« Éo o - kroobannok.com · µ¦ ´ Á¦ºÉ° ® oµ ε ¸Ê ¨ µ¦Á¦¸¥ ¦¼o » ¦³ r...

แบบฝกทกษะ

คณตศาสตร

เรอง ปรพนธของฟงกชน

นางศรนทรนา แสงแพง ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ โรงเรยนพทลงพทยาคม ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 12

www.kroobannok.c

om

ค าน า

แบบฝกทกษะคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สาระการเรยนรเพมเตม รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 ประกอบดวยแบบฝกทกษะจ านวน 3 ชด ดงน

ชดท 1 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต ชดท 2 เรอง ปรพนธจ ากดเขต ชดท 3 เรอง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนส าเรจลลวงไดดวยความกรณา ชวยเหลอ แนะน า และใหค าปรกษาอยางดจากผทรงคณวฒ และผเชยวชาญทกทานทไดกรณาถายทอดความร แนวคด วธการ ค าแนะน า และตรวจสอบแกไขขอบกพรองตาง ๆ ดวยความเอาใจใสยง รวมทงบคคลทไดอางองทางวชาการทปรากฏในบรรณานกรม ขาพเจากราบขอบพระคณเปนอยางสง หวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนจะเปนประโยชนส าหรบบคคลทสนใจ น าไปประยกตใชในกระบวนการเรยนการสอน

ศรนทรนา แสงแพง

www.kroobannok.c

om

สารบญ

เรอง หนา ค าชแจง ก ผลการเรยนร ข จดประสงคการเรยนร ค ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ง แบบทดสอบกอนเรยน 1 แบบฝกทกษะชดท 1 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต 7 แบบฝกทกษะชดท 2 เรอง ปรพนธจ ากดเขต 55 แบบฝกทกษะชดท 3 เรอง พนททปดลอมดวยเสนโคง 66 แบบทดสอบหลงเรยน 89 บรรณานกรม 95

www.kroobannok.c

om

ค าชแจง

1. แบบฝกทกษะคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สาระการเรยนรเพมเตม รายวชา คณตศาสตร รหสวชา ค 33202 ชนมธยมศกษาปท 6 ประกอบดวยแบบฝกทกษะจ านวน 3 ชด ดงน

ชดท 1 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต ชดท 2 เรอง ปรพนธจ ากดเขต ชดท 3 เรอง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง 2. แบบฝกทกษะคณตศาสตร เปนแบบฝกทกษะทครจะใหนกเรยนไดฝกควบคกบการสอน

ตามแผนการจดกจกรรมการเรยนรเรองนน ๆ 3. หลงจากทนกเรยนท าแบบฝกทกษะในแตละชดเรยบรอยแลว ใหนกเรยนตรวจค าตอบ

จากการเฉลยของครพรอมกน บนทกคะแนนของแตแบบฝกทกษะทไดลงตารางบนทกคะแนนความกาวหนาของแตละคน

4. เมอนกเรยนมปญหาในการท ากจกรรมหรอไมเขาใจ ครตองอธบายเพมเตมหลงเสรจสนจากการตรวจใหคะแนน

www.kroobannok.c

om

ผลการเรยนร

1. หาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนทก าหนดใหได 2. หาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดให และหาพนททปดลอมดวยเสนโคง

บนชวงทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

จดประสงคการเรยนร

1. บอกบทนยามของปฏยานพนธของฟงกชนได 2. หาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 3. หาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 4. หาฟงกชนเมอก าหนดอนพนธของฟงกชนใหได 5. หาปรพนธไมจ ากดเขตของคาคงตวได 6. หาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบตวแปร ในรปเลขยกก าลงเมอ

เลขชก าลงไมเทากบ -1 ได 7. หาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบฟงกชนได 8. หาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนทอยในรปผลบวกและผลตางได 9. หาความเรวขณะใด ๆ เมอก าหนดความเรงในขณะใด ๆ ได 10. หาสมการของการเคลอนทเมอก าหนดความเรวในขณะ t ใด ๆ ได 11. แกโจทยปญหาเกยวกบระยะทาง ความเรว และความเรง โดยใชความรเรองปรพนธ

ไมจ ากดเขต 12. หาฟงกชน f เมอก าหนดความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใด ๆ บนเสนโคงซง

เปนกราฟของฟงกชน f และก าหนดจดใด ๆ จดหนงบนเสนโคงได 13. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการเสนโคงโดยใชความรเรองปรพนธไมจ ากดเขต 14. บอกนยามปรพนธจ ากดเขตได 15. เปรยบเทยบปรพนธไมจ ากดเขตกบปรพนธจ ากดเขตได 16. บอกวธหาปรพนธจ ากดเขตได 17. หาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดใหได 18. บอกนยามของพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X และ ใตแกน X ได 19. ค านวณหาพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X และ ใตแกน X ได 20. หาพนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

ค าแนะน าส าหรบนกเรยน

1. แบบฝกทกษะคณตศาสตรใชในการประกอบกจกรรมการเรยนการสอน โดยใหนกเรยนไดฝกทกษะในขนกจกรรมการเรยนการสอน 2. นกเรยนรวมกนศกษาตวอยาง และเนอหาจากใบความร หากมขอสงสยใหซกถามครผสอน จนเกดความคดรวบยอดและสามารถสรางองคความรดวยตนเอง

3. นกเรยนศกษาแบบฝกทกษะตามขนตอนการปฏบตในค าสงอยางครบถวน บนทกคะแนนของแตแบบฝกทกษะทไดลงตารางบนทกคะแนนความกาวหนาของแตละคน

www.kroobannok.c

om

แบบทดสอบกอนเรยนวดผลสมฤทธทางการเรยน เรอง ปรพนธ รายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค 33202 ชนมธยมศกษาปท 6

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ค าสง 1. ขอสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 30 ขอ เวลา 60 นาท

2. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยวและท าเครองหมายกากบาท (X) หนาค าตอบ

3. หามท าเครองหมายใด ๆ ลงบนขอสอบ

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

1. ก าหนดให ( )f x = 5 22x 3x 1 ปฏยานพนธของฟงกชน f ตรงกบตวเลอกใด

ก. 6 3x x

x c3 3

ข. 6

3xx x 1

3

ค. 6 32x 3x x ง. 6

3xx x c

3

2. ปฏยานพนธของ ( )f x = 2

1 xx

ตรงกบตวเลอกใด

ก. 2 1

cx x

ข. 2 1x x

ค. 2 1

cx x

ง. 2 1

1x x

3. ก าหนด ( )f x = 23x 3 และ F เปนปฏยานพนธของ f ถา ( )F 0 = 4 แลว ( )F 1 มคาเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3

4. ตวเลอกใดคอค าตอบของ 4 2( )10x x 4x 3 dx

ก. 340x 2x 4 c ข. 3

5 2x2x 2x 3x c

3

ค. 5 3 22x x 4x 3 c ง. 5 3

2x xx 3x c

2 3

www.kroobannok.c

om

2

5. ตวเลอกใดถกตอง

ก. 3

2

2xdx

x

= 4

1c

2x

ข. x

dx2

= 32x c

ค. 5( )3x 2 dx = 6x

c2

ง. 4 2( )t 3t 4t dt = 5

3 2tt t c

5

6. ตวเลอกใดถกตอง

ก. 4 x dx = 322x c

ข. 3( )t 5t

dt2

= 3

2

1 tc

4t 2

ค. 6( )7x 6 x dx = 3

7 2x 4x c

ง. 4 2( )t 3t t 1 dt = 5 2

3t t3t t c

5 2

7. คาของ 3 2( )x 6x 9x 2 dx ตรงกบตวเลอกใด

ก. 2x

6x 9 c2

ข. 4 3 2x 2x 9x

2x c4 3 2

ค. 4 2

33x 9x4x 2x c

4 2 ง.

4 23x 9x

2x 2x c4 2

8. ค าตอบ 4 2( )t 3t 5t dt คอตวเลอกใด

ก. 5 2

3t 5tt c

5 2 ข.

5 234t 5t

2t c5 2

ค. 3t 2

t 5 c3 3 ง. 34t 6t 5 c

9. ก าหนด ( )f x = 3 2x 4x 6 เมอก าหนดให ( )f 1 = 3 แลว ( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 4 3x 4x 17

6x4 3 12

ข. ( )f x = 4 3x 4x 89

6x4 3 12

ค. ( )f x = 4 3x 4x 96

6x4 3 12

ง. ( )f x = 4 3x 4x 7

6x4 3 12

www.kroobannok.c

om

3

10 ก าหนดให ( )f x = 2x 1 และ ( )f x = 2 ท x = 1 และ y = 2 คาของ ( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

ข. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

ค. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

ง. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

11. ก าหนด ( )f x = 2x 3 และ ( )f 0 = 5 คาของ ( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 2x 3x 1 ข. ( )f x = 2x

3x 52

ค. ( )f x = 2x 3x 5 ง. ( )f x = 22x 3x 1 12. ก าหนด ( )f x = 8x 4 และ ( )f 2 = 5 คาของ ( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 2x 3x 1 ข. ( )f x = 24x 4x 3 ค. ( )f x = 24x 3x 5 ง. ( )f x = 22x 3x 1

13. เสนโคงทมความชน ณ จด ( )x, y ใด ๆ เทากบ x2 จะเปนเสนโคงในตวเลอกใด

ก. วงร ข. วงกลม ค. พาราโบลารปคว า ง. พาราโบลารปหงาย

14. สมการเสนโคง ซงความชนของเสนโคง ณ จด ( )x, y ใด ๆ บนเสนโคงนเทากบ x8

และเสนโคงนผานจด ( )1, 3 คอตวเลอกใด

ก. y = 24x 1 ข. y = 24x x ค. y = 24x 4x 3 ง. y = 24x 2x 3

15. ก าหนดความชนของเสนโคงทผานจด ( )x, y ใด ๆ เปน 23x 4x 5 แลว สมการเสนโคง

ทผานจด ( )1, 6 ตรงกบตวเลอกใด

ก. y = 3 2x 2x 5x ข. y = 3 2x 2x 5x 1 ค. y = 3 2x 2x 5x c ง. y = 3 2x 2x 5x 1

www.kroobannok.c

om

4

16. อนภาคชนหนงเคลอนทจากจด ๆ หนง เมอเวลาผานไป t วนาท อนภาคมความเรว v = 34t 2t 1 เมตรตอวนาท ขณะทเรมจบเวลาอนภาคเคลอนทไดระยะทาง 4 เมตร จงหาระยะทางทอนภาคเคลอนทในวนาทท 3 ก. 83 ข. 87 ค. 91 ง. 97

17. วตถชนหนงเคลอนทในแนวเสนตรงดวยความเรง 2 ฟตตอวนาท 2 ถาภายใน 2 วนาทแรกวตถดงกลาวเคลอนทไดระยะทาง 200 ฟต และทเวลาเรมตนความเรวของวตถเทากบ 30 ฟตตอวนาท สมการของความเรวตรงกบตวเลอกใด ก. v = 2t 30t 136 ข. v = 2t 30 ค. v = 2t 30t 136 ง. v = t 30

18. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จดใด ๆ มคาเปน x 2 และเสนโคงนมความชนเปน 2 ณ จด ( )1, 1 แลวสมการของเสนโคงนคอสมการในตวเลอกใด

ตอไปน

ก. y = 3

2x x 1x

6 2 3 ข. y =

32x x 1

x6 2 3

ค. y = 3

2x 7x 11x

6 2 3 ง. y =

32x 7x 11

x6 2 3

19. คาของ 2

2

31

1x dx

x มคาเทากบจ านวนในตวเลอกใด

ก. 3 ข. 3

28

ค. 4 ง. 8

20. คาของ 210 ( )x 1 dx มคาเทากบจ านวนในตวเลอกใด

ก. 38

ข. 34

ค. 32 ง. 0

www.kroobannok.c

om

5

21. คาของ 213( )x 3x 4 dx

ตรงกบตวเลอกใด

ก. 563

ข. 433

ค. 343

ง. 6

111

22. 2 21 ( )x 1 x dx

เทากบตวเลอกใด

ก. 94

ข. 49

ค. 94

ง. 49

23. 4 3 20 ( )y y 1 dy มคาเทากบตวเลอกใด

ก. 3

260 ข.

3140

ค. 41 ง. 40

24. พนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 9 จาก x = 2 ถง x = 1 เทากบกตารางหนวย

ก. 30 ข. 28 ค. 26 ง. 24

25. พนทภายใตพาราโบลา y = 22x x ทอยเหนอแกน X มคาเทากบกตารางหนวย

ก. 32 ข.

34

ค. 3

16 ง.

332

26. พนททปดลอมดวย y = 22x , y = 0 , x = 1 , x = 2 เทากบเทาใด

ก. 3

19 ข.

317

ค. 3

14 ง.

310

www.kroobannok.c

om

6

27. พนททลอมรอบดวยเสนโคง ( )f x = 26x x แกน X ตงแต x = 1 ถง x = 4 มคากตารางหนวย

ก . 7 ข. 20 ค. 24 ง. 27

28. พนททปดลอมดวย y = 22 x และเสนตรง y = x 4 หาไดจากตวเลอกใด ก. 2 2

3( )6 x x dx

ข. 1 22 ( )2 x x dx

ค. 3 22 ( )6 x x dx

ง. 2 22

0 3( ) ( )2 2 x dx 4 x dx

29. พนททปดลอมดวย y = 25 x และเสนตรง y = 2 2x หาไดจากตวเลอกใด ก. 1 2

3( )3 2x x dx

ข. 3 21( )3 2x x dx

ค. 3 21( )7 2x x dx

ง. 3 22

01 3( ) ( )5 x dx 2 2x dx

30. ก าหนดให ( )f x เปนปฏยานพนธของ 1 2x และ ( )f 1 = 0 ตวเลอกใดเปนพนททลอมรอบดวยกราฟของ f และแกน X

ก. 67 ข.

29

ค. 23 ง.

61

www.kroobannok.c

om

www.kroobannok.c

om

8

จดประสงคการเรยนร

1. บอกบทนยามของปฏยานพนธของฟงกชนได 2. หาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 3. หาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 4. หาฟงกชนเมอก าหนดอนพนธของฟงกชนใหได 5. หาปรพนธไมจ ากดเขตของคาคงตวได 6. หาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบตวแปร ในรปเลขยกก าลง

เมอเลขชก าลงไมเทากบ 1 ได 7. หาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบฟงกชนได 8. หาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนทอยในรปผลบวกและผลตางได 9. หาความเรวขณะใด ๆ เมอก าหนดความเรงในขณะใด ๆ ได 10. หาสมการของการเคลอนทเมอก าหนดความเรวในขณะ t ใด ๆ ได 11. แกโจทยปญหาเกยวกบระยะทาง ความเรว และความเรง โดยใชความรเรอง

ปรพนธไมจ ากดเขต 12. หาฟงกชน f เมอก าหนดความชนของเสนโคง ณ จด ( )x, y ใด ๆ บนเสน

โคงซงเปนกราฟของฟงกชน f และก าหนดจดใด ๆ จดหนงบนเสนโคงได 13. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการเสนโคงโดยใชความรเรองปรพนธไมจ ากดเขต

www.kroobannok.c

om

9

ค าสง จงพจารณาตารางตอไปน แลวเตมขอความใหถกตอง

ขอ ก าหนดฟงกชน

( )f x

คาอนพนธฟงกชน ( )F x ทเทากบฟงกชน ( )f x

ปฏยานพนธทวไปของ f(x) เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

1 2 ( )d

2x cdx

= 2 2x c

2 x 2d x

cdx 2

= 2 x2

= x 2x

c2

3 34 x 4( )d

x cdx

= 34 x 4x c

4 x 3

5 23x x 1

6 5x 2

7 35x

แบบฝกทกษะท 1.1 เรอง ปฏยานพนธ (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนบอกบทนยามของปฏยานพนธของฟงกชนได 2. นกเรยนหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 3. นกเรยนหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 4. นกเรยนหาฟงกชนเมอก าหนดอนพนธของฟงกชนใหได

www.kroobannok.c

om

10

ขอ ก าหนดฟงกชน

( )f x

คาอนพนธฟงกชน ( )F x ทเทากบฟงกชน ( )f x

ปฏยานพนธทวไปของ ( )f x เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

8 6x

9 5x

10 32x 1

สรป บทนยามปฏยานพนธของฟงกชนใด ๆ ดงน ............................................................................ ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

พยายามท าความเขาใจนะครบ

แลวทกคนจะประสบความส าเรจ

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.1

คะแนนเตม คะแนนทได

15

www.kroobannok.c

om

11

ค าสง จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน (ขอละ 3 คะแนน)

1. ( )f x = 7x .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................

2. ( )f x = 2x x .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................

แบบฝกทกษะท 1.2 เรอง ปฏยานพนธ (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนบอกบทนยามของปฏยานพนธของฟงกชนได 2. นกเรยนหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 3. นกเรยนหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 4. นกเรยนหาฟงกชนเมอก าหนดอนพนธของฟงกชนใหได

www.kroobannok.c

om

12

3. ( )f x = x x .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................

4. ( )f x = 2x 3 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................

5. ( )f x = 7x 3

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.2

คะแนนเตม คะแนนทได

15

www.kroobannok.c

om

13

ค าสง จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน โดยเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

1. ( )f x = 5 …………………………………………………………

2. ( )f x = 3x …………………………………………………………

3. ( )f x = 34 x …………………………………………………………

4. ( )f x = 42x 1 …………………………………………………………

5. ( )f x = 2x 5 …………………………………………………………

6. ( )f x = 5x

12 …………………………………………………………

7. ( )f x = 23x 2x x …………………………………………………………

8. ( )f x = 36x 4x 1 …………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 1.3 เรอง ปฏยานพนธ

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 2. นกเรยนหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 3. นกเรยนหาฟงกชนเมอก าหนดอนพนธของฟงกชนใหได

แบบฝกทกษะท 1.3 เรอง ปฏยานพนธ (2)

www.kroobannok.c

om

14

9. ( )f x = 3x 4 …………………………………………………………

10. ( )f x = 58x 3 …………………………………………………………

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.3

คะแนนเตม คะแนนทได

10

ความพยายามอยทไหนความส าเรจอยทนนนะคะ

www.kroobannok.c

om

15

จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน โดยน าพยญชนะทางขวามอเตมในชองวาง หนาขอใหถกตอง

1. ( )f x = 3 ก. 4

1c

4x

2. ( )f x = x5 ข. 2x + x + c

3. ( )f x = 3x ค. 2 1

cx x

4. ( )f x = 5

1x

ง. 25x c

2

5. ( )f x = x2 +1 จ. cx2

แบบฝกทกษะท 1.4 เรอง ปฏยานพนธ (2)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 2. นกเรยนหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหได 3. นกเรยนหาฟงกชนเมอก าหนดอนพนธของฟงกชนใหได

www.kroobannok.c

om

16

6. ( )f x = 44x + 33x + 22x + x +1 ฉ. 2x

2

32x

+ c

7. ( )f x = 2

2x

+3

3x

ช. 5 31 5x x 4x c

5 3

8. ( )f x = 2 2( )( )x 1 4 x ซ. 3x c

9. ( )f x = x

1 ฌ. 54

x5

+ 43x

4+ 32

x3

+ 21x

2+ x + c

10. ( )f x = 2

1 xx

ญ. 41x

4+ c

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.4

คะแนนเตม คะแนนทได

10

อยาเบอทจะคดนะคะ เพอความแมนย าของเราเอง

www.kroobannok.c

om

17

จงหาปรพนธไมจ ากดเขตจากตารางตอไปน เมอ c เปนคาคงตว (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ โจทย ผลของการปรพนธ

1

3dx

2

7dx

3

5dx

2

4

2dx

5

6dx

แบบฝกทกษะท 1.5 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของคาคงตวได

2. นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบตวแปร ในรปเลขยกก าลงเมอเลขชก าลงไมเทากบ 1 ได

www.kroobannok.c

om

18

ขอ โจทย ผลของการปรพนธ

6

1dx

6

7

2dx

5

8

3 dx

9

11 dx

5

10

3 5 dx

สรปไดวา ให k และ c เปนคาคงตวใด ๆ

k dx = …………………………..

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.5

คะแนนเตม คะแนนทได

20

www.kroobannok.c

om

19

จงหาปรพนธไมจ ากดเขตจากตารางตอไปน เมอ c เปนคาคงตว (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ โจทย ผลของการปรพนธ

1

4x dx

2

5x dx

3

7x dx

4

3x dx

5

10x dx

แบบฝกทกษะท 1.6 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของคาคงตวได 2. นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตว

กบตวแปรในรปเลขยกก าลงเมอเลขชก าลงไมเทากบ 1 ได

www.kroobannok.c

om

20

ขอ โจทย ผลของการปรพนธ

6

12x dx

7

6x dx

8

12x dx

9

5x dx

10

4x dx

สรปไดวา

ถา n 1 แลว nx dx = ……..……………………..……

เมอ c เปนคาคงตว

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.6

คะแนนเตม คะแนนทได

20

www.kroobannok.c

om

21

จงแสดงวธการหาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนตอไปน (ขอละ 3 คะแนน)

1. 23x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

2. 45x dx

วธท า .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

3. 52x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

แบบฝกทกษะท 1.7 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (2)

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบฟงกชนได

www.kroobannok.c

om

22

4. 74 x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

5. 2

x dx3

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

6. 36x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

7. 8dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

8. 1011x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

23

9. 6x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

10. 15x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

11. 8x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

12. 32x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

13. 2x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

24

14. 23x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

15. 3

1dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

16. 257x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

17. 4

10 xdx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

18. 5

dxx x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

25

19. 28x x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

20. x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.7

คะแนนเตม คะแนนทได

60

อะไรเอย มเพยงสองตา สองขาไมม เกาะตดหแนน ไมมแขนแตมขา

www.kroobannok.c

om

26

ค าสง ใหนกเรยนท าเครองหมาย หนาขอทถกตอง และท าเครองหมาย หนาขอทไมถกตอง

1. 126x dx =

324x c

2. 38x dx

= 212x c

3. 3

dx4x

= 2x

c8

4. 5

dx4x

= 4x

c8

5. 38t dt = 42t c

แบบฝกทกษะท 1.8 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (2)

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของผลคณระหวางคาคงตวกบฟงกชนได

www.kroobannok.c

om

27

6. 53x dx =

838

x c3

7. 5x dx =

4

1c

4x

8. 4 dx = 4x c

9. 24x dx = 38x c

3

10. 47x dx = 57x c

5

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.8

คะแนนเตม คะแนนทได

10

www.kroobannok.c

om

28

จงแสดงวธการหาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนตอไปน (ขอละ 3 คะแนน)

1. 3 6( )x x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

2. 5 2( )12x 3x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

3. ( )( )4x 1 2x 5 dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

แบบฝกทกษะท 1.9 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (3)

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนทอยในรปผลบวกและผลตางได

www.kroobannok.c

om

29

4. 3 2

2

2x 4 x 5dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

5. 4( )x 5 dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

6. 2( )x 3x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

7. 2

12x dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

30

8. 33

3x 4 dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

9. 4 2( )x 3x 5x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

10. 103

1x dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

11. 2

1 1dx

x 2 x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

31

12. ( )x x 1 dx วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

13. 3

x 2dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

14. 233

4x dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

15. 3 2 2( )4 x 3x 5 3x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

32

16. 2( )x x 3 dx วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

17. 4

3

2x xdx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

18. 45

810x 2 dx

x

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

19. 2

3 x dxx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

33

20. 2332( )x x dx

วธท า ................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.9

คะแนนเตม คะแนนทได

60

ตงใจท าใหถกหมดเลยครบ

www.kroobannok.c

om

34

จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน โดยน าพยญชนะทางขวามอเตมในชองวางหนาขอใหถกตอง

1. 4 2( )x 3x 5x dx ก. 3x

x c3

2. 3 2 2( )2x 3x 6 2x dx ข. 3 2x 5x

x c3 2

3. 2 4

1 2dx

x x ค.

5 23x 5x

x c5 2

4. ( )( )x 1 x 1 dx ง. 4 3x 5x

6x c4 3

5. 2 ( )x x 3 dx จ. 5

4 3x3x 2x 10x c

5

แบบฝกทกษะท 1.10 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (4)

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนทอยในรปผลบวกและผลตางได

www.kroobannok.c

om

35

6. 2( )x 5x 1 dx ฉ. 3

1 2c

x 3x

7. ( )6 x 15 dx ช. 16

12 x x x c3

8. 3 2( )x 5x 6 dx ซ. 4x x 15x c

9. 6

8 x dxx

ฌ. 4

3xx c

4

10. 4 3 2( )x 12x 6x 10 dx ญ. 4

3x 2x 6 c

2 xx

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.10

คะแนนเตม คะแนนทได

10

www.kroobannok.c

om

36

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท าอยางละเอยด

1. ถา ( )f x = x และ ( )f 2 = 2 แลว จงหา ( )f x (5 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ก าหนด ( )f x = 4 x และ ( )f 1 = 3 จงหา ( )f x (5 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 1.11 เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต (4)

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชนทอยในรปผลบวกและผลตางได

www.kroobannok.c

om

37

3. ก าหนด ( )f x = 2x 6 , ( )f 0 = 2 และ ( )f 1 = 1 จงหา ( )f x (5 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.11

คะแนนเตม คะแนนทได

15

อะไรทวายาก หากเราศกษา ใหจรงจงกตองเขาใจจนได สส นะคะ

www.kroobannok.c

om

38

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท าอยางละเอยด โดยเตมค าลงในชองวางใหสมบรณ

1. จงหาความเรว ( )v t และต าแหนงของวตถ ( )s t ขณะเวลา t ใด ๆ เมอก าหนดความเรง ( )a t และต าแหนงของวตถ เมอ t = 0 ดงน

1) ( )a t = 6 2 t, 0 t 3, ( )v 0 = 5, ( )s 0 = 0 2) ( )a t = 2120 t 12 t , 0 t 10, ( )v 0 = 0 , ( )s 0 = 4 3) ( )a t = 2t 5t 4, 0 t 15, ( )v 0 = 2 , ( )s 0 = 3

วธท า 1) จาก ( )a t = 6 2t ( )v t =……………………….…………………………………… ( )v t =……………………….…..…………เมอ 1c เปนคาคงตว เมอ ( )v 0 = 5 จะได 1c = …………………………………………………. ดงนนความเรวขณะเวลา t ใด ๆ คอ 2 56t t เมอ 0 t 3

จาก dsdt

= ( )v t =…….….………………………………………

จะได ( )s t =…………….….……………………………………… ( )s t =………………….…………………เมอ 2c เปนคาคงตว

เมอ ( )s 0 = 0 จะได 2c =……………………………………………… ดงนนต าแหนงของวตถขณะเวลา t ใด ๆ คอ………………......เมอ 0 t 3

แบบฝกทกษะท 1.12 เรอง การประยกตปรพนธไมจ ากดเขต (1)

จดประสงคการเรยนร 1. หาความเรวขณะใด ๆ เมอก าหนดความเรงในขณะใด ๆ ได 2. หาสมการของการเคลอนทเมอก าหนดความเรวในขณะ t ใด ๆ ได 3. แกโจทยปญหาเกยวกบระยะทาง ความเรว และความเรง โดยใชความรเรองปรพนธไมจ ากดเขต

www.kroobannok.c

om

39

วธท า 2) จาก ( )a t = 2120t 12t ( )v t =……………………….……………………………………

( )v t =……………………….………...……เมอ 1c เปนคาคงตว เมอ ( )v 0 = 0 จะได 1c =………………………………………….………

ดงนนความเรวขณะเวลา t ใด ๆ คอ………………………..เมอ 0 t 10

จาก dsdt

= ( )v t =……………………………………

จะได ( )s t =…………….….…………………………………… ( )s t =……………….…………………เมอ 2c เปนคาคงตว

จาก ( )s 0 = 4 จะได 2c =………………………………………………… ดงนนต าแหนงของวตถขณะเวลา t ใด ๆ คอ………………..เมอ 0 t 10

วธท า 3) จาก ( )a t = 2t 5t 4 ( )v t =……………………….…………………………………… ( )v t =……………………….………………เมอ 1c เปนคาคงตว จาก v(0) = 2 จะได 1c = ……………………………..…………… ดงนนความเรวขณะเวลา t ใด ๆ คอ………………………… เมอ 0 t 15

จาก dsdt

= ( )v t =……………………………………

จะได ( )s t =…………………………………………………….. ( )s t =…………………………………เมอ 2c เปนคาคงตว

จาก s(0) = 3 จะได 2c =…………………………………….……… ดงนนต าแหนงของวตถขณะเวลา t ใด ๆ คอ……………………………………. เมอ 0 t 15

2. โยนวตถขนไปในอากาศในแนวดงดวยความเรว 98 เมตร / วนาท ก าหนดให g = 9.8 เมตร / วนาท2 จงหา 1) สมการเคลอนทของวตถ 2) วตถขนไปสงสดเมอเวลาเทาใด 3) ระยะทางสงสดทวตถขนไปได 4) เมอใดวตถอยสง 249.9 เมตร จากจดเรมตน

www.kroobannok.c

om

40

วธท า 1) โยนวตถขนไปบนอากาศในแนวดง a = g = 9.8 เมตร / วนาท 2

จะได dvdt

= 9.8

( )v t =………………………………………………………….. ( )v t =…………………………………… เมอ 1c เปนคาคงตว โยนวตถขนไปบนอากาศในแนวดงดวยความเรว 98 เมตร / วนาท นนคอ ขณะ t = 0, v = 98 จาก ( )v t =………………………………………………………….. จะได 1c =………………………………………………………….. ดงนน ( )v t =…………………………………………………………..

จาก dsdt

= ( )v t =…………………………………………..

จะได ( )s t =……………………………………เมอ 2c เปนคาคงตว เมอ t = 0 จะได s = 0 ดงนน 2c =………………………………………………………….. ดงนนสมการการเคลอนทของวตถ คอ ( )s t =……………………………….

วธท า 2) วตถขนสงสด เมอ v = 0 จาก ( )v t =………………………………………………………….. จะได 0 =………………………………………………………….. t =………………………………………………………….. ดงนนวตถขนไปสงสดเมอเวลาผานไป………….วนาท

วธท า 3) จาก 2) เมอ t = 10 จาก ( )s t =………………………………………………………….. จะได s =………………………………………………………….. s =………………………………………………………….. ดงนนระยะทางสงสดทวตถขนไปไดคอ ………….เมตร

www.kroobannok.c

om

41

วธท า 4) เมอ s = 249.9 จาก s =…………………………… จะได 249.9 =…………………………… ……………………… = 0 ……………………… = 0 นนคอ t = …………. หรอ t =………………. ดงนนวตถจะอยสง 249.9 เมตร เมอเวลาผานไป 3 วนาท และ 17 วนาท

ขอสงเกต

ถาโยนขน ( )g ความเรง ( ) ถาปลอย ( )g ความเรง ( ) ความเรวตน เทากบ 0

3. ในขณะเวลา t ใด ๆ รถไฟแลนออกจากสถานดวยความเรง ( )1

20 t4

เมตร/วนาท 2 จงหา

วาวนาทท 20 รถไฟก าลงแลนดวยความเรวเทาใด และตอจากนนถารถไฟแลนตอไป ดวยความเรวนนโดยตลอด หลงจากออกวงจากสถาน 30 วนาท รถไฟอยหางจากสถานเปนระยะทางเทาใด

วธท า รถไฟวงดวยความเรง a = dvdt

= ( )1

20 t4

= t

54

จาก dvdt

= t

54

จะได v =………………………………………………………….. v =…………………………………… เมอ 1c เปนคาคงตว ขณะ t = 0, v = 0 จะได 1c = 0 ดงนน v =………………………………………………………….. ถา t = 20 จะได v =…………………………………………………………..

v = 50 นนคอ วนาทท 20 รถไฟก าลงแลนดวยความเรว 50 เมตร / วนาท

จาก dsdt

= v(t) =………………………………………..

จะได s =………………………………………………………….. s =……………………………………เมอ 2c เปนคาคงตว

www.kroobannok.c

om

42

ขณะ t = 0, s = 0 จะได 2c = 0 ดงนน s =………………………………………………………….. ถา t = 20 จะได s =…………………………………………………………..

s =………………………………………………………….. นนคอ เวลา 20 วนาท รถไฟแลนไดระยะทาง……………..เมตร ตอจากนนรถไฟแลนตอไปดวยความเรวคงท 50 เมตรตอวนาท หลงจากออกสถาน 30 วนาท กคอ แลนดวยความเรวคงทตอไปอก 10 วนาท จาก s = ( )v t

s = 50 10 s = 500

รถไฟแลนดวยความเรวคงทตอไปอก 10 วนาท เปนระยะทาง 500 เมตร ดงนน หลงจากรถไฟออกจากสถาน 30 วนาท จะอยหางจากสถานเปนระยะทาง เทากบ 2000

5003

= 2

11663

เมตร

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.12

คะแนนเตม คะแนนทได

60

www.kroobannok.c

om

43

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท าอยางละเอยด โดยเตมค าตอบลงในชองวางใหสมบรณ

1. อนภาคหนงเคลอนทในแนวเสนตรงจากจดตงตนจดหนงดวยความเรง 26t ฟตตอวนาท 2 เมอ t เปนเวลา s เปนระยะทางหนวยเปนฟต จงหาวาอนภาคเคลอนทไปได ระยะทางเทาไร เมอ t = 2 วนาท

วธท า จาก dvdt

= ( )a t = 26t

จะได v =………………………………………………………….. v =………………………………….…เมอ 1c เปนคาคงตว

วตถเคลอนทในแนวเสนตรงจากจดเรมตน จะได v = 0 เมอ t = 0 จะได 1c =………………………………………………………….. ดงนน ความเรวขณะเวลา t ใด ๆ คอ……………………………………...

จาก dsdt

= ( )v t =…………………………………………….

จะได s =………………………………………………………….. s =………………………………………เมอ 2c เปนคาคงตว

แบบฝกทกษะท 1.13 เรอง การประยกตปรพนธไมจ ากดเขต (2)

จดประสงคการเรยนร 1. หาความเรวขณะใด ๆ เมอก าหนดความเรงในขณะใด ๆ ได 2. หาสมการของการเคลอนทเมอก าหนดความเรวในขณะ t ใด ๆ ได 3. แกโจทยปญหาเกยวกบระยะทาง ความเรว และความเรง โดยใชความรเรองปรพนธไมจ ากดเขต

www.kroobannok.c

om

44

วตถเคลอนทในแนวเสนตรงจากจดเรมตน จะได s = 0 เมอ t = 0 จะได 2c =………………………………………………………….. ดงนนต าแหนงของวตถขณะเวลา t ใด ๆ คอ…………………………….. ดงนน เมอ t = 2 จะได s =………………. ฟต

2. ในเวลา t วนาท รถไฟแลนดวยความเรง a ฟตตอวนาท 2 โดยท a = ( )3t t 2 ถา t = 0 วนาท รถไฟแลนไดระยะทาง 10 ฟต ดวยความเรวศนยฟตตอวนาท จงหาระยะทาง s ของรถไฟเมอ t = 4 วนาท

วธท า จาก dvdt

= ( )a t

เนองจาก ( )a t = ( )3t t 2 =…………………………………………………………..

จะได v =………………………………………………………….. v =……………………………………เมอ 1c เปนคาคงตว จาก ( )v 0 = 0 จะได 1c =………………………………………………………….. ดงนนความเรวขณะเวลา t ใด ๆ คอ …………………………………………

จาก dsdt

= ( )v t = 3 2t 3t

จะได s =………...………………………………………………… s =………...…………………………เมอ 2c เปนคาคงตว จาก ( )s 0 = 10 จะได 2c =………...………………………………………………… ดงนนต าแหนงของวตถขณะเวลา t ใด ๆ คอ………………………………..

ดงนน เมอ t = 4 จะได s =……………ฟต

www.kroobannok.c

om

45

3. วตถชนหนงเคลอนทตามแนวเสนตรงจากจดเรมตน ถาความเรงของวตถขณะเวลา t เทากบ 6t 4 และเมอเวลา t = 1 จะได s = 2 วตถจะเคลอนทไดระยะทางเทาไรเมอเวลาผานไป 2 วนาท

วธท า จาก dvdt

= ( )a t = 6t 4

จะได v =………...………………………………………………… v =………...……………………………เมอ 1c เปนคาคงตว

จาก ( )v 0 = 0 จะได 1c =………...………………………………………………… ดงนนความเรวขณะเวลา t ใด ๆ คอ…………...……………………………

จาก dsdt

= ( )v t =…………………………………………

จะได s =………...………………………………………………… s =………...……………………………เมอ 2c เปนคาคงตว จาก ( )s 1 = 2 จะได 2c =………...………………………………………………… ดงนนต าแหนงของวตถขณะเวลา t ใด ๆ คอ………………………………

ดงนน เมอ t = 2 จะได s =…………….ฟต

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.13

คะแนนเตม คะแนนทได

30

www.kroobannok.c

om

46

ค าสง จงแสดงวธท าอยางละเอยด โดยเตมค าตอบลงในชองวางใหสมบรณ

1. ก าหนด ( )f x = 4x และ ( )f 1 = 3 จงหา ( )f x วธท า เนองจาก ( )f x = 4x

จะได ( )f x =………...……………………………………………… =…………………………............... เมอ c เปนคาคงตว

จาก ( )f 1 = 3 จะได c =………...……………………………………………… ดงนน ( )f x =………...………………………………………………

2. ถาความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จด ( )x, y ใด ๆ เทากบ 2x 4 และเสนโคง

y = ( )f x นผานจด ( )1, 6 จงหาสมการของเสนโคง y = ( )f x

วธท า เนองจากความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จดใด ๆ คอ ( )f x จะได ( )f x = 2x 4

( )f x =……….……...……………………………………………… =………………………………................. เมอ c เปนคาคงตว

แบบฝกทกษะท 1.14 เรอง การประยกตปรพนธไมจ ากดเขต (3)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนหาฟงกชน f เมอก าหนดความชนของเสนโคง ณ จด ( )x, y ใด ๆ บนเสนโคงซงเปนกราฟของฟงกชน f และก าหนดจดใด ๆ

จดหนงบนเสนโคงได 2. นกเรยนแกโจทยปญหาเกยวกบสมการเสนโคงโดยใชความรเรอง ปรพนธไมจ ากดเขต

www.kroobannok.c

om

47

เนองจากเสนโคงนผานจด ( )1, 6 จะได c =……..…………………………...............

ดงนน ( )f x =……………………………..………………………...............

3. ก าหนดให ( )g x เปนอนพนธของฟงกชน y = ( )f x ถาอนพนธของ ( )g x เทากบ 6x 10 จงหา y = ( )f x ซงผานจด ( )1, 1 และความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จดดงกลาวเทากบ 1

วธท า เนองจาก ( )g x =……………………………………………………….. จะได ( )g x =………………………………………………………..

=…………………………………เมอ 1c เปนคาคงตว ดงนน ( )f x =……………………………………………………….. เนองจาก ( )f 1 = 1 จะได 1c =………….………………………………………… จะได ( )f x =………………………………………………………..

ดงนน ( )f x =……………………………………………………….. =…………………………………เมอ 2c เปนคาคงตว

เสนโคงนผานจด ( )1, 1 จะได 2c =….……….…………………………………………

ดงนน ( )f x =…………….………………………………………… 4. ก าหนด ( )f x = 6x 8 , ( )f 0 = 2 และ ( )f 1 = 4 จงหา ( )f x วธท า เนองจาก ( )f x = 6x 8

ดงนน ( )f x =…………….………………………………………… =…………………………………เมอ 1c เปนคาคงตว

เนองจาก ( )f 0 = 2 จะได 1c =………………………………..…………………… จะได ( )f x = ……………………………………………………… ดงนน ( )f x = ………………………………………………………

=…………………………………เมอ 2c เปนคาคงตว เนองจาก ( )f 1 = 4 จะได 2c =……………………………………………………… ดงนน ( )f x =………………………..………………………………

www.kroobannok.c

om

48

5. ถา ( )f x = x และ ( )f 2 = 2 จงหา ( )f x วธท า เนอง ( )f x = x

จะได ( )f x =………………………………………………………… =…………………………………เมอ c เปนคาคงตว

เนองจาก ( )f 2 = 2 จะได c =……………………………………………………… ดงนน ( )f x =………………….………………………………………

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.14

คะแนนเตม คะแนนทได

30

www.kroobannok.c

om

49

ค าสง จงเตมค าตอบลงในชองวางใหสมบรณและแสดงวธท าอยางละเอยด

1. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จด ( )x, y ใด ๆ เทากบ 2

ความชนของเสนโคง y = ( )f x ท x = 0 เทากบ 2 และเสนโคงนผานจด ( )1,4 จงหาสมการเสนโคง y = ( )f x วธท า เนองจากอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จด ( )x, y ใด ๆ

คอ 2

2

d ydx

ดงนน ( )f x = 2 ( )f x =………………………………………………………..

=………………………………….เมอ 1c เปนคาคงตว เนองจาก ( )f 0 = 2 จะได 1c =……………………………………………………….. ดงนน ( )f x =……………………………………………………….. จะได y =………………………………………………………..

y =………………………………….เมอ 2c เปนคาคงตว

แบบฝกทกษะท 1.15 เรอง การประยกตปรพนธไมจ ากดเขต (4)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนหาฟงกชน f เมอก าหนดความชนของเสนโคง ณ จด ( )x, y ใด ๆ บนเสนโคงซงเปนกราฟของฟงกชน f และก าหนดจดใด ๆ

จดหนงบนเสนโคงได 2. นกเรยนแกโจทยปญหาเกยวกบสมการเสนโคงโดยใชความรเรอง ปรพนธไมจ ากดเขตได

www.kroobannok.c

om

50

แตเสนโคงนผานจด ( )1, 4 นนคอ x = 1 จะได y = 4

แทนคา x = 1 และ y = 4 ในสมการเสนโคง จะได จะได 2c =………………… ดงนน y =………………………………………………………..

2. จงหาสมการเสนโคง y = ( )f x เมอก าหนดความชนของเสนสมผสเสนโคงเทากบ 2x 3x 2 และเสนโคงผานจด ( )2,1

วธท า เนองจากความชนของเสนสมผสโคงทจด ( )x, y ใด ๆ คอ…………………………..

นนคอ dydx

=………………………………………………………..

จะได y =……………………………………………………….. y =………………………………………………………..

ดงนนสมการเสนโคงคอ y = ………………………………………………………… แตเสนสมผสโคงนผานจด ( )2, 1 นนคอ x = 2 จะได y =……………………….

แทนคา x = 2 และ y = 1 ในสมการเสนโคง จะได c =………………………… ดงนนสมการเสนโคงคอ y =…………………………………………………………..

3. จงหาสมการเสนโคง y = ( )f x เมอก าหนดความชนของเสนสมผสเสนโคงเทากบ 32x 4 x และเสนโคงผานจด ( )0,5 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

51

4. จงหาสมการเสนโคง y = ( )f x เมอก าหนดความชนของเสนสมผสเสนโคงทจดใด ๆ เปน

2 46 3x 2x จดทเสนโคงผานคอ ( )1, 0

วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

5. ความชนของเสนโคงทจด ( )x, y ใด ๆ บนเสนโคงนเทากบ 4x 2 ถาเสนโคงผานจด

( )1, 1 จงหาสมการของเสนโคง

วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 1.15

คะแนนเตม คะแนนทได

40

www.kroobannok.c

om

52

แบบทดสอบยอย เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต รายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค 33202 ชนมธยมศกษาปท 6

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ค าสง 1. ขอสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ เวลา 40 นาท

2. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยวและท าเครองหมายกากบาท (X) หนาค าตอบ 3. หามท าเครองหมายใด ๆ ลงบนขอสอบ

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

1. คาของ 2( )3x x dx2 5 มคาเทากบตวเลอกในขอใด

ก. 3 26x 2x 5x c ข. 3 2x x 5x c ค. 3 223x x 5x c ง. 6x 2 c

2. คาของ ( )x x 4 dx มคาเทากบตวเลอกในขอใด

ก. 3x

4x c3 ข. 2x 2x c

ค. 32x 4x c ง. 3

2x2x c

3

3. ค าตอบ 4 2( )t 3t 5t dt คอตวเลอกใด

ก. 5 2

3t 5tt c

5 2 ข.

5 234t 5t

2t c5 2

ค. 3t 2

t 5 c3 3 ง. 34t 6t 5 c

4. คาของ 3 2( )4x 3x 2x 4 dx มคาตรงกบตวเลอกในขอใด ก. 4 3 212x 6x 2x 4x c ข. 4 3 23x 2x x 4x c ค. 4 3 2x x x 4x c ง. 4 3 24x 3x 2x 4x c

www.kroobannok.c

om

53

5. เสนโคงในขอใดมเสนสมผสทจด ( )1, 1 ขนานกบเสนตรง 6x 3y 1 = 0 ตรงกบ

ตวเลอกใด ก. y = 3 2x x 3x 10 ข. y = 23x 8x 5 ค. y = 2x 4x 3 ง. y = 2x 3x 5

6. ก าหนดความชนของเสนโคงทผานจด ( )x, y ใด ๆ เปน 2x แลว สมการเสนโคง

ทผานจด ( )2, 1 ตรงกบตวเลอกใด

ก. y = 3x 7 ข. y = 31 11x

3 3

ค. y = 31 5x

3 3 ง. y = 31 5

x3 3

7. เสนโคงเสนหนงผานจด ( )2, a และ ( )3, 2 ถาความชนของเสนโคงนทจด ( )x, y ใด ๆ

เปน 2x 2 แลวคาของ a เทากบตวเลอกใดตอไปน

ก. 3 ข. 73

ค. 1 ง. 3

8. ชายคนหนงขบรถยนตดวยความเรง ( )a t โดยท ( )a t = 30t 20 เมอเวลา t ชวโมง เมอ t = 0 เขาขบรถไดทาง 10 กโลเมตร ดวยความเรว 30 กโลเมตรตอชวโมง เมอ t = 4 เขาขบรถไดทางกกโลเมตร ก. 220 ข. 260 ค. 290 ง. 300

9. ถาความเรงของวตถชนหนงเปน 6t 4 ความเรวของวตถชนนทเวลา t ใด ๆ เมอก าหนดให ( )v 1 = 4 ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )v t = 23t 4t 3 ข. ( )v t = 24t 3t 3 ค. ( )v t = 23t 4t 3 ง. ( )v t = 23t 4t 3

www.kroobannok.c

om

54

10. ในเวลา t วนาท รถไฟแลนดวยความเรง a ฟตตอ(วนาท) 2 โดยท a = 212t 6t 10 ถา t = 0 รถไฟแลนไดระยะทาง 10 ฟต ดวยความเรวศนยฟตตอวนาท แลวระยะทาง s ของรถไฟ เมอ t = 5 วนาท ตรงกบตวเลอกใด ก. 880 ฟต ข. 882 ฟต ค. 885 ฟต ง. 890 ฟต

www.kroobannok.c

om

โดย นางศรนทรนา แสงแพง ครช านาญการโรงเรยนพทลงพทยาคม

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 12

www.kroobannok.c

om

56

จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนบอกนยามปรพนธจ ากดเขตได 2. นกเรยนเปรยบเทยบปรพนธไมจ ากดเขต กบ ปรพนธจ ากดเขตได 3. นกเรยนสามารถบอกวธหาปรพนธจ ากดเขตได 4. นกเรยนหาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

57

ค าสง จงเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง

ba ( )f x dx b

a( )F x ( ) ( )F b F a ค าตอบ

3 31 2x dx

431

x2

4 43 1

2 2 40

4 3

3 ( )x 3 dx

2

13

1dx

x

4 22 3

3x dx

x

แบบฝกทกษะท 2.1 เรอง ปรพนธจ ากดเขต (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนบอกนยามปรพนธจ ากดเขตได 2. นกเรยนเปรยบเทยบปรพนธไมจ ากดเขต กบ ปรพนธจ ากดเขตได 3. นกเรยนสามารถบอกวธหาปรพนธจ ากดเขตได 4. นกเรยนหาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

58

ba f (x)dx b

aF(x) F(b) F(a) ค าตอบ

1 4 21( )x x 1 dx

1 20 ( )x x 1 dx

1 2 2

1 ( )x x 1 dx

ชะตากรรมไมใชเรองทเกดขนเอง โดยอบตเหต หากเปนเรองของการเลอก มใชสงทรอคอยใหมาถง แตเปนสงทตองลงมอกระท าเพอใหบรรล

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 2.1

คะแนนเตม คะแนนทได

18

www.kroobannok.c

om

59

ค าสง จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

ขอ โจทย ค าตอบ

1

10 100dx

2

11

2dx

3

3

43 dx

4

42 ( )dx

5

31 2x dx

แบบฝกทกษะท 2.2 เรอง ปรพนธจ ากดเขต (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนบอกนยามปรพนธจ ากดเขตได 2. นกเรยนเปรยบเทยบปรพนธไมจ ากดเขต กบ ปรพนธจ ากดเขตได 3. นกเรยนสามารถบอกวธหาปรพนธจ ากดเขตได 4. นกเรยนหาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

60

ขอ โจทย ค าตอบ

6

35 22 4x dx

7

20 x x dx

8

20 2

1dx

x x

9

0 3 22 ( )12x 3x 4 x 2 dx

10

4 23 ( )3t 4 t 5 dt

ทกอยางมทางออกเสมอ ตราบเทาทเรายอมรบความคดใหม ๆ และยอม

ปรบเปลยนพฤตกรรมกน

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 2.2

คะแนนเตม คะแนนทได

10

www.kroobannok.c

om

61

ค าสง จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

ขอ โจทย ค าตอบ

1

21 ( )x 2 dx

2

3 32 ( )2x 1 dx

3

02 ( )( )2x 1 3x 1 dx

4

3 22

2 2

2x 4 x 1dx

x

5

24

0

( )1 xdx

x

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดใหได

แบบฝกทกษะท 2.3 เรอง ปรพนธจ ากดเขต (2)

www.kroobannok.c

om

62

ขอ โจทย ค าตอบ

6

2 2 31 ( )3x x 1 dx

7

1 2 22 ( ) ( )x 2x x 1 dx

8

1 2 2 20 ( )x x 1 dx

9

1 20 ( )x x 1 dx

10

221 ( )3x x 4 dx

นกเรยนจะประสบความส าเรจไดไหม โดยไมผดสญญากบใครเลย

คะแนนเตม คะแนนทได

10

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 2.3 www.kr

oobannok.com

63

ค าสง จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

ขอ โจทย ค าตอบ

1

13( )x 1 dx

2

343 ( )x 3 dx

3

11 2 4

1 2dx

x x

4

0 4 21( )x x 1 dx

5

3 21 ( )x 2x 3 dx

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาปรพนธจ ากดเขตของฟงกชนบนชวงทก าหนดใหได

แบบฝกทกษะท 2.4 เรอง ปรพนธจ ากดเขต (2)

www.kroobannok.c

om

64

ขอ โจทย ค าตอบ

6

4 22 ( ) ( )x 1 x 2 dx

7

3 21 ( )x 1 dx

8

42 ( )2x 1 dx

9

10 ( )( )x 3 x 2 dx

10

1 31( )4 x 2x dx

นทานส าหรบเดก จ าเปนตองมเนอเรอง นทานส าหรบผใหญ ไมจ าเปนตองมเนอเรอง

คะแนนเตม คะแนนทได

10

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 2.4 www.kr

oobannok.com

65

แบบทดสอบยอย เรอง ปรพนธจ ากดเขต รายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค 33202 ชนมธยมศกษาปท 6

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ค าสง 1. ขอสอบเปนแบบอตนย จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท

2. ใหนกเรยนเตมเฉพาะค าตอบลงในชองวางใหสมบรณ 3. หามท าเครองหมายใด ๆ ลงบนขอสอบ

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

1. 20 ( )x 2 dx = …………………………………………………..

2. 1 2

1( )x 1 dx

= …………………………………………………..

3. 2 2

2 ( )4 x dx

= …………………………………………………..

4. 4 2

0 ( )x dx4x = …………………………………………………..

5. 4

0 x dx = …………………………………………………..

6. 1 2

0 ( )x x 1 dx = …………………………………………………..

7. 4 2

2 ( )x x 4 dx = …………………………………………………..

8. 4

0 ( )x x 2 dx = …………………………………………………..

9. 2

1 ( )6 x x dx = …………………………………………………..

10. 1 3 2

1( )x x x 1 dx

= …………………………………………………..

www.kroobannok.c

om

โดย นางศรนทรนา แสงแพง ครช านาญการโรงเรยนพทลงพทยาคม

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 12

www.kroobannok.c

om

67

จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนบอกนยามของพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X และ ใตแกน X ได 2. นกเรยนค านวณหาพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X และ ใตแกน X ได 3. นกเรยนหาพนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

68

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท าอยางละเอยด

1. จงหาพนททปดลอมกราฟของ ( )f x = 2x จาก x = 3 ถง x = 0 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

แบบฝกทกษะท 3.1 เรอง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง (1)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนบอกนยามของพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X

และ ใตแกน X ได 2. นกเรยนค านวณหาพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X

และใตแกน X ได 3. นกเรยนหาพนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

69

.................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

2. จงหาพนททปดลอมกราฟของ ( )f x = x 1 จาก x = 1 ถง x = 1 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

70

3. จงหาพนททปดลอมกราฟของ ( )f x = 26 x x จาก x = 1 ถง x = 1 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

71

4. จงหาพนททปดลอมกราฟของ ( )f x = 29 x จาก x = 3 ถง x = 3 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

72

5. จงหาพนททปดลอมกราฟของ ( )f x = 2x 25 จาก x = 1 ถง x = 3 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 3.1

คะแนนเตม คะแนนทได

70

www.kroobannok.c

om

73

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท าอยางละเอยด

1. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 4x จาก x = 1 ถง x = 5 วธท า………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 3.2 เรอง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง (2)

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนค านวณหาพนททปดลอมดวยเสนโคงเหนอแกน X

และใตแกน X ได 2. นกเรยนหาพนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนทก าหนดใหได

www.kroobannok.c

om

74

2. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 1 จาก x = 1 ถง x = 1 วธท า………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroobannok.c

om

75

3. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 24x x จาก x = 1 ถง x = 3 วธท า………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroobannok.c

om

76

4. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 5x 6 จาก x = 0 ถง x = 3 วธท า………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroobannok.c

om

77

5. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x x 2 จาก x = 0 ถง x = 2 วธท า………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroobannok.c

om

78

6. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 2x 3 จาก x = 1 ถง x = 3 วธท า………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroobannok.c

om

79

7. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 24x 1 จาก x = 12

ถง x = 0

วธท า……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroobannok.c

om

80

8. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 25x x จาก x = 1 ถง x = 5 วธท า……………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คะแนนเตม คะแนนทได

130

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 3.2

www.kroobannok.c

om

81

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธท าอยางละเอยด

1. จงหาพนทระหวางโคง ( )f x = 3x และ ( )g x = 2x จาก x = 1 ถง x = 2 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

จดประสงคการเรยนร นกเรยนหาพนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนทก าหนดใหได

แบบฝกทกษะท 3.3 เรอง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง (3)

www.kroobannok.c

om

82

2. จงหาพนทของบรเวณทลอมรอบดวยเสนโคง ( )f x = x และ ( )g x = 3x วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

83

3. จงหาพนทของบรเวณทลอมรอบดวยเสนโคง ( )f x = 2x 4 จาก x = 3 ถง x = 0 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

84

4. จงหาพนทระหวางเสนโคง ( )f x = 23x จาก x = 0 ถง x = 1 วธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

www.kroobannok.c

om

85

5. จงหาพนทของบรเวณทลอมรอบดวยเสนโคง ( )f x = 24 x จาก x = 1 , x = 5 และแกน Xวธท า .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะท 3.3

คะแนนเตม คะแนนทได

60

www.kroobannok.c

om

86

แบบทดสอบยอย เรอง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง รายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค 33202 ชนมธยมศกษาปท 6

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ค าสง 1. ขอสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท

2. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยวและท าเครองหมายกากบาท (X) หนาค าตอบ 3. หามท าเครองหมายใด ๆ ลงบนขอสอบ

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

1. พนททถกปดลอมดวยเสนโคง f (x) = 22x 4x กบแกน X จาก x = 1 ถง x = 3 มคาเทากบกตารางหนวย

ก. 16 ข. 253

ค. 8 ง. 163

2. พนททถกปดลอมดวยเสนโคง f (x) = 210 x กบแกน X จาก x = 1 ถง x = 3 มคาเทากบกตารางหนวย

ก. 343 ข.

323

ค. 10 ง. 283

3. พนททถกปดลอมดวยเสนโคง f (x) = 2x 1 กบแกน X จาก x = 0 ถง x = 2 มคาเทากบกตารางหนวย

ก. 83 ข.

143

ค. 5 ง. 16

www.kroobannok.c

om

87

4. พนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 3x 2 และแกน X จาก x = 0 ถง x = 3 เทากบกตารางหนวย

ก. 72 ข.

52

ค. 116 ง.

56

5. พนททปดลอมดวย x = 2y จาก x = 0 ถง x = 1 มคาตรงกบตวเลอกใด

ก. 21

ข. 32

ค. 1 ง. 3

6. พนทระหวางเสนโคง y = 2x 1 และ y = 2x 2 จาก x = 1 ถง x = 2 มคาตรงกบตวเลอกใด

ก. 7 ข. 325

ค. 38 ง. 9

7. พนททปดลอมดวยเสนตรง x = 3 เสนโคง y = 2x 1 กบแกน X และแกน Y ตรงกบตวเลอกใด

ก. 12 ข. 14 ค. 25 ง. 40

8. พนททถกลอมรอบดวยกราฟ ( )f x = 2x 2x แกน X เสนตรง x = 2 และเสนตรง x = 4 มคาตรงกบตวเลอกใด

ก. 3

28 ข.

34

ค. 3

20 ง.

316

9. พนททปดลอมดวย y = 25 x และเสนตรง y = 2 2x หาไดจากตวเลอกใด ก. 3 22

01 3( ) ( )5 x dx 2 2x dx

ข. 1 2

3( )3 2x x dx

ค. 3 21( )7 2x x dx

ง. 3 2

1( )3 2x x dx

www.kroobannok.c

om

88

10. พนททปดลอมดวยกราฟ y = 23x จาก x = 1 ถง x = 2 มคากตารางหนวย ก. 7 ข. 9 ค. 12 ง. 14

www.kroobannok.c

om

89

แบบทดสอบหลงเรยนวดผลสมฤทธทางการเรยน เรอง ปรพนธ รายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค 33202 ชนมธยมศกษาปท 6

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ค าสง 1. ขอสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 30 ขอ เวลา 60 นาท

2. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยวและท าเครองหมายกากบาท (X) หนาค าตอบ

3. หามท าเครองหมายใด ๆ ลงบนขอสอบ

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

1. ก าหนดให ( )f x = 5 22x 3x 1 ปฏยานพนธของฟงกชน f ตรงกบตวเลอกใด

ก. 6 3x x

x c3 3

ข. 6

3xx x 1

3

ค. 6 32x 3x x ง. 6

3xx x c

3

2. ปฏยานพนธของ ( )f x = 2

1 xx

ตรงกบตวเลอกใด

ก. 2 1

cx x

ข. 2 1x x

ค. 2 1

cx x

ง. 2 1

1x x

3. ก าหนด ( )f x = 23x 3 และ F เปนปฏยานพนธของ f ถา ( )F 0 = 4 แลว ( )F 1 มคาตรงกบตวเลอกใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3

4. ตวเลอกใดคอค าตอบของ 4 2( )10x x 4x 3 dx

ก. 340x 2x 4 c ข. 3

5 2x2x 2x 3x c

3

ค. 5 3 22x x 4x 3 c ง. 5 3

2x xx 3x c

2 3

www.kroobannok.c

om

90

5. ตวเลอกใดถกตอง

ก. 3

2

2xdx

x

= 4

1c

2x

ข. x

dx2

= 32x c

ค. 5( )3x 2 dx = 6x

c2

ง. 4 2( )t 3t 4t dt = 5

3 2tt t c

5

6. ตวเลอกใดถกตอง

ก. 4 x dx = 322x c

ข. 3( )t 5t

dt2

= 3

2

1 tc

4t 2

ค. 6( )7x 6 x dx = 3

7 2x 4x c

ง. 4 2( )t 3t t 1 dt = 5 2

3t t3t t c

5 2

7. คาของ 3 2( )x 6x 9x 2 dx ตรงกบตวเลอกใด

ก. 2x

6x 9 c2

ข. 4 3 2x 2x 9x

2x c4 3 2

ค. 4 2

33x 9x4x 2x c

4 2 ง.

4 23x 9x

2x 2x c4 2

8. ค าตอบ 4 2( )t 3t 5t dt คอตวเลอกใด

ก. 5 2

3t 5tt c

5 2 ข.

5 234t 5t

2t c5 2

ค. 3t 2

t 5 c3 3 ง. 34t 6t 5 c

9. ก าหนด ( )f x = 3 2x 4x 6 เมอก าหนดให ( )f 1 = 3 แลว ( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 4 3x 4x 17

6x4 3 12

ข. ( )f x = 4 3x 4x 89

6x4 3 12

ค. ( )f x = 4 3x 4x 96

6x4 3 12

ง. ( )f x = 4 3x 4x 7

6x4 3 12

www.kroobannok.c

om

91

10 ก าหนดให ( )f x = 2x 1 และ ( )f x = 2 ท x = 1 และ y = 2 คาของ

( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

ข. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

ค. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

ง. ( )f x = 3 2x x 23

2x3 2 6

11. ก าหนด ( )f x = 2x 3 และ ( )f 0 = 5 คาของ ( )f x ตรงกบตวเลอกใด

ก. ( )f x = 2x 3x 1 ข. ( )f x = 2x

3x 52

ค. ( )f x = 2x 3x 5 ง. ( )f x = 22x 3x 1

12. ก าหนด ( )f x = 8x 4 และ ( )f 2 = 5 คาของ ( )f x ตรงกบตวเลอกใด ก. ( )f x = 2x 3x 1 ข. ( )f x = 24x 4x 3 ค. ( )f x = 24x 3x 5 ง. ( )f x = 22x 3x 1

13. เสนโคงทมความชน ณ จด ( )x, y ใด ๆ เทากบ x2 จะเปนเสนโคงในตวเลอกใด

ก. วงร ข. วงกลม ค. พาราโบลารปคว า ง. พาราโบลารปหงาย

14. สมการเสนโคง ซงความชนของเสนโคง ณ จด ( )x, y ใด ๆ บนเสนโคงนเทากบ x8

และเสนโคงนผานจด ( )1, 3 คอตวเลอกใด

ก. y = 24x 1 ข. y = 24x x ค. y = 24x 4x 3 ง. y = 24x 2x 3

15. ก าหนดความชนของเสนโคงทผานจด ( )x, y ใด ๆ เปน 23x 4x 5 แลว สมการเสนโคง

ทผานจด ( )1, 6 ตรงกบตวเลอกใด

ก. y = 3 2x 2x 5x ข. y = 3 2x 2x 5x 1 ค. y = 3 2x 2x 5x c ง. y = 3 2x 2x 5x 1

www.kroobannok.c

om

92

16. อนภาคชนหนงเคลอนทจากจด ๆ หนง เมอเวลาผานไป t วนาท อนภาคมความเรว v = 34t 2t 1 เมตรตอวนาท ขณะทเรมจบเวลาอนภาคเคลอนทไดระยะทาง 4 เมตร จงหาระยะทางทอนภาคเคลอนทในวนาทท 3 ก. 83 ข. 87 ค. 91 ง. 97

17. วตถชนหนงเคลอนทในแนวเสนตรงดวยความเรง 2 ฟตตอวนาท 2 ถาภายใน 2 วนาทแรกวตถดงกลาวเคลอนทไดระยะทาง 200 ฟต และทเวลาเรมตนความเรวของวตถเทากบ 30 ฟตตอวนาท สมการของความเรวตรงกบตวเลอกใด ก. v = 2t 30t 136 ข. v = 2t 30 ค. v = 2t 30t 136 ง. v = t 30

18. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = ( )f x ณ จดใด ๆ มคาเปน x 2 และเสนโคงนมความชนเปน 2 ณ จด ( )1, 1 แลวสมการของเสนโคงนคอสมการในตวเลอกใด

ตอไปน

ก. y = 3

2x x 1x

6 2 3 ข. y =

32x x 1

x6 2 3

ค. y = 3

2x 7x 11x

6 2 3 ง. y =

32x 7x 11

x6 2 3

19. คาของ 2

2

31

1x dx

x มคาเทากบจ านวนในตวเลอกใด

ก. 3 ข. 3

28

ค. 4 ง. 8

20. คาของ 210 ( )x 1 dx มคาเทากบจ านวนในตวเลอกใด

ก. 38

ข. 34

ค. 32 ง. 0

www.kroobannok.c

om

93

21. คาของ 213( )x 3x 4 dx

ตรงกบตวเลอกใด

ก. 563

ข. 433

ค. 343

ง. 6

111

22. 2 21 ( )x 1 x dx

เทากบตวเลอกใด

ก. 94

ข. 49

ค. 94

ง. 49

23. 4 3 20 ( )y y 1 dy มคาเทากบตวเลอกใด

ก. 3

260 ข.

3140

ค. 41 ง. 40

24. พนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x 9 จาก x = 2 ถง x = 1 เทากบกตารางหนวย

ก. 30 ข. 28 ค. 26 ง. 24

25. พนทภายใตพาราโบลา y = 22x x ทอยเหนอแกน X มคาเทากบกตารางหนวย

ก. 32 ข.

34

ค. 3

16 ง.

332

26. พนททปดลอมดวย y = 22x , y = 0 , x = 1 , x = 2 เทากบตวเลอกใด

ก. 3

19 ข.

317

ค. 3

14 ง.

310

www.kroobannok.c

om

94

27. พนททลอมรอบดวยเสนโคง ( )f x = 26x x แกน X ตงแต x = 1 ถง x = 4 มคา กตารางหนวย

ก . 7 ข. 20 ค. 24 ง. 27

28. พนททปดลอมดวย y = 22 x และเสนตรง y = x 4 หาไดจากตวเลอกใด ก. 2 2

3( )6 x x dx

ข. 1 22 ( )2 x x dx

ค. 3 22 ( )6 x x dx

ง. 2 22

0 3( ) ( )2 2 x dx 4 x dx

29. พนททปดลอมดวย y = 25 x และเสนตรง y = 2 2x หาไดจากตวเลอกใด ก. 1 2

3( )3 2x x dx

ข. 3 21( )3 2x x dx

ค. 3 21( )7 2x x dx

ง. 3 22

01 3( ) ( )5 x dx 2 2x dx

30. ก าหนดให ( )f x เปนปฏยานพนธของ 1 2x และ ( )f 1 = 0 ตวเลอกใดเปนพนททลอมรอบดวยกราฟของ f และแกน X

ก. 67 ข.

29

ค. 23 ง.

61

www.kroobannok.c

om

93

บรรณานกรม

กวยา เนาวประทป. (2547). เทคนคการเรยนคณตศาสตร แคลคลสเบองตน. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร. คณาจารยแมค. (2549). สรปเขมคณตศาสพนฐานและเพมเตม ม.6. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร. ณรงค ปนนม และคณะ. (2541). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ :

ภมบณฑตการพมพ. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2550). หนงสอเรยนสาระการเรยนร

เพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภาลาดพราว.

สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. (2550). คณตศาสตร ม. 6 เลม 6. นนทบร : ไทเนรมตกจ อนเตอร โปรเกรสซป จ ากด.

www.kroobannok.c

om