05123561 digital logic systems 1.2 lecture itzik alfy digital logic systems מערכות...

05123561 Digital Logic Systems

1. 2 Lecture

Itzik Alfy

Digital Logic Systemsמערכות לוגיות ספרתיות

' מס בינארי: 2נושא מידע יצוג

" ט תשס חורף

נושאי השיעור

שיטות ייצוג מספרים, אותיות וקודים בעזרת •ספרות בינריות

מעבר בין שיטות יצוג שונות•

כללים לביצוע פעולות אריתמטיות •במספרים בינריים

05123561 Digital Logic Systems

2. 2 Lecture

Itzik Alfy

מקורות

05123561 Digital Logic Systems

3. 2 Lecture

Itzik Alfy

• M.M. Mano, Digital Design – Chapter 1

• G. Langholtz, A. Kandel and J.L. Mott, Foundations of Digital Logic Design – Chapter 2

שיטת יצוג עשרונית

05123561 Digital Logic Systems

4. 2 Lecture

Itzik Alfy

105102101104107

5211104100725.74121012

*****

100

1*

10

1****

עצמי ערךFace value

מיקומי ערךPosition value

שיטת יצוג עשרונית

05123561 Digital Logic Systems

5. 2 Lecture

Itzik Alfy

עשרוני מספר של באופן Aערכו מספרות המורכבהבא:

}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{

21011

a

aaaaaa

i

mnn

1

10n

mi

i

aA iיהיה:

: הבא באופן ויסומן A10

7,4,1,2,51025.7413

210

aa i

i

ii

מספרים בבסיסים שונים

05123561 Digital Logic Systems

6. 2 Lecture

Itzik Alfy

מספר של :rבבסיס המורכב Aערכו

}1,...,0{

2111 0

ra

aaaaaa

i

mnn

1n

mi

i

raA iיהיה:

: הבא באופן ויסומן Ar

825.7413

28

i

iia

10לבסיס r המרה מבסיס

05123561 Digital Logic Systems

7. 2 Lecture

Itzik Alfy

מספרות: , rבבסיס Bמספר המורכב: הבא באופן

)1(,...,1,0

21011

r

r

b

bbbbbbB

i

mnn

1

10

n

mi

i

rbC iבבסיס : 10ערכו יהיה

Br

4.51152515250542.4021 10510123

46687

75.26

2652

10

10

10

FB65

11.11010

5134

16

2

8

05123561 Digital Logic Systems

8. 2 Lecture

Itzik Alfy

10לבסיס r המרה מבסיס

:דוגמאות

r לבסיס 10המרה מבסיס

הפרד את המספר לחלק שלם ולשבר•עבור החלק השלם:•

rחלק את המספר ב- –רשום את השארית כספרה המשמעותית הבאה–0 חזור על התהליך עם המנה עד לקבלת מנה –

עבור השבר•rהכפל את המספר ב- –רשום את החלק השלם של התוצאה כספרה הפחות –

משמעותית הבאה חזור על התהליך עם השבר של התוצאה עד לרמת –

0הדיוק המבוקשת או קבלת מנה

05123561 Digital Logic Systems

9. 2 Lecture

Itzik Alfy

2 לבסיס 10המרה מבסיס

41/2 = 20 + (1/2)20/2 = 10 + (0/2)10/2 = 5 + (0/2) 5/2 = 2 + (1/2) 2/2 = 1 + (0/2) 1/2 = 0 + (1/2)

(41)10 =(101001)2

0.513*2 = 1.0260.026*2 = 0.0520.052*2 = 0.1040.104*2 = 0.2080.208*2 = 0.4160.416*2 = 0.8320.832*2 = 1.6640.664*2 = 1.328

(0.513)10 = (0.10000011)2

05123561 Digital Logic Systems

10. 2 Lecture

Itzik Alfy

(41.513)10=(?)2

(41.513)10 =(101001.10000011)2

:דוגמא

16 לבסיס 10המרה מבסיס

15247/16 = 952 + (15/16)952/16 = 59 + (8/16)59/16 = 3 + (11/2) 3/16 = 0 + (3/2)

(15247)10=(3B8F)16

0.65625*16 = 10.50.5 *16 = 8.0

(0.65625)10 = (A8)16

05123561 Digital Logic Systems

11. 2 Lecture

Itzik Alfy

(15247. 65625)10= (?)16

(15247. 65625)10= (3B8F.A8)16

:דוגמא

05123561 Digital Logic Systems

12. 2 Lecture

Itzik Alfy

r לבסיס 10המרה מבסיס

הסבר לטכניקה

r2 לבסיס r1מעבר מבסיס

כך ש: ? C מהוא B,r1,r2בהינתן

10פיתרון: מעבר דרך בסיס

של ?8מהוא היצוג בבסיס

05123561 Digital Logic Systems

13. 2 Lecture

Itzik Alfy

CB rr 21

CA712 16

22517476412712 81016CA

:דוגמא

16,8,2המרה בין בסיסים

ע"י המרה של כל סיפרה 2המרה לבסיס סיביות 4 סיביות לבסיס אוקטלי, 3בנפרד )

לבסיס הקסאדצימאלי(

05123561 Digital Logic Systems

14. 2 Lecture

Itzik Alfy

?712 216A

?2.351 28

2השיטה פועלת גם בכיוון ההפוך )מבסיס (8,16לבסיסים

? 16 ו-8המרה בין בסיסים

05123561 Digital Logic Systems

15. 2 Lecture

Itzik Alfy

16,8,2המרה בין בסיסים

הסבר לטכניקה

יצוג מספרים בבסיסים שונים

DecimalBase 10

BinaryBase 2

OctalBase 8

HexadecimalBase 16

000000010001112001022300113340100445010155601106670111778100010891001119

10101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F

05123561 Digital Logic Systems

16. 2 Lecture

Itzik Alfy

פעולות במספרים בינריים

101101100111

+ 101101100111

-

101101

X

05123561 Digital Logic Systems

17. 2 Lecture

Itzik Alfy

:דוגמאות

מינוחים

Nibble=4 bits

Byte = 8 bits

Short Word = 16 bits

bit

MSB?LSB?

LSB?MSB?

little-endian

big-endian

05123561 Digital Logic Systems

18. 2 Lecture

Itzik Alfy

Long Word = 32 bitsDouble Word = 64 bits

Binary numbers

05123561 Digital Logic Systems

19. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

הקצאת סיפרה שמאלית ביותר, ליצוג הסימן

0יסומנו בספרה מספרים חיוביים •

05123561 Digital Logic Systems

20. 2 Lecture

Itzik Alfy

bbbbN mnr 1020

1n

mi

i

rbi בבסיס : 10ערכו יהיה

יסומנו בספרה שמאלית מספרים שליליים ויסומנו ב (r-1)בערך של

שיטות יצוג:

.1Sign Magnitude

.2 ( r-1’)s complement1’s Complement )עבור מקרה בינרי(

.3r‘s complement2’s Complement)עבור מקרה בינרי(

05123561 Digital Logic Systems

21. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

Nr

Sign Magnitude

05123561 Digital Logic Systems

22. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

bbbbN mnr

r

102)1(

bbbbN mnr 1020 עבור המספר החיובי :

המספר השלילי ייוצג באופן הבא:

05123561 Digital Logic Systems

23. 2 Lecture

Itzik Alfy

:דוגמאות

ייצוג מספרים בעלי סימן

SM

N9

SM

N2

Sign Magnitude

347.080210

N

01010112

N

(r-1’)s Complement

05123561 Digital Logic Systems

24. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

bbbbbbbN iimnnr

r

11021

bbbbN mnr 1020

עבור המספר החיובי :

המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:

מתקיים:

NrrN r

mn

r

NN rr

05123561 Digital Logic Systems

25. 2 Lecture

Itzik Alfy

:דוגמאות

ייצוג מספרים בעלי סימן

sC

N'9

sC

N'1

(r-1’)s Complement

347.080210

N

01010112

N

r‘s Complement

05123561 Digital Logic Systems

26. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

rN m

r

bbbbN mnr 1020

NrN r

n

r

sC(’r-1)יצוג

עבור המספר החיובי :

המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:

מתקיים: NN rr

05123561 Digital Logic Systems

27. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

:דוגמאות

sC

N'10

sC

N'2

r‘s Complement

347.080210

N

01010112

N

05123561 Digital Logic Systems

28. 2 Lecture

Itzik Alfy

ייצוג מספרים בעלי סימן

אורך מילה סופי

•Sign extension

-r’sCחיבור וחיסור בחיבור

אוחיסור?

r’sCחשב b-ל

חיסור

חיבור

חבר

סימן מביט מגלישה התעלם

05123561 Digital Logic Systems

29. 2 Lecture

Itzik Alfy

s a b

sign(a)=sign(b) ≠sign(s)?

כן

overflow - ל המשלים בשיטת מתקבלת rהתוצאה

s

דוגמאות

+6 0000 0110+13 0000 1101+19 0001 0011

-6+13 0000 1101 +7

+6 0000 0110 -13 -7

-6 -13 -19

05123561 Digital Logic Systems

30. 2 Lecture

Itzik Alfy

-sC’2חיבור וחיסור ב

חיבוראו

חיסור?

חיסור

חיבור

חבר

? סימן מביט גלישה כןלתוצאה 1הוסף

05123561 Digital Logic Systems

31. 2 Lecture

Itzik Alfy

-sC(’r-1)חיבור וחיסור ב

s a b

sign(a)=sign(b) ≠sign(s)?

כן

overflow - ל המשלים בשיטת מתקבלת r-1התוצאה

s

(r-1)’sCחשב b-ל

דוגמאות

+6 0000 0110+13 0000 1101+19 0001 0011

-6+13 0000 1101 +7

+6 0000 0110 -13 -7

-6 -13 -19

05123561 Digital Logic Systems

32. 2 Lecture

Itzik Alfy

-sC’1חיבור וחיסור ב

אורך מילה סופי

Fixed Point

05123561 Digital Logic Systems

33. 2 Lecture

Itzik Alfy

IF

S – Sign bitI – Bits devoted to the integer partF – Bits devoted to the fractional part

ISO/IEC TR 18037:2004 - fixed-point data types for C programming language

S

אורך מילה סופי

Floating Point

05123561 Digital Logic Systems

34. 2 Lecture

Itzik Alfy

IEEE 754-1985 - The IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic

אורך מילה סופי

05123561 Digital Logic Systems

35. 2 Lecture

Itzik Alfy

S " י ע מיוצג הסימן 0או 1ביט

Exponent- ב בטווח sC’2מיוצג חזקות לייצג ניתן עד 128^-2ולכן

מוסיפים. 127^2 החזקה .127לערך

Mantisaלפי ייצוג

אז ורק כזו לצורה יתורגם שונה שלו שהמנטיסה מספר כלה --exponentמחושב ב. מתחילים המספרים שכל לא 1כיון

. ביצוג אותו רושמים

).1(2

xxxx

Floating Point

אורך מילה סופי

05123561 Digital Logic Systems

36. 2 Lecture

Itzik Alfy

: שמורים צירופים

Floating Point

אורך מילה סופי

05123561 Digital Logic Systems

37. 2 Lecture

Itzik Alfy

דוגמא

(10000111)E01100...00M0S x

6127121-E

25.1)01.1(2M

80*25.1 26 x

Floating Point

קודים דצימאליים

05123561 Digital Logic Systems

38. 2 Lecture

Itzik Alfy

עשרונית ספרה כל דצימאלי בקודבאורך בינארי בקוד בנפרד מוצפנת

4

01010111.0010001175.3210 BCD

Binary Coded Decimal - BCD

BCDקוד

05123561 Digital Logic Systems

39. 2 Lecture

Itzik Alfy

קודים דצימאליים

קודים דצימאליים

05123561 Digital Logic Systems

40. 2 Lecture

Itzik Alfy

" הוספת י ע מקודדת ספרה כל.BCDליצוג שלה

משלים " Excess 3קוד הינוהקוד" מילת כלומר עצמי

בבסיס 0החלפת ) 2המשלימה-1ב- -1ו את( 0ב מקודדת

בבסיס המשלימה 10הספרה- ל) (.9השלמה

Excess 3קוד

00113210

Grayקוד

05123561 Digital Logic Systems

41. 2 Lecture

Itzik Alfy

DecimalValue

0123456789

101112131415

GrayCode

0000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

בצופן מספר שונהכלאחת המספר בסיבית מן

שאחריו והמספר שלפניו

Grayתכונות של קוד

צופן לא משקלי )לא מתאים לפעולות אריתמטיות(•

צופן ציקלי )מרחק של סיבית אחת מתקיימת באופן •ציקלי(

(reflected)צופן בינארי משוקף •

אינו יחיד !•

05123561 Digital Logic Systems

42. 2 Lecture

Itzik Alfy

2 באורך Grayקוד

05123561 Digital Logic Systems

43. 2 Lecture

Itzik Alfy

3 באורך Grayקוד

05123561 Digital Logic Systems

44. 2 Lecture

Itzik Alfy

(a)(b)(c) Grayקוד

2באורך

(d)(e) Grayקוד

3באורך

יצוג עשרוני

יצוג בינארי

000 00 00 0 00 0 0 0

111 01 01 0 011 0 0

תוספתשיקוף

11 11 11 1 020 1 0

00 10 10 1 031 1 0

תוספתשיקוף

0 10 1 140 0 1

1 11 1 151 0 1

1 01 0 160 1 1

0 00 0 171 1 1

05123561 Digital Logic Systems

45. 2 Lecture

Itzik Alfy

Grayמעבר מיצוג בינארי לקוד

המבוקש ובקוד Grayנסמן את הספרות בקוד 1.הבינארי הנתון

וביצוג הבינארי. Grayהסיבית השמאלית ביותר שווה בקוד2.

את יתר הסיביות משחזרים בצורה איטרטיבית משמאל לימין:3.-אם הסיבית במקום הiשווה לסיבית שלשמאלה אז , :אחרת

1101 1101 1101 1101יצוג בינארי קוד Gray 1011 101 10 1

:דוגמא

gb ii,

0bi

1bi

bibi 1

05123561 Digital Logic Systems

46. 2 Lecture

Itzik Alfy

בינארי לGrayמעבר מקוד יצוג

הנתון ובקוד הבינארי Grayנסמן את הספרות בקוד 1.המבוקש

וביצוג הבינארי. Grayהסיבית השמאלית ביותר שווה בקוד2.

את יתר הסיביות משחזרים בצורה איטרטיבית משמאל לימין:3.-משמאל לסיבית במקום ה-1אם מספר ה i :זוגי אזי :אחרת

1011 1011 1011 1011יצוג גריי 1 11 110 1101יצוג בינארי

gb ii,

gb ii

'gb ii

:דוגמא

•ASCII

- 7 bit

- ביט שמיני יכול לשמש עבור גילוי שגיאות

05123561 Digital Logic Systems

47. 2 Lecture

Itzik Alfy

Alphanumeric codes

יצוג אותיות, ספרות ותווי בקרה•

•ASCII ,ASCII-8

•EBCDIC )8 bit(

05123561 Digital Logic Systems

48. 2 Lecture

Itzik Alfy

7-ASCII

b6b5b4

b3b2b1b0

000001010011100101110111

0000NULLDLESP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CSCs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB‘7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS'<L\l|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>N^n~1111SIUS/?O_o

קודים לגילוי שגיאות

05123561 Digital Logic Systems

49. 2 Lecture

Itzik Alfy

מקור ביטים

משדר + מקלט

רעש

טיפול בשגיאות

ai

ECC – Error Correcting Codes: Viterbi, Reed–Salomon, Turbo

Error Detecting Codes – Checksum, Parity Checking

לגילוי שגיאות(parity)קוד זוגיות

סיבית זוגיות מתווספת לקבוצת סיביות על •מנת לאפשר גילוי שגיאות:

Even Parityאפשרות א': –" במילה שיהיה זוגי1השלמה לסך כמות ה-"

10101100 -< 0101100

Odd Parityאפשרות ב': -" במילה שיהיה אי-זוגי1השלמה לסך כמות ה-"

00101100 -< 0101100

05123561 Digital Logic Systems

50. 2 Lecture

Itzik Alfy

100 )1 ( 0101אינטרפטציות לצרוף בינארי

05123561 Digital Logic Systems

51. 2 Lecture

Itzik Alfy

95225149)01011001(168102

21)01011001(10

SM Sign magnitude representation

106)01011001(10'1

sC 1’s complement representation

107)01011001(10'2

sC

2’s complement representation

95)01011001(10

BCD

Unsigned binary

BCD representation

NACKASCII

)01011001( ASCII code with Even parity