07.nociones de probabilidad

NOCIONES DE PROBABILIDAD

Tema

77

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OBJETIVOS

1. Aplicar los conceptos de experimento, espacio muestral y evento.

2. Discutir los principios para asignar probabilidad.

3. Utilizar las reglas de probabilidad para plantear y resolver un problema real.

Al finalizar el Tema 7, el participante será capaz de:

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1. Importancia de las probabilidades2. Conceptos básicos3. Probabilidad4. Reglas de Probabilidad

3.1 Regla de la Adición3.2 Regla de la Multiplicación3.3 Teorema de Bayes

CONTENIDO

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7.1 Importancia de las Probabilidades

Las probabilidades están presentes en nuestras vidas más a menudo de que podríamos sospechar. Todos tenemos una gran intuición probabilística.

Por ejemplo, en días lluviosos, fríos y con mucha humedad es alta la probabilidad de coger un resfrío. Si ingerimos alimentos en lugares poco higiénicos, en ambulantes es muy probable que contraigamos una infección estomacal.

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¿Cómo es la probabilidad de ganar el premio mayor en Tinka?. Muy baja, pues hay muchas alternativas en juego. Pero aún sabiendo esto, compramos uno que otro número. La decisión creo yo que es racional.

Si escuchamos una predicción de 80% que lluvia, y Ud. tiene planeado un paseo al campo con la familia. ¿Qué hace?. Lo mas racional es que cancele su paseo y se quede en su casa viendo en video.

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7.2 Conceptos básicos

(A) Experimento: Ejecución voluntaria de un fenómeno.Se caracteriza por:

a) Tener varios resultados posiblesb) Existir incertidumbre sobre el resultado

Ejemplos:Lanzar una monedaSeleccionar de un lote un frasco de medicamentosExtraer una muestra de sangre a una persona

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(B) Espacio Muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se simboliza por (omega).

Ejemplos: Lanzar una moneda

= {cara, sello}

Seleccionar de un lote, un frasco de medicamentos.

={adecuado, inadecuado}

Extraer una muestra de sangre a una persona.

= {grupo sanguíneo}

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Ejemplo:

Se lanzan tres monedas simultáneamente. Los ochos resultados posibles de este experimento pueden detallarse de manera conveniente mediante un diagrama de árbol: Primera Segunda Tercera Resultado Moneda Moneda Moneda Posible

={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}

CCCCCSCSCCSSSCCSCSSSCSSS

CSCSCSCS

C

S

C

S

C

S

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(C) Suceso: subconjunto del espacio muestral, seleccionado de acuerdo a una condición. Se representan por letras latinas mayúsculas.

Ejemplo:Se lanzan dos dados. El espacio muestral de

este experimento es:= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

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Podemos considerar los siguientes sucesos:

A: la suma de puntajes es 7, es decir

A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}

B: la suma de puntajes es 11, es decir

B={(5,6) (6,5)}

C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decir

C={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)}

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7.3 Probabilidad

(A) Concepto: Ponderación asignada a cada punto muestral que mide la verosimilitud de su ocurrencia.

(B) Principios para asignar probabilidad:

a) La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1

b) La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales deben ser iguales a 1.

0 0,5 1

Tan probable

como improbableImprobable Probable

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1. Se lanza una moneda

={cara, sello}

P(cara) = 0,5 P(sello) = 0,5

Ejemplos:

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2. Se lanzan 3 monedas

= {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

1/8 1/8 1/8 1/8 /8 1/8 1/8 1/8

A: obtener exactamente 2 caras

A = {CCS, CSC, SCC}

1/8 + 1/8 + 1/8

P(A) = 3/8

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(C) Conclusiones: De acuerdo a la definición de probabilidad de un suceso, y a los dos principios, tenemos las siguientes conclusiones:

(1º) P() = 1

(2º) P( ) = 0

(3º) P(A´) = 1 - P(A)

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1.Un investigador trabaja con un nuevo fármaco para insensibilizar a los pacientes frente a picaduras de abejas. De 200 sujetos sometidos a prueba, 180 presentaron una disminución en la gravedad de los síntomas tras sufrir una picadura, después de ser sometidos al tratamiento.

2.Un paciente sufre de cálculos renales, y no se ha conseguido mejora alguna a partir de métodos ordinarios. Su medico ésta planteándose el llevar a cabo una intervención quirúrgica y debe responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la operación sea un éxito?.

PROBABILIDADES - EJEMPLOS

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PROBABILIDAD DEL PUNTO ESTADISTICO

... Quien emplea la estadística aplicada prefiere pensar en la probabilidad como el numero de veces en las que se presentará determinada situación si una experiencia fuera repetida indefinidamente en situaciones de naturaleza repetitiva o que pudiera concebirse de esa manera ...

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7.4 Reglas de probabilidad

7.4.1 Regla de la Adición

(A B)

U

BA

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B)

U

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Un cliente ingresa a una farmacia. La probabilidad de que compre (a) un antibiótico es 0,60 (b) analgésico 0,50, y c) antibiótico y analgésico es 0,30 ¿Cuál es la probabilidad de que compre un antibiótico, analgésico o ambos?.DatosP(P) = 0,60P(L) = 0,50P = 0,30(P L)

U

P(PUL) = P(P) + P(L) -P(PUL) = 0,60 + 0,50 - 0,30P(PUL) = 0,80

(P L)

U Ejemplo:

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Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes

A B

Si :Por lo tanto :

(A B) =

U

P(A B) = 0

U Regla de adición para sucesos mutuamente excluyentes

P(AUB) = P(A) + P(B)

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Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as o un rey?

P(AUR) = P(A) + P(R)

= 4

52

= 8

52

4

52

52

4 =P(R)

52

4 =P(A)

Ejemplo:

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Ejemplo 1: Se dispone de 11 historias clínicas, pertenecientes a pacientes masculinos y femeninos agrupados por su nivel de hemoglobina.

118

=P(A)

7.4.2 Probabilidad Condicional

M F  

Estado (Masculino) (Blanca) Total

A (Anémico) 5 3 8

N (Normal) 1 2 3

Total 6 5 11

Sexo

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una historia perteneciente a un paciente anémico?

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b)¿Cuál es la probabilidad de extraer una historia correspondiente a un paciente anémico y que sea mujer?

c) Dado que la historia corresponde a un paciente anémico, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?

113

=F)P(A

83

=AFP )(

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Derivación de la fórmula:

118

113

=AFP )(

83

=AFP )(

P(A)B)P(F

=AFP )(

comprobando:

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Ejemplo 2

Se recolectó información sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo. Los datos se presentan a continuación:

CONDICIÓN PESO R.N.TOTAL

DE FUMADORA BAJO NORMAL

SI 30 10 40

NO 20 140 160

TOTAL 50 150 200

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A. ¿Cuál es la probabilidad que el recién nacido tenga bajo peso?

B. ¿Cuál es la probabilidad que una gestante fume?

C. ¿Cuál es la probabilidad que el niño seleccionado tenga un peso normal?

25,020050

)bajo(P

20,020040

)si(P

75,0200150

)normal(P

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D. ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido tenga bajo peso o sea normal?Como son mutuamente excluyentes:

E. ¿Cuál es la probabilidad de que el recién nacido tenga bajo peso o la madre haya fumado durante el embarazo?

)normal(P)bajo(P)lbajoónorma(P 1

200150

20050

)bajoysi(P)si(P)bajo(P)bajoósi(P

30,020060

20030

20040

20050

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La probabilidad de que el personal administrativo que labora en una clínica local, llegue tarde el día lunes es 0,50 y la probabilidad de que llegue retrasado los días lunes y martes es 0,20. Dado que cierto trabajador llegó tarde el día lunes, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde el día siguiente?.

0,50 = )P(TL

0,20 = )TP(T ML )P(T

)TP(T = T

TPL

LM

L

M )(

0,40 = 0,50

0,20 =

Aplicación:

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A partir de

A)(P

B)A(PA

BP )(

Se despeja

)( ABPA)(P)BA(P

7.4.3 Regla de la Multiplicación

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Se sabe que en un lote de medicamentos de 50 frascos, hay 4 que no están adecuadamente empacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2 frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?.

49

3D

DP

50

4)D(P

)(1

2

1

2450

12

49

3

50

4 =

DDP)D(P)DD(P )(

1

2121

Aplicación:

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En una población de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegido aleatoriamente tenga problemas cardiacos es 0,35. La probabilidad de que un paciente con problemas cardiacos sea un fumador es de 0,86. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la población sea fumador y tenga problemas cardiacos?.

Ejercicio

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Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro; esto significa que, independientemente de que A haya ocurrido o no, la probabilidad asignada a B es siempre la misma.

)B(AB )( PP

Entonces,

)B(A)()BA( PPP

Regla de la multiplicación para sucesos independientes.

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¿Cuál es la probabilidad de que en una familia con dos hijos, ambos sean varones?

5,0)V(

5,0)V(

2

1

P

P

25,0)VV(

(0,5) (0,5)

)V()V()VV(

21

2121

P

=

PPP

Ejemplo:

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Ejemplo 1:

La Compañía de Seguros JL ha desarrollado un novedoso seguro médico familiar. De acuerdo con una investigación hecha en el mercado, la probabilidad de que el producto tenga éxito es 0,80 si una compañía competidora no introduce un plan similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la empresa competidora lanza al mercado un seguro similar. Además, la compañía JL estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora comercialice el producto.

7.4.4 El teorema de Bayes

Consiste en una partición de la probabilidad total.

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Solución: P(C) = probabilidad de que la compañía

competidora comercialice el producto,P(C´) = probabilidad de que la compañía

competidora no comercialice el producto,

P(E) = probabilidad de que el plan de seguro familiar de la compañía JL tenga éxito.

Dado que el producto de la Compañía JL tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya comercializado su novedoso plan de seguro?

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P(E/C) = 0,30

P(E/C´) = 0,80

P(C) = 0,40

P(C´) = 0,60

0,12=0,300,40=E)C(P

0,48=0,800,60=E)C(P '

P. Marginal

0,60=E)(PP. Total

P. Condicional P. Conjunta

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Luego, de acuerdo con el Teorema de Bayes

20.060.0

12.0

48.012.0

12.0

E)C(+E)C(

E)C(=E

C'

)(

PP

PP

La probabilidad que la compañía de seguros haya participado en el mercado, dado que JL tuvo éxito es de 0,20.

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El Director de la Clínica Santa Teresa está considerando comprar un lote de 10000 equipos de venoclisis de un proveedor nacional. El fabricante de estos equipos estima la proporción de equipos defectuosas en el lote, en la siguiente forma.

Proporción de piezas defectuosas ()

1 = 0,10

2 = 0,15

3 = 0,25

Probabilidad P()

P(1) = 0,20

P(2) = 0,30

P(3) = 0,50

Ejemplo 2:

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Esto significa que el proveedor no está seguro acerca de la proporción de equipos defectuosos en el lote, sin embargo, basándose en experiencias anteriores, cree que hay una probabilidad de 0,20 de que el lote tenga 10% de piezas defectuosas, una probabilidad de 0,30 de que tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de que tenga 25% de piezas defectuosas. Supongamos que elige un equipo de venoclisis al azar en el lote:

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A) ¿Cuál es la probabilidad de qué esta sea defectuosa?B) Dado que el equipo resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el lote tenga 25% de piezas defectuosas?

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P. Marginal P. Condicional P. Conjunta

P( 1) =

0,2

0

P(3 ) = 0,50

0,1900=D)(P

0,0200=0,100,20=D)(P 1

P(D/3)= 0,25

P(D/2)= 0,15

P(D/1)= 0,10

P(2) = 0,300,045=0,150,30=D)(P 2

0,1250=0,250,50=D)(P 3 3=0,25

2=0,15

1=0,10

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Hay tres maneras posibles de obtener un equipo defectuosa del lote. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una pieza defectuosa, cualquiera que se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25 es:

)(P)(P)(P)( 321 DDDDP

19,0

1250,00450,00200,0

Respuesta A:

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Respuesta B:

De acuerdo con el Teorema de Bayes, la probabilidad de que el lote contenga 25% de piezas defectuosas, dado que la pieza elegida es defectuosa, es:

6579.01900.0

1250.0

)(P

)(P)/(P 3

3 D

DD

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Ejercicio

Un médico ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a 200 pacientes enfermos del corazón de la manera siguiente: 50 pacientes tomarán el medicamento A,otros 50 tomarán el medicamento B y los otros 100 restantes tomarán ambos medicamentos

El medicamento A reduce la probabilidad de un infarto en 0,35 , el medicamento B reduce la probabilidad de un infarto en 0,20 y los dos medicamentos, cuando se les toma juntos, actúan de manera independiente.

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Los 200 pacientes fueron escogidos entre los que tenían 0,80 de probabilidad de sufrir un infarto. Si un paciente elegido al azar sufre un infarto, ¿cuál es la probabilidad de que haya tomado ambos medicamentos?