09b07006 fitriani nur
Post on 24-Jul-2015
95 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Limit merupakan cabang matematika yang disebut matematika analisis. Limit juga
merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus, diferensial dan integral. Oleh karena itu
materi tentang limit memerlukan pemahaman matematis.
Berdasarkan catatan sejarah, analisis bermula di abad ke-17 yang ditandai dengan
ditemukannya kalkulus oleh Newton dan Leibniz. Pada abad ke-17 dan abad ke-18 topik-
topik analisis seperti kalkulus dan diferensial berkembang pesat untuk bidang terapan.
Kemudian pada abad ke-19 Cauchy adalah matematikawan pertama yang meletakkan
landasan logis kalkulus dengan memperkenalkan barisan Cauchy. Pada abad pertengan ke-
19 Rieman memperkenalkan teorinya yaitu kalkulus Integral. Pada akhir abad ke-19
tersebut, Weierstrass memperkenalkan definisi limit. Namun demikian notasi limit yang
digunakan sampai saat ini adalah notasi yang diperkenalkan oleh Cauchy.
Matematikawan cenderung bersikap skeptic. Jika seseorang berkata kepada
matematikawan bahwa sesuatu adalah benar, kemungkinan tanggapan yang akan diperoleh
adalah buktikan. Tetapi untuk membuktikan sesuatu haruslah memahami makna kata yang
digunakan sejelas-jelasnya. Terutama yang menyangkut kata limit, karena keseluruhan
kalkulus bertumpu pada makna dari kata tersebut.
Berdasarkan uraian tersebut, makalah ini akan membahas tentang konsep limit di
perguruan tinggi dan beberapa topik tentang limit, konsep limit di SMA.
B. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan makalah ini adalah mendeskripsikan konsep limit di Perguruan Tinggi
dan di SMA (Sekolah Menengah Atas).
C. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan makalah ini adalah diperolehnya pengetahuan
tentang konsep limit.
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 62
Definisi limit secara formal
Definisi limit-limit sepihak
Definisi limit tak hingga dan limit pada tak hingga
Limit fungsi aljabar
Teorema limit
Teorema limit utama
Teorema subtitusi
Teorema apit
Limit
Definisi limit
Definisi limit secara intuitif
Limit fungsi trigonometri
Limit di satu titik
Kekontinuan fungsi
Limit fungsi aljabarKekontinuan pada titik tertentu
Kekontinuan pada suatu interval
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
PEMBAHASAN
Pada dasarnya limit merupakan konsep dasar dari operasi hitung diferensial
(turunan fungsi), yaitu operasi yang menunjukkan laju perubahan pada suatu saat atau titik
tertentu. Sebagai contoh, kita tidak dapat menentukan besar perubahan volume air yang
tertuang ke dalam gelas tepat pada waktu tertentu. Namun, dengan penerapan konsep limit,
kita dapat menentukannya melalui nilai pendekatannya. Oleh karena itu, konsep limit sangat
perlu untuk dipahami. Berikut ini akan digambarkan peta konsep limit diberbagai jenjang
pendidikan:
Keterangan:
: topik pembahasan limit di perguruan tinggi
: topik pembahasan limit di perguruan tinggi dan di SMA
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 63
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
A. Konsep Limit pada Perguruan Tinggi
Tujuan mempelajari limit pada perguruan tinggi antara lain: 1) menjelaskan
konsep-konsep tentang fungsi, limit, turunan dan mampu dalam penerapannya sebagai
dasar untuk mempelajari mata kuliah lainnya, 2) Mahasiswa dapar memahami secara
mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan teorema-teorema serta mampu
menga-plikasikannya dalam menyelesaikan soal, 3) Mahasiswa dapat membuktikan limit
suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan kriteria - atau kriteria barisan.
1. Definisi Limit
Definisi Limit yang dimaksud sebagaimana dituliskan dalam buku Kalkulus
Jilid I oleh Purcell, Varberg, dan Rigdon (2003:70) yang diterjemahkan oleh I Nyoman
Susila adalah:
limx→c
f ( x )=L berarti bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan (betapapun
kecilnya), terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga |f(x) – L| < asalkan bahwa 0 < |x – c| < , yakni 0 < |x – c| < |f(x) – L| < . (Purcell, dkk., 2003:70).
Harus ditekankan bahwa pertama-tama diberikan bilangan , bilangan harus
dihasilkan dan bersesuaian dengan . Untuk memahami definisi diatas, perhatikan
tafsiran geometri berikut:
Contoh 1:
Buktikan bahwa limx→4
(3 x−7)=5
Bukti:
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 64
Gambar 1
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Secara intuitiflimx→4
(3 x−7)=5 dapat dibuktikan dengan mensubtitusi nilai-nilai yang
mendekati 3. Perhatikan table berikut:
X f(x) x f(x)
3 2 5 8
3.5 3.5 4.5 6.5
3.9 4.7 4.1 5.3
3.999 4,997 4.001 5,003
↓ ↓ ↓ ↓
4 5 4 5
Dari table di atas diperoleh bahwa limx→4
(3 x−7)=5
Secara fakultatif limx→4
(3 x−7)=5, dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit.
Analisis pendahuluan
Andaikan > 0 sebarang, diperoleh suatu > 0 sedemikian sehingga
0<|x−4|<δ →|(3 x−7 )−5|<ε
Pada ketaksamaan disebelah kanan |(3 x−7 )−5|<ε↔|3 x−12|<ε
↔|3 ( x−4 )|<ε
↔|3||( x−4 )|<ε
↔|(x−4)|< ε3
Jadi kita peroleh δ=ε3
.
Bukti resmi
Andaikan diberikan > 0. Pilih δ=ε3
. Maka 0<|x−4|<δ mengimplikasikan
|(3 x−7 )−5|=|3 x−12|¿|3 ( x−4 )|¿3|x−4|¿3δ
¿
Sehingga terbukti limx→4
(3 x−7)=5 .
Teorema Limit Utama
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g
adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di a. maka :
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 65
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
1. limx→a
k=k
2. limx→a
x=a
3. limx→a
kf ( x )=k limx→a
f (x )
4. limx→a
[ f ( x )± g(x )]=[limx→af ( x ) ]± [ limx→a
g (x ) ]5. lim
x→a[ f ( x )g( x)]=[limx→a
f ( x ) ] [limx→ag ( x ) ]
6. limx→a
f (x)g(x )
=[ limx→a
f ( x ) ][ limx→a
g (x ) ], limx→a
g ( x )≠0
7. limx→a
[ f (x )]n=¿ [ limx→af (x) ]n ¿
8. limx→a
n√ f (x )=n√ limx→a
f (x ) , limx→a
f ( x )>0, jika n genap
Contoh 2:
Carilah limx→ 4
(3 x2−2x )
Penyelesaian:
limx→ 4
(3 x2−2x )=limx→ 4
3 x2−limx→ 4
2x
¿3 limx→ 4
x2−2 limx→ 4
x
¿3¿¿¿
¿3 (4 )2−2 (4 )
¿40
Teorema Apit
Andaikan f,g,dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f (x)≤g (x)≤h(x) untuk
semua x dekat c, kecuali mungkin di c. jika limx→c
f ( x )=limx→c
h ( x )=L maka limx→c
g ( x )=L.
Contoh 3:
Telah diketahui bahwa 1−16≤sin xx
≤1, untuk semua bilangan x yang dekat
dengan 0, apa yang bisa disimpulkan?
Penyelesaian:
Andaikan f ( x )=1−16
, g ( x )= sin xx
dan h ( x )=1,
limx→0
f ( x )=1=¿ limx→0
h ( x )
Sehingga menurut teorema Apit nilai limx→0
sin xx
=1
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 66
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
2. Limit melibatkan fungsi trigonometri
Teorema A Limit Fungsi Trigonometri
Untuk setiap bilangan real c dalam daerah asal fungsi
1. limt →c
sin t=sin c
2. limt →c
cos t=cos c
3. limt →c
tan t=tan c
4. limt →c
cot t=cot c
5. limt →c
sec t=sec c
6. limt →c
csc t=csc c
Bukti Teorema A1
Pertama kita menetapkan kasus dimana c = 0. Anggap bahwa t > 0 dan misalkan titik
A, B, dan P didefinisikan pada gambar 1. Kemudian
o<|BP|<|AP|<arc (AP)
Tetapi |BP|= sin t dan arc AP =t, sehingga
0<sin t<t
Jika t < o, maka t < sin t < t <0. Kita dapat menggunakan teorema apit (Teorema
2.6C) dan menyimpulkan bahwa limt →0
sin t=0. Untuk melengkapi bukti, kita juga akan
memerlukan hasil bahwa limt →0
t=1. Ini mengikuti dengan penggunaan kesamaan
trigonometri dan teorema A:
limt →0
cos t=limt →0
√1−sin2 t=√1−( limt→ 0sin t )2=√1−02=1
Sekarang untuk menunjukan bahwa limt →c
sin t=sin c, pertama kita anggap h=t−c
sehingga h →0 sebagaimana t→c. kemudian
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 67
Gambar 2
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
limt →c
sin t = limh→0
sin(c+h)
= limh→ 0
¿¿ (Kesamaan Tambahan)
= ¿
= ¿
¿ sin c
Bukti Teorema A2
Kita menggunakan kesamaan lain bersama dengan Teorema 2.6A. jika cos c
> 0, maka untuk t di dekat c kita memiliki cos t=√1−sin2t . Maka,
limt →c
sin t=limt→c
√1−sin2t=√1−( limt→csin t )2=√1−sin2 c=cosc
Di sisi lain, jika cos c < 0, maka untuk t dekat c kita memiliki cos t=√1−sin2t . Dalam kasus ini,
limt →c
cos t = limt →c
(−√1−sin2t ¿)=−√1−(limt →csin t )2=−√1−sin2 c¿
= −√cos2c=−|cosc|=coscBentuk c = 0 telah dijelaskan pada bukti pernyataan 1.
Teorema A1 dapat digunakan bersama dengan Teorema A2 untuk buktikan
Teorema A lainnya.
Contoh 4:
Tentukanlah limt →0
t 2cos tt+1
Penyelesaian:
limt →0
t 2cos tt+1
=(limt→0
t 2
t+1 )¿Dua limit penting yang tidak dapat dibuktikan dengan subtitusi adalah
limt →0
sin tt
dan limt →0
1−cos tt
Selanjutnya akan kita buktikan nilai limit pada teorema berikutnya.
Teorema B Limit-limit trigonometri khusus
1. limt →0
sin tt
=1
2. limt →0
1−cos tt
=0
Bukti Teorema B1
Dalam bukti teorema A dari makalah ini, kita menunjukkan bahwa
limt →0
cos t=1dan limt →0
sin t=0
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 68
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Untuk −π2
≤ t ≤π2
, t ≠0 (ingat, tidak penting apa yang terjadi pada t = 0), gambarlah
garis vertical segmen BP dan busur lingkaran BC, seperti yang ditunjukkan dalam
Gambar 2. (jika t < 0, pikirkanlah daerah banyangan yang direfleksikan melewati
sumbu x). ini adalah bukti dari Gambar 2 bahwa
Luas (sector OBC) ≤ luas (segitiga OBP) ≤ luas (sector OAP)
Daerah segitiga adalah setengah alas kali tinggi, dan luas daerah lingkaran dengan
sudut pusat t dan jari-jari r adalah ½ r2|t|. dengan menggunakan hasil ini pada ketiga
darerah memberikan
12¿¿
Yang setelah mengalikan dengan 2 dan membagi dengan bilangan positif |t| cos t,
menghasilkan,
cos t ≤¿ sin t∨¿¿ t∨¿
≤1cos t
¿¿
Karena ekspresikan (sin t)/t itu positif untuk −π2
≤ t ≤π2
, t ≠0, kita peroleh |sin t||t|=(sin
t)/t. Sehingga,
cos t ≤sin tt
≤1cos t
Karena kita berada setelah limit fungsi tengah dan kita tahu bahwa limit dari setiap
fungsi “sisi luar”, ketidaksamaan ganda ini meminta Teorema Apit. Ketika kita
memakai, kita memperoleh
limt →0
sin tt
=1
Bukti Teorema B2
Limit kedua mengikuti dengan mudah dari yang pertama. Tinggal mengalikan
pembilang dan penyebut dengan (1 + cos t); akan menghasilkan
limt →0
1−cos tt
= limt →0
1−cos tt
.1+cos t1+cos t
¿ limt →0
1−cos2 tt ¿¿
¿
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 69
Gambar 3
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
= limt →0
sin2tt ¿¿
¿
=( limt→0 sin tt )limt→0sin t
limt →0
¿¿¿
¿1 . 02
¿0
Contoh 5:
Tentukan limx→0
sin 3 xx
Penyelesaian:
limx→0
sin 3 xx
=limx→ 03sin 3 x3 x
=3 limx→0
sin 3 x3 x
=3
3. Limit-limit Tak Hingga dan Limit Pada Tak Berhingga
a. Limit-limit Tak Hingga
Definisi limit x→∞
Misalkan f didefinisikan pada [c ,∞¿ untuk beberapa bilangan c. kita
mengatakan bahawa f ( x )=L jika untuk setiap ε>0 terdapat bilangan yang
berkaitan M sedemikian sehingga x>M⟹|f ( x )−L|<εDefinisi limit x→−∞
Misalkan f didefinisikan pada [−∞ ,c¿ untuk beberapa bilangan c. kita
mengatakan bahawa lim f ( x )=L jika untuk setiap ε>0 terdapat bilangan M
yang bersesuaian sedemikian sehingga x<M⟹|f ( x )−L|<εContoh 6:
Tunjukkan jika k adalah bilangan bulat positif maka limx→∞
1
xk=o
Penyelesaian
Misalkan ε>0. Setelah analisis pendahuluan, kita memilih M= k√ 1ε . Kemudian
x>M mengaplikasikan bahwa | 1xk−0|= 1xk
< 1
M k=ε.
Jadi limx→∞
1
xk=o
b. Limit Tak Berhingga
Definisi Limit Tak Berhingga
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 70
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
limx→c+¿ f ( x )=∞¿
¿jika untuk setiap bilangan positif M terdapat sebuah δ>0
sedemikian rupa sehingga 0<x−c<δ⟹ f (x)>M
Contoh 7:
Tentukan lim
x→1−¿ 1
(x−1)2̇¿
¿ dan
limx→1+¿
1
(x−1)2̇¿
¿
Penyelesaian:
Grafik f ( x )=1 /(x−1), diperlihatkan pada gambar 4.
Ketika x→1+¿¿, penyebut tetap positif tetapi menuju nol, sementara
pembilang tetap 1 untuk semua x. Maka, hasil bagi 1
(x−1)2̇dapat dibuat besar
secara sebarang dengan membatasi x dekat tetapi diatas 1. Dengan cara
yang serupa, ketika x dekat, tetapi kekiri dari 1.
Kita menyimpulkan bahwa
limx→1−¿ 1
(x−1)2̇=∞¿
¿ dan
limx→1+¿
1
(x−1)2̇=∞¿
¿
Karena kedua limit adalah ∞, kita juga dapat menuliskan limx→1
1
(x−1)2̇=∞
4. Kekontinuan Fungsi
Dalam bahasa biasa kata kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu
proses berkelanjutan. Gagasan inilah yang berkenaan dengan fungsi. Sebagaimana
definisi kekoninuan di satu titik dikemukan Purcell dkk (2003:70) yang diterjemahkan
oleh I Nyoman Susila adalah:
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c. Kita
menyatakan bahwa f kontinu di c jika limx→c
f ( x )=f (a).
Definisi diatas mensyaratkan 3 hal berikut:
a) limx→a
f (x ) ada.
b) f (c ) ada, yakni c berada dalam daerah asal f.
c) limx→a
f (x )=f (a)
Untuk memahami syarat diatas perhatikan gambar berikut:
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 71
Gambar 4
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
B. Konsep Limit pada SMA
Pada jenjang SMA Limit dikenal dengan Limit Fungsi, dengan pendefinisian secara
intuitif (tdk resmi). Tujuan pembelajaran limit fungsi pada SMA antara lain: 1)
menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi disatu titik dan di tak hingga, 2) menghitung
limit fungsi aljabar disatu titik dan di tak hingga, 3) menghitung limit fungsi trigonometri
disatu titik.
1. Definisi limit fungsi di suatu titik tertentu x = a
Limit fungsi f(x) disuatu titik x = a adalah nilai yang didekati oleh f(x) atau nilai
hampiran dari f(x) untuk nilai x mendekati a dan x≠a. Jika x mendekati a maka f(x)
mendekati L (Jozua Sabandar, 2009:182).
Dituliskan : limx→a
f ( x )=L
Contoh 8:
Tentukan limx→4
(3 x−7)=5
Penyelesaian:
limx→4
(3 x−7)=5 dapat diselesaikan dengan mensubtitusi nilai-nilai yang
mendekati 3. Perhatikan table berikut:
X f(x) x f(x)
2 1 4 15
2.5 3,75 3.5 10,75
2.9 6,31 3.1 7,71
2.999 6,993001 3.001 7,007001
↓ ↓ ↓ ↓
3 7 3 7
Dari tabel di atas diperoleh bahwa limx→3
(x2+x−5)=7
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 72
Gambar 5
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Jika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masing memiliki sebuah nilai
limit, maka jumlah, selisih, perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut juga
mempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limit fungsi aljabar :
a. Limit penjumlahan fungsi merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.
lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
b. Limit selisih fungsi merupakan selisih limit masing-masing fungsi.
lim (f(x) – g(x)) = lim f(x) – lim g(x)
c. Limit perkalian fungsi merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
d. Limit pembagian fungsi merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.
lim
)(
)(
xg
xf
=
Contoh 9:
Tentukan limx→4
(5 x+1)x
Penyelesaian:
limx→4
(5 x+1)x
=limx→4
(5x+1)
limx→4
x
¿limx→4
5 x+limx→4
1
limx→4
x
¿5 (4 )+14
¿ 214
2. Limit fungsi Tak Hingga
Perhatikan nilai fungsi f ( x )=1x
, dimana x ϵ R dan x≠0 pada tabel berikut:
x 1 2 3 … 100 … 10.000 10.001 …
1/x 1 1/2 1/3 … 1/100 … 1/10.000 1/10.001 …
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 73
)(lim
)(lim
xg
xf
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Dari table diatas diketahui bahwa jika nilai x diganti dengan bilangan-bilangan
yang semakin besar maka 1x
akan mendekati nilai nol. Sehingga untuk jenis fungsi
pecahan dengan x mendekati tak hingga (∞), maka digunakan suatu metode dengan
membagi pembilang dan penyebut dengan variable pangkat tertinggi dan dengan
menggunakan fakta: limx→∞
1x=o
Contoh 10:
Tentukan limx→∞
x3−2x2+52x3+4 x+10
Penyelesaian:
limx→∞
x3−2x2+52x3+4 x+10
=limx→∞
x3
x3−2 x
2
x3+ 5
x3
2 x3
x3+ 4 x
x3+ 10
x3
¿ limx→∞
1−2x+ 5
x2 (1x )
2+ 4x ( 1x )+10x2 ( 1x )
¿ 1−0+02+0+0
¿ 12
3. Limit Fungsi Trigonometri
limx→a
f ( x ) dinamakan limit fungsi trigonometri jika fungsi f ( x ) pada limit tersebut
merupakan fungsi trigonometri. Agar dapat memahami limit fungsi trigonometri,
perhatikan gambar berikut:
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 74
Gambar 6
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Gambar diatas merupakan lingkaran yang berpusat dititik O dan berjari-jari r.
B dan A merupakan sebarang titik yang berbeda pada lingkaran, sedangkan BC
merupakan garis singgung terhadap lingkaran di titik B.
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri ditunjukkan bahwa
t=r sin x dan T¿ r sin x (x dalam radian), sehingga diperoleh sebagai berikut:
Luas ∆ BOA=12r . t=1
2r .rsin x=1
2r2 sin x
Luas ∆OBC=12r .T=1
2r . r tan x=1
2r2 tan x
Luas lingkaran O ¿ π r2=12r22π
Luas sektor OBA ¿besar<AOB
2 πx luas lingkaranO=1
2r2 x
Dari pengamatan gambar lingkaran O diperoleh:
Luas ∆ BOA<Luas sektorOBA<¿ Luas ∆OBC
↔12r2sin x< 1
2r2 x< 1
2r2 tan x
↔ sin x<x< tan x⋯ (1 )
↔ sin x<x< sin xcos x
↔1sin x
> 1x> cos xsin x
↔1> sin xx
>cos x⋯ (2 ) (masing−masing dikalisin x )
Karena limx→0
cos x=cos 0=1 dan limx→0
1cos x
¿ 1cos 0
=1
Maka dari persamaan (2) diperoleh limx→0
sin xx
=1 atau limx→0
xsin x
=1
Selanjutnya dari persamaan (1):
sin x<x< tan x
↔sin xtan x
< xtan x
<1(masing−masingdikali1tan x )
↔cos x< xtan x
<1⋯ (3 )
Karena limx→0
cos x=cos 0=1, maka dari persamaan 3 diperoleh limx→0
tan xx
=1 atau
limx→0
xtan x
=1
Contoh 11:
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 75
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Hitunglah limx→0
sin 5 x3x
Penyelesaian:
limx→0
sin 5 x3x
=limx→ 0
sin 5 x3 x
.5 x5 x
¿ limx→0
sin 5 x5x
.5 x3 x
¿ limx→ 0
sin 5 x5x
.53
¿ 53limx→0
sin 5 x5x
¿ 53.1
¿ 53
4. Kekontinuan fungsi
Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi, digunakan perhitungan limit fungsi.
Definisi kekontinuan fungsi sebagaimana dikemukakan noormandiri adalah Fungsi f
kontinu di x=a jika dan hanya jika limx→a
f ( x )=f (a) (Noormandiri, 2005:275).
Sama halnya yang dijelaskan pada kekontinuan limit pada perguruan tinggi,
syarat dari suatu fungsi f (x) dikatakan kontinu di x=a jika memenuhi syarat berikut:
a) limx→a
f (x ) ada.
limx→a
f (x ) tidak ada atau f ( x ) tidak mempunyai limit apabila limit kiri tidak sama
dengan limit kanan. Limit kiri berarti bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri dr a
dan limit kanan berarti bilaman x dekat tetapi pada sebelah kanan dr a.
b) f (a) ada, yakni f(a) terdefinisi.
c) limx→a
f (x )=f (a)
Contoh 12:
Tunjukkan fungsi f (x)=2x+1, kontinu di x=1
Penyelesaian:
limx→1
2x+1=3
f (1 )=2 (1 )+1=3
Karena limx→1
f ( x )=3=f (1), maka menurut definisif (x)=2x+1, kontinu di x=1.
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 76
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
KESIMPULAN
Di perguruan tinggi konsep limit didefinisikan secara fakultatif (resmi) dan intuitif (tdk
resmi), konsep limit tersebut mengalami penyederhanaan ditingkat SMA yakni didefinisikan
secara intuitif. Hal ini disebabkan oleh beberapa hal antara lain, konsep limit baru
diperkenalkan pada jenjang SMA, dan juga disesuaikan dengan tingkat perkembangan
kognitif siswa.
SARAN
Diharapkan kepada pendidik matematika agar menguasai konsep matematika seperti
limit, agar dapat memperdalam pemahaman peserta didik tentang konsep limit disetiap
jenjang pendidikan.
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 77
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
DAFTAR PUSTAKA
Purcell, Varberg, dan Rigdon (2003). Kalkulus dan Geometri Analitis, Jakarta. Erlangga.
Noormandiri, B.K. (2005). Matematika SMA PROGRAM IPA, Jakarta. Erlangga.
Josua Sabandar (2009). Matematika SMA PROGRAM IPA, Jakarta. Bumi Aksara.
Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 78
Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika
Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 79
top related