031021p tilastomatematiikka (5 op) kurssi-info ja lukion...

031021P Tilastomatematiikka (5 op)Kurssi-info ja lukion kertausta

Jukka Kemppainen

Mathematics Division

Käytännön asioita

– Luennot (yht. 7 × 4 = 28 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks.tarkemmin Oodista tai Nopasta)

– Harjoitukset (yht. 7 × 2 + 3 × 2 = 20 h) alkavat viikolla 3.Kolmella ensimmäisellä harjoitusviikolla harjoituksia on2 × 2 = 4 h viikossa.

Suorittaminen: Kurssin voi suorittaa Moodleen palautettavienkotitehtävien ja 13.3.2017 järjestettävän kurssikokeen avulla.Kurssin suorittaminen on mahdollista myös pelkällä loppukokeella.Yllä mainittu 13.3.2017 järjestettävä kurssikoe ei yksistään käy,sillä se on osasuoritus.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 37

Kurssin arvosanaKurssin arvosana määräytyy seuraavien osasuoritusten avulla.

(a) Kurssikoe (5 tehtävää á 6 pistettä, max. 30 pistettä)

(b) 4 kotitehtävää/STACK-tenttiä (á 4 pistettä)Moodle-ympäristössä osoitteessa

https://oystack.oulu.fi/

josta löytyy myös kaikki kurssimateriaali. Ympäristöönkirjaudutaan Oulun yliopiston sähköpostitunnuksilla.Ensimmäisellä kerralla järjestelmä kysyy kurssiavainta, jokaon Tilasto2017.

(c) Aktiivinen osallistuminen laskuharjoituksiin

Laskuharjoituspisteet (harjoituksia 10)

Laskuharjoitusten lkm. 3-4 5-6 7-8 9-10Laskuharjoituspisteet 1 2 3 4

Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 37

Kurssin läpäisy

Kurssin läpäisyn ratkaisee loppukokeen ja lisäpisteidenyhteissumma. Maksimipistemäärä on

30 + 4 · 4 + 4 = 50 pistettä.

Varma läpipääsy 23 pisteellä.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 37

Todennäköisyys ja tilastot lukiossa

Edellisen opetussuunnitelman mukaan kurssin MAA6Todennäköisyys ja tilastot keskeiset sisällöt ovat:

◮ diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma

◮ jakauman tunnusluvut

◮ klassinen ja tilastollinen todennäköisyys

◮ Kombinatoriikka

◮ todennäköisyyksien laskusäännöt

◮ diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma

◮ diskreetin jakauman odotusarvo

◮ normaalijakauma

Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 37

Kurssin sisältö

Kurssilla käsitellään seuraavia asioita

Viikko 1 Todennäköisyyden perusominaisuudet ja ehdollinen tn.

Viikko 2 Jatkuva ja diskreetti satunnaismuuttuja

Viikko 3 Jakaumien tunnusluvut ja keskeinen raja-arvolause

Viikko 4 Estimointiteoriaa

Viikko 5 Tilastollinen testaus

Viikko 6 Regressioanalyysi

Viikko 7 2-ulotteiset jakaumat

Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 37

Lukion kertausta

Kannattaa palautella mieliin kurssin MAA6 oppisisältöä tämänkurssin suorittamisen helpottamiseksi. Sisältöjä vertaamallanähdään, että esimerkiksi kombinatoriikkaa ja klassistatodennäköisyyttä ei tällä kurssilla esitetä. Se ei kuitenkaantarkoita, etteikö niitä tarvitsisi osata. Ne siis kannattaa kerrata.

Netistä löytyy paljon materiaalia ja kannattanee myös kaivella esiinvanha lukion oppikirja. Seuraavaksi esitellään kertausmateriaalipähkinänkuoressa.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 37

Mitä tilastomatematiikka on?

Tilastomatematiikka (tämä kurssi) on todennäköisyyslaskennan jatilastotieteen symbioosi.Ylen Abi-treenit sivuilla todennäköisyyslaskentaa luonnehditaannäin:

“Todennäköisyyslaskenta on matematiikan osa-alue, joka pyrkii

ennustamaan tapahtumien todennäköisyyttä.

Todennäköisyyslaskennan tiedoista on hyötyä veikkaus- ja

rahapeleissä, mutta se ennustaa myös erilaisten tilastoitujen

tapahtumien tapahtumista.”

Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 37

Mitä tilastomatematiikka on?

Wikipediassa tilastotiedettä luonnehditaan näin

“Tilastotiede on tieteenala, joka tutkii tilastollisten aineistojen

keräämistä, käsittelyä ja niiden pohjalta tehtävää päättelyä.

Tilastotieteen avulla voidaan mitata havaintoja ja käsitellä

mittausten muodostamia aineistoja, ja tilastotiede tuo siten

empiriaa erilaisiin tutkimuksiin. Tilastotieteen tulosten pohjalta

tehtävä päättely on induktiivista päättelyä eli aineiston pohjalta

pyritään yleistämään asioita yksittäisestä yleiseen.”

Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 37

Mitä tilastomatematiikka on?

Tilastomatematiikan pyrkimyksenä on hallita satunnaisilmiöitätodennäköisyyslaskennan avulla. Tilastollisessa tutkimuksessakerätään havaintoja, joista pyritään tekemään mahdollisimmanluotettavia johtopäätöksiä. Tarvittaessa havaintoja joudutaanmuokkaamaan niin, että tietyn todennäköisyysmallin oletuksettulevat voimaan, minkä jälkeen tehdään kyseisen mallin avullajohtopäätöksiä tutkimuksen kohteesta. Nykyääntodennäköisyysmalleja käytetään ilmiöiden kuvailussakäytännöllisesti katsoen kaikilla tieteenaloilla.Opintojakson tavoitteena on antaa teoreettiset perusvalmiudetsatunnaisilmiöiden mallintamiseen ja tilastollisten menetelmienopiskeluun.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 37

Satunnaiskoe vs. deterministinen koe

Koe, jonka lopputulos voidaan alkutilanteen ja ilmiön mekanisminperusteella ennustaa tarkkaan, on deterministinen.Satunnaiskokeella tarkoitetaan ilmiötä, jossa

(1) koetta voidaan toistaa samoissa oloissa

(2) kokeella on useampi kuin yksi lopputulos, jonka määrääsatunnainen mekanismi

Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 37

Esimerkki

Esim. 1

Onko seuraavissa kyse deterministisestä kokeesta vaisatunnaiskokeesta?

(1) Jääkiekon SM-liigan mestaruuden voittava joukkue keväällä2017?

(2) Satunnaisesti valitun miehen sosiaaliturvatunnuksen toiseksiviimeinen merkki on parillinen luku?

(3) Perheeseen syntyvä lapsi on tyttö?

(4) Auringonnousun ajankohta Oulussa 1.4.2017?

(5) Differentiaaliyhtälön y ′(x) = y(x) ratkaisu alkuehdollay(0) = 1?

(6) Tilastomatematiikka-kurssin läpäiseminen keväällä 2017?

Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 37

Otosavaruus ja tapahtuma

Määr. 1

Satunnaiskokeen E mahdolliset lopputulokset ovatalkeistapahtumia ja kaikkien alkeistapahtumien e joukko onotosavaruus S.

Määr. 2

Satunnaiskokeessa tapahtuma on otosavaruuden S osajoukko.Tapahtumasysteemi E on kaikkien tapahtumien muodostamajoukko.

Huomautus 1

Myös tyhjä joukko φ on tapahtuma. Tapahtumasysteemi on siisotosavaruuden osajoukkojen muodostama joukko E = {A|A ⊂ S}.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 37

Joukko-oppia

Kuten määritelmistä nähdään, on joukko-oppi hyvin keskeisessäasemassa. Kerrataan sen vuoksi joukko-opin perusoperaatiot.Perusjoukko S (satunnaiskokeessa otosavaruus), A,B ⊂ S

osajoukkoja (A ja B tapahtumia)

◮ Joukon komplementti A = S \ A = {x ∈ S | x /∈ A} (“A eitapahdu”)

◮ Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S | x ∈ A tai x ∈ B} (“A tai Btapahtuvat”)

◮ Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S | x ∈ A ja x ∈ B} (“A ja Btapahtuvat”)

◮ Erotus A \ B = A ∩ B = {x ∈ S |x ∈ A ja x /∈ B} (“Atapahtuu, mutta B ei tapahdu”)

Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 37

Vennin diagrammiJoukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Vennindiagrammien avulla. Niistä on apua myös yksinkertaistentodennäköisyyksien laskemisessa.

Kuva : Joukon A komplementti

A.

Kuva : Joukkojen A ja B yhdiste

A ∪ B.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 37

Kuva : Joukkojen A ja B

leikkaus A ∩ B.

Kuva : Joukkojen B ja A erotus

B \ A.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 37

Satunnaiskokeen malli

Satunnaiskoetta mallinnetaan siis matemaattisesti joukko-opinavulla. Kannattaa opetella ilmaisemaan satunnaiskoejoukko-opillisesti ja kääntäen. Havainnollistetaan peruskäsitteitätaulukon avulla:Satunnaiskokeessa Symboli MallissaAlkeistapausten joukko S OtosavaruusAlkeistapahtuma ei Otosavaruuden alkiotTapahtuma A S :n osajoukkoTapahtumasysteemi E σ-algebra S :ssäVarma tapahtuma S OtosavaruusMahdoton tapahtuma φ Tyhjä joukkoA tai B sattuu A ∪ B YhdisteA ja B sattuu A ∩ B LeikkausA ei satu A KomplementtiA sattuu, mutta B ei A \ B erotus

Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 37

Mallin hyödyntäminen käytännössä

Monia todennäköisyyteen liittyviä ongelmia voidaan ratkoatapauskohtaisesti ns. maalaisjärjellä.Mallin avulla todennäköisyyksien laskentaa voidaan kuitenkinhelpottaa ja nopeuttaa. Joskus se voi olla jopa välttämätöntä(myös koneellisessa laskemisessa), jos suotuisia alkeistapahtumiaon valtava määrä.Joukko-opin avulla kiinnostava tapahtuma A voidaan esimerkiksihajottaa toisensa poissulkeviin osiin A ∩ B ja A ∩ B , joiden tn:tosataan laskea ja A:n tn. saadaan identiteetistä

A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

Usein myös siirtyminen komplementtiin A voi auttaa, jos A:n tn.voidaan laskea helposti, mutta A:n todennäköisyyttä ei.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 37

EsimerkkejäEsim. 2

Määrää otosavaruudet seuraaville satunnaiskokeille.

(a) Heitetään kolikkoa kolme kertaa.

(b) Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäinen kruuna.

(c) Määritetään lampun kestoikä.

Ratkaisu: (a) Merkitään

H = ”heitto on kruuna”

T = ”heitto on klaava”

Otosavaruudeksi S voidaan ottaa kolmen merkin jonot XYZ ,missä kukin X ,Y ,Z on joko H tai T , jolloin #S = 8. Tässätapauksessa voidaan jopa luetella kaikki alkiot ja todeta, että

S = {HHH,HHT ,HTH,THH,HTT ,THT ,TTH,TTT}.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 37

Esimerkkejä(b) Mahdollisia tuloksia ovat tulossarjat H,TH,TTH, . . ..Tuloksena voidaan myös tarkastella ensimmäisen kruunanilmestymiseen tarvittavien heittojen lukumäärää, jolloin tulossarjatovat 1, 2, 3, . . .. Tällöin otosavaruudeksi voidaan ottaa

S = {1, 2, 3, . . . } = N.

Nyt kaikkia alkeistapauksia ei voi edes luetella, sillä S on ääretönjoukko. Alkiot voidaan kyllä numeroida, sillä N on numeroituvajoukko.

(c) Nyt satunnaiskokeen lopputulos voi olla mikä tahansareaaliluku t ≥ 0. Otosavaruudeksi voidaan ottaa

S = {t ∈ R | t ≥ 0} = [0,∞[.

Tässä tapauksessa otosavaruus ei ole edes numeroituva.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 37

EsimerkkejäEsim. 3

Esitä tapahtumat

(a) Saadaan vähintään kaksi kruunaa.

(b) Korkeintaan 5 heittoa.

(c) Vähintään 100 tuntia.

Ratkaisu: (a) Merkitään A = ”vähintään 2 kruunaa”. Esimerkin 2merkintöjä käyttäen A on joukko

A = {HHT ,HTH,HHT ,HHH}.

(b) Merkitään B = ”korkeintaan 5 heittoa”. Joukko-opillisesti

B = {1, 2, 3, 4, 5}.

(c) Merkitään tapahtumaa C :llä. Joukko-opillisesti

C = {t ∈ R | t ≥ 100} = [100,∞[.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 37

Klassinen todennäköisyys

◮ Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}.

◮ Alkeistapahtumat ovat yhtä todennäköisiä. Koska alkioita onN kappaletta, on kunkin alkeistapahtuman ei todennäköisyys

P(ei) =1N.

◮ Satunnaiskokeen tapahtuman B esiintymistodennäköisyys ontällöin

P(B) =m

N,

missä m = #B on joukon B alkioiden lukumäärä.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 37

Esimerkkejä

Esim. 4

Heitetään kolikkoa kolme kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan

(a) kolme kruunaa?

(b) kaksi kruunaa?

Ratkaisu: (a) Käytetään Esimerkin 2 merkintöjä. OlkoonA = ”saadaan kolme kruunaa”. Joukko-opillisesti

A = {HHH},

joten

P(A) =#A

#S=

18.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 37

Esimerkkejä

(b) Merkitään B = ”saadaan kaksi kruunaa”. Joukko-opillisesti

B = {HHT ,HTH,THH},

joten

P(B) =#B

#S=

38.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 37

Esimerkkejä

Esim. 5 (de Mérén probleema)

Ranskalainen aatelismies de Méré oli innokas uhkapeluri. Hänhavaitsi kokeellisesti seuraavaa

(a) Kannattaa lyödä vetoa siitä, että heitettäessä 4 noppaasaadaan ainakin yksi kuutonen.

(b) Ei kannata lyödä vetoa siitä, että heitettäessä kahta noppaa24 kertaa saadaan ainakin yksi kuutospari.

De Méré ei kuitenkaan kyennyt teoreettisesti selittämäänhavaintoaan, joten hän kääntyi Pascalin puoleen (n. 1650). Tämätapahtuma toimi virikkeenä todennäköisyyslaskennan syntyyn.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 37

de Mérén probleeman ratkaisu

(a) Otetaan otosavaruudeksi S merkkijonot x1x2x3x4, missä kukinxi on heiton i silmäluku. Tällöin #S = 64. OlkoonA = ”saadaan ainakin yksi kuutonen”. Tarkastellaan senkomplementtia A = ”ei yhtään kuutosta”. Kaikki silmäluvut ovattällöin erisuuria kuin 6, joten

#A = 5 × 5 × 5 × 5 = 54

ja näin ollen

P(A) =#A

#S=

64 − 54

64= 1 −

(56

)4≈ 0.518.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 37

de Mérén probleeman ratkaisu

(b) Kussakin kahden nopan heitossa on 6 × 6 = 36 eritulosvaihtoehtoa, joten #S = 3624. JosB = ”saadaan ainakin yksi kuutospari” , niin komplementti onB = ”ei yhtään kuutosparia” . Kussakin kahden nopan heitossa on35 suotuisaa tapausta olla saamatta kuutosparia, joten

#B = 35 × · · · × 35 = 3524

ja saadaan

P(A) =#A

#S=

3624 − 3524

3624= 1 −

(3536

)24≈ 0.491.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 37

Kombinatoriikkaa

Olkoon E = {e1, e2, . . . , en}, missä n ∈ N = {1, 2, . . . }.

◮ Permutaatio Äärellisen joukon E alkioiden jono(ei1 , ei2 , . . . , ein), jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärä onn! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.

◮ k-permutaatio on äärellisen joukon E k:n eri alkion jono(ei1 , . . . , eik

), joiden lukumäärä on n!(n−k)! .

◮ k-kombinaatio on äärellisen joukon E k-alkioinen osajoukko{ei1 , . . . , eik

}. Näiden joukkojen lukumäärä on(

n

k

)

= n!(n−k)!k! .

Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 37

Esimerkkejä

Esim. 6

(a) Lotossa arvotaan 7 numeroa 39 mahdollisesta. Kuinka montaerilaista lottoriviä voidaan arpoa?

(b) Pokerissa pelaajalle jaetaan 5 korttia 52 mahdollisesta.Kuinka monta erilaista pokerikättä voidaan jakaa?

(c) Vakioveikkauksessa valitaan yksi kolmesta eri merkistä{1,X , 2} 13 kohteeseen. Kuinka monta erilaista vakioriviävoidaan veikata?

Ratkaisu: (a) Kyseessä on otanta ilman takaisinpanoa, jotenerilaisten lottorivien lukumäärän ilmoittaa luvun 397-kombinaatioiden lukumäärä, joka on

(

397

)

=39!

7!32!≈ 15.4 · 106.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 37

Esimerkkejä

(b) Kyseessä on otanta ilman takaisinpanoa, joten erilaistenpokerikäsien lukumäärä on

(

525

)

≈ 2.6 · 106.

(c) Kukin merkki voi olla mikä tahansa merkeistä 1,X , 2, jotenkyseessä on otanta takaisinpanolla. Erilaisia vakiorivejä on siten

313 ≈ 1.6 · 106 kappaletta.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 37

Esimerkkejä

Esim. 7

Tarkastellaan erilaisia pokerikäsiä. Millä tn:llä käsi on

(a) ns. ”hai” eli kaikki kortit ovat eri suuruisia eivätkä ne voi olla5 peräkkäistä (ns. suora) eikä samaa maata (ns. väri)?

(b) neloset eli saadaan neljä samansuuruista korttia.

Ratkaisu: Korteissa on suuruus 1, 2, . . . , 13 ja väri {He,Pa,Ru,Ri}.Tarkastellaan erikseen suuruutta ja väriä.

(i) Suuruus: poimitaan 5 erisuuruista korttia, joka voidaan tehdä(

13

5

)

eri tavalla. Peräkkäisten korttien kombinaatiot

(1, 2, 3, 4, 5), . . . , (9, 10, 11, 12, 13), (10, 11, 12, 13, 1(A))

eivät käy. Näitä on yhteensä 10 kappaletta. Suuruudetvoidaan siis valita

(

13

5

)

− 10 eri tavalla.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 37

Esimerkkejä(a) jatkuu...(ii) Väri: kaikki kortit eivät voi olla samaa väriä, joten epäkäypiä

mahdollisuuksia

(He,He,He,He,He), . . . , (Ri,Ri,Ri,Ri,Ri)

on 4 kappaletta. Värit voidaan siis valita 45 − 4 eri tavalla.Kysytty todennäköisyys on näin ollen

((

13

5

)

− 10)(

45 − 4)

(

52

5

) ≈ 50.1%

(b) Kuten kohdassa (a) voidaan todeta, että kaksi erisuuruistavoidaan valita 13 × 12 eri tavalla. Yksittäiselle kortille, joka eiesiinny nelosissa, on 4 värivaihtoehtoa. Kysytty todennäköisyys on

13 · 12 · 4(

52

5

) ≈ 0.024%.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 37

EsimerkkejäEsim. 8

Laatikossa on 15 palloa; 4 valkoista, 5 punaista ja 6 mustaa.Laatikosta nostetaan umpimähkään 3 palloa. Millätodennäköisyydellä pallojen joukossa on

(a) valkoinen pallo tai punainen pallo?

(b) valkoinen pallo ja punainen pallo?

(c) valkoinen pallo, mutta ei punaista palloa?

Ratkaisu: Olkoot

A = ”saadaan ainakin yksi valkoinen pallo” ,

B = ”saadaan ainakin yksi punainen pallo” .

Tällöin

#A =

(

113

)

= 165, #B =

(

103

)

ja#(A ∩ B) =

(

63

)

= 20.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 37

Esimerkkejä(a) Kysytty todennäköisyys on

P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 −20155

=8791

.

(b) Todennäköisyys on

P(A ∩ B) =1 − P(A ∪ B)

=1 − P(A)− P(B) + P(A ∩ B)

=1 −165455

−120455

+20455

=3891

.

(c) Tn. on

P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B) = 1 − P(A)− P(A ∩ B)

=100455

=2091

.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 37

Geometrinen todennäköisyys

◮ Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila.

◮ Tapahtuma A on S :n osajoukko.

◮ Tapahtuman A todennäköisyys on

P(A) =m(A)

m(S),

missä m(A) joukon A pituus, pinta-ala tai tilavuus.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 37

Esimerkki

Esim. 9

Heitetään r -säteistä lanttia neliöruutuiselle tasaiselle alustalle.Oletetaan, että ruutujen sivun pituus on a ≥ 2r . Mikä ontodennäköisyys, että lantti peittää jonkin ruudun kärjen? Laskelikiarvo tn:lle esimerkkitapauksessa a = 2r .

Ratkaisu: Tarkastellaan lantin keskipisteen paikkaa neliössäS = [0, a]× [0, a]. Kolikko peittää nurkan, jos keskipisteen etäisyysnurkasta on≤ r . Kysytty tn. on (piirrä kuva)

4 · πr2/4a2

=πr2

a2.

Jos esimerkiksi a = 2r , niin tn. on π2

4≈ 0.79.

Yllä olevalla tavalla voidaan määrätä likiarvo π:lle, kun heittokoetoistetaan useasti.

Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 37

Harjoittelu tekee mestarin

Sitten ei muuta kuin harjoittelemaan. Osa edellä esitetyistäesimerkeistä oli ehkä turhankin vaativia. Kannattaa lähteä ihanperusesimerkeistä liikkeelle.Esimerkiksi edellä mainituilta Abi-treenit sivuilta löytyyperustehtäviä, joiden avulla perusasioita voi harjoitella japalautella mieliin.Myös mm. seuraavilta sivuilta löytyy opetusvideoita jaoppimateriaalia, joista saanee apua kurssin suorittamiseen.

– Opetushallituksen Etälukio-sivusto

– matikkamatskut-sivusto

Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 37