06 persamaan euler dan bernoulli.pdf
Post on 18-Feb-2016
355 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PERSAMAAN BERNOULLI
Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Pendahuluan
Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan.Pada zat cair mengalir, diperhitungkan kecepatan, arah partikel, kekentalan yang menyebabkan gesekan antar partikel maupun dinding batas. Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari persamaan gerak.Persamaan energi → persamaan Euler untuk 3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli adalahhubungan pendekatan antara tekanan, kecepatan dan elevasi dan berlaku dalam aliran mantap, tak termampatkan dimana gaya geseran netto diabaikan.Persamaan berguna dalam daerah aliran di luar lapis batas (boundary layers), dimana gerak fluida ditentukan efek gabungan gaya tekanan dan gaya berat.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Anggapan:Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalanZat cair homogen, tidak termampatkanAliran kontinu dan sepanjang garis arus(irrotational flow)Kecepatan merataGaya yang bekerja hanya gaya berat dan tekanan.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis aliran
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Penurunan Persamaan Bernoulli
Go to Hydrodynamic Analysis
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
dAdsspp ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
Gaya tekan dari up stream: p.dAdari down stream:
Berat zat cair: W = ρ.g.dA.dsKomponen berat arah s : ρ.g.dA.ds.cosθ
:ρ.g.dAds.∂z/∂sResultan gaya:
szdsdAgdsdA
spF
∂∂
−∂∂
−= .... ρ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Keseimbangan Gaya
Menurut hukum Newton II:F = M.a
Bila v = f(s,t) →
Sehingga pers menjadi:→ pers. Euler
adsdAszdsdAgdsdA
sp ...... ρρ =
∂∂
−∂∂
−
( ) azps
ργ =+∂∂
−
svv
tv
ts
sv
tv
dtdva
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
==
( ) 0. =+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂ zp
ssvv
tv γρ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Dari pers. Euler
Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka
atau → pers. Bernoulli
dimana : H = total head (tinggi tekan total)z = potential head (tinggi tempat)p = pressure head (tinggi tekan)
v2/2g = velocity head (tinggi kecepatan)
( ) 0. =+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂ zp
ssvv
tv γρ
( ) 0. =++ zpdvdv γρ
Czpv =++ γρ 2
21
constHg
vpz ==++2
2
γ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Zat Cair Ideal
Persamaan energi:g
vpzH2
2
++=γ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titik pada garis arus yang sama memenuhi
dimana P/ρ : energi aliran, V2/2 : energi kinetis, dan gz :energi potensial, semua per unit mass.Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataankeseimbangan energi mekanis (mechanical energybalance)Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik Swiss Daniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis pada tahun 1738.
2 21 1 2 2
1 21 22 2P V P Vz zg g g gρ ρ+ + = + +
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus
Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arusuntuk aliran mantap, tak termampatkan:
untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan menjadi:
adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatissebagaimana sama dengan dalam fluida diam
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan adalah:
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi
Persamaan Bernoulli
P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan termodinamika aktual dari fluida.ρV2/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasikenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.ρgz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada bidang referensi yang ditetapkan.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi
Jumlah tekanan statis, dinamis, dan hidrostatisdisebut tekanan total(konstan sepanjang garis arus).Jumlah tekanan statis dan dinamis disebut tekanan stagnasi,
Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari :
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Aplikasi Persamaan Energi
Titik 2 : titik stagnasiDari pers energi didapat: p2 = p1 + ½ ρv1
2
Tekanan dinamis = ½ ρv12
Tekanan stagnasi = p2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tabung Stagnasi
glV
ddl
ppV
pg
Vp
gVzp
gVzp
2
))((2
)(22
22
1
122
1
22
11
22
22
21
11
=
−+=
−=
=+
++=++
γγρ
ρ
γγ
γγ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tabung Stagnasi dalam Pipa
γp
gV2
2
z
Flow
Pipe
0=z
gVzpH2
2++=
γ
1
2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Pipa Pitot-statis
Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari:
Piezometer mengukur tekanan statis.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)
Dari pers energi : p2 = p1 + ½ ρv12
ρgh2 = ρgh1 + ½ ρv12
( )121 2 hhgv −=
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Venturi meter
Total energi titik 1 = total energi titik 2Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran
22
21
21
12
AA
ghAACQ
man
dact −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=ρ
ρ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi dan Garis Tekanan
Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis nenggunakan tinggi.
P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolom fluida yang menghasilkan tekanan statis P.V2/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yang diperlukan untuk fluida mencapai kecepatan V selama jatuh bebas tanpa gesekan.z adalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial dari fluida.H adalah tinggi total.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi dan Garis Tekanan
Garis Tekanan (HGL)
Garis Energy (EGL) (atau tinggi total)
PHGL zgρ
= +
2
2P VEGL zg gρ
= + +
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Zat Cair Riil
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
HGL dan EGL
Untuk benda diam seperti waduk atau danau, EGL dan HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, sepanjang kecepatannya nol dan tekana statis (gage) = nol.EGL selalu berjarak V2/2g di atasHGL. Dalam idealized Bernoulli-type flow, EGL horisontal dan tingginya tetap konstan. Ini juga untuk HGL bila kecepatan aliran konstan.Untuk aliran saluran terbuka (open-channel flow), HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, dan EGL berjarak V2/2g di atas permukaan bebas.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
HGL dan EGL
Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titik dimana HGL memotong fluida.Tekanan dalam bagian aliran yang terletak di atas HGL negatif, dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGL positif.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Kecepatan aliran dalam pipa = 0
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Aliran zat cair ideal
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Aliran zat cair riil
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Contoh Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m.Hitung : Tekanan di A.Penyelesaian : persamaan Bernoulli
kPapg
Vhp
gVp
gh
gVzp
gVzp
A
AA
AA
AA
A
2.129
)81.9
1815(9810)2
(
20
200
22
2
2
221
11
=
−=−=
++=++
++=++
γ
γγ
γγ
titik 1
Titik A
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Contoh Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ftHitung: VA
Penyelesaian: persamaan Bernoulli
Point A
Point 1
sftghV
gV
gh
gVzp
gVzp
A
A
AA
A
/162
200
200
222
221
11
=
=
++=++
++=++
γγ
γγ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Contoh – Tabung VenturiDiketahui: air 20oC, V1=2 m/s, p1=50 kPa, D=6 cm, d=3 cmHitung : p2 dan p3
Penyelesaian : persamaan kontinuitas.
Persamaan Bernoulli
2
12
112
2211
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=
dDV
AAVV
AVAVD Dd
1
2
3
( )
( )
kPap
Pa
VdDp
VVpp
gVzp
gVzp
120
2]3/61[2
1000000,150
]/1[2
)(2
22
2
24
21
41
22
2112
22
22
21
11
=
−+=
−+=
−+=
++=++
ρ
ργγ
kPap 1503
Nozzle: kecepatan meningkat, tekanan turun
Diffuser: kecepatanturun, tekanan meningkat
Sama halnya untuk 2 3, atau 1 3
=
Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap tidak ada kehilangan karena gesekan
( ) ]/1[)(24
212 Dd
ppV−
−=
ρTahu penurunan tekanan 1 2 dan d/D, dapat dihitung kecepatan dan debit
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Analisis Energi Aliran Mantap
Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak ada peralatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi:
Faktor koreksi energi kinetis, αMenggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaan dapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energi kinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis,digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan mengganti term energi kinetis V2/2 dalam persamaan energi dengan αVavg
2 /2.
2 21 1 2 2
1 21 22 2P V P Vz zg g g gρ ρ+ + = + +
α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk aliran turbulen dalam pipe bulat.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Faktor Koreksi Energi Kinetik
Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetik v2/2gKenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energi kinetik rata-rata α.v2/2gDimana α = koefisien Coriolis
= koreksi energi kinetik
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Analisis Energi Aliran Mantap
α sering diabaikan, sepanjang mendekati 1 untuk aliran turbulen dan kontribusi energi kinetis kecil.persamaan energi untuk aliran mantap, tak termampatkan, menjadi
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Harga Faktor Koreksi α
Harga faktor koreksi
Harga α tegantung distribusi kecepatanAliran dalam pipa : laminer α = 2
turbulen α = 1,01 – 1,15Setelah dikoreksi persamaan energi menjadi :
∫=A
dAvAv
33
1α
gvpz
gvpz
22
22
22
2
21
11
1 αγ
αγ
++=++
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
top related