· exercice t t réserve t t résultat scr f r +
Post on 12-Sep-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
n
0;( )t t nF ∈
r CoC
φ (0,1)N iα i
tI t
1, , jj n C∀ ∈
[ ]0; j 1 (1 )
ji
j ii
ICr=
=+
t
1
|(1 )
ni
t ti ti t
BE E FrI
−= +
= +
[ ]; 1i i +
[ ] 1 1, 1 (1 ).i i ii iRésultat I r BE BE+ ++ = − + + −
[ ]( ) ( )( )1
1, 1 (1 ) | |in i n ii iRésultat r E C F E C F+
++ = + −
i
iSCR
[ ] ( )( ) ( )1(1 ) . 99,5% | | (1 ) . |i ii n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +
MVM t
1. |(1 )
ni
t ti ti t
SCRMVM CoC E Fr + −
=
= +
00
1; , . tt
BEt n SCR SCRBE
∀ ∈ =
( )1,..., ~ ( , )nX X N µ Λ
11
( | )0; 1 , ln( | )
n ii
n i
E C Fi n XE C F
++
∀ ∈ − =
:
i
i j
j
µµ
µ
=
(1: )*(1: ) (1: )*( 1: )
( 1: )*(1: ) ( 1: )*( 1: )
i i i i n
i n i i n i n
+
+ + +
Λ Λ Λ = Λ Λ
1
1| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i
i
Xµ µ µ
X
−+ +
= +Λ Λ −
1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i
−+ + + +Λ = Λ −Λ Λ Λ ,1
, ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
0' (1, 0 0) t i t
i t i t i n i i ii tI
λ α −−− +
−
= + Λ Λ
t
| ,1:1
1
1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
, | ,1:( ) , | ,(1: )*(1:
1:1
1:1
0(1 ) . ( | ). exp
0
12
i
ti i i n i i i
tt n t
i n i i i i
i t t i t i t t i t i
X
Xµ
MVM r E C F
µ
µ
φ
λ λ
−+
−
−+
− −
Λ
+ + Λ Λ = +
− Λ Λ
+ + Λ
1
') ,
1n
i t
t i tλ
−
=
−
−
| ,1:1
11
0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0
',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0
1:1
1 . ( ). exp 11
12
in
n i i i n i i i ii
i i i i i i
MVM E C µ µr
µ
φ
λ λ λ
−−
+=
Λ = + − Λ Λ − + + + Λ
1:( | )n i i nE C F ∈
t
( , )µ Λ
( )1,..., nX X
CV PP PR τ
0 (1 ).( ) 0 brute nette brute netteCV PP PP PR MVM MVMτ≥ ⇔ − − − + − ≥
( ) 1brute nette
brute nettePP PPMVM MVMPR
τ−
−≤ +
−
n
0;( )t t nF ∈ t
r CoC φ (0,1)N iα
i tI t
1; , jj n C∀ ∈ t
1 (1 )
ji
j ii
ICr=
=+
t 1
|(1 )
ni
t ti ti t
BE E FrI
−= +
= +
[ ]; 1i i +
[ ] 1 1, 1Result (1 ).i i ii i I r BE BE+ ++ = − + + −
[ ]( ) ( )( )1
1, 1Result (1 ) | |in i n ii i r E C F E C F+
++ = + −
i
iSCR
[ ] ( )( ) ( )1(1 ) . 99,5% | | (1 ) . |i ii n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +
MVM t
1. |(1 )
ni
t ti ti t
SCRMVM CoC E Fr + −
=
= +
( )1,..., ~ ( , )nX X N µ Λ
11
( | )0; 1 , ln( | )
n ii
n i
E C Fi n XE C F
++
∀ ∈ − =
:
i
i j
j
µµ
µ
=
(1: )*(1: ) (1: )*( 1: )
( 1: )*(1: ) ( 1: )*( 1: )
i i i i n
i n i i n i n
+
+ + +
Λ Λ Λ = Λ Λ
1
1| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i
i
Xµ µ µ
X
−+ +
= +Λ Λ −
1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i
−+ + + +Λ = Λ −Λ Λ Λ ,1
, ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
0' (1, 0 0) t i t
i t i t i n i i ii tI
λ α −−− +
−
= + Λ Λ
t
| ,1:1
1
1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
, | ,1:( ) , | ,(1: )*(1:
1:1
1:1
0(1 ) . ( | ). exp
0
12
i
ti i i n i i i
tt n t
i n i i i i
i t t i t i t t i t i
X
Xµ
MVM r E C F
µ
µ
φ
λ λ
−+
−
−+
− −
Λ
+ + Λ Λ = +
− Λ Λ
+ + Λ
1
') ,
1n
i t
t i tλ
−
=
−
−
| ,1:1
11
0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0
',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0
1:1
1 . ( ). exp 11
12
in
n i i i n i i i ii
i i i i i i
MVM E C µ µr
µ
φ
λ λ λ
−−
+=
Λ = + − Λ Λ − + + + Λ
1:( | )n i i nE C F ∈ t
( , )µ Λ
( )1,..., nX X
CV PC PP PR τ
0 (1 ).( ) 0 gross net gross netCV PP PP PR MVM MVMτ≥ ⇔ − − − + − ≥
( ) 1gross net
gross netPP PPMVM MVM
PRτ
−−
≤ +−
o o
o
R [ ], 1t t +
t C t
[ ] { } { }, 11 1inf / ( 0) 0,5% inf / ( ) 99,5%
1 1t tSCR C P R C C P R Cr r+ = ∈ + < ≤ = ∈ − ≤ ≥
+ +
RF −− R−
[ ], 11 (0,995)
1 Rt tSCR Fr
−−+ =
+ RF−
[ ], 11 (0,005)
1 Rt tSCR Fr
−+ =
+
10 1
.(1 )
nii
i i
SCRCoCM CoCr +
= +
=+
10 1
.(1 )
nii
i i
SCRCoCM CoCr +
= +
=+ CoCM
0F iSCR i iSCR 0( | )iE SCR F n
0;( )t t nF ∈
r tI t tI
tF
t1
t
t ii
C I=
=
t1
( | )(1 )
ni
t ti ti t
IBE E Fr −
= +
=+
[ [ 1;t t−
0t =
1t = ( ) 1 1. 1primeacquise r BE I+ − −
0t =
[ ] [ ]0 01 11
1 10
1 1
1 99,5% | ( | ) 99,5%1 (1 ) (1 )
( | ) ( | )(1 )
n n ni i i
prime i i ii i i
E I F I E I FSCR F E F BEr r r r− −
= = =
= − = − + + + +
1t ≥ tF 0t = [ [ ; 1t t +
1 tI + t 1t +
tBE 1 tBE+ 1t +
( ) 1 11t t tBE r BE I+ ++ − −
1 tF + ( ) 1 1( 1 | . ) 0t t t tE BE r BE I F+ ++ − − =
t
[ ] [ [ , 1, 99,5% |
1exercice t t
réserve t t
RésultatSCR F
r+−
= +
[ ] 1 1, 99,5% |
1t t
réserve t t tS BE I BE FCr
R + ++ = − +
CoC
1. |(1 )
ni
t ti ti t
SCRMVM CoC E Fr + −
=
= +
iSCR 1i +
[ ] ; 1i i + iSCR
1i +
[ ]0;1
n
1, , jj n I∀ ∈ [ ]1;j j−
j
1, , jj n C∀ ∈ [ ]0; j
1 (1 )
ji
j ii
ICr=
=+
0, , jj n F∀ ∈
0,( )j j nF ∈
0, , jj n BE∀ ∈
j
[ ]; 1i i +
[ ] 1 1, 1 (1 ).i i ii iRésultat I r BE BE+ ++ = − + + −
[ ] ( )
11 1, 1 ( 1) ( 1)
1 2
11 1
1 2
(1 ) ( | ) ( | )(1 ) (1 )
(1 ) ( | ) ( | )(1 ) (1 )
n ni k k
i i i ii i k i k ik i k i
n ni k k
i i i ik kk i k i
I IRésultat r C C E F E Fr r
I Ir C C E F E Fr r
++ ++ − + − +
= + = +
++ +
= + = +
⇔ = + − + −+ +
= + − + − + +
( ) ( )( )1
1 1 1 (1 ) | |ii i n i i n i ir C C E C C F E C C F+
+ + += + − + − − −
[ ]( ) ( )( )1
1, 1 (1 ) | |in i n ii iRésultat r E C F E C F+
++ = + −
jC jF
[ ]; 1i i +
[ ]; 1i i +
i i [ ]; 1i i +
1 r+
[ ] ( ) ( ){ }11 1
1 .(1 ) . 99,5% ( | ) ( | ) | ( | ) ( | ) |1
ii n i n i i n i n i iSCR r E C F E C F F E E C F E C F F
r+
+ += + − − −+
[ ] 1(1 ) . 99,5% ( ( | ) | ) (1 ) . ( | )i i
i n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +
[ ] ( ) 99,5% ( | ) | ( | )n i i n iE C F F E C F= ( ) 1 ( | ) | ( | )n i i n iE E C F F E C F+ =
t
1
1
( | ).(1 )
ni t
t i ti t
E SCR FMVM CoCr
−
+ −=
=+
( )[ ] { }
1
11 . 99,5% ( ( | ) | ) ( | ) | 1
n
t n i i n i tti t
CoCMVM E E C F F E C F Fr
−
+−=
= −+
( )[ ] { } ( )
1
11 . 99,5% ( ( | ) | ) | ( | )1
n
t n i i t n tti t
CoCMVM E E C F F F E C Fr
−
+−=
⇔ = −+
( )
( )[ ] ( ){ }
1
11 1.( ). ( | ) . 99,5% ( | ) | | 1 1
n
t n t n i i tt ti t
CoC CoCMVM n t E C F E E C F F Fr r
−
+− −=
= − − ++ +
0t =
[ ] ( ){ }1
0 10
. . ( ) . 99,5% ( | ) | 1 1
n
n n i ii
CoC CoCMVM n E C E E C F Fr r
−
+=
= − ++ +
( )
( )[ ] ( ){ }
1
11 1.( ). ( | ) . 99,5% ( | ) | | 1 1
n
t n t n i i tt ti t
CoC CoCMVM n t E C F E E C F F Fr r
−
+− −=
= − − ++ +
1p
2p P 1 2. .(1 )P p p−
2p
LR
Charge de sinistres
primes acquisesLR =
[ ]
6
_inf _sup _sup _inf
(Max, Min, a, b, borne_inf, borne_sup) , > 0,( )= Max.1 Min.1 1 . .LR borne LR borne borne LR borne
LRf LR aLR b< > > >
∃ ∈ ∀
+ + +
1 ( ) 1 ( )R S M S MS R M RXS
< < >− + −=
(1 ).(P )brute bruteC PP MVMτ− − − PC PP τ
(1 ).(P )nette netteC PP PR MVMτ− − − − PR
CV
0 (1 ).(P ) (1 ).(P ) 0 (1 ).( ) 0
nette nette brute brute
brute nette brute nette
CV C PP PR MVM C PP MVMPP PP PR MVM MVM
τ τ
τ
≥ ⇔ − − − − − − − + ≥
⇔ − − − + − ≥
( ) 1brute nette
brute nettePP PPMVM MVMPR
τ−
−≤ +
−
6,53µ =
[ [3 000 000, +∞
ξ µ σ
1 ( ), ( ) 1 xx µ P X xξξ µ
σ
−− ∀ ≥ > = +
+∞
n , 1;iX i n∈ nN
nu 1
1ni
n
ni
X uN=
>=
( , ( ))n nN B n F u F
Loi de Pareto Généralisée utilisée
Fréq
uenc
e
4.0e+06 6.0e+06 8.0e+06 1.0e+07 1.2e+07 1.4e+07 1.6e+07
0.0e
+00
5.0e
-08
1.0e
-07
1.5e
-07
2.0e
-07
, lim ( )nnnF uτ τ+
→∞∃ ∈ =
lim E(N ) lim ( )n nn nnF u τ
→∞ →∞= =
nN τ
nu
, lim ( )nnnF uτ τ+
→∞∃ ∈ =
1 ( )( ) ,...,( ) ( )
n
n n
E CE CE C E C
( ) 0na > ( )nb ( )n n
n
M ba−
1 2max( , ...., )n nM X X X=
+∞
iLoss
[ ]( )min ,max ,0iliability Loss retentmaxi um ionm −
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coefficients de développement des sinistres
Année
Frac
tion
du m
onta
nt u
ltim
e
TP.5.32 et suivants :
00
1; , . tt
BEt n SCR SCRBE
∀ ∈ =
n
TP.5.49. du QIS5.
0 0.lobMVM BEα= lobα
brute netteMVM MVM−
0 ( ) 1brute nette
brute nettePP PPMVM MVMCV PR
τ−
−≥ ⇔ ≤ +
−
+∞
8,5%lobα =
1,..., nI I
0BE
01
( )(1 )
nii
i
E IBEr=
=+
11
( )( ) ,..., ( ,..., )( ) ( )
nn
n n
E CE C c cE C E C
=
11; , ( ) ( ). ( )i i i ni n E I c c E C−∀ ∈ = − nC
1,..., nI I
110
mod0
1
( )1 (1 ).
( )(1 )
nii
in
ii
i
E IiBE rD
E IBE rr
+=
=
∂ += − =
∂+
11 r+
0 0 mod. .MVM CoCSCR D=
0SCR
11
mod 1
1
( ).(1 )( ..... )
( )(1 )
nii
in n
ii
i
E IirD I I
E Ir
+=
=
+=
+
11; , E( ) . .( )i i ii n I F Loss c c −∀ = − F
Loss ic i
11
1mod 1
1
1
. .( ).(1 )( ..... )
. .( )(1 )
ni ii
in n
i ii
i
F Loss c cirD I I
F Loss c cr
−+
=
−
=
−+
=−
+
11
1mod 1 1
1
1
( )(1 )( ..... ) ( ..... )
( )(1 )
ni i
ii
n nni i
ii
c cirD I I f c c
c cr
−+
=
−
=
−+
= =−+
0 0 1. . ( ..... )nMVM CoC SCR f c c=
11
0
1
. ( )(1 ). .
( )(1 )
nkk
kn
kk
k
k E IrMVM CoC SCR
E Ir
+=
=
+=
+
+∞
+∞ 0SCR
mod 1 1( ..... ) ( ..... )n nD I I f c c=
0SCR
1 0 1 0( | ),..., ( | )nE SCR F E SCR F− 0SCR
00 0
0
( | )0, , ( | ) . ii
E BE Fi n E SCR F SCRBE
∀ ∈ =
10
0 100
( | ). .(1 )
nii
i
E BE FCoCMVM SCRBE r
−
+=
=+
, 1i i + 1(1 )ir ++
1,..., nI I
00
1
( | )0, , ( | )(1 )
nk
i k ik i
E I Fi n E BE Fr −
= +
∀ ∈ =+
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coefficients de développement
Années de développement
coefficients netscoefficients bruts
10
0 10 10
10
0 11 00
00 1
10
( | ). .(1 )( | ) . .
(1 ). ( | ) . .(1 )
n nk
ki k i
n kk
kk i
nk
kk
E I FCoCMVM SCRBE r
E I FCoC SCRBE r
k E I FCoC SCRBE r
−
+= = +
−
+= =
+=
=+
=+
=+
01
10
0
1
. ( | )(1 ). .
( | )(1 )
nk
kkn
kk
k
k E I FrMVM CoC SCR
E I Fr
+=
=
+=
+
iBE iSCR
1
( | )(1 )
ni
t ti ti t
IBE E Fr −
= +
=+
7I
(1 )r+ 6 7BE BE<
0 5 10 15 20 25 30
0e+0
01e
+07
2e+0
73e
+07
4e+0
7
Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5
Années
Euro
s
SCR réserves brutSCR réserves net
1 2( , ....., )nI I I 1,.., nI I
( , , )F PΩ 1,..., nI I
{ } { }( )111
,... ,n n
n i i i iii
E E F P I E P I E==
∀ ∈ ∈ = ∈
∏
, ( | ) ( )k i kk i E I F E I∀ > =
[ ] 1(1 ) . 99,5% ( ( | ) | ) (1 ) . ( | )i i
i n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +
1 (1 )
ij
i jj
IC
r=
=+ i iI
[ ] 11 1
(1 ) . 99,5% ( | ) | (1 ) . ( | )(1 ) (1 )
n ni ik k
i i i ik kk k
I ISCR r E F F r E Fr r+
= =
= + − + + +
[ ]
[ ]
1
11 2 1 1
1
1 2 1
(1 ) . 99,5% ( | ) | ( | )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
= 99,5% ( ) | ((1 ) (1 ) (1 ) (1 )
i n i ni k k k k
i i i ik k k kk k i k k i
i n ik k k k
ik k k kk k i k
I I I Ir SCR E F F E Fr r r r
I I I IE F Er r r r
+−
+= = + = = +
+
= = + =
+ = + − − + + + +
+ − − + + + +
1
) n
k i= +
[ ]
[ ]
11
1 2 1 1
1 11 1
2 2
.(1 ) 99,5% ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
= 99,5% ( ) ( ) ((1 ) (1 ) (1 ) (1 )
i n i ni i k k k k
i i k k k kk k i k k i
n ni k i k
i k i kk i k i
I I I I ISCR r E Er r r r r
I I I IE E Er r r r
− ++
= = + = = +
+ ++ +
= + = +
+ = + + − − + + + + +
+ − − + + + +
)
[ ] 1 199,5% 1 1i i
iI ISCR Er r
+ + = − + +
00 0
0
01
0
1
( | )( | ) .
( ( | ) | )(1 ) = .
( )(1 )
kk
ni
kii k
ni
ii
E BE FE SCR F SCRBE
IE E F FrSCRIEr
= +
=
=
+
+
1
0 0
1
( )(1 )( | ) .
( )(1 )
ni
ii k
k ni
ii
IErE SCR F SCR
IEr
= +
=
+=
+
1 2( , ....., )nI I I
' ' '1 2( , ....., )nI I I
2/k∃ ≥ '( )= ( ) k kE I E I [ ] [ ] '99,5% ( ) 99,5% ( )k kI I≠
'1; \{ }, ~ et ~i ii n k I I I I∀ ∈ I
[ ] [ ]1
' ' '0 1 1 1 0(1 ). 99,5% ( ) ( ) 99,5% ( ) ( ) (1 ).r SCR I E I I E I r SCR+ = − = − = +
( ) [ ] [ ]'
' ( 1)1 1 .(1 ) 99,5% 99,5%
(1 ) (1 )k k k
k k k k
I ISCR SCR rr r
− −− −
− + = − + +
' '
1 1 0 1 1( | ) 0k k k kE SCR SCR F SCR SCR− − − −− = − ≠
kI ' kI
1 01 0 0
0
( | )( | ) . kk
E BE FE SCR F SCRBE
−− =
'' ' 1 0
1 0 0 '0
( | )( | ) . kk
E BE FE SCR F SCRBE
−− =
' '0 0 1 0 1 0 et ( | ) ( | )k kBE BE E BE F E BE F− −= = '
0SCR 0SCR
'
1 0 1 0( | ) ( | ) k kE SCR F E SCR F− −=
'1 1 0( | ) 0k kE SCR SCR F− −− ≠
2 3( , ....., )nX X X
1C
1ii
i
CXC
+=
[ ] 11; , (1 ) . 99,5% ( | ) | ( | )i
i n i i n ii n r SCR E C F F E C F−+
∀ ∈ + = −
[ ] 1 2 3 1 1 2(1 ) . 99,5% ( ..... | ) | ( ..... | ) i
i i i i n i i i i i n ir SCR C E X X X F F C E X X X F−+ + + + + +
⇔ + = −
[ ] 1 2 3 1 2(1 ) . 99,5% ( ) ( )..... ( ) | ( ) ( )..... ( )i
i i i i n i i i i nr SCR C E X E X E X F C E X E X E X−+ + + + +
⇔ + = −
[ ][ ] 2 1 2 3 1 1 2 3 1(1 ) . ( )..... ( ). ..... 99,5% | ..... ( )i
i i n i i i i ir SCR E X E X C X X X X F C X X X E X−+ + +
⇔ + = −
( ) [ ][ ]1 2 3 2 1 1(1 ) . ..... ( )..... ( ) . 99,5% ( )ii i i n i ir SCR C X X X E X E X X E X−
+ + + ⇔ + = −
[ ][ ]0 1 1 12
1
(1 ) . ( | ) ( ). ( ). 99,5% ( )n
ii i i i
kk i
r E SCR F E C E X X E X−+ +
=≠ +
+ = − ∏
00 0
0
( | )( | ) . kk
E BE FE SCR F SCRBE
= 0 0
0 0
( | ) ( | ) k kE SCR F E BE FSCR BE
=
( )
10
01
2
1 . ( )( ( ) 1)( | )
( ). ( )
nk
k ii kkn
ii
r E C E XE SCR F
SCR E C E X
= +
=
+ −
=
∏
∏
' '1,..., nC C
1,..., nC C ' '
2( ,....., )nX X ' '
1,..., nC C 1,..., nC C 2;k n∈ [ ][ ] [ ] '
1 199,5% 99,5%k kX X+ + ≠
'0 0SCR SCR=
'0 0((1 ) | ) ((1 ) | )k k
k kE r SCR F E r SCR F− −+ ≠ +
[ ][ ] [ ] '1 199,5% 99,5%k kX X+ + ≠
'0 0( | ) ( | )k kE SCR F E SCR F=
i 1i + i i 1i +
( ) 1,14t tθ
∈
i tθ
i i t+
t
( )1 . t tθ θ µ+ − µ
[ ] [ ][ ]1 1 1(1 ) . 99,5% ( | ) | ( | ) (1 ). 99,5% ( ) ii n i i n i i i ir SCR E C F F E C F r SCR I E I−
+ + + + = − ⇔ + = −
[ ][ ]1 1(1 ). 99,5% ( ) i i ir SCR IBNYR E IBNYR+ +⇔ + = − 1iIBNYR+
1 1( _( ). )i i iIBNYR Poisson Pareto Généraliséeθ θ µ+ += − ×
µ
_Pareto Généralisée Poisson
[ ][ ][ ][ ]
[ ][ ]
1 1
1
1
1
(1 ). 99,5% ( )
(1 ). 99,5% (( ). ). _( (( ). ). _ ) (1 ). 99,5% (( ). ). _( ((
i i i
i i i
i i
i i i
i
r SCR I E I
r SCR Poisson Pareto GénéraliséeE Poisson Pareto Généralisée
r SCR Poisson Pareto GénéraliséeE Poisson
θ θ µ
θ θ µ
θ θ µ
θ
+ +
+
+
+
+
+ = −
⇔ + = −
− −
⇔ + = −
− 1 ). )). ( _ )i E Pareto Généraliséeθ µ−
[ ][ ]
[ ][ ]
1
1
1
1
(1 ). 99,5% (( ). ). _(( ). ) ( _ )
0, (1 ). ( / ) 99,5% (( ). ). _(( ). ). ( _ )
i i i
i i
i t i i
i i
r SCR Poisson Pareto GénéraliséeE Pareto Généralisée
t r E SCR F Poisson Pareto GénéraliséeE Pareto Généralisée
θ θ µ
θ θ µ
θ θ µ
θ θ µ
+
+
+
+
⇔ + = −
− −
∀ ≥ + = −
− −
1
0 010
. ( | )(1 )
nii
i
SCRMVM CoC E Fr
−
+=
=+
[ ][ ]11
0 10 1
99,5% (( ). ). _1.(1 ) (( ). ). ( _ )
ni i
ii i i
Poisson Pareto GénéraliséeMVM CoC
r E Pareto Généraliséeθ θ µ
θ θ µ
−+
+= +
−= + − −
( ) 1,14t tθ
∈
t
θ θ
{ }2: / ( , ) , , ( ) 1a bxf a b x f x e +→ ∃ ∈ ∀ ∈ = +
2 4 6 8 10 12 14
0.2
0.6
1.0
Theta
Année de développement
2 4 6 8 10 12
0.00
0.10
Theta décumulé
Année de développement
2 4 6 8 10 12
0.0e
+00
1.5e
+07
SCR réserves
Année de développement
.1;14 , 1 ln( 1) .a b ii ii f e f a bi+∀ ∈ = + ⇔ − = +
a b
[ ]214
( , ) 1( , )= argmin ln( 1) .i
a b ia b f a bi
=
− − −
[ ][ ]1
1
0, (1 ). ( | ) 99,5% (( ). ). _ _ (( ). ). ( _ _ )
i t i i
i i
t r E SCR F Poisson Pareto Généralisée netteE Pareto Généralisée nette
θ θ µ
θ θ µ+
+
∀ ≥ + = −
− −
2 4 6 8 10 12 14
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Proportion des sinistres reportés
Année Développement
Prop
ortio
n
2 4 6 8 10 12
0.00
0.05
0.10
0.15
Théta décumulé
development year
Observations Extrapolation
2 4 6 8 10 12
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
SCR réserves
Année de Développement
SCR
Rés
erve
t t t
+∞
2 4 6 8 10 12
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
SCR réserves
Année de Développement
Euro
s
SCR reserves brut SCR reserves net
( )
( )[ ] ( ){ }
1
11 1.( ). ( | ) . 99,5% ( | ) | | 1 1
n
t n t n i i tt ti t
CoC CoCMVM n t E C F E E C F F Fr r
−
+− −=
= − − ++ +
[ ] ( ){ }1
0 10
. . ( ) . 99,5% ( | ) | 1 1
n
n n i ii
CoC CoCMVM n E C E E C F Fr r
−
+=
= − ++ +
nC ( | )n iE C F 0;i n∈
( | )n iE C F
11
( | )0; 1 , ln( | )
n ii
n i
E C Fi n XE C F
++
∀ ∈ − =
( )1,..., nX X ( )1,..., ~ ( , )nX X N µ Λ µ n Λ
n n×
11
1
( | ), ( | ) ( | ).exp( ln( ))( | )
( | ).exp( ))
in k
n i n tk t n ki
n t kk t
E C Fi t E C F E C FE C F
E C F X
++
=
+=
∀ ≥ =
=
:
i
i j
j
µµ
µ
=
(1: )*(1: ) (1: )*( 1: )
( 1: )*(1: ) ( 1: )*( 1: )
i i i i n
i n i i n i n
+
+ + +
Λ Λ Λ = Λ Λ
( : )*( : )ab cdT T
1: 1i iµ+ + 1iµ +
1( ,..., ) |i n iX X F+ 1 1 | |( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )i n i i iX X X X N µ+ Λ
11
| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i
i
Xµ µ µ
X
−+ +
= +Λ Λ −
1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i
−+ + + +Λ =Λ −Λ Λ Λ
t iSCR i
t0 1t i n≤ ≤ ≤ −
[ ] ( )199,5% ( | ) |n i iE C F F+
[ ] ( ) [ ]
[ ]( )
1
11
11
99,5% ( | ) | 99,5% ( | ).exp( ) |
( | ).exp( ). 99,5% exp( ) |
i
n i i n t k ik t
i
n t k i ik t
E C F F E C F X F
E C F X X F
+
+= +
+= +
=
=
i t=
1
i
kk t
X= +
[ ] ( ) 1 | ,1:1 | ,1:1
199,5% ( | ) | ( | ).exp( ).exp( )
i
n i i n t k i ik t
E C F F E C F X µ φ+= +
= + Λ
[ ] { }199,5% ( ( | ) | ) |n i i tE E C F F F+
[ ] { }
1 | ,1:1 | ,1:11
| ,1:1 | ,1:11
99,5% ( ( | ) | ) | ( | ). exp( ) |
( | ).exp( ). exp( ) |
i
n i i t n t k i i tk t
i
n t i k i tk t
E E C F F F E C F E X µ F
E C F E X µ F
φ
φ
+= +
= +
= + + Λ
= Λ +
| ,1:1 iΛ
11
| ( 1): ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i
i
Xµ µ µ
X
−+ +
= +Λ Λ −
11
| ,1:1 ( 1): ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
1:1
i i n i n i i i i
i
Xµ µ µ
X
−+ +
= +Λ Λ −
1
1| ,1:1 ( 1):( 1) ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) ( 1: )*(1: )
1
1:1
1:1
0
0
0
0
ti i i i n i i i
i n i i i i n it
i
X
Xµ µ
X
X
−+ + +
−+ +
+
= + Λ Λ
+ Λ Λ − Λ Λ
1(1: )*(1: ) 1: 1:1i i iµ−
[ ] { } 1 | ,1:1
1
1 1( 1):( 1) ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1: 1:1
1:1
99,5% ( ( | ) | ) | ( | ).exp( ).
exp0
0
n i i t n t i
ti i i n i i i i n i i i i
E E C F F F E C F
X
Xµ µ
φ+
− −+ + + +
= Λ
+ Λ Λ − Λ Λ
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1 1
1:1
0
0. exp( ) |
i
k i n i i i tk t t
i
E X FX
X
−+
= + +
+ Λ Λ
i tα − i t−
11
'( ,..., )i
k i t t ik t
X X Xα − += +
=
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1 1
11
( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )1
1:1
0
0exp( ) |
0
0= exp( ' (1,0 0)
i
k i n i i i tk t t
i
t
i t i n i i it
i
i
E X FX
X
XE
XX
X
α
−+
= + +
+
−− +
+
+ Λ Λ
+ Λ Λ
1 1,1
( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
) |
0exp( ' (1,0 0) ) |
t
t tt i t
i t i n i i i ti t
i i
F
X XE F
IX X
α+ +
−−− +
−
= + Λ Λ
,0 t i t
i tI−
−
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1 1
1,1
( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1:1
0
0exp( ) |
0exp( ' (1,0 0)
i
k i n i i i tk t t
i
tt i t
i t i n i i ii t
i
E X FX
X
XE
IX
α
−+
= + +
+−−
− +
−
+ Λ Λ
= + Λ Λ
1
,
) |
exp( ) |
t
t
i t t
i
F
XE F
Xλ
+
=
,1, ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
0' (1, 0 0) t i t
i t i t i n i i ii tI
λ α −−− +
−
= + Λ Λ
1 1 | ,1:( ) | ,(1: )*(1: )( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )t i t t i t t i t i tX X X X N µ+ − − −Λ
1 '( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) , | ,1:( ) , | ,(1: )*(1: ) ,
1 1
1:1
0
0 1exp( ) | =exp( ) 2
i
k i n i i i t i t t i t i t t i t i t i tk t t
i
E X F µX
X
λ λ λ−+ − − −
= + +
+ Λ Λ + Λ
[ ] { }
| ,1:1
1
1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
, | ,1:( ) , | ,(
1:1
1:1
099,5% ( ( | ) | ) | ( | ).exp
0
12
i
ti i i n i i i
n i i t n t
i n i i i i
i t t i t i t t
X
Xµ
E E C F F F E C F
µ
µ
φ
λ λ
−+
+
−+
−
Λ
+ + Λ Λ =
− Λ Λ
+ + Λ
'1: )*(1: ) ,
i t i t i tλ− −
iSCR
| ,1:1
1
1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
, | ,1:( ) , | ,(1: )*
1:1
1:1
0( | ) (1 ) . ( | ). exp
0
12
i
ti i i n i i i
ii t n t
i n i i i i
i t t i t i t t i t
X
Xµ
E SCR F r E C F
µ
µ
φ
λ λ
−+
−+
− −
Λ
+ + Λ Λ = +
− Λ Λ
+ + Λ
'(1: ) ,
1
i t i tλ−
−
2 2 21, (exp( ( , ) )) exp( )2
t E N µ t µt tσ σ∀ ∈ = +
0; 1t n∈ −
t
| ,1:1
1
1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )
1
1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
, | ,1:( ) , | ,(1: )*(1:
1:1
1:1
0(1 ) . ( | ). exp
0
12
i
ti i i n i i i
tt n t
i n i i i i
i t t i t i t t i t i
X
Xµ
MVM r E C F
µ
µ
φ
λ λ
−+
−
−+
− −
Λ
+ + Λ Λ = +
− Λ Λ
+ + Λ
1
') ,
1n
i t
t i tλ
−
=
−
−
| ,1:1
11
0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0
',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0
1:1
1 . ( ). exp 11
12
in
n i i i n i i i ii
i i i i i i
MVM E C µ µr
µ
φ
λ λ λ
−−
+=
Λ = + − Λ Λ − + + + Λ
( ) 1,14t t
θ∈
1998;2011i∈ tθ i
i t+ tθ
( )t tF
+∈ i t+
( | ) ( ).n i t i t i t n tE C F payé suspens coûtmoyenθ θ+ + += + + −
( | )n i tE C F+ i tsuspens +
( , )µ Λ
1 1 | |( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )i n i i iX X X X N µ+ Λ
1 2( , .... )nx x x
θ nθ
n
1 21; , ( , ,..., )b b b bnb B x x x x∀ ∈ =
[ ]( , )E Xθ ϕ θ ϕ ( )
1
1 ( , ) B
bn
bx
Bϕ θ
=
( )
1
1 ( ) - B
bn n
bx
Bθ θ
=
1;( )i i ny ∈ 1;( )i i nx ∈
1;( )i i ny ∈
, 1;i i
i
y y i ny
−∈
1; , | 0 , | 1 i i i i
i i
i i
y y y yi n E x V xy y
− − ∀ ∈ = =
res val .valprédite res valprédite− valprédite
( , )µ Λ ( , )µ Λ
1( | )( | )
n t
n t
E C FE C F
+
Distribution des résidus de Pearson
Effe
ctif
-2000 -1000 0 1000 2000
05
1015
2025
Année 1
Den
sity
2e+07 4e+07 6e+07
0e+0
03e
-08
Année 2
Den
sity
2e+07 4e+07 6e+07
0e+0
03e
-08
Année 3
Den
sity
2e+07 3e+07 4e+07 5e+07
0e+0
03e
-08
Année 4
Den
sity
1.0e+07 2.0e+07 3.0e+07 4.0e+07
0e+0
04e
-08
Année 5
Den
sity
5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07 3.5e+07
0e+0
06e
-08
Année 6
Den
sity
5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07
0e+0
06e
-08
Année 7
Den
sity
5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07
0e+0
06e
-08
Année 8
Den
sity
5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07
0e+0
06e
-08
Année 9
Den
sity
5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07
0e+0
06e
-08
Année 10
Den
sity
1.0e+07 2.0e+07 3.0e+07
0e+0
06e
-08
Année 11
Den
sity
5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07 3.5e+07
0e+0
06e
-08
Année 12
Den
sity
1.0e+07 2.0e+070.0e
+00
1.0e
-07
Année 13
Den
sity
1.0e+07 2.0e+07 3.0e+070.0e
+00
1.0e
-07
Année 14
Den
sity
1.5e+07 2.0e+07 2.5e+07 3.0e+070.0e
+00
1.0e
-07
Année 15
Den
sity
1.5e+07 2.0e+07 2.5e+07 3.0e+070.0e
+00
1.0e
-07
Distribution des montants ultimes espérés ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales
Année 1 à 2
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
1.0
2.0
Année 2 à 3
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
1.0
2.0
Année 3 à 4
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
1.0
2.0
Année 4 à 5
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
1.0
Année 5 à 6
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
1.0
Année 6 à 7
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.6
1.2
Année 7 à 8
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.6
1.2
Année 8 à 9De
nsity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.6
1.2
Année 9 à 10
Dens
ity
1 2 3 4
0.0
0.4
0.8
Année 10 à 11
Dens
ity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
1.0
Année 11 à 12
Den
sity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.6
1.2
Année 12 à 13
Den
sity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.6
1.2
Année 13 à 14
Den
sity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.6
1.2
Année 14 à 15
Den
sity
0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.
00.
61.
2
Distribution des coefficients de passage ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales
Année 1 à 2
Dens
ity
-0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
2.0
Année 2 à 3
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
Année 3 à 4
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
Année 4 à 5
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
Année 5 à 6
Dens
ity
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 6 à 7
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 7 à 8
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 8 à 9
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 9 à 10
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.6
1.2
Année 10 à 11
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 11 à 12
Den
sity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 12 à 13
Den
sity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 13 à 14
Den
sity
-0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 14 à 15
Den
sity
-0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Distribution des log-coefficients de passage ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales
1,..., nx x
2
2
1
2
1
( )
( )
n
i n i ii
n
ii
a x x
Wx x
−=
=
− =
−
où les sont des constantes tabulées.ia
0( | ),..., ( | )n n nE C F E C F
1( | )ln( | )n t
tn t
E C FXE C F
+
=
( )1 1( , ) ln( ( | )) ln( ( | )), ln( ( | )) ln( ( | ))s t n s n s n t n tCov X X Cov E C F E C F E C F E C F+ += − −
| | 2t s− ≥ 12
− | | 1t s− =
s t=
+∞
( | ) ( ).n i t i t i t n tE C F payé suspens coûtmoyenθ θ+ + += + + −
1( | )( | )
n t
n t
E C FE C F
+
1( | )( | )
n t
n t
E C FE C F
+
Année 1 à 2
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
2.0
Année 2 à 3
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
2.0
Année 3 à 4
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
Année 4 à 5
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 5 à 6
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 6 à 7
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 7 à 8
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 8 à 9
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.6
1.2
Année 9 à 10
Dens
ity
-0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 10 à 11
Dens
ity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 11 à 12
Den
sity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 12 à 13
Den
sity
-0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 13 à 14
Den
sity
-0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
Année 14 à 15
Den
sity
-0.5 0.0 0.5
0.0
1.0
Distribution des log-coefficients de passage ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales
1 1( | ) ( | ) ( | )( | ) ( | ) ( | ) ( | )n t n t n t
n t n t n t n t
E C F E C F E C FE E E F E EE C F E C F E C F E C F
+ +
= = = =
log ~ ( , )E C FE C F
( )
11 1( | ) |( | ) ( | ) ( | )| 1
( | ) ( | ) ( | ) ( | )n t tn t n t n t
tn t n t n t n t
E E C F FE C F E C F E C FE E E F E EE C F E C F E C F E C F
++ + = = = =
21( | )log ~ ( , )( | )
n tt t
n t
E C F N mE C F
σ+
212t tm σ+ =
tm tσ 21 12t tm σ+ =
tσ 2112t tm σ= −
( | ) ( | ) ( | )| 1( | ) ( | ) ( | ) ( | )n t n t n t
n t n t n t n t
E C F E C F E C FE C F E C F E C F E C F
= = = =
1+ =
1+ =
tm
µ Λ
11
| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i
i
Yµ µ µ
Y
−+ +
= +Λ Λ −
1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i
−+ + + +Λ = Λ −Λ Λ Λ
| ,1:1
1
1: (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: )
1(( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
, | ,1:( ) , | ,1:(
1:1
1:1
0( | ) (1 ) . ( | ). exp
0
12
i
ti i i n i i i
ii t n t
i n i i i i
i t t i t i t t i
X
Xµ
E SCR F r E C F
µ
µ
φ
λ λ
−+
−+
−
Λ
+ + Λ Λ = +
− Λ Λ
+ + Λ
'),1:( ) ,
1
t i t i tλ− −
−
| ,1:1
11
0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0
',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0
1:1
1 . ( ). exp 11
12
in
n i i i n i i i ii
i i i i i i
MVM E C µ µr
µ
φ
λ λ λ
−−
+=
Λ = + − Λ Λ − + + + Λ
2( ,..., )nX X 1( ,..., )nX X
1( | )nE C F 2( ,..., )nX X
1( | )nE C F
1t ≥ 0t =
1
0
CC
0 0C =
Λ
2 4 6 8 10 12 14
0e+0
01e
+07
2e+0
73e
+07
4e+0
75e
+07
E(SCR) pour une nouvelle année de survenance sans corrélations
Année de développement
Euro
s
SCR brutSCR net
2 4 6 8 10 12 14
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Variance des log-coefficients de passage des montants ultimes espérés
Année de développement
12
−
2 4 6 8 10 12 14
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
E(SCR) pour une nouvelle année de survenance avec corrélations
Année de développement
Euro
sSCR brutSCR net
2 4 6 8 10 12
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
SCR réserves
Année de Développement
Euro
s
SCR reserves brut SCR reserves net
0 5 10 15 20 25 30
0e+0
01e
+07
2e+0
73e
+07
4e+0
7
Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5
Années
Euro
s
SCR réserves brutSCR réserves net
[ ]1
min min , max( ,0) ,Frequency
ii
liability Loss rmaxi etention AALmum=
−
0C, . t
tt
t retention retentionC
∀ = { }0
110%0
. .1i
t
t i indexi i
indexC Iindex ≥
=
=
iindex
+∞ retention
+∞
[ ]1
min min , max( ,0) ,Frequency
ii
liability Loss rmaxi etention AALmum=
−
1t ≥ t
( ) 1brute nette
brute nettePP PPMVM MVisovaluemin M
τ−
−= +
−
X + X
XF Xf 1( )L g
[ ]0;1 [ ]0;1 (0) 0g = (1) 1g = g
X
0( ) (1 ( ))g XR X g F x dx
+∞= −
g gR
( )Xy F x=
[ ]0 0( ) . (1 ( )) . ( ). '( ).g X XR X x g F x x f x g x dx
+∞+∞= − +
( )gR X (1 ( ))Xx g F x− +
/20, (1 ( )) . (1 ( )) 0
2x
X Xx
xx g F u du g F x∀ ≥ − ≥ − ≥
/2
(1 ( )) 0x
Xx xg F u du
→+∞− →
. (1 ( )) 0X xx g F x
→+∞− → [ ]0. (1 ( )) 0Xx g F x +∞
− =
1C Xf
0
01 1
01 1
01
0
( )= . ( ). '( ).
=- . ( (1 ( )))
=- ( ). ( (1 ))
= (1 ). ( ( ))
= ( ). ( ( ))
g X
X
X
X
X
R X x f x g x dx
xd g F x
F y d g y
F y d g y
VaR y d g y
+∞
+∞
−
−
−
−
−
gR
g
g
0 X Y≤ ≤ , ( ) ( )X Yu F u F u+∀ ∈ ≥ g
, (1 ( )) (1 ( ))X Yu g F u g F u+∀ ∈ − ≤ − ( ) ( )g gR X R Y≤
λ∈
, ( ) ( ) ( )X Xu F u P X u F uλ λ λ+∀ ∈ = + ≤ = − ( )0;1 , ( ) ( )X XVaR VaRλα α λ α+∀ ∈ = +
λ +∈ ( ) .0;1 , ( ) . ( )X XVaR VaRλα α λ α∀ ∈ =
( . )= . ( )g gR X R Xλ λ
o
o g 2C
1
01 1
0 0
( )= ( ). ( ( ))
= ( ). ( ( )) . ( ( ))
= ( ) .( (1) (0)) = ( )
g X
X
g
g
R X VaR y d g y
VaR y d g y d g y
R X g gR X
λλ
λ
λ
λ
++
+
+ −
+
1 1 1
0 0( ) (1 )
=- . ( ) avec ( ) 1
= ( )
X X
X X
VaR u du F u du
v f v dv F v u
E X
−
−∞
+∞
= −
= −
( )
1
01 1
0 0 001 1
0 0
( )= ( ). ( ( ))
= '( ). ( ) ''( ). ( )
= '(1). ( ) ''( ). ( )
= '(1). ( ) ''( ).
g X Y
y y
X Y X Y
X Y X Y
R X Y VaR y d g y
g y VaR u du g y VaR u du dy
g VaR u du g y TVaR y dy
g E X Y g y TVa
+
+ +
+ +
+
−
−
+ −
( )
1
01
01 1
0 0
( )
'(1). ( ) '(1). ( ) ''( ). ( ) ( ) car '' 0
'(1). ( ) '(1). ( ) ''( ). ( ) ''( ). ( )
( ) ( )
X Y
X Y
X Y
g g
R y dy
g E X g E Y g y TVaR y TVaR y dy g
g E X g E Y g y TVaR y dy g y TVaR y dy
R X R Y
+
≤ + − + ≤
≤ + − −
≤ +
0
( ) (1 ( ))g XR X g F x dx+∞
= −
g (1 ( )) (1 ( ))Xx g F x g P X x− = − ≤
(1 (0)) 1Xg F− = lim (1 ( )) 0Xxg F x
→+∞− =
Y (1 ( ))Xx g F x− ( )gR X
Y
g
(0) 0g = (1) 1g = [ ]0;1 , ( )x g x x∀ ∈ ≥
, ( ) ( )X Yx F x F x∀ ∈ ≥ g
x XF
X
Y X Y X
X X Y
× 1X 2X
1 2 1 2( ) ( ) ( )g g gR X X R X R X+ ≤ +
1X 2X 1Y 2Y
1 2( )gR X X+
uf
[ ] 10;1 , , ( ) uuu x f x x −∀ ∈ ∀ ∈ =
F X S u 1(1 )VaR Fα α−= −
1( ) ( ) uuS x S x −= ( )11 ( ) 1 ( ) u
uF x F x −− = − ( )1( ) 1 1 ( ) u
uF x F x −= − −
1
1 1 1 1( ) ( ) 1 (1 ( )) 1 (1 )u uu ux F y F x y F x y x F y− − − −
= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = − −
( )
11
1
11 1
11 1
(1 )
= 1 1 (1 )
= 1
=
u
uu
u
u
VaR F
F
F
VaR
α
α
α
α
α
−
−
− −
− −
= −
− − −
−
1
0
( ) ( ) uuE X S x dx
∞−=
X .(1 ( )) ( ) 0X Xx xx F x ydP y
+∞
→+∞− ≤ →
[ ]00 0 0( ) ( ) (1 ( )) (1 ( )). ( ).X x xE X xdP x x F x F x dx S x dx
+∞ +∞ +∞+∞= = − − + − =
o
×
o
o
o
o
o
o
t
• • •
Triangle des sinistres payés et des suspens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1998 0 990496 1680115 2869294 4251034 4272151 7465542 8117300 12296988 16709877 16709880 20343465 20415455 20415453 20415452 1999 18294 18294 2538428 3676804 6502564 6972524 6885223 9812064 9969216 15997996 17016106 18286902 18286902 18305223 2000 134707 4213124 5501737 7978035 7979046 9547719 11501301 12612836 16718365 16730855 16733490 16586845 16782532 2001 862601 1960804 1960804 1970402 2048402 2048502 3020402 6546032 9197528 9197528 9197530 9197529 2002 1729418 5250345 5856846 3502928 10619450 14634754 24530505 24530507 23907919 27888908 27750675 2003 2822418 6235545 7259291 4905373 11662449 14360754 22770412 22770414 25120684 29106550 2004 26898 26898 3670516 3670516 3670516 5071450 5071450 6010466 6007922 2005 5278897 5299181 7799181 11797467 15884382 19946778 24723937 24746995 2006 2190247 3061084 5814614 11821111 11823161 22393299 22393297 2007 1422792 5417400 8480978 8489316 16328965 16334165 2008 15322783 16553148 17041217 17592542 17602539 2009 7259627 8873228 6284075 3273419 2010 6488206 11848472 11848471 2011 7777010 7777010
Triangle des suspens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1998 0 950644 1638281 2688190 3816442 3831930 6265638 6872679 10854883 15004285 14602248 16533651 15102190 14965424 14887184 1999 18294 18294 2537645 3617757 6436128 6888495 6545516 9338675 9494709 13616943 14529647 14794954 13596907 12781761 2000 133923 4194212 5471755 7846950 7090793 6914943 8369449 8988029 13086000 12327248 12318529 9918048 9916964 2001 861839 1957883 1955201 1243057 1263983 1261691 2227725 5516415 7797742 7797743 7797744 7797744 2002 1724834 5240642 5845734 3481567 10576340 13140510 22756889 21926426 21908987 25146769 24754939 2003 2821880 6224980 7248047 4878579 11611559 13388652 21200740 20400992 22745142 26602161 2004 26898 26898 3670516 3670516 3670516 4870903 4870903 5640777 5597422 2005 5278522 5296504 7715769 10973038 14592262 18460040 21917737 21433131 2006 2186021 3048103 5797764 11591568 11427074 18052981 18028631 2007 1421596 5395505 8449453 8104513 13964970 13959775 2008 15314531 16510846 16988051 17296883 17288528 2009 7256570 8788997 6200203 379024 2010 6475734 11828566 11796764 2011 7767613 7767613
11
tt
t
CXC
++ = 2( ,..., ) ~ ln ( , )nX X N µ Λ
2
1 1
( | ) ( | )( ,..., ) ~ ln ( , )( | ) ( | )
n n n
n n n
E C F E C F N µE C F E C F −
Λ
2
1 1
, ..., n
n
CCC C −
t 1t + ~
2:t nM +
1tF+ tF
t 2:t nM + 2:t nS +
tF 199.5% tL
tF
111; 1 , ln i
ii
Ci n XC
++
∀ ∈ − =
( )2,..., ~ ( , )nX X N µ Λ
( )1 1 2( ,..., ) ,...,n nY Y X X− = µ 1n−
Λ ( 1) ( 1)n n− × −
1
1 11
1, , exp ln exp expn n n
kn j j k j k
k j k j k jk
Cj n C C C X C YC
−
= + = + =−
∀ ∈ = = =
[ ] { }1( | ) (1 ) . 99, 5% ( ( | ) | ) ( | ) | ii t n i i n i tE SCR F r E E C F F E C F F+= + −
1( | )n iE C F+
1
11
.exp( )n
n i kk i
C C Y−
+= +
= 1
1 1 11
( | ) . exp |n
n i i k ik i
E C F C E Y F−
+ + += +
=
:
i
i j
j
µµ
µ
=
(1: )*(1: ) (1: )*( 1: 1)
( 1: 1)*(1: ) ( 1: 1)*( 1: 1)
i i i i n
i n i i n i n
+ −
+ − + − + −
Λ Λ Λ = Λ Λ
( : )*( : )ab cdT T
1 1 1( ,..., ) |i n iY Y F+ − + 1 1 1 | |( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )i n i i iY Y Y Y N µ+ − Λ
11
| ( 1):( 1) (( 1):( 1))*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i
i
Yµ µ µ
Y
−+ − + −
= +Λ Λ −
1| (( 1):( 1))*(( 1):( 1)) (( 1):( 1))*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1):( 1))*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i
−+ − + − + − + −Λ =Λ −Λ Λ Λ
1n iα − − 1n i− − 1
1 1 1 1 11
| '( ,..., ) | ( ,..., )n
k i n i i n ik i
Y F Y Y Y Yα−
+ − − + −= +
=
1
1 1 | 1 | 11
| ~ ( ' , ' )n
k i n i i n i i n ik i
Y F N µα α α−
+ − − − − − −= +
Λ
1
1 1 11
1 1 | 1 | 1
( | ) . (exp | )
1 .exp( ' ' )2
n
n i i k ik i
i n i i n i i n i
E C F C E Y F
C µα α α
−
+ + += +
+ − − − − − −
=
= + Λ
[ ] 199,5% ( ( | ) | )n i iE C F F+
i
1
1 1| ( 1):( 1) ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1: ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )
1
0
00
i i n i n i i i i i n i i ii
i
Y
µ µ µY
Y
− −+ − + − + −
−
= +Λ Λ − +Λ Λ
[ ] [ ]
[ ]
1 1 1 | 1 | 1
1 1 | 1 | 1
199,5% ( ( | ) | ) 99,5% exp( ' ' ) | 2
1 99,5% exp( ) exp( ' ' ) | 2
n i i i n i i n i i n i i
i i n i i n i i n i i
E C F F C µ F
C X µ F
α α α
α α α
+ + − − − − − −
+ − − − − − −
= + Λ = + Λ
11 1 1ln( ) .exp( )i
i i i ii
C X C C XC
++ + += ⇔ = 1i iX Y+ =
[ ] [ ]1 1 | 1 | 1199,5% ( ( | ) | ) 99,5% exp( ' ' ) | 2n i i i n i i n i i n i i iE C F F C µ Y Fα α α+ − − − − − −
= + Λ +
[ ]
[ ]
1
1
11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
1
11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )
99,5% ( ( | ) | )
1.exp( ' ).exp( ' ' ).2
0
0
99,5% exp( '
n i i
i n i i n i n i i n n i i n i i i ii
n i i n i i i
E C F F
Y
C µ µY
α α α α
α
+
−− − − − − − + − − − + −
−
−− − + −
=
Λ + Λ Λ −
Λ Λ
) | 0 i i
i
Y F
Y
+
2 2 21, (exp( ( , ) )) exp2
t E N µ t µt tσ σ ∀ ∈ = +
1i iY X += iF
iF
iY
|i iY F 1 1 | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)| ( , ..., ) ~ ( , )i i i iY Y Y N µ− − −Λ
1 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : )
0
' ( ' )0n i i n i i i n i i n i i i i i i
i
Y
Y
α α− −− − + − − − + −
Λ Λ = Λ Λ
1 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)
0
' | ~ (( ' ) 1). ( , )0n i i n i i i i i n i i n i i i i i i i
i
Y F N µ
Y
α α− −− − + − − − + − − −
Λ Λ + Λ Λ + Λ
11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : )( ' ) 1n i i n i i i i iα −
− − + −Λ Λ +
[ ] 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )
1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)
0
99,5% ( ' | )0
(( ' ) 1)( )
n i i n i i i i i
i
n i i n i i i i i i i
Y F
Y
µ
α
α φ
−− − + −
−− − + − − −
Λ Λ +
= Λ Λ + +Λ
φ (0,1)N
1F
[ ] [ ]( , ) , . ., 99,5% ( ) . 99,5% ( )a b X v a aX b a X b+∀ ∈ × ∀ + = +
W ] [0;1τ ∈
[ ]
( )
11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )
1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)
0
99,5% (exp( ' ) | )0
exp ( ' ) 1).( )
n i i n i i i i i
i
n i i n i i i i i i i
Y F
Y
µ
α
α φ
−− − + −
−− − + − − −
Λ Λ +
= Λ Λ + +Λ
[ ]
1
1
11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
1
11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*(
99,5% ( ( | ) | )
1exp ' exp ' ' ( )2
0
exp ( ' )
n i i
i n i i n i n i i n n i i n i i i ii
n i i n i i i
E C F F
Y
C µ µY
α α α α
α
+
−− − − − − − + − − − + −
−
−− − + −
= Λ + Λ Λ −
Λ Λ
( )1/2: ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)1 ( )i i i iµ φ− − + +Λ
[ ] 1( 99,5% ( ( | ) | ) | )n i i tE E C F F F+
tF 1 1n i t− ≥ ≥ ≥
1C 1 1,..., tY Y−
tF
1
1exp( ) exp( )
i i
i t k t kk t k t
C C X C Y−
= + =
= =
[ ] { }
{ }{ }{ }
*
*
*
( ( )) inf / (exp( ) )
inf / (exp( ) )
inf / ( ln( ))
inf exp(ln( )) / and ( ln( ))
exp inf ln( )
exp W x P W x
x P W x
x P W x
x x P W x
x
τ τ
τ
τ
τ
+
+
+
= ∈ ≤ ≥
= ∈ ≤ ≥
= ∈ ≤ ≥
= ∈ ≤ ≥
=
{ }( ){ }( )
[ ]( )
*/ and ( ln( ))
exp inf / ( )
exp ( )
x P W x
y P W y
W
τ
τ
τ
+∈ ≤ ≥
= ∈ ≤ ≥
=
1t i+ > i t=
[ ]
( )
1
11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;(1:1)*(1:1)
( 99,5% ( ( | ) | ) | )
1exp ' ' ' .2
exp (( ' ) 1) .
e
n i i t
t n i i n i n i i n n i i n i i i i
n i i n i i i i i i
E E C F F F
C µ µ
E
α α α α
α φ
+
−− − − − − − + − − − + −
−− − + − −
= Λ + − Λ Λ
Λ Λ + Λ
1
1 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1
11
xp( ' (( ' ) 1) ) |
0
i
n i i n i i i k n i i n i i i i i i tk ti
Y
X µ FY
α α− −− − + − − − + − −
= +−
Λ Λ + + Λ Λ +
[ ]
( )
1
11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:
1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;(1:1)*(1:1)
( 99,5% ( ( | ) | ) | )
1exp ' ' ' .2
exp (( ' ) 1) .
e
n i i t
t n i i n i n i i n n i i n i i i i
n i i n i i i i i i
E E C F F F
C µ µ
E
α α α α
α φ
+
−− − − − − − + − − − + −
−− − + − −
= Λ + − Λ Λ
Λ Λ + Λ
1
11 1
1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 1 11
xp( ' (( ' ) 1) ) | ,...,
0
i
n i i n i i i k n i i n i i i i i i tk ti
Y
Y µ Y YY
α α−
− −− − + − − − + − − −
=−
Λ Λ + + Λ Λ +
1 1,..., tY Y− 1,...,t iY Y− 1,...,t iY Y−
1 1,..., tY Y− | 1tµ − | 1t−Λ
i t= tF
[ ] ( )[ ] ( ) [ ]
1 1 1
1
1 1 1
99,5% ( ( | ) | ) |
99,5% ( | ) |
( 99,5% (exp( ) | ) | )
n n n t
n n t
n n n t
E E C F F F
E C F F
E C Y F F
− + −
−
− − −
=
=
1 1 2 | 2 | 2| ( ,..., ) ~ ( , )n n n nY Y Y N µ− − − −Λ
[ ] 1 1 1 1 | 2,1:1 | 2,(1:1)*(1:1)( 99,5% ( ( | ) | ) | ) ( exp( ) | )n n n t n n n tE E C F F F E C µ Fφ− + − − − −= +Λ
[ ] 2
1 1 1 | 2,(1:1)*(1:1) | 2,1:1( 99,5% ( ( | ) | ) | ) exp( ) (exp | )n
n n n t t n k n tk t
E E C F F F C E Y µ Fφ−
− + − − −=
= Λ +
[ ] 1( | ) ( 99,5% ( ( | ) | ) | ) ( | )i t n i i t n tE SCR F E E C F F F E C F+= −
1
1
( | ).(1 )
ni t
t i ti t
E SCR FMVM CoCr
−
+ −=
=+ ( | )n tE C F
Λ µ
1;i n∈ i
iY ( ),1 ,1, ,...,i i i kX X X=
,i ix y
( , , , { , } )uF P uΩ Θ ∈Θ
i|i iY X x= Ω F
Ω Θ{ , }uP u∈Θ Ω
u∈Θ i|i iY X x= Pu 1;i n∈
λ { , }uP u∈Θ
|i i iY X x= λ
: ( )( , ( , )) exp ( , )f y by u c yθ θ
θ φ φφ
+×Θ→
−= +
b 2C 'b iu |i i iY X x=
( , )iθ φ φ
|i i iY X x=
2
( | ) '( )( | ) ''( ).
i i i i
i i i i
E Y X x bV Y X x b
θ
θ φ
= =
= =
φ
|i i iY X x= iθ g
( )( )1; , | 'i i i ii n g E Y X x x β∀ ∈ = =
( )1; , '( ) 'i ii n g b xθ β∀ ∈ =
g g id= lng =
1 1( ,..., ) ( ,..., )n nX X x x= ( , )β φ
|i i iY X x= ( , )i iu θ φ=
( | )i i iE Y X x= iu ( ( | ))i i ig E Y X x=
iu 'b iθ 'ix β
iθ
( , )i iY X
1( ,..., )nY Y 1 1( ,..., ) ( ,..., )n nX X x x=
λλ ⊗⊗... n
1 1 11
( )( , , ) , ( , , ; , , ) exp ( , )n
n i i in n n
i
y by y L y y c yθ θθ θ φ
φ=
− ∀ … ∈ … … = +
∏
1 1 11
( )( , , ) , ( , , ; , , ) ( , )n
n i i in n n
i
y by y l y y c yθ θθ θ φ
φ=
− ∀ … ∈ … … = +
1 1 1 1
1 11
. ' ( ( ' )) ( ' ( ( ' )))( , , ) , ( , , ; ) ( , )n
n i i in n
i
y b g x b b g xy y l y y c yβ ββ φ
φ
− − − −
=
−∀ … ∈ … = +
β
|i i iY X x=
1( ' ), 1,...,ig x i nβ− = lng =
1; , | ~ (exp( ' ))i i i ii n Y X x Poisson x β∀ ∈ =
' .
'1
1( ,..., ; ) exp( )
!
i ii
x ynx
ni i
eL y y ey
βββ
=
= −∏
'1
1 1 1( ,..., ; ) ' . ln( !)i
n n nx
n i i ii i i
l y y e x y yββ β= = =
= − + −
'1
10
'1 ,
1
( ,..., ; ) ( ) 0
1; , ( ,..., ; ) ( ) 0
i
i
nx
n ii
nx
n i i jik
l y y y e
lj k y y y e x
β
β
ββ
ββ
=
=
∂= − =∂
∂∀ ∈ = − =
∂
1k+
'
1 1
i
n nx
ii iy e β
= =
=
iY iY ( | )i i iE Y X x= 'ixe β
'ixiy e β−
,i jY
,i jX
( , )i j X Y
( )| ~ XY X Poisson eβ
X
X
Y erese
β
β
−= β β
X
X
Y erese
β
β
−=
( | ) 0( | ) 1
E res XV res X
=
=
( ),
,,
0i jXi j
i jY eβ− =
,
,0i j
i jres =
1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07
1e+0
72e
+07
3e+0
74e
+07
5e+0
7Nuage des couples (donnée,donnée estimée)
Données
Don
nées
est
imée
s
( | ) 0E res X = µ ( | ) 1V res X = Λ
( ),
, ,,
0i j Xi j i j
i jY e Xβ
− =
2R
+∞
12
−
uP
1
0
( ) ( )u
uPE X S x dx
∞−=
1
00
( ) ( ) (1 ) ( ) ( )u
u uPE X S x x x u S x dS x
∞∞− − = − −
0
( ) (1 ). . ( ) ( ) u
uPE X u x S x dF x
∞−= −
( ) 1 - ( )S x F x=
( )( ) (1 ). . ( ) u
uP PE X u E X S X −= −
1,..., NX X N X
(1) ( ),..., NX X
1
( )1
1( ) .uN
Pu ii
u N iE X XN N
−−
=
− − =
tSCR 1n t≥ ≥
0SCR 0SCR
0( | )tE SCR F
0 5 10 15 20 25 30
0e+0
01e
+07
2e+0
73e
+07
4e+0
7
Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5, traité 2 XS 3
Années
Euro
s
SCR réserves brut choquéSCR réserves brutSCR réserves net choquéSCR réserves net
0( | )tE SCR F
0 5 10 15 20 25 30
0e+0
01e
+07
2e+0
73e
+07
4e+0
7Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5, traité 5 XS 5
Années
Euro
s
SCR réserves brut choquéSCR réserves brutSCR réserves net choquéSCR réserves net
2 4 6 8 10 12
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
3.0e
+07
SCR réserves méthode 2 variante 2, traité 2 XS 3
Année de Développement
Euro
s
SCR réserves net choquéSCR réserves net SCR réserves brut choquéSCR réserves brut
0( | )tE SCR F
2 4 6 8 10 12
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
SCR réserves méthode 2 variante 2, traité 5 XS 5
Année de Développement
Euro
s
SCR réserves net choquéSCR réserves net SCR réserves brut choquéSCR réserves brut
2 4 6 8 10 12 14
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
3.0e
+07
SCR réserves méthode 2 variante 1, traité 2 XS 3
Année de Développement
Euro
s
SCR réserves net choquéSCR réserves net SCR réserves brut choquéSCR réserves brut
2 4 6 8 10 12 14
0.0e
+00
1.0e
+07
2.0e
+07
3.0e
+07
SCR réserves méthode 2 variante 1, traité 5 XS 5
Année de Développement
Euro
s
SCR réserves net choquéSCR réserves net SCR réserves brut choquéSCR réserves brut
top related