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2. Einzielentscheidungen mit einem Szenarium
Entscheidungssituation, in der ein Entscheider unter Berück-sichtigung nur eines Ziels in einer Sicherheitssituation eine Auswahl aus mehreren Alternativen treffen muß
Konsequenzen des Umweltzustandes bezüglich der Zielgröße werden beschrieben durch:
2.1 Deterministische Bewertung
2.2 Stochastische Bewertung
2.3 Fuzzy-Bewertung
2
2.1 Deterministische Bewertung
Ergebnisse in Form reeller Zahlen xi = g(ai)
Ergebnisse in Form von Nutzenwerten
(ordinale) Nutzenfunktion:
anspruchsniveaubezogene Zielformulierung
)a(gx)x(uu.bzw)a(gx)x(uu iiiiiiii
optimale Aktion a* A
)x(Min)a(gMin*)a(g.bzw)x(Max)a(gMax*)a(g ii
ii
ii
ii
3
2.2 Stochastische Bewertung
ausreichende Erfahrungen aus der Vergangenheit Konsequenzen in Form einfacher Wahrscheinlichkeitsverteilungen
über R
Ergebnisse in Form von normalverteilten Nutzenwerten
Normalverteilung mit Mittelwert und Standardabweichung
2
2
2)x(exp
21),|x(
),|x(),|x(u iiiiii ),|x(),|x(u.bzw iiiiii
4
Dichtefunktion normalverteilter Ergebnisse
Bei einer Normalverteilung - 68,27% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall- 95,45% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall - 99,73% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall
],[ ]2,2[ ]3,3[
5
-Regel Mittelwerte als Entscheidungsgrundlage
starke Vereinfachung, Streuung wird vollkommen vernachlässigt
(,)-Regel Maximierung des Nutzenmittelwertes bei gleichzeitiger Minimierung
der Streuung Zweizielproblem lösbar durch Angabe der Indifferenzkurven
Risikoaversion
Risikofreude
Risikoneutralität
6
Beispiel - Portfoliotheorie:Wertpapiermischung zwischen
- einem festverzinslichen Papier F, dessen Ertrag N(F, F)- normalverteilt und
- einem Aktienpaket A, dessen Ertrag N(A, A)-normalverteilt ist,
wobei F < A und F < A
mit dem Mittelwert
Mischung aus x Teilen F, 0<x<1, und (1-x) Teilen A ist ebenfalls normalverteilt
AFM )x1(x
mit der Standardabweichung
FAAF22
A2F
2M )x1(x2)x1(x
7
Portfolio im (,)-Diagramm
F A
A
F
adäquate Entscheidungsregel für normalverteilte Ergebnisse, die durch Parameter und vollständig beschrieben sind
8
Schiefverteilte Ergebnisse
Mehrgipflige Ergebnisse
9
2.3 Fuzzy-Bewertung nicht ausreichende Erfahrungen aus der Vergangenheit vages Wissen in Form von Fuzzy-Größen
Abgrenzung in der Praxis schwierig wegen Grenzfällen Fuzzy-Menge: Ist X eine Menge von Objekten, die hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu bewerten sind , so heißt
eine unscharfe Menge auf X (fuzzy set in X).
subjektive Zugehörigkeitsfunktion A
Menge im Sinne von Cantor: Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten
unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen scharf abgegrenzte Menge, a A oder a A
]1,0[X:mit}Xx|))x(,x({A~ AA
10
< 2.6 > Unscharfe Menge „junge Männer“
11
< 2.7 > Unscharfe Menge „ungefähr gleich 8“
}))8x(1()x(|))x(,x{(A~ 12A
2A
R
sonst0
11x8für3
x11
8x5,5für5,2
5,5x
)x(mit}))x(,x{(B~ B2
B R
0 2 4 6 8 10 12 14 x
1(x)
)x(A
)x(B
12
< 2.8 > Prognose des Finanzexperten P. Rognose über den LIBOR im nächsten Jahr:
„Der LIBOR liegt im nächsten Jahr über 3% und unter 8%, am ehesten aber erwarte ich, daß er im Intervall [5%; 5.5%] liegt.“
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
1(x)
)x(C
Fuzzy-Größen zur dem Informationsstand des Entscheiders angepaßten Form der Wissensmodellierung
13
Fuzzy-Größen
Gesamtheit ihrer -Niveau -Mengen
Beschränkung auf prominente Zugehörigkeitswert/ -Niveaus
})x(|Xx{A A
1)u(:1 ix
)u(: ix
)u(: ix
ixix
1ix
1ix
ix
ix
,ii
1i
1iiii )x,x,x,x,x,x(X~
stückweise lineare Zugehörigkeitsfunktion des --Typs
14
arithmetische Operationen mit Fuzzy-Größen erweiterte Addition:
< 2.9 > 5 Alternativen
,11,11 )b,b,b,b,b,b()a,a,a,a,a,a( ,1111 )ba,ba,ba,ba,ba,ba(
,1 )5,3;3;5,2;2;5,1;1(X~ ,
2 )6;3,5;5;4;8,3;3(X~ ,
3 )11;10;9;8;7;6(X~ ,4 )12;7,10;10;5,8;3,7;5,6(X~
,5 )10;5,9;9;5,8;2,8;8(X~
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1X~ 4X~3X~ 5X~2X~
15
Nutzenfunktion:
-Präferenz
-Präferenz
Niveau-Ebenen-Verfahren
,ii
1i
1iiiiii )x,x,x,x,x,x(X~)a(U~U~
,ii
1i
1iiiiii )x,x,x,x,x,x(X~)a(U~U~
Auswahl der nutzenmaximalen Alternative Rangordnung von Fuzzy-Größen
16
-PräferenzEine Menge wird einer Menge auf dem Niveau [0,1] vorgezogen, und man schreibt , wenn die kleinste reelle Zahl ist, so daß für alle [, 1]
und für wenigstens ein [, 1] diese Ungleichung im strengen Sinne erfüllt ist. Dabei sind und die -Niveau-Mengen von bzw. .
)a(U~ k
)a(U~ k
)a(U~ i
)a(U~ i)a(U~)a(U~ ik
)(aU~ Sup)a(U~ Inf ik
})x( | Xx{)a(U )a(Ui i })x( | Xx{)a(U )a(Uk k
)a(U k
1
))a(U~(S k))a(U~(S i
)a(U i
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kann gelten für
für =
für =
für = 1
)a(U k
1
))a(U~(S k))a(U~(S i
)a(U i
)a(U~)a(U~ ik
ob ein Entscheidungsträger ein Präferenzniveau für aus-reichend hält, hängt von seiner subjektiven Risikoeinstellung ab.
18
für =
für =
für = 1
eher pessimistsiche Grundhaltung, da nur die negativen und nicht gleichzeitig die positiven Aspekte berücksichtigt werden
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1X~ 4X~3X~ 5X~2X~
19
-PräferenzEine Menge wird einer Menge auf dem Niveau [0,1] vorgezogen, und man schreibt , wenn die kleinste reelle Zahl ist, so daß und für alle [, 1] und für wenigstens ein [, 1] diese Ungleichung im strengen Sinne erfüllt ist.
)a(U~ k )a(U~ i)a(U~)a(U~ ik
)(aU~ Sup)a(U~ upS ik )(aU~ Inf)a(U~ nfI ik
1
)a(U k
)a(U i
20
schwächere Ordnungsrelation, deswegen nur mit das restriktivste Zugehörigkeitsniveau verwenden
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1X~ 4X~3X~ 5X~2X~
Niveau-Ebenen-Verfahren für Fuzzy-Intervalle des --Typs
6xx
6xx
6xx
x̂1i
1iiiii
i
21
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1X~ 4X~3X~ 5X~2X~
25,26
5,136
5,335,225,11x̂1
52,46
1,27x̂2 5,8651x̂3 17,9
655x̂4 67,8
62,53x̂5
20,01225,2)1(R 41,0
1252,4)2(R 77,0
125,8)3(R
83,01217,9)4(R 79,0
1267,8)5(R
Werte ins Verhältnis zur Länge des kleinsten Intervalls, das die stüt-zenden Mengen enthält, als Sicherheitsschranke )j()i( RR
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