eclass.sch.gr · ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ εδα 1 α ) 23 1. ¸ f...
Post on 16-Jan-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 23
1. ¸óôù óõíÜñôçóç f ðáñáãùãßóéìç óôï R, þóôå íá éó÷ýåé
( ) ( )( ) 0 dxxfxf51
2000=ò ¢
Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xf =¢ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( )5,1 .
2. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) 1x1xxf
2
-+= .
α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση C της f, τον άξονα xx¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=t, t<0.
â) Áí E(t) åßíáé ôï åìâáäüí áõôü, íá âñåßôå ôï ( )tEmilt -¥®
.
3. i) Αν ò += dx
1xx2
v
vI με *NvÎ , να αποδείξετε ότι ισχύει :
2v
1v
v II1v
x-
-
--
= για κάθε 3v ³ .
ii) Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá 3I .
4. Íá âñåßôå ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñôçóçò ( ) ò-
= x1 dt
tlnt1xf , x>0.
5. ¸óôù f óõíå÷Þò óôï [ ]1,0 êáé ðáñáãùãßóéìç óôï ( )1,0 ìå
( ) 0xf >¢ , ( ) 00f = êáé ( ) 11f = . Áí éó÷ýåé ( )3
1dxxf1
0 =ò ,
íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ( )ò-1
0 dxxf 1.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 23
6. i) Να δείξετε ότι 3xlnxx2 -> για κάθε x>1.
ii) Éó÷ýåé ( ) 2000dx3lnxx7030
2 >ò + .
7. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ( )¥+Î ,2λ , þóôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé
áðü ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí ( )( )2
2
2xx4xxf
-
-= , ( ) 1xg -=
êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=3 êáé x=ë+1, íá åßíáé 2 ô.ì.
8. ¸óôù ç óõíÜñôçóç RR:f ® ìå ( ) ò+
= x1 dt
t11xf
2.
Íá äåßîåôå üôé ( ) ( )52
2f4f172
<-< .
9. Έστω η συνάρτηση ( ) βxα1x1xxf
2+-
++
= , α και RβÎ .
i) Να βρείτε τα α και β, ώστε η γραφική παράσταση C της f να έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=0 καθώς το +¥®x .
ii) Óôç óõíÝ÷åéá, íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç C,
ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç 1xy +-= êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=0 êáé x=1.
10. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με ( ) 10f = .
Αν ισχύει ( ) ( ) eλxeλdttf 2xfx0 -³-ò για κάθε RxÎ , να βρείτε :
i) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο ( )1,0 .
ii) το ë, þóôå ç åöáðôïìÝíç íá åßíáé êÜèåôç óôçí åõèåßá 3xy e += .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 23
11. ¸óôù óõíáñôÞóåéò f, g äýï öïñÝò ðáñáãùãßóéìåò óôï äéÜóôçìá
( )+¥0, ìå ( ) ( )2x
1xgxf -¢¢=¢¢ ãéá êÜèå x>0. Áí ( ) ( )1g1f = êáé
( ) ( )eg1ef += , íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé
áðü ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f, g êáé ôéò åõèåßåò
ìå åîéóþóåéò x=1 , x=e.
12. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [ ]2,0
και ισχύει ( ) 2xf < για κάθε [ ]2,0xÎ . Να αποδείξετε ότι :
i) ( ) 4dxxf20 <ò και
ii) ç åîßóùóç ( )ò=- x0 dttf23x Ý÷åé áêñéâþò ìßá ëýóç óôï ( )2,0 .
13. Íá âñåßôå ôç óõíÜñôçóç f ðïõ åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï R, üôáí éó÷ýåé
( ) ( )ò --+= x duuxfex2
1xf 0
2 u ãéá êÜèå RxÎ .
14. Δίνεται μια συνάρτηση f τέτοια, ώστε :
i) είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ¢¢ συνεχή,
ii) παρουσιάζει ακρότατο στο x=0 και
iii) η γραφική της παράσταση εφάπτεται του άξονα xx¢ στο x=1.
Íá âñåßôå ôï áêñüôáôï f(0), áí ( ) ( )( ) 1dxexfxf10
x =¢¢-ò - .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 4 από 23
15. i) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) xeβxαxf += . Να προσδιορίσετε τα α και RβÎ ,
ώστε ( ) ( ) xe2xxf -=¢ για κάθε RxÎ .
ii) Αν λ<2, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) ( )ò -= 2λ dxe2xλI x
.
iii) Íá õðïëïãßóåôå ôï üñéï : ( )λmil Iλ -¥®
.
16. ¸óôù f, g óõíáñôÞóåéò óõíå÷åßò óôï R ãéá ôéò ïðïßåò éó÷ýåé
( ) ( ) 2dttg2xdttf x1
x1
2 -£- òò ãéá êÜèå RxÎ . Íá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç
( ) ( ) 2xgxxfx3 += Ý÷åé ìßá ôïõëÜ÷éóôïí ñßæá óôï äéÜóôçìá ( )1,0 .
17. i) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) xeβxαxxf 2 -++= , RxÎ . Να βρείτε τους
πραγματικούς αριθμούς α και β, ώστε η γραφική της παράσταση να εφάπτεται
του άξονα xx¢ στο σημείο με τετμημένη 1x -= .
ii) ¸óôù üôé åßíáé ( ) ( ) xe1xxf 2 -+= . Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí Å(ë)
ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f,
ôïí Üîïíá xx¢ êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò 1x -= êáé 1λ,λx >= .
Íá âñåßôå ôï üñéï : ( )λEmilλ +¥®
.
18. Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ò+-
2π
0 2 dx6xημ5xημ
xσυν.
19. ¸óôù f óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï R ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé
( ) 01xλdttf 2x x0e ³--ò+ ãéá êÜèå RxÎ . Íá âñåßôå ôïí ðñáãìáôéêü
áñéèìü ë, áí åßíáé ãíùóôü üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f äéÝñ÷åôáé
áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 5 από 23
20. Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2xexf x1 -+= -.
i) Να δείξετε ότι η ευθεία 2xy:δ -= είναι ασύμπτωτη της C.
ii) Αν Α είναι σημείο της C με τετμημένη -1 και Β σημείο της (δ) με τετμημένη 0,
να δείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται της C στο σημείο Α.
iii) ¸óôù RλÎ , ë>1. Íá âñåßôå ôï åìâáäüí Å(ë) ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé
áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôçí åõèåßá (ä) êáé ôéò åõèåßåò
ìå åîéóþóåéò x=1 êáé x=ë.
Íá âñåßôå : α) Tï ( )λEmilλ +¥®
. β) Tïí áñéèìü ë , þóôå ( )21λE = .
21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò= 2x1xg ( )( )dtdttfxx
1ò , 1x ³ ,
όπου f συνεχής με ( ) 0xf > για κάθε 1x ³ .
i) Να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( ) ( )ò-= x1 dttfx2xxg 2 , 1x ³ .
ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της g και να βρείτε τα ακρότατα.
iii) Áí ( ) 242g = , íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé
áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôïí Üîïíá xx¢ êáé ôéò åõèåßåò
ìå åîéóþóåéò x=1 êáé x=2.
22. Áí f óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï R, íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò êáé ôï RαÎ ,
þóôå íá éó÷ýåé ( ) 2xxσυνdttfxα -=ò ãéá êÜèå RxÎ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 6 από 23
23. ¸óôù ç óõíÜñôçóç ( ) ( )ò+= 4x
x
2dttgxf , üðïõ g óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï R.
Áí ç Cg äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )10,A - , íá âñåßôå ôçí êëßóç ôçò fC óôï
óçìåßï ôçò ( )( )0f0,M .
24. Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç C ôçò óõíÜñôçóçò ( ) γxβxαxxf 23 +++= ,
ôïí Üîïíá xx¢ êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x= -1 êáé x=1,
üôáí ç f ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôá óôéò èÝóåéò -1 êáé 1 , ìå ( ) 01f =- .
25. Έστω η συνάρτηση ( ) ò- += x2x 2
1 dt1txf 2 , x>0.
i) Να βρείτε την παράγωγο της f. ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
C της f στο σημείο 1x0 = .
iii) Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï RλÎ , þóôå ç åõèåßá ìå åîßóùóç
3x67λ2y 2 +÷øö
çèæ -= íá åßíáé êÜèåôç óôçí åöáðôïìÝíç.
26. Έστω ò+
= 10 x
xv
v dx1e
eI , v NÎ .
i) Να υπολογίσετε το άθροισμα v1v II ++ , *NvÎ .
ii) Íá õðïëïãßóåôå ôá ïëïêëçñþìáôá I1, I I1 2+ êáé I2 .
27. Áí *Rγβ,α, Î ôÝôïéá, þóôå íá éó÷ýåé
( )( ) ( )( )ò +++=ò +++ 20
2410
24 dxγxβxαxσυν1dxγxβxαxσυν1 ,
νá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç 0γβxαx2 =++ Ý÷åé ìßá ôïõëÜ÷éóôïí
ñßæá óôï äéÜóôçìá ( )2,1 .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 7 από 23
28. Δίνεται η συνάρτηση ( )22x
13xxf += .
i) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C της f.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, την ευθεία με εξίσωση y=3x και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=λ, λ>1.
iii) Να υπολογίσετε το όριο : ( )λEmilλ +¥®
. (θΕΜΑ 1989)
29. Να βρείτε πολυωνυμική συνάρτηση f με ( ) γxβxαxf 3 ++= , RxÎ και α, β, γ
πραγματικούς αριθμούς, η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες : i) Η συνάρτηση f είναι περιττή.
ii) Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1x0 = .
iii) Είναι ( ) 2dxxf20 =ò . (ΘΕΜΑ1992)
30. Η συνάρτηση g έχει συνεχή παράγωγο στο κλειστό διάστημα [ ]π0, και ( ) πeπg -= .
Αν ( ) ( )( ) 2dxexgxgπ0
x =¢+ò , να βρείτε την τιμή της συνάρτησης g στο σημείο x=0.
(ΘΕΜΑ 1992)
31. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) xe4xxf -+= , RxÎ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν
του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, τον άξονα xx¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x= -1 , x=1. (ΘΕΜΑ 1992)
32. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4x1
1xf4+
+= , x>0.
α) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f.
β) Να υπολογίσετε το όριο : ( )ò+
+¥®
1xx dttf
xmil . (ΘΕΜΑ 1993)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 8 από 23
33. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση RR:f ® για την οποία
ισχύει ( ) ( )xfeeedttfe xαxxα
t ---- --=ò για κάθε Rα,Rx ÎÎ . (ΘΕΜΑ 1993)
34. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22xlnx =+ έχει μία μόνο ρίζα.
β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ( )x2lnx2xxf -
= .
ã) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=1 êáé x=4 êáé ôïí Üîïíá xx¢ .
35. α) Αν μια συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]β,α ,
να αποδείξετε ότι :
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
òò ---= βfαf
1βα dxxfαfαβfβdxxf .
β1) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) 4xxxf 2 -+= , 2x ³ .
â2) Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ò ÷øöç
èæ -+= 3
2 dx4xx 2I .
36. Έστω συνάρτηση f συνεχής, για την οποία ισχύει ( ) 2θημ23xdttfxλ --=ò
για κάθε RxÎ . i) Να βρείτε τις τιμές των *ZλÎ και ( )π0,θÎ .
ii) Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñÞ óôï R.
37. Áí ( ) 2xexf =¢¢ ãéá êÜèå RxÎ êáé éó÷ýïõí :
( ) 1xfmil0x
=®
êáé ( ) 1xxfmil
x=
-¥®, íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 9 από 23
38. Έστω η συνάρτηση ( )x
2lnxxxf += .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της f
στο σημείο ( )( )1f,1 αυτής.
ii) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη βρίσκεται πάνω από τη C στο διάστημα [ ]e,1 .
iii) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç C,
ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x=e êáé ôçí åöáðôïìÝíç.
39. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò+
= lnx1 t
tdt
e1etxf , x>0.
i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα ( ]0,1 .
40. ¸óôù óõíÜñôçóç f ðáñáãùãßóéìç óôï ( )¥+,0 ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé
( ) ( ) ( )xfxe1xxf -×+=¢ . Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f äéÝñ÷åôáé
áðü ôï óçìåßï ( )2,1M , íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f .
41. Áí ãéá êÜèå RxÎ ç óõíÜñôçóç f åßíáé óõíå÷Þò êáé éó÷ýåé
( ) ( ) γxfβxfα =-+ ìå 0βα ¹+ , íá áðïäåßîåôå ότι : ( )βα
4 γdxxf2
2+
=ò -
42. i) Íá âñåßôå óõíÜñôçóç ( )xfy = ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ( ) ( ) xe2xxf +=¢ êáé ( ) 10f = .
ii) Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç C ôçò f, ôïõò Üîïíåò xx¢ , yy¢ êáé ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x=1.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 10 από 23
43. i) Áí ãéá êÜèå [ )+¥Î 0,x åßíáé ( ) 0xf <¢ êáé ( ) ( )ò= x0 dttfxg ,
íá áðïäåßîåôå üôé ãéá êÜèå ( )+¥Î 0,x éó÷ýåé ( ) ( )xgxgx1 ¢> .
ii) Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C ôçò f Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç
ôçí åõèåßá y=ê êáèþò ôï +¥®x , όπου κ>0 , íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé:
( ) κdttfx
1 x0
xmil =ò ÷
øö
çèæ
+¥®.
44. ¸óôù f ìéá óõíÜñôçóç óõíå÷Þò óôï äéÜóôçìá [ ]0,1 ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé
( ) 1dxxf2004 10 =ò . Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé (0,1)x0 Î ôÝôïéï,
þóôå íá éó÷ýåé ( ) 200300 xxf = .
45. Èåùñïýìå ôéò óõíå÷åßò óõíáñôÞóåéò [ ] R,10:gf, ® ìå ( ) 0xf <
êáé ( ) 0xg > ãéá êÜèå [ ]0,1xÎ . Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé Ýíá
áêñéâþò ( )0,1ξÎ ôÝôïéï, þóôå íá éó÷ýåé ( ) ( )ò=ò ξ1
ξ0 dttgdttf .
46. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )( )ïî
ïíì
=
>= ò0xαν,0f
0xαν,dttfx1
xgx
0 ,
όπου f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [ )¥+,0 . Να δείξετε ότι :
i) Η g είναι συνεχής στο 0x0 = .
ii) Áí ç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï 0x0 = ,ôüôå ç g åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï [ )¥+,0 .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 11 από 23
47. ¸óôù ç óõíÜñôçóç ( ) ( )ò-= xα
x dttfexh , üðïõ f óõíÜñôçóç óõíå÷Þò
óôï äéÜóôçìá [ ]β,α (á>0), ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ( ) 0dxxfβα =ò .
Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé ( )βα,ξÎ ôÝôïéï, þóôå ( ) ( )ξfdxxfξα =ò .
48. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xκxμxλxf 23 ++= , όπου λ, μ και RκÎ με λ>0,
που παρουσιάζει στη θέση 1 τοπικό ακρότατο και στη θέση 2 σημείο καμπής.
i) Να δείξετε ότι 6λμ -= και 9λκ = .
ii) Να βρείτε την τιμή του λ, όταν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από
τη γραφική παράσταση C της f και τον άξονα xx¢ είναι 27 τ.μ.
49. ¸óôù f óõíÜñôçóç ðáñáãùãßóéìç óôï R ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ( ) ( )ò ÷
øö
çèæ += xf
0t dte2xf2
ãéá êÜèå RxÎ .Íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé ( ) 0xf = ãéá êÜèå RxÎ .
50. ¸óôù óõíÜñôçóç f óõíå÷Þò óôï äéÜóôçìá [ ]1,0 ãéá ôçí ïðïßá
éó÷ýåé ( ) 1dxxf2 10 =ò . Íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé ( )1,0x 0 Î ,
þóôå íá éó÷ýåé ( ) 00 xxf = .
51. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν :
i) ( ) ( ) xxfxf =+¢ για κάθε RxÎ και ii) ( ) 2xf0x
mil =®
.
Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 12 από 23
52. Θεωρούμε τη μη μηδενική συνάρτηση RR:f ® με τις ιδιότητες :
i) ( ) ( ) ( ) ( )yfx2fyxfyxf ×=-++ για κάθε Ryx, Î . ii) f συνεχής στο R. Να αποδείξετε ότι : á) ( ) 10f = , â) ç f åßíáé Üñôéá,
ã) ( ) ( )ò=ò -α0 dxxf2dxxfα
α , RαÎ .
53. Íá õðïëïãßóåôå ôï ïëïêëÞñùìá ( )ò+-
22 dx
1xgx1994
, áí ãíùñßæåôå üôé
ç óõíÜñôçóç g åßíáé óõíå÷Þò óôï äéÜóôçìá [ ]2,2- , ìå ( ) 0xg > êáé
( ) ( ) 1xgxg =-× ãéá êÜèå [ ]2,2x -Î .
54. Áí ç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï R êáé ( ) ( )ò= x0 dttfxxg , RxÎ , ôüôå
íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôçò g ¢¢ óôç èÝóç x=1, áí ( ) 9951f = êáé ( ) 61f =¢ .
Επίσης, αν για κάθε x>0 είναι ( ) 0xf > και ( )( ) 0xf 2 >¢
, τότε :
i) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )1995g1996g ¢>¢ .
ii) Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ ê ìå 56κ > ãéá ôéò ïðïßåò éó÷ýåé ç éóüôçôá
( ) ( ) ( ) ( ) ( )65κf65κdttfκfκdttf 65κ0
22κ0
2--+ò=+ò -
.
55. Η συνάρτηση RR:f ® είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ( ) 0xf >¢
για κάθε RxÎ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )ò -= βα dttxfxg , RxÎ ,
με α, β πραγματικούς αριθμούς, είναι παραγωγίσιμη και ότι
αν υπάρχει Rx0 Î με ( ) 0xg 0 =¢ , τότε ( ) 0xg = για κάθε RxÎ . (ΘΕΜΑ 1995)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 13 από 23
56. Έστω f, g συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο R που ικανοποιούν τη σχέση
( ) ( ) ( ) x2 e x2xxgxf --=¢-¢ για κάθε RxÎ . Αν είναι ( ) ( )e1
1g1f += και οι γραφικές
παραστάσεις των f, g τέμνουν τον άξονα xx¢ στα σημεία με τετμημένες α, β αντίστοιχα,
όπου *Rβα, Î με α<β τότε : i) να αποδείξετε ότι η εξίσωση
0g(x)λf(x)κ =+ , *Rλ,κ Î με κλ>0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β)
και ii) íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò ãñáöéêÝò
ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f, g êáé ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò x=0 êáé x=1.
57. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, με 0<α<β,
τη συνεχή συνάρτηση ( ) R,0:f ®¥+ για την οποία ισχύει ( ) 0dttfβα =ò
και τη συνάρτηση ( ) ( )ò+= xα dttf
x
12xg , ( )¥+Î ,0x .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )βα,x0 Î τέτοιο, ώστε να ισχύουν :
i) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο ( )( )00 xg,x
να είναι παράλληλη στον άξονα xx¢ .
ii) ( ) ( )00 xf2xg += . (ΘΕΜΑ 1995)
58. Να βρείτε τη συνάρτηση R,:f2
π
2
π®- ÷
øö
çèæ
με συνεχή δεύτερη παράγωγο
για την οποία ισχύουν : ( ) 19950f = , ( ) 10f =¢ και
( ) ( )ò ¢+=ò ¢¢+ x0
x0 dttημtfxσυνdttσυνtf1 2
. (ΘΕΜΑ 1995)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 14 από 23
59. Αν ( ) ( )ò=x
1 dttfxG , όπου ( ) ò=3t1 du
uetf
u και x>0, t>0, να βρείτε :
α) την ( )1G ¢¢ , β) το όριο : ( )
11x3xGx
0x
mil-+-¢¢
+®
.
60. Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t, σύμφωνα
με τη συνάρτηση ( ) 1428t
-e
27A
tf
+
= , 0t ³ , όπου Α ένας θετικός αριθμός.
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους ( )tK , από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει
η συγκεκριμένη μηχανή, δίνεται από τη συνάρτηση ( ) 7t-
4AtK e=¢ , 0t ³ και
υποθέτουμε ότι ( ) 00K = . Να βρείτε : i) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή, έτσι ώστε
το συνολικό κέρδος ( )tP από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.
ii) Το μέγιστο κέρδος. (ΘΕΜΑ 1995)
61. Δίνεται συνάρτηση f με f ¢ συνεχή στο [ ]π,0 .
Αν ισχύουν : ( ) 0xf ³¢ για κάθε [ ]π,0xÎ , ( ) ( )( ) 2dxexfxfπ0
x =¢+ò και ( ) πe1πf = ,
να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f ¢ , τον άξονα xx¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 , x=π.
62. Αν είναι ( ) 13xxf -= και ( )( ) 1xημ96xxgf 2 +-=o για κάθε RxÎ ,
να βρείτε : i) τον τύπο της συνάρτησης g. ii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των συναρτήσεων g και h, όπου ( )3
112xxh 2 +=
και τις ευθείες με εξισώσεις 4πx = και
4π5x = .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 15 από 23
63. Να βρείτε συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ¢¢ συνεχή για την οποία ισχύουν :
i) ( ) ( ) xdtetfdtetf x0
tx0
t =¢-¢¢ òò -- για κάθε RxÎ και
ii) η γραφική παράσταση C της f έχει στο σημείο ( )0,0 εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 1xy += .
64. Αν είναι ( ) 12xxf -= και ( )( ) 2xxxfg -=o για κάθε RxÎ , να βρείτε : i) τον τύπο της συνάρτησης g.
ii) την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης C της g στο σημείο ( )( )1g,1A -- . iii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της g,
την εφαπτομένη (ε) και την ευθεία με εξίσωση x=1.
65. i) Αν είναι ( ) 1x3xxf 32 +-= για κάθε 0x ³ , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες με εξισώσεις y=1, x=1 και x=4.
66. Αν ( ) ( )ò= x1 duufxG , όπου ( ) ò= lnu
1 dtteuf και x>0, u>0, να βρείτε :
α) την ÷øö
çè梢
2πG και β) το όριο :
( )22x
xGx
0x
mil-+
¢¢
+®
.
67. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη και συνεχή στο [ ]1,0 για την οποία ισχύει ( ) 1xf0 <<
για κάθε [ ]1,0xÎ . Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση ( ) ( ) 1dttf2xxg x0 --= ò , [ ]1,0xÎ .
Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xg = έχει μοναδική λύση στο ( )1,0 .
68. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ ]e,1 και η συνάρτηση
( ) ( ) ( )ò-= x1 dttfxexg , [ ]e,1xÎ . Να δείξετε ότι :
i) η g είναι παραγωγίσιμη στο [ ]e,1 και να βρείτε την ( )xg¢ . ii) υπάρχει ( )e,1ξÎ τέτοιο, ώστε να ισχύει ( ) 0ξg =¢ .
iii) ( ) ( ) ( )ξfξedttfξ1 -=ò .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 16 από 23
69. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει
( ) ( )ò -+= -+ x
0t
1xdttxfe
2exf .
i) Να βρείτε τη συνάρτηση f και να δείξετε ότι ( ) +¥=+¥®
xfx
mil .
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
C της f, τον άξονα xx ¢ και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=2.
70. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο R για τις οποίες ισχύουν :
i) ( ) ( ) xexxgxf =¢-¢ για κάθε RxÎ και ii) ( ) ( )1g1f = .
α) Να δείξετε ότι είναι ( ) ( ) ( ) xe1xxgxf -+= , RxÎ . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις
των συναρτήσεων f, g και την ευθεία με εξίσωση x=2.
71. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ ]1,0 με f ¢¢ συνεχή και ικανοποιεί
τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [ ]1,0 , να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( )1fdxxfx10 ¢=ò ¢¢ .
72. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R. Αν η f έχει σε κάθε σημείο RxÎ κλίση 2x1
2x+
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( )0,0 , να βρείτε την f.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) ( )ò += dxxfxx3I , RxÎ .
73. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( )2x
12xxf += .
β) Να βρείτε το εμβαδόν ( )tE του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της f, την ασύμπτωτη της C καθώς το -¥®x και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=t , t>1.
γ) Να βρείτε το όριο : ( )
2
2
t1ttE
tmil
+
-
+¥®.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 17 από 23
74. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει ( ) tetft1 ££+ για κάθε RtÎ .
Να αποδείξετε ότι : α) ( ) 10f = , β) ( ) 10f =¢ και γ) ( )
2
1
x
xdttf
0x2
x0mil =
ò -
®.
75. Έστω η συνάρτηση ( ) xαx1xf 2 ++= .
α) Αν ( ) 3xxf
xmil =+¥®
, να βρείτε το RαÎ .
β) Για την τιμή του α που βρήκατε, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )ò=10 dxxfxI .
76. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : i) f συνεχής στο διάστημα [ ]1,0 ,
ii) ( ) 00f > και ( ) 0dxxf10 <ò .
Να αποδείξετε ότι :
α) Υπάρχει σημείο ( )1,0αÎ τέτοιο, ώστε ( ) 0αf < . β) Η εξίσωση ( ) 0xf = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).
77. i) Να αποδείξετε ότι 0xσυνxxημ ³- για κάθε úûù
êëéÎ
2π,0x .
ii) Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 2xημxxf ++= και ( ) xσυνxxxg += . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των f, g και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και 2πx = .
78. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ ]2,0 . Αν ισχύει ( )( ) ( )( ) 0dxxfdxxf 21
10 <ò×ò ,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xf = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( )2,0 .
79. ΄Εστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]2,0 ,
για την οποία ισχύει ( ) ( )ò=ò 21
10 dxxfdxxf .
Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 18 από 23
80. i) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) lnxxf = , τους άξονες Ox, Oy και την ευθεία y=α, όπου α>0.
ii) Αν το α αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του χωρίου Ω κατά τη χρονική στιγμή 0t που είναι α=e.
81. i) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις
των συναρτήσεων
( )x
lnx2xxf += και ( )
2xxg = και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=α>1.
ii) Να βρείτε το όριο : ( )
2αΩE
αmil+¥®
.
82. Να βρείτε συνάρτηση ( ) R,0:f ®¥+ τέτοια, ώστε να είναι ( )3x
2xf -=¢¢ για κάθε
( )¥+Î ,0x και της οποίας η γραφική παράσταση να έχει στο +¥ ασύμπτωτη την ευθεία (ε) με εξίσωση 43xy -= .
83. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]1,0 με ( ) 1xf < για κάθε [ ]1,0xÎ . Να αποδείξετε ότι :
i) Είναι ( ) 1dttf10 <ò .
ii) Η εξίσωση ( )ò+=+ x0
2 dttf1xx έχει μοναδική ρίζα στο ( )1,0 .
84. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ¢¢ συνεχή, που παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στη θέση 2x0 = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( )1,0A .
Αν ισχύει ( ) ( )( )38dxxf3xfx2
0 -=¢+¢¢ò , να υπολογίσετε το ( )2f . 85. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ ]β,α και ισχύει ότι ( ) ( ) cxβαfxf =-++ για κάθε [ ]β,αxÎ , όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός.
Να αποδείξετε ότι :
( ) ( ) ( ) ( )( )βfαf2
αβ2
βαfαβdxxfβα +÷
øö
çèæ -
=÷øö
çèæ +
-=ò (ΘΕΜΑ 1996)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 19 από 23
86. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )ò -= x
0 dttgtxxf , όπου g συνάρτηση συνεχής στο R.
Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και να
μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα, όταν ( ) 0xg ¹ για κάθε RxÎ . (ΘΕΜΑ 1996)
87. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) xλx1xf 2 ++= , RλÎ .
α) Να υπολογίσετε την τιμή του λ αν είναι γνωστό ότι ( ) 1xxf
xmil =+¥®
.
β) Για την τιμή του λ που βρήκατε παραπάνω, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )ò= 1
0 2dx
xf
xI . (ΘΕΜΑ 1996)
88. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f ¢ συνεχή τέτοια, ώστε
να είναι ( ) 00f = και ( ) 10f =¢ . Να βρείτε το όριο:
( )xημx
dttfxmil
x0
0x -
ò
®
89. Έστω συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο R. Αν ( ) 0xf ¹¢ για κάθε RxÎ
και ( ) 10f -=¢ , να δείξετε ότι ισχύει: ( ) ( )ò>ò 52
41 dxxfdxxf .
90. i) Αν για κάθε ( ]0,x ¥-Î είναι ( ) 0xf >¢ και ( ) ( )ò= x
0 dttfxg ,
να αποδείξετε ότι για κάθε ( )0,x ¥-Î ισχύει ( ) ( )xgxxg ¢> .
ii) Αν επιπλέον ( ) 2010xfx
mil =-¥®
, να βρείτε το όριο : ( ) ÷øö
çèæ
ò×-¥®
x0 dttf
x
1
xmil .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 20 από 23
91. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει
( ) ( ) ( )( )ò ò=- x0
βα dtdxtfxf1xf για κάθε RxÎ .
Να αποδείξετε ότι: ( )( ) ( ) ( )αfβfdxxf2β
α -=ò .
92. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και παραγωγίσιμη στο 0
με ( ) 20010f =¢ . Αν είναι ( ) 00f = και ò =βα 2dxf(x) , να βρείτε το όριο:
( ) ( )( )1x
dtdxxftf
0x emil
2
x0
βα
-
ò ò
®.
93. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο úûù
êëé
2π,0 με ( )xf ¢ συνεχή, για την οποία ισχύουν :
( )2π0f = και ( ) πdxημxxf2
π
0 =ò . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
÷øö
çèæÎ
2π,0x0 τέτοιο, ώστε να είναι ( ) 1xσυνxf 00 =×¢ .
94. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ( ) R,0:f ®¥+ για την οποία ισχύει ( ) 0dttfβα =ò , όπου
0<α<β και έστω ( ) ( )ò×= xα dttfxxg , x>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )β,αx0 Î τέτοιο, ώστε να ισχύουν: α) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g
στο σημείο ( )( )00 xg,xM είναι παράλληλη στον άξονα xx¢ . β) ( ) ( ) 0xfxxg 0002 =×+ .
95. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )xx3dttfxg 2x
1 ++= ò- , RxÎ όπου η f είναι
συνεχής και περιττή συνάρτηση και ισχύει ( ) 0xg ³ για κάθε RxÎ . Να αποδείξετε ότι:
α) ( ) 31f =- .
β) Η εξίσωση ( ) 1xxfx2 =-× έχει μία τουλάχιστον λύση στο ( )11,- .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 21 από 23
96. Έστω συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει
( ) ( )ò -= x1
tflnt dtet1xf για κάθε x>0.
α) Να βρείτε τον τύπο της f.
β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της f, την εφαπτομένη της στο σημείο ( )1,eA και τον άξονα xx¢ .
97. Έστω συνεχής συνάρτηση [ ] Rβ,α:f ® και ( )β,αcÎ τέτοιο ώστε να είναι:
( ) βdxxfcα =ò και ( ) αdxxfc
β =ò , όπου 0<α<β.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν: i) ( )β,αx1 Î τέτοιο ώστε ( ) 1xf 1 = .
ii) ( )β,αx 2 Î τέτοιο ώστε ( ) 2xα xdxxf2 =ò .
98. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò-
= 1ln2 dt
t1tx
xfe
για 0x > και ( ) 00f = .
Να βρείτε την παράγωγο της f και να εξετάσετε τη μονοτονία της.
99. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]e,0 . Να αποδείξετε ότι:
i) ( ) ( ) ( )( )òò -+= e0
e0 dxxefxf
21dxxf
ii) 2ee
0 dxxe2004x2004
x2004=ò -+
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 22 από 23
100. Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει
( )( )ò
=x0 dttf
exf για κάθε x<1. α) Να βρείτε τον τύπο της f.
β) Σε ποιο σημείο της γραφικής της παράστασης η εφαπτομένη (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (δ) με εξίσωση 04y4x =++ ;
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα yy¢ .
101. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ( )¥+,0 για την οποία ισχύει ( ) xxflnx1 ££+ για κάθε x>0. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1x 0 = με ( ) 11f =¢ .
ii) Να βρείτε το όριο: ( )
( )2
2
1x lnx
34xxdttf2mil
x1 +-+ò
®.
102. Έστω f πραγματική συνάρτηση συνεχής στο R, τέτοια ώστε
να ισχύει ( ) 2xf ³ για κάθε RxÎ . Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( )ò-+-= -5xx0
2 2dttf15xxxg , RxÎ .
i) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 00g3g <- .
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0xg = έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα ( )0,3- . (ΘΕΜΑ 1997)
103. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και παραγωγίσιμη στο 0x 0 = .
Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )ò= 10 dttxftxg 2 όπου Rtx, Î .
Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο R.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Σελίδα 23 από 23
104. Έστω η συνάρτηση ( ) dtlnt1
xg2x
xò= , όπου 0<t<1.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g και να μελετήσετε τη μονοτονία της.
β) Να υπολογίσετε το όριο : ( )xg0x
mil®
.
105. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ò=-2x
1xt dtlntxf e , όπου t , x > 0.
i) Να αποδείξετε ότι: α) ( ) ( ) ln2x2exfxf x ×=¢+ β) ( ) ( )x
e2xfxfx
+=¢¢ .
ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )( ) xexfxfxg -×¢¢+¢= . Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα xx¢
και τις ευθείες 1x = και 21x = .
106. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R
και ικανοποιούν τις σχέσεις : ( ) ( ) 4xgxf =¢¢-¢¢ για κάθε RxÎ , ( ) ( )1g1f ¢=¢ και ( ) ( )2g2f = , να βρείτε
i) τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )xgxfxt -= , RxÎ . ii)το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g. (ΘΕΜΑ 1997
107. Έστω f πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο R, που είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη και ισχύει ( ) 0xf >¢¢ για κάθε RxÎ . Έστω Rβα, Î και α<β. Να αποδειχθεί ότι:
i) ( ) ( ) ( )( )αxβfαfxf -¢£- για κάθε [ ]β,αxÎ .
ii) ( ) ( )( ) ( )( )αβα2fαββfdxxf2 2βα -+-¢£ò . (ΘΕΜΑ 1997)
top related