ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΑ hΙΑ hεχνολογικού...

Τίτλος Μαθήματος

Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform)

Aναστασία Βελώνη

Τμήμα Η.Υ.Σ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

Σκοπός της ενότητας είναι η κατανόηση από τους φοιτητές του ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE.

Ο Μετασχηματισμός Laplace είναι ένα μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη και σχεδίαση των γραμμικών μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων.

Το μαθηματικό μοντέλο των παραπάνω συστημάτων αποτελείται από Γ.Δ.Ε με σταθερούς συντελεστές.

4

Περιεχόμενα ενότητας

• ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

• ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE

• ΠΙΝΑΚEΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ LAPLACE

• ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

• ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ TOY ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE

5

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LΑΡLΑCΕ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ

ΣΤΑ Σ.Α.Ε

Μετασχηματισμός LAPLACE (1)

• Μεγάλη απλούστευση στη μελέτη των συστημάτων προσέφερε η χρησιμοποίηση του Μετασχηματισμού LAPLACE (Laplace Transform – 1785) στη λύση των διαφορικών και ολόκληρο-διαφορικών εξισώσεων μετατρέποντας την κλασσική διαδικασία λύσης σε αλγεβρική, με τεράστια διευκόλυνση στη χρησιμοποίηση ηλεκτρονικών υπολογιστών για τη μελέτη των συστημάτων ελέγχου.

Μετασχηματισμός LAPLACE (2)

• Στην ουσία ο μετασχηματισμός Laplace ανάγει την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης στην επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης.

Πλεονεκτήματα Μετασχηματισμού LAPLACE

• H δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου, στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα, το οποίο βοηθά στη μελέτη μιας συνάρτησης και στα δύο πεδία και τη συλλογή περισσότερων πληροφοριών για τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

• Η χρήση του στην επίλυση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές, αφού την ανάγει σε μία αλγεβρική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί ευκολότερα.

• H xρήση γραφικών μεθόδων (διαγράμματα απόκρισης συχνότητας- Bode, πολικά διαγράμματα κ.α) στην πρόβλεψη συμπεριφοράς του συστήματος χωρίς τη λύση των Δ.Ε. που περιγράφουν το σύστημα.

Ορισμός

• Καλούμε ευθύ μετασχηματισμό LAPLACE δοθείσης συνάρτησης f(t) το γενικευμένο ολοκλήρωμα:

Ευθύς μετασχηματισμός LAPLACE (L.T.)

• Σημαντικές Ιδιότητες και Θεωρήματα

• Γραμμικότητα

• Όπου ci : σταθερές

• Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου μίας συνάρτησης :

• 1ης παραγώγου :

• nης παραγώγου :

(1) (1) ( )( ) ( ) (0 ), ( )

df tL f t sF s f f t

dt

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) L c f t c f t L c f t L c f t c F s c F s

1( ) ( 1 )

0

( ) ( ) (0 ) n

n n k n k

k

L f t s F s s f

Μετασχηματισμός LAPLACE (L.T.)

11( ) ( ) ( ) ( )

2

c j

st

c j

f t ILT F s L F s F s e dsj

Αντίστροφος μετασχηματισμός LAPLACE (Ι.L.T.) (1)

• Ορισμός: Καλούμε αντίστροφο μετασχηματισμό LAPLACE (ILT) δοθείσης συνάρτησης F(s) το ολοκλήρωμα:

• όπου η τιμή σύγκλισης c είναι μία πραγματική σταθερά, που είναι μεγαλύτερη από τα πραγματικά μέρη όλων των πόλων της F(s).

Αντίστροφος μετασχηματισμός LAPLACE (Ι.L.T.) (2)

Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό LAPLACE υπάρχουν οι ακόλουθες μέθοδοι:

• α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό.

• β) Χρησιμοποιούμε τα ζεύγη απ' τους πίνακες μετασχηματισμών.

• γ) Αναπτύσσουμε την F(s) σε άθροισμα μερικών κλασμάτων και εφαρμόζουμε το θεώρημα του HEAVISIDE.

m

i

i 1

n

j 1

(s z )P(s)

F(s) KQ(s)

(s p )j

Θεώρημα HEAVISIDE (1)

• Θεώρημα HEAVISIDE: Πολλές φορές στη πράξη παρουσιάζεται το πρόβλημα της εύρεσης του αντιστρόφου μετασχηματισμού LAPLACE μιας συνάρτησης F(s) που έχει δοθείσα μορφή.

• Πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση F(s) είναι μια ρητή συνάρτηση του s δηλαδή:

• όπου zi είναι τα μηδενικά της F(s) (δηλαδή ρίζες του αριθμητού Ρ(s)

• και pj είναι οι πόλοι της F(s) (ρίζες του παρονομαστή Q(s)

Θεώρημα HEAVISIDE (2)

1ο Παράδειγμα (1)

2P(s) 2s 2F(s)

Q(s) 1

s

s

• Δίνεται η συνάρτηση:

Ζητείται o I.L.T[F(s)]=f(t)

• ΛΥΣΗ

t-(1)1-2

e(t)δδ(t)[F(s)]L1s

1s1

1s

22ssF(s)

n

1

KF(s)

s p

i

i i

K (s p )F(s) όπου s pi i i

1ο Παράδειγμα (2) • B) Θεωρούμε από εδώ και πέρα m<n χωρίς περιορισμό της

γενικότητας.

Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

• Π1. Η F(s) έχει απλούς πόλους

• Δηλαδή οι ρίζες της Q(s) να είναι διακεκριμένες.

• Τότε η F(s) αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα ως εξής:

• όπου

Heaviside formula – Oct. 1931

3)2)(s1)(s(s

53ssF(s)

2

)]([)( 1 sFLtf

2

31 2KK Ks 3s 5

F(s)(s 1)(s 2)(s 3) (s 1) (s 2) (s 3)

K i

2ο Παράδειγμα (1)

• Δίνεται η συνάρτηση

• Να βρεθεί η

• ΛΥΣΗ:

• Αναπτύσσουμε την F(s) σε μερικά κλάσματα :

• Υπολογίζουμε τους συντελεστές

2ο Παράδειγμα (2)

2ο Παράδειγμα (3)

)p(s

K...

)p(s

K

ps

K

)p(s

K...

)p(s

K

ps

KF(s)

r

r

3

3

2

2

n

1

1n

2

1

12

1

11

Π2. H F(s) έχει πολλαπλούς πόλους

Δηλαδή οι ρίζες της Q(s) είναι πολλαπλές :

Q(s)=(s-p1)^n .(s-p2)…(s-pr)

Η F(s) αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα ως εξής:

( )

( )

1lim ( )

( )! i

n jn

ij in js p

dK s p F s

n j ds

lim ( ) i

i is p

K s p F s

2ο Παράδειγμα (4)

• όπου

• Heaviside formula – Oct. 1931

3ο Παράδειγμα (1)

Δίνεται η συνάρτηση :

Να βρεθεί η

Λύση

Αναπτύσσουμε την F(s) σε μερικά κλάσματα :

2)(s1)(s

53ssF(s)

2

2

)]([)( 1 sFLtf

2

11 12 2

2 2

K K Ks 3s 5F(s)

(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)

3ο Παράδειγμα (2)

1 21 2

K K Κ ,Κ C

α jβ α jβs s

3ο Παράδειγμα (3)

• Π3. H F(s) έχει μιγαδικούς πόλους δηλαδή οι ρίζες της Q(s) είναι μιγαδικές συζυγείς.

• Οι περιπτώσεις που ήδη εξετάσαμε ισχύουν για πόλους πραγματικούς ή μιγαδικούς. Η περίπτωση όμως μιγαδικών πόλων εξετάζεται χωριστά επειδή πραγματοποιούνται ορισμένες απλοποιήσεις

• Υποθέτουμε ότι η F(s) έχει απλό πόλο p1 = α + jβ οπότε θα έχει και άλλον πόλο p2 = α – jβ.

• Η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα της F(s) θα είναι της μορφής:

3ο Παράδειγμα (4)

4ο Παράδειγμα (1)

2

2

3s 7F(s)

(s 2) 4 (s 1)

s

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :

Δίνεται η συνάρτηση :

Να βρεθεί η

Λύση

Αναπτύσσουμε την F(s) σε μερικά κλάσματα:

[F(s)]Lf(t) 1

1s

K

2j2s

K

2j2s

K

1)4](s)2[(s

73ssF(s) 311

2

2

1K42)(s

73ssK 3

1s

2

2

3

1 2t t1f(t) L [F(s)] ( e sin(2t) e )u(t) t 0

2

4o Παράδειγμα (2)

j90

1

2

1

2j2S

2

1

2j2S

1

e4

1

4

1jK

2j)14j(

72j)23(2j)2(K

1)2j)(s2(s

73ssK2j)F(s)2(sK

• Όπου

• οπότε:

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων μέσω μετασχηματισμών Laplace

Όπου

Μετασχηματισμός Laplace και στα δύο μέλη και έχουμε:

Όπου

G(s):Συνάρτηση Μεταφοράς και

• x(t)=0 τότε απόκριση μηδενικής εισόδου

• Α.Σ=0 τότε απόκριση μηδενικής κατάστασης.

( ) ( 1) ( ) ( 1)

1 0 1 0( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )n n m m

n m my t a y t a y t b x t b x b x t

.

( 1) ( 1)

0 0, 0 0 0 0( ) ( ) ,..., ( )n ny t y y t y y t y

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

B s C s C sY s X s G s X s

A s A s A s

1 0

1

1 1 0

( ) ...( )

( ) ...

m

m

n n

n

B s b s b s bG s

A s s a s a s a

1 1( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

B s C sy t L X s L

A s A s

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα μετασχηματισμού LAPLACE (1)

Γραμμικότητα

Μετασχηματισμός Laplace Παραγώγου μιας Συνάρτησης

Μετασχηματισμός Ολοκληρώματος μιας

Συνάρτησης

Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου

Μετατόπιση στο Πεδίο της Μιγαδικής Συχνότητας

Μετατόπιση στο Πεδίο του Χρόνου

)(tf

0

)()( dtetfsF st

)()( 21 tftf )()( 21 sFsF

)()()(

tftfdt

tdf )0()( fssF

t

dttf0

)(

s

f

s

sF )0()( )1(

)( tf

)/(sF

)(tfe t )( sF

)()( rturtf )(sFe rs

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα μετασχηματισμού LAPLACE (2)

Θεώρημα Αρχικής Τιμής

Θεώρημα Τελικής Τιμής

Πολ/σμός συνάρτησης επί t

Διαίρεση συνάρτησης διά t

)(tf

0

)()( dtetfsF st

)(lim0

tft

)(lim ssFs

)(lim tft

)(lim0

ssFs

)(tft )()1( sFds

d

t

tf )(

s

dF )(

Ζεύγη μετασχηματισμών LAPLACE (1)

Ζεύγη μετασχηματισμών LAPLACE (2)

Ζεύγη μετασχηματισμών LAPLACE (3)

Ζεύγη μετασχηματισμών LAPLACE (4)

Μετασχηματισμός LAPLACE Παθητικών γραμμικών στοιχείων

ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

ΠΗΝΙΟ

ΠΥΚΝΩΤΗΣ

)()( tRituR )()( sRIsVR

)0()()( LissLIsVL

t

L dttuL

ti0

)(1

)(

dt

tduCti C )(

)( )0()()( CC CussCVsI

t

C dttiC

tu0

)(1

)(

dt

tdiLtuL

)()(

s

i

sL

sVsI L )0()()(

s

u

sC

sIsV C

C

)0()()(

Εφαρμογές του μετασχηματισμού LAPLACE

Ασκήσεις εξάσκησης

Άσκηση 1 (1)

• 1. Να βρεθούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των συναρτήσεων.

Άσκηση 1 (2)

Άσκηση 1 (3)

Άσκηση 1 (4)

Άσκηση 1 (5)

Άσκηση 1 (6)

Άσκηση 1 (7)

Άσκηση 1 (8)

Άσκηση 2 (1)

Δίνεται το ηλεκτρικό κύκλωμα του παρακάτω σχήματος • Α) Να γραφεί το μαθηματικό

μοντέλο του συστήματος μετασχηματισμένο κατά Laplace (Αρχικές συνθήκες = μηδενικές)

• Β) Να βρεθεί και σχεδιαστεί προσεγγιστικά η τάση εξόδου του κυκλώματος.

• Γ) Να βρεθούν και να σχεδιαστούν τα ρεύματα των βρόχων.

• Δ) Αν τοποθετηθεί ένας buffer μεταξύ των 2 επί μέρους κυκλωμάτων να βρεθεί και να σχεδιαστεί η νέα τάση εξόδου του συστήματος.

Άσκηση 2 (2)

Άσκηση 2 (3)

β) Η εύρεση της τάσης εξόδου βασίζεται στο συνδυασμό των παραπάνω εξισώσεων.

Άσκηση 2 (4)

Άσκηση 2 (5)

• Εφαρμόζoυμε Ι.L.T και προκύπτει η τελική λύση της εξίσωσης:

Άσκηση 2 (6)

γ) Σχεδιασμός των Ρευμάτων των βρόχων

Άσκηση 2 (7)

• δ) Ο απομονωτής (buffer) του ηλεκτρικού κυκλώματος χωρίζει τα 2 κυκλώματα μεταξύ τους έτσι ώστε:

Άσκηση 2 (8)

• Από τη σχέση (8) έχουμε:

Άσκηση 2 (9)

• Ύστερα υπολογίζουμε τους μερικούς συντελεστές κ1,κ2,κ3 στην περίπτωση των διακεκριμένων πόλων.

Γραφική Παράσταση Eo(t)-t με Χρήση Βuffer

Uo(s) 1 rs 1

Ui(s) rs 1

Άσκηση 3 (1)

• Δίνεται το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος

• α) Να δειχθεί ότι ισχύει:

• Nα δοθούν οι εκφράσεις των α και r συναρτήσει των C1, C2, R2.

• β) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί προσεγγιστικά η έξοδος του κυκλώματος uo(t) για τάση εισόδου: i) ui(t)= 100V και ui(t)= sint V. Δίνονται C1=C2=1μF, R2=100ΚΩ

Άσκηση 3 (2)

• Λύση:

Άσκηση 3 (3)

Άσκηση 3 (4)

β) Αντικαθιστούμε τις τιμές των C1, C2, R2 στη συνάρτηση μεταφοράς.

Άσκηση 3 (5)

• Στη συνέχεια υπολογίζουμε τους συντελεστές k1,k2 στην περίπτωση διακεκριμένων

πόλων.

Άσκηση 3 (6)

γii) Για είσοδο της μορφής Vi(t)=sint V

Άσκηση 3 (7)

Γραφική Παράσταση [Vo(t)-t] για Vi(t)=sint V

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ (1)

• ΑΣΚΗΣΗ 1 Να λυθούν οι Δ.Ε:

1)0(',1)0(," yytyy

1)0(',1)0(,'2" yyeyyy t

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ (2)

• ΑΣΚΗΣΗ 2 Να βρεθούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των συναρτήσεων:

1 2

1( )

( 16)( 2)F s

s s s

2 2

1( )

( 1)( 1)F f

s s s

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ (3)

• ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς Vr3(s)/V1(s) του κυκλώματος του σχήματος:

Τέλος Ενότητας