07_momentumsudut_2 [compatibility mode] (1)
Post on 04-Sep-2015
228 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Momentum Sudut (Bagian 2)
-
Pengenalan KonsepRotasi dalam Mekanika Kuantum:
1. Sistem Koordinat Bola2. Harmonia Sferis (Spherical Harmonics)3. Momentum Sudut Orbital4. Momentum Sudut Intrinsik (Spin)
-
22 2m
V2m
=H22
2
2
2
2
2
22
zyx
dimensi-tiga dalam er SchrdingPersamaanTinjau partikel yang bergerak di permukaan bola dengan radius r. Hamiltonian diberikan oleh:
karena energi potensial uniformdi permukaan bola dan dapatdiambil sama dengan nol.
Laplacian:
Harus dipecahkan:E
2m
2
2
-
:)(),( zy,x, ganti sebagair, gunakan Kita
2r rL
rrrr 22
2
22
,222
21
2
2
22
2
2
2
22
sin1cot
sinsin
1sin
1
dd
dd
dd =
dd
dd
dd L
2
2
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
),(r,E),(r,V(r)),(r,2m
2
2Harus dipecahkan:
dengan:
-
),,(),,(),,(),,(2),,(
2 222
2
22
rErV
rrL
rr
rrr
m
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Separasi variabel: (r,,)= R(r)Y(,), maka:
Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:
),()(),()(),()(),((2),((
2 222
2
22
YrERYrVR
rYrRL
rr)YR
rrYr)R
m
YERVRYrYLR
rR
rY
rRY
m
22
2
2
22 22
EVrYL
YrR
rRrR
Rm
22
2
2
22 12112
-
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Kalikan dengan -2mr2/2, maka dapat dipisahkan menjadi:
yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah.Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(,) = ()(), dan kita ambil:
01)(2211 2
2
2
2
2
2
YL
YEVmr
rR
rRrR
R
d
ddd
dd L 2 sin
sin1
sin1
2
2
22
)1(1dan )1()(2211 2
2
2
2
2
2
llYLY
llEVmrrR
rRrR
R
-
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Memberikan:
dan:
Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:
2
2
2
sin)1(sinsin YlldYd
dd
dYd
2
2
2
sin)1(sinsin
lldd
dd
dd
2
2
2
sin)1(sinsin11
lld
ddd
dd
2
2
2
sin)1(sinsin11
lld
ddd
dd
-
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Memberikan:
Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi:
2222
2
sin)1(sinsin11 ll mlldd
dd dan m
dd
0sin)1(sinsin 22 lmlldddd
-
solusibentuk Bagaimana ?),(
),(),(2 E2ma = L 2
.
),(2L untuk eigen fungsi
merupakan juga H untuk untuk eigen fungsi Jadi
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
),(2
),(2
2
EmaLPersamaan:
Kita tuliskan dengan:
-
),(2),(sin
1cot 222
22
2
Emad
ddd
dd2
),(),(2 E2ma = L 2bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Persamaan diferensial:
Sebenarnya merupakan persamaan untuk dan yang padadasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapatdisertakan dalam komponen radial r.
-
Bagian telah dipecahkan, dan bagian merupakanpersamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusianalitik. Solusi untuk bagian dan dinamakan sebagaiharmonia sferis (Yl,m), dituliskan:
ml,ml,z
ml,ml,
|m|lml,
YmYL YllYL
imPmlml
+l)=(Y)=(
2
)1(
]exp[)(cos!|)!|(!|)!|(
412,,
2
dengan Pl|m| adalah polinom Legendre
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
-
),(),(
11011
lmlmzz
mL
madalahLuntuk mungkin yang eigen nilai dan
,l,...,l-,,,...,-- l, -l+ :nilai 1+2l mengambil dapat m nilai ,l nilai suatu Untuk
]exp[cos!
)!4
12 im)( P|m!|)(l|m!|(l
l+(((,(,)=Y |m|ll,m
),()1(),()1(
2
2
lmlm22
llL
lladalah L untuk mungkin yang eigen nilai dan ..0,1,2,3,4.=l:bernilai dapat l
-
If (,) = Ylm(,)Ema 2 = ll
EYmaYllYL
:Jadi Y= E2ma = L
2
lm2
lmlm
lm2
)1(atau
),(2),()1(),(
),(),();,(),(
2
22
2
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Bagaimana dengan E?
2ma= I ; Ill =
mall = E
2)1(
2)1( 2
2
2 Sehingga:
-
Dalam mekanika kuantum, sebuah operator yangmerepresentasikan suatu konstanta gerak akankomut dengan hamiltonian, yaitu:
[,] = 0
yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsieigen yang berlaku untuk kedua operator dan .
Catatan:
-
mz2
Y bersama eigen fungsi memiliki bola permukaan pada bergerak yang
partikel untuk L dan L ,H
l
),(Y)l(l=),(YL m2
lm2 l1
),(Ym=),(YL lmlmz
),(2
1),(2
lmlm YI)l(lHY
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
-
lm
z2
Y (common) bersama eigen fungsi memilikibola sebuahpada bergerak yang partikel untuk L dan L ,H
0] 2z2z L ,L[ karena ionseigenfunct common memiliki L dan L2
2
21 L
ma=H Tetapi
0][][ 2z L,H =L,H :bahwa nditunjukka dapat Danionseigenfunct common memiliki L dan L ,H sehingga 2z
saat setiap2I
(L=
(L (L :hasil memberikan akan L L pengukuran
oleh diuraikan yang keadaan suatu Untuk
2z
2
2z
obs2
obs
obs2
obs
ml
)I2
)1l(l)E(
m));1l(l)
,
),,(Y
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
-
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
0;0)(41
0
2
obszobs
o,o
)(LL
Y
0=mada hanyal=Untuk
;
bola pada uniform adalahYNilai oo
0l 0m er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
-
1l 1,0,1m
2,-
2,
2,
obsobszlm
2 - iY -
2 iY
2 Y
) (L) (L Y l m
1]exp[sin8311
1]exp[sin8311
0cos4301
11
11
01
2
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
-
i sin43
cos 43 0
41 0
Y m l lm
]exp[11
1
0
),(
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
-
i sin3215
isincos 815 1
(3cos 16
5 0
Y m l
2
2
lm
]2exp[22
][2
)12
),(
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
-
i sin6435
i sin32105
i(5cos 6421 1
(5cos 16
7 0
Y m l
3
2
2
3
lm
]2exp[33
]2exp[cos23
][sin)13
)cos33
),(
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
-
LL z
L z
|L| =
LL
L z =
L z = -
= 0
2
,,Lyaitu tersebut, kasus ketiga untuk
berlainan yang orientasi mengalamiLTetapi
|L|= adalah
tersebut kasus ketiga untukLdari|L| Panjang
Ldengan keadaan tiga Terdapat
z 0
2
222
obszobs
z
L)(Lmemberikan,m=l=untuk :contoh
samayang nilai memberikanselalu LdanLpengukuran keadaan, setiapUntuk
)(;211
22
2
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
m)(LdanL;,,m=-didapatl=Untuk obszobs 22 2)(1011
-
LL z
L z
|L| =
LL
L z =
L z = -
= 0
2
m)(LdanL;,,m=-didapatl=Untuk obszobs 22 2)(1011
,,- anmenghasilk dapatLatauL pengukuran tetapi Akan
=)-(L)(L)L(L
Maka?LatauLdengan Bagaimana
yx
obszobsobsyx
yx
0
2 2222222
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
-
?pengukuran setiapbagi LdanLuntuk mungkin yang nilai berapa dan pengukuran
banyak dari rata-rata nilai tasikanmerepresen yang
-
i
Y
i
Y
) (
Y
) (L) (L Y m l
,
,
,
obsobszlm
2222
212
202
2
62]2exp[sin321522
61]exp[cossin81512
601cos381502
2l Untuk 2,1,0,1,2 m
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
-
|L| = 6
L
Lz
Lz
= 0LL
Lz =2
Lz = -
L z =
2L z = -
22 6210122 L,,,,-m=-didapatl=Untuk
202
6
622
,,,,L beda-berbeda siberorientaL Tetapi
|L|=adalah kasus tiga diLdari |L| Panjang
L dengan keadaan 5 Terdapat
z
z
z2
L;
-
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
(a) Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z. Tetapi, karena sudut azimut mengelilingi sumbu-z tak menentu, gambaran (b) lebih tepat, dengan setiap vektor terletak pada sudut azimut sebarang pada kerucut.
-
)1( ll=),(YL 2lm2
m=),(YL lmz
),()1(),( 22
lmlm YmallHY
samayangenergi
berlainan yang orientasi
-
Elektron Spin
berkas dua menjadihomogen tak magnet medan dalam membelahAg) atom-(atom elektron berkas bahwa
1921 tahun pada menemukan Gerlach dan Stern
elektron dari (spin) intrinsik sudutmomentum keberadaan
sebagaitersebut fenomena siinterpretamemberikan Uhlenbeck dan Goudschmit
-
spin elektron (s = 1/2) hanya dapat memiliki dua orientasi terhadap sumbu tertentu.
Elektron (atas) adalah elektron dengan ms = +1/2;
Elektron (bawah) adalah elektron dengan ms = - 1/2.
S
S
:adalah spin sudutmomentum Panjang
21 sl
21 smm
23|| 1)+
21(
21= 1)+s(s= S
Elektron Spin
top related