

2.1 พจารณาขอความตอไปน ก. 7x กตอเมอ 7x ข. x x x ทก x ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 จากนยามของคาสมบรณจะไดวา ก ถก แต ข ผด เชน 1x 2.2 พจารณาขอความตอไปน ก. 1 1x กตอเมอ 0, 2x ข. x x x ทก x ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 เนองจาก 1 1x กตอเมอ 1 1x หรอ 1 1x นนคอ 0, 2x ขอ ก จงถกตอง ส าหรบขอ ข ถาเราเลอก 1x ขอความ x x x จะเปนเทจ ดงนนขอ ข จงไมถกตอง 2.3 พจารณาขอความตอไปน ก. มจ านวนจรง ,x y ซง x y x y ข. มจ านวนจรง ,x y ซง 2 2 2

x y x y ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

เฉลย 1 ขอ ก. เลอก 1, 1x y จะไดวา x y x y ขอ ข. เลอก 0, 1x y จะไดวา 2 2 2

x y x y ดงนนขอ ก และขอ ข ถกตอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : สมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 3 คอตองการทดสอบนกเรยนในเรองการแกสมการคาสมบรณท

อยในรป a 3.1 ผลบวกของคา x ทสอดคลองกบสมการ 1 3x คอขอใด 1. 2 2. 0 3. 2 4. 4 เฉลย 1 1 3x 1 3x หรอ 1 3x 2, 4x 3.2 ผลบวกของคา x ทสอดคลองกบสมการ 2 3x คอขอใด 1. 2 2. 0 3. 2 4. 4 เฉลย 2 2 3x 5x

5, 5x 3.3 ผลบวกของคา x ทสอดคลองกบสมการ 1 2x คอขอใด 1. 2 2. 0 3. 2 4. 4 เฉลย 3 1 2x 1 2x หรอ 1 2x 3, 1x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : สมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 4 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกสมการคาสมบรณทอยในรป

4.1 คา x ทสอดคลองกบสมการ 2x x คอขอใด

1. 2 2. 1 3. 3

2 4. 3

2

เฉลย 2

2 2

2

2

4 4 0

1

x x

x x

x

x

4.2 คา x ทสอดคลองกบสมการ 1 2x x คอขอใด

1. 2 2. 1 3. 3

2 4. 3

2

เฉลย 3

2 2

2 2

1 2

1 2

2 1 4 4

2 3

3

2

x x

x x

x x x x

x

x

4.3 คา x ทสอดคลองกบสมการ 2

1 2x x คอขอใด

1. 2 2. 1 3. 3

2 4. 3

2

เฉลย 4

2

2 2

2 2

1 2

1 2

1 2

2 1 4 4

2 3

3

2

x x

x x

x x

x x x x

x

x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : สมการคาสมบรณ

จดประสงคของโจทยขอ 5 คอตองการทดสอบนกเรยนเรองการแกสมการคาสมบรณ

5.1 ผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการ 2 31

2

x

x

คอขอใด

1. 2 2. 5 3. 10 4. 20 เฉลย 3

2 31

2

2 3 2

5

5

x

x

x x

x

x

ดงนน ผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการมคาเทากบ 5 5 10

5.2 ผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการ 1 23

1

x

x

คอขอใด

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8 เฉลย 1

1 2

3 11

1 2 3 1

1 1

xx

x

x x

x

1 1x หรอ 1 1x

0, 2x ดงนน ผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการ คอ 0 2 2

5.3 ผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการ 21

2x

x

คอขอใด

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8 เฉลย 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

2

21 2

2

1 2 2

3 2 2

3 0

x xx

x x

x x

x x

0x หรอ 3x

0, 3x ดงนน ผลบวกของคาสมบรณของ x คอ 0 3 3 6

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 6 คอตองการทดสอบนกเรยนในเรองการแกอสมการคาสมบรณทอยในรป

6.1 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 1 2x x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. 1, 2. 2, , 5 3. 0, 5, 2 4. , 3 เฉลย 2

2 2

2 2

1 2

1 2

2 1 4 4

2 3

3

2

x x

x x

x x x x

x

x

6.2 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 1x x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. 1, 2. 0, , 3 3. ,5 4. ,0 6, เฉลย 1

2 2

2 2

1

1

2 1

2 1

1

2

x x

x x

x x x

x

x

6.3 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 3 1x x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. ,1 2. 1, 3. ,0 5, 4. , 5 2, เฉลย 1

2 2

2 2

3 1

3 1

6 9 2 1

8 8

1

x x

x x

x x x x

x

x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 7 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกอสมการคาสมบรณทอยในรป a

7.1 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 1 5x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. 7,5 2. 10, 3 3. 2,8 4. 2,10 เฉลย 1

1 5

5 1 5

6 4

x

x

x

7.2 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 2 3x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. 2,4 2. 1.5,5 3. 0,6 4. 6,0 เฉลย 2

2 3

3 2 3

1 5

x

x

x

7.3 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 1 2x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. 10, 1 2. 6,0 3. 2,4 4. 0,5 เฉลย 3

1 2

2 1 2

1 3

x

x

x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 8 คอตองการทดสอบนกเรยนในเรองของการแกอสมการคาสมบรณทอยในรป a

8.1 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 1 2x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. , 1 2. 0, 3. , 2 1, 4. 3,1 4, เฉลย 3 1 2x 1 2x หรอ 1 2x 1x หรอ 3x 8.2 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 2 1x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. ,1 2. 0, 3. ,0 2, 4. 1,3 4,100 เฉลย 3 1 2x 1 2x หรอ 1 2x 3x หรอ 1x 8.3 เซตของ x ทสอดคลองกบอสมการ 2 3 5x เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. 4,2 2. , 4 0, 3. , 5 1, 4. , 3 เฉลย 2 2 3 5x 2 3 5x หรอ 2 3 5x 2 2x หรอ 2 8x 1x หรอ 4x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : กราฟของสมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 9 คอตองการทดสอบนกเรยนวาสามารถเขยนกราฟของสมการคาสมบรณไดหรอไม 9.1 พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของสมการ 3x y จะเปนกราฟทสมมาตรกบแกน X ข. กราฟของสมการ y x จะเปนกราฟทสมมาตรกบแกน Y ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 พจารณาขอ ก พจารณากราฟ 3x y

จะเหนไดวากราฟ 3x y สมมาตรกบแกน X ขอ ก จงถกตอง พจารณาขอ ข พจารณากราฟ y x เปนดงตอไปน

Y

X 0

Y

X 0 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

จงเหนไดวากราฟ y x สมมาตรกบแกน Y ขอ ข จงถกตอง 9.2 กราฟของ 1x y เปนรปสเหลยมทมความยาวเสนรอบรปกหนวย 1. 1 หนวย 2. 2 หนวย 3. 2 2 หนวย 4. 4 2 หนวย เฉลย 4 กราฟของ 1x y คอ

จากรป 2 21 1 2AB ดงนน รปสเหลยมมความยาวเสนรอบรป 4 2 หนวย 9.3 กราฟของ 2 2x y เปนรปสเหลยมทมความยาวเสนรอบรปกหนวย 1. 5 หนวย 2. 2 5 หนวย 3. 4 5 หนวย 4. 4 2 หนวย เฉลย 3 กราฟของ 2 2x y คอ

จากรป 2 22 1 5AB ดงนน รปสเหลยมมความยาวเสนรอบรป 4 5 หนวย

Y

X 2

1

2 1

A

B

Y

X 1

1

1

1

A

B

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

Y

X 1

1

1

1

Y

X 1

1

1

1

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : กราฟของอสมการคาสมบรณ จดประสงคของโจทยขอ 10 คอตองการทดสอบนกเรยนในเรองการเขยนกราฟของอสมการคาสมบรณ 10.1 เซต , 1x y x y คอบรเวณในขอใด

1. 2.

3. 4.

เฉลย 2

Y

X 1

1

1

1

Y

X 1

1

1

1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

Y

X

1x y

1x y

1

1

1 1

Y

X

1x y

1x y

1

1

1 1

10.2 เซต , 1x y x y คอบรเวณขอใดตอไปน

1. 2.

3. 4.

เฉลย 2

Y

X

1x y

1x y

1

1

1 1

Y

X

1x y

1x y

1

1

1 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

Y

X

2

2

Y

X

2

1 1

2

10.3 เซต , 1x y x และ 2y คอบรเวณในขอใด

1. 2.

3. 4.

เฉลย 3

Y

X 1 1

2

2

Y

X 1 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

2. แบบฝกหดขนสง

แบบฝกหดขนสง ใชเพอวดความรความสามารถขนสงของผเรยน ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 11 ขอ พรอมเฉลยทผใชสอสามารถเลอกดค าอธบายไดจากสอการสอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

วตถประสงคของโจทยขอ 1 คอตองการทดสอบนกเรยนวามความเขาใจในเรองสมบตของคา

สมบรณหรอไม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

วตถประสงคของโจทยขอ 2 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกสมการคาสมบรณ ผเรยนจะได

เรยนรเทคนคในการแกสมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

วตถประสงคของโจทยขอ 3 คอตองการทดสอบนกเรยนวาสามารถแกสมการคาสมบรณไดหรอไม

โดยโจทยทน ามาทดสอบจะอยในรปคาสมบรณหลายขน ผเรยนจะเหนเทคนคการแกสมการในลกษณะขางตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

วตถประสงคของโจทยขอ 4 คอตองการทดสอบนกเรยนวามความเขาใจในเรองสมบตของคา

สมบรณหรอไม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

วตถประสงคของโจทยขอ 5 คอการทดสอบนกเรยนในการแกอสมการคาสมบรณ โดยมคาสมบรณ

2 เทอม เทคนคทน ามาเสนอเปนการแกอสมการคาสมบรณโดยการแจงกรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

วตถประสงคของโจทยขอ 6 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกสมการคาสมบรณ ผเรยนจะได

เรยนรเทคนคในการแกสมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

วตถประสงคของโจทยขอ 7 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกอสมการคาสมบรณทอยในรป

a b

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

วตถประสงคของโจทยขอ 8 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกสมการคาสมบรณ โดยโจทยท

น ามาทดสอบจะอยในรปคาสมบรณหลายขน นกเรยนจะเหนเทคนคการแกสมการในลกษณะขางตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

วตถประสงคของโจทยขอ 9 คอการทดสอบนกเรยนวาสามารถเขยนกราฟของสมการคาสมบรณได

หรอไม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

วตถประสงคของโจทยขอ 10 คอการทดสอบนกเรยนวาสามารถเขยนกราฟของอสมการคาสมบรณได

หรอไม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

วตถประสงคของโจทยขอ 11 คอตองการทดสอบนกเรยนในการแกสมการคาสมบรณ โดยโจทยในสอ

การสอนจะมคาสมบรณ 3 พจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ ใชเพอวดความรความสามารถขนสงของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 103

แบบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : สมการคาสมบรณ 1.1 ผลรวมของคา x ทสอดคลองกบสมการ 2 2 1 1x x x คอขอใด

1. 3 2. 1 3. 1 4. 2 เฉลย 1

2

2

2

2 1 1

1 1

1 1 0

1 1 1 0

x x x

x x

x x

x x

1 0x หรอ 1 1 0x 1 0x หรอ 1 1x 1x หรอ 1 1x 1,0, 2x ดงนน ผลรวมของรากของสมการมคาเทากบ 1 0 2 3 1.2 ผลรวมของคา x ทสอดคลองกบสมการ 2 1 1x x คอขอใด

1. 3 2. 1 3. 1 4. 2 เฉลย 3

2 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

x x

x x x

x x

1 0x หรอ 1 1x 1x หรอ 0,2x ดงนน ผลรวมของคา x มคาเทากบ 1 0 2 1 1.3 ผลรวมของคา x ทสอดคลองกบสมการ 2 1 1x x คอขอใด

1. 3 2. 1 3. 1 4. 2 เฉลย 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

2 1 1

1 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

x x

x x x

x x x

x x

1 0x หรอ 1 1x

1,0, 2x ดงนน ผลรวมของคา x มคาเทากบ 1 0 2 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : สมการและอสมการคาสมบรณ 2.1 พจารณาขอความตอไปน

ก. เซตค าตอบของ 1x x คอ 1,

2

ข. เซตค าตอบของ 2x x คอ ,0 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 พจารณาขอ ก

2 2

1

1

2 1 0

1

2

x x

x x

x

x

ดงนนขอ ก ถกตอง พจารณาขอ ข เพราะวา 2x x และ x x กตอเมอ 0x ดงนนเซตค าตอบของสมการ

2x x คอ ,0 ขอ ข จงไมถกตอง 2.2 พจารณาขอความตอไปน

ก. เซตค าตอบของ 1x x คอ 1,

2

ข. เซตค าตอบของ 2x x คอ 0, ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 4 วธท า พจารณาขอ ก

22

1

1

2 1 0

1

2

x x

x x

x

x

ดงนนขอ ก จงไมถกตอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

พจารณาขอ ข เพราะวา 2x x และ x x กตอเมอ 0x ดงนนเซตค าตอบของสมการ 2x x คอ 0, ขอ ข จงไมถกตอง 2.3 พจารณาขอความตอไปน ก. เซตค าตอบของ 1x x คอ

ข. เซตค าตอบของ 2x x คอ ,0 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 พจารณาขอ ก 1x x ถา 0x จะไดวา 1 0x ซงเปนไปไมได ถา 0x จาก 1x x

2 21

2 1 0

1

2

x x

x

x

แต 0x ดงนนจงไมมคา x ทสอดคลองกบอสมการ 1x x ขอ ก จงถกตอง

พจารณาขอ ข จาก 2x x จะไดวา x x ถา 0x จะไดวา x x เสมอ ถา 0x จะไดวา x x ดงนน x ไมมากกวา x

จากทง 2 กรณจะไดวา เซตค าตอบของอสมการ 2x x คอ ,0 ขอ ข จงถกตอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ

3.1 ให A เปนเซตค าตอบของ 1 21

2 1

x

x

พจารณาขอความตอไปน ก. 2,A ข. 1,2A ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 ให x A จะไดวา

1 21

2 1

1 2 2 1

1 2 3 ........ 1

x

x

x x

x x

ถา 2x จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนนจาก 1 จะไดวา

1 2 3

1 1

x x

ซงเปนไปไมได ดงนน 2,A ขอ ก จงถกตอง ถา 1,2x จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนนจาก 1 จะไดวา

1 2 3

2 4

2

x x

x

x

ซงเปนไปไมได ดงนน 1,2A ขอ ข จงไมถกตอง

3.2 ให A เปนเซตค าตอบของ 11

1 2

x

x

พจารณาขอความตอไปน ก. 0,A ข. 1,0A ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

11

1 2

1 1 2

1 1 ........ 1

x

x

x x

x x

ถา 0x จะไดวา x x และ 1 1x x ดงนนจาก 1 จะไดวา

1 1

0 2

x x

ซงเปนไปไมได ดงนนขอ ก จงถกตอง ถา 1,0x จะไดวา x x และ 1 1x x ดงนน จาก 1 จะไดวา

1 1

2 2

1

x x

x

x

ซงเปนไปไมได ดงนน 1,0A ขอ ข จงถกตอง

3.3 ให A เปนเซตค าตอบของ 11

1

x

x

พจารณาขอความตอไปน ก. 1,A ข. 0,1 0,1A ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 4 ถา 1x จะไดวา 1 1x x และ x x ดงนน

1 1

1 1

1 1

x x

x x

ซงเปนจรงเสมอ ดงนน 1, 1,A ขอ ก จงไมถกตอง ถา 0,1x จะไดวา 1 1x x และ x x ดงนน

1 1

1 1

2 0

0

x x

x x

x

x

ดงนน 0,1 0,1A ขอ ข จงไมถกตอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : สมบตพนฐานของคาสมบรณ 4.1 ขอใดตอไปนถกตอง 1. x y x y 2. ถา 2 2a b แลว a b 3. ถา a b แลว 2 2a b 4. x y x y เฉลย 3 วธท า 1. ผด เชน 1, 1x y 2. ผด เชน 1, 0a b 3. ถก ถา 0 b a ดงนน 2 2

b a นนคอ 2 2b a 4. ผด เชน 1x y 4.2 ขอใดตอไปนถกตอง

1. x y x y 2. ถา 2x x แลว 0x

3. ถา 2 2a b แลว a b 4. ถา a b และ , 0a b แลว 1 1

a b

เฉลย 1 วธท า 1. ถก จาก a b a b จะไดวา x x y y x y y ดงนน x y x y 2. ผด เชน 1x 3. ผด เชน 1a และ 2b 4. ผด เชน 1a และ 2b 4.3 ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. x y y x 2. 22x x

3. ถา 0x แลว 2x x 4. ถา 2y x แลว 0y เสมอ เฉลย 4 วธท า 1. ถก เนองจาก 1x y y x y x y x

2. ถก เนองจาก 2x x และ 2

x x ซง x x เสมอ

3. ถก เนองจาก ถา 0x แลว 2x x x 4. ผด เชน 1, 1y x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

40

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ 5.1 ให 1 2 5A x x x x แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. 5,A 2. 5, A 3. 0, 1,A 4. 3,3 A เฉลย 1 กรณท 1 2x จะไดวา 2 2x x ดงนน

1 2 5

1 2 5

1 2 5

x x x

x x x

ซงเปนจรงเสมอ ดงนน 2x กรณท 2 2x ดงนน 2 2x x

1 2 5

1 2 5

x x x

x x x

1 2x x และ 2 5x x 2 3x และ 2 7x

3

2x และ 7

2x

ดงนน 7 3

2 2x

แต 2x ดงนน 72

2x

จากกรณท 1 และกรณท 2 จะไดวา คา x ทสอดคลองกบอสมการ 1 2 5x x x คอ 7

2x

ดงนน ตวเลอกทถกตอง คอ ขอ 1 5.2 ให 1 2A x x x x แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. 5,A 2. 5, A 3. 0, 1,A 4. 3,3 A เฉลย 1 กรณท 1 1x จะไดวา 1 1x x ดงนน

1 2

1 2

0 1 2

x x x

x x x

ซงเปนจรงเสมอ ดงนน 1x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

41

กรณท 2 1x ดงนน 1 1x x

1 2

1 2

x x x

x x x

1x x และ 1 2x x 2 1x และ 2 3x

1

2x และ 3

2x

ดงนน 3 1

2 2x

แต 1x ดงนน 31

2x

จากกรณท 1 และกรณท 2 จะไดวา คา x ทสอดคลองกบอสมการ 1 2x x x คอ 3

2x

ดงนนตวเลอกทถกตองคอขอ 1 5.3 ให 1 2A x x x x แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. 5,A 2. , 5 A 3. 0, 1,A 4. 3,3 A เฉลย 2 กรณท 1 1x จะไดวา 1 1x x ดงนน

1 2

1 2

0 1 2

x x x

x x x

ซงเปนจรงเสมอ ดงนน 1x กรณท 2 1x ดงนน 1 1x x

1 2

1 2

x x x

x x x

1x x และ 1 2x x 2 1x และ 2 3x

1

2x และ 3

2x

ดงนน 1 3

2 2x

แต 1x ดงนน 31

2x

จากกรณท 1 และกรณท 2 จะไดวา คา x ทสอดคลองกบอสมการ 1 2x x x คอ 3

2x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

42

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : กราฟคาสมบรณ

6.1 พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของสมการ x y x y เปนกราฟเสนตรง 2 เสนตงฉากกน ข. กราฟของสมการ 1x y และ 1x y จะสมผสกนทจด 1,0 และ 1,0 เทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 พจารณาขอ ก x y x y กตอเมอ x y x y หรอ x y x y นนคอ 0y หรอ

0x ซงกคอกราฟของแกน X และแกน Y ในระนาบพกดฉากนนเอง ดงนนขอ ก จงถกตอง พจาณาขอ ข กราฟของสมการ 1x y มรปดงตอไปน

กราฟของ 1x y มรปดงตอไปน

จากกราฟทง 2 รปจะเหนวา กราฟสมผสกนทจด 1,0 และ 1,0 เทานน ขอ ข จงถกตอง

Y

X 1

1

1

1

Y

X 1 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

43

6.2 พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของสมการ 2 4x y เปนกราฟเสนตรง 2 เสนทขนานกน ข. กราฟของ 1x y และ 2x y จะไมตดกน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 พจารณาขอ ก 2 4x y กตอเมอ 2 4x y หรอ 2 4x y ซงมกราฟเสนตรง 2 เสนทขนานกน

( ความชน 1

2 ) ดงนนขอ ก จงถกตอง

พจาณาขอ ข กราฟของ 1x y และ 2x y มรปดงตอไปน

จะเหนไดวากราฟทง 2 ไมตดกนเลย

6.3 พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของสมการ 2 6x x เปนกราฟเสนตรง 2 เสนทขนานกน ข. กราฟของ 2x y และ 1x y ตดกน 4 จด ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 พจารณาขอ ก 2 6x x กตอเมอ 2 6x x หรอ 2 6x x นนคอ 6x หรอ 2x ซงมกราฟดงน

Y

X 1

1

1 1

2

2

2 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

44

ขอ ก จงถกตอง พจาณาขอ ข กราฟของ 2x y และ 1x y มกราฟดงน

จะรปเราจะเหนวากราฟของ 2x y ตดกบกราฟ 1x y จ านวน 4 จด

Y

X 1 1

2

2

2 2

1x y

1x y

2x y

Y

X 6 2

6x 2x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

45

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ

7.1 ให 2 11

1

xA x

x

และ 1 5B x x

พจารณาขอความตอไปน ก. A B ข. A B ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 หาเซต A

2 2

2

2 11 1

1

2 1 1

4 4 1 2 1

3 2 0

3 2 0

20

3

xx

x

x x

x x x x

x x

x x

x

ดงนน 2,0

3A

หาเซต B 1 5x 1 5x หรอ 1 5x 4x หรอ 6x ดงนน , 6 4,B

จากรปเราจะไดวา A B ดงนนขอ ก จงถกตอง แต A B ท าใหขอ ข ไมถกตอง

7.2 ให 2 11

3 1

xA x

x

และ 1 2B x x

B

0 2

3

4 6

A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

46

พจารณาขอความตอไปน ก. 3,0 A B ข. A B ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 4 หาเซต A

2 2

2

2 1 11

3 1 3

2 1 3 1

4 4 1 9 6 1

5 10 0

5 2 0

xx

x

x x

x x x x

x x

x x

2x หรอ 0x ดงนน ,0 2,A หาเซต B 1 2x 1 2x หรอ 1 2x 1x หรอ 3x ดงนน , 3 1,B

จากรปจะไดวา 3 A B ดงนน 3,0 จงไมเปนสบเซตของ A B ขอ ก จงไมถกตอง จากรปจะไดวา 0 A แต 0 B ดงนน A จงไมเปนสบเซตของ B ขอ จงไมถกตอง

7.3 ให 2 11

1

xA x

x

และ 2 3B x x

พจารณาขอความตอไปน ก. A B ข. 0,2B A

A

1 0 2 3

B

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

47

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 หาเซต A

2 2

2

2 11 1

1

2 1 1

4 4 1 2 1

3 6 0

3 2 0

xx

x

x x

x x x x

x x

x x

2x หรอ 0x ดงนน ,0 2,A หาเซต B 2 3x

3 2 3

1 5

x

x

ดงนน 1,5B

จากรปจะไดวา A B และ 0,2B A ดงนนขอ ก และขอ ข จงถกตอง

B

2 0 5 1

A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

48

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : กราฟคาสมบรณ

8.1 พนทระหวางกราฟ 5x y และ 1x y เทากบกตารางหนวย 1. 32 2. 34 3. 48 4. 50 เฉลย 3

พนททแรเงา พนท รปนอกพนท รปใน

1 1

10 10 2 22 2

50 2 48 ตารางหนวย

8.2 พนทระหวางกราฟ 2 6x y และ 1x y เทากบกตารางหนวย 1. 32 2. 34 3. 48 4. 50 เฉลย 2

Y

X 1

1

1 1

5

5

5 5

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

49

พนททแรเงา พนท รปนอกพนท รปใน

1 1

6 12 2 22 2

36 2 34 ตารางหนวย

8.3 พนทระหวางกราฟ 2 6x y และ 2 2x y เทากบกตารางหนวย 1. 32 2. 34 3. 48 4. 50 เฉลย 1

พนททแรเงา พนท รปนอกพนท รปใน

1 1

12 6 4 22 2

Y

X 1

1

1 1

6

6

3 3

Y

X 2

1

2 1

6

6

3 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

50

36 4 32 ตารางหนวย

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

51

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : สมการคาสมบรณ 9.1 ให 1 2 1A x x x

พจารณาขอความตอไปน ก. A คอเซตของจ านวนจรง x ทมระยะหางระหวาง x กบ 1 รวมกบระยะหางระหวาง x กบ 2 เทากบ 1 เสมอ ข. 1,2A ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 ก. เพราะวา 1x คอระยะหางระหวาง x กบ 1 และ 2x คอระยะหางระหวาง x กบ 2 ดงนน

1 2x x คอผลรวมของระยะหางระหวาง x กบ 1 รวมกบระยะหางระหวาง x กบ 2 ซงตองเทากบ 1 เสมอ ดงนนขอ ก จงถกตอง ข. จากเสนจ านวน

เราจะเหนไดวา 1,2x เทานนทจะท าให 1 2 1x x ดงนนขอ ข จงถกตอง 9.2 ให 1 2 1A x x x

พจารณาขอความตอไปน ก. A คอเซตของจ านวนจรง x ทมระยะหางระหวาง x กบ 1 รวมกบระยะหางระหวาง x กบ 2 เทากบ 1 เสมอ ข. 2,2A ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 ก. เพราะวา 1x คอระยะหางระหวาง x กบ 1 และ 2x คอระยะหางระหวาง x กบ 2 ดงนน

1 2 1x x คอผลรวมของระยะหางระหวาง x กบ 1 รวมกบระยะหางระหวาง x กบ 2 ซงตองเทากบ 1 เสมอ ดงนนขอ ก จงถกตอง ข. จากเสนจ านวน

x 1

1x

2x

2 x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

52

เราจะเหนไดวา 2, 1x เทานนทจะท าให 1 2 1x x ดงนน 2, 1A ขอ ข จงไมถกตอง 9.3 ให 1 2 1A x x x

พจารณาขอความตอไปน ก. A คอเซตของจ านวนจรง x ทมระยะหางระหวาง x กบ 1 รวมกบระยะหางระหวาง x กบ 2 เทากบ 1 เสมอ

ข. 3 1

2 2A x x

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 ก. เพราะวา 1x คอระยะหางระหวาง x กบ 1 และ 2x คอระยะหางระหวาง x กบ 2 ดงนน

1 2x x คอผลรวมของระยะหางระหวาง x กบ 1 รวมกบระยะหางระหวาง x กบ 2 ซงตองเทากบ 1 เสมอ ดงนนขอ ก จงถกตอง ข. จากเสนจ านวน

เราจะเหนไดวา 1,2x เทานนทจะท าให 1 2 1x x ดงนน 1,2A

และเนองจาก 3 1

2 2x

1 3 1

2 2 2x

1 2x ดงนนขอ ข จงถกตอง

x 2

2x

1x

1 x

x 1

1x

2x

2 x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

53

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : อสมการคาสมบรณ 10.1 ให x และ y เปนจ านวนจรงซง 3 10x และ 1 5y พจารณาขอความตอไปน ก. คาสงสดของ xy คอ 50 ข. คาสงสดของ x y คอ 9 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 2 วธท า เพราะวา 3 10x ดงนน 10 3x หรอ 3 10x และเนองจาก 1 5y จะไดวา 5 1y หรอ 1 5y ดงนนคาสงสดของ xy เกดขนเมอ 10x และ 5y ซง 50xy ขอ ก จงถกตอง คาสงสดของ x y เกดขนเมอ 10x และ 5y ซงมคาเทากบ 10 5 15 ขอ ข จงไมถกตอง

10.2 ให x และ y เปนจ านวนจรงซง 3 10x และ 1 5y พจารณาขอความตอไปน ก. คาต าสดของ xy คอ 50 ข. คาต าสดของ x y คอ 15 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 เพราะวา 3 10x ดงนน 10 3x หรอ 3 10x และเนองจาก 1 5y จะไดวา 5 1y หรอ 1 5y ดงนนคาต าสดของ xy เกดขนเมอ 10x และ 5y หรอ 10x และ 5y ซง 50xy ขอ ก จงถกตอง คาต าสดของ x y เกดขนเมอ 10x และ 5y ซงมคาเทากบ 10 5 15 ขอ ข จงถกตอง

10.3 ให x และ y เปนจ านวนจรงซง 3 10x และ 1 5y พจารณาขอความตอไปน ก. คาสงสดของ x y มคาเทากบคาสงสดของ x y ข. คาสงสดของ x y คอ 15

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

54

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด เฉลย 1 เพราะวา 3 10x ดงนน 10 3x หรอ 3 10x และเนองจาก 1 5y จะไดวา 5 1y หรอ 1 5y ดงนนคาสงสดของ x y เกดขนเมอ 10x และ 5y ซง 15x y และ คาสงสดของ x y เกดขนเมอ 10x และ 5y ซงมคาเทากบ 10 5 15 ขอ ก จงถกตอง คาสงสดของ x y เกดขนเมอ 10x และ 5y หรอ 10x และ 5y ซงมคาเทากบ 15 ขอ ข จงถกตอง

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 5)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ผ-5

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 169 ตอน

ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 169 ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร