1 beschreibung der energetischen zustände der elektronen wellengleichung ableitung der...
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1
Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen
Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und
Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für
Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom
2
Die Wellengleichung
txptxx
i
txp
itxikx
tx
x
x
,,
,,,
pkk
hkp
kh
p
2
2
tkxiAetx ,
txEtxt
i
txEitxi
t
tx
,,
,,,
Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle:
Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung:
Ableitung nach Zeit:
fhE
Plancksche Gleichung:
3
Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension
txxm
txx
ix
im
txt
i
txm
ptxE
m
pTE
V
x
,2
,2
1,
,2
,
2
0
2
22
2
2
… Potentialenergie = 0 freies Teilchen
… Gesamtenergie / kinetische Energie
HxVxm
VTE
V
2
22
2
0
txHtxE
txxVxm
txt
i
,ˆ,ˆ
,2
,2
22
H … Hamilton-Operator
4
Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung
2222
2
2
2
2
222
2222
xxx
p
pppp zyx
Impuls und der entsprechende Operator
trHtrrVm
trt
i ,ˆ,2
,2
3D-Schrödinger-Gleichung
trrrHtrrrrrrVm
trrrt
i NNN
N
n n
nN ,,,,ˆ,,,,,,,
2,,,, 212121
1
2
21
3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen
5
Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
xxVxmxt
t
t
i
HtxxVxm
txt
i
txtx
txHtxxVxm
txt
i
2
22
2
22
2
22
2
1
:2
,
,,2
,
Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig
Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen
6
Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
xxVxmxt
t
t
i
2
22
2
1
Linke Seite: Rechte Seite:
EC
CAeAet
Cti
Cdtd
i
Ct
t
t
i
tii
Ct
,
constln
02
02
2
1
2
1
2
2
2
2
22
xxVEm
x
xxVCm
x
CxVxmx
CxxVxmx
C … Separations-
konstante
7
Die Schrödinger-Gleichung
Zeitunabhängige (stationäre) Form harmonische SchwingungenSie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt
02
02
2
2
2
2
2
2
22
22
rrVEm
r
zyx
VEm
E … Gesamtenergie des Systems
8
Die Schrödinger-GleichungZeitabhängige Form Wellengleichung
02
02
2
2
Vm
VEm
t
iE
t
i
tzyxieit
ezyxtzyx
ti
ti
,,,
,,,,,
0,2,2
,2
tr
rmV
t
trmitr
trrVtrmt
tri ,,
2
, 2
9
Formale Analogie zwischen der KM und QM
EH
trrVtrmt
tri
Vm
pEEE
ipt
iH
potkin
ˆˆ
,,2
,
ˆ2
ˆˆ
ˆˆˆˆ
2
2
trrVtrmt
tri ,,
2
, 2
10
Lösung der Schrödinger-Gleichung
Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst.
Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen
Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons
1;2
VV
dxdydzdxdydzdVdxdydzdW
Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.
11
Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit
p = ħk und E = ħ
Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung
trctrctr ,,, 2211
Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar
dkektx tkxi 21
,
12
Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
1
1
2
VVV
rdrrdrPdxrr
xxxx
dxxdxxPdxxx
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte
Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)
dxxxfxxf
dxxxxx
… in 3D
13
Hermitesche OperatorenAnalogie zwischen KM und QM
Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator
Ort
Impuls
KinetischeEnergie
Drehimpuls
x x
p
i
m
pT
2
2
m2
2
pr
ri
14
Übung
22222
2
22
baba
ee
babiabiaii
Analogie:2
EEEI
15
Harmonischer Oszillator
m
Aeu
udt
udm
ti
0
02
2
16
Harmonischer Oszillator mit Dämpfung
22
2
2
2
2
4
2
0
0
0
mmm
m
iim
eAeu
udt
du
dt
udm
tit
17
Harmonische Schwingungen
xa
b
a
bA
dx
ud
xa
b
a
bA
dx
du
xa
bAu
a
b
BeAeu
budx
uda
xixi
cos2
sin
cos2
0
2
2
2
2
A = B :
18
Gedämpfte Schwingungen
4
2
02
02
0
2
22
22
2
2
DC
D
CiDi
CiDi
BeAeeu
Cudx
duD
dx
ud
xixix
19
Freies Elektron (V=0)
2
22
22
2
002
2
22
2
2
22
2
k
pE
mk
m
pk
mE
Em
k
Aex
VEm
dx
d
ikx
E
-1 -0.5 0 0.5 1
x 108
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k [cm-1]
E [
eV
]
Keine Randbedingung alle Energien sind möglich
Energiespektrum ist kontinuierlich
20
Elektron im Potentialtopf (1D)V
x
a0
01
22
0sin
0sin2:0
:00
2
002
222
222
2
2
22
2
ndV
Cnnam
km
E
anknkaka
kaAiax
BAx
Em
k
BeAex
VEm
dx
d
ikxikx
E
Energie-Spektrum
n
12
3
4
5
1C4C
9C
16C
25C
Randbedingung Energiespektrum ist diskret
∞ ∞
V = 0freies Elektron
21
Elektron im Potentialtopf (1D)
xa
n
a
xa
n
a
aA
kxdxAdx
kxA
kxAi
aa
sin2
sin2
2
1
1sin4
sin4
sin2
22
0
22
0
22
Lösung für die Wellenfunktion
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x/a
ank
22
Elektron im Potentialtopf (3D)Orthogonale Lösung
c
zn
b
yn
a
xn
abc
mEcakncz
mEbbknby
mEaaknax
zZyYxXzyx
Em
zyx
Em
zyx
zzz
yyy
xxx
sinsinsin8
2
2
2
,,
02
02
22
2
2
2
2
2
2
23
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
Harmonische Schwingung
tAx
mDxx
DxxmF
cos
,02
221
22
21
2
DxDxdxFdxxV
m
pxmxT
Potentielle und kinetische Energie
2
21
2221
22212
222
cos
sinsin22
DATV
tDAV
tDAtmAxm
T
Gesamtenergie
Pot
entia
lAbstand
24
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
,2,1,0,
0
und2
mit
02
21
13
22
10
2222
2
22
221
22
2
221
221
nnE
xaxaxaxaAex
Aex
xkdx
d
mDE
mk
DxEm
dx
d
n
nn
x
x
E
Energie-Spektrum
n
1
2
3
4
½ ħ 0
3/2 ħ
5/2 ħ
7/2 ħ
9/2 ħ
Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ
25
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
2
2
2
2
2
13
4
13
3
2
12
4
1
2
2
14
13
1
2
14
1
0
3
29
214
4
x
x
x
x
exxxu
exxu
xexu
exu
2
72
52
32
1
3
2
1
0
E
E
E
E
26
Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators
27
Potentialbarriere (Tunnel-Effekt)
-1 -0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
2
22
2
2
02
mEk
BeAe
Em
dx
d
I
xikxikI
II
I II
I II
0:
~:
2
02
0
20
022
2
Dx
ikkVE
VEmk
DeCe
VEm
dx
d
IIII
II
xikxikII
IIII
CkBikAikdxddxdx
CBACeBeAe
x
IIIIIII
xkxikxik
III
IIII
~:0
:0~
0;;~
12
;~
12
DC
k
ki
CB
k
ki
CA
I
II
I
II
Keine Randbedingung
28
Doppelte Potentialbarriere
I IIII
V(x) = V0 V(x) = V0V(x) = 0
freies Elektron
2CnE
Energiespektrum
aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere
29
Tunnel-Effekt
Quanten-mechanischer EffektKlassisch: nur I (einfache Welle und ihre
Reflexion)Anwendung
Tunnel-DiodeSTM (Rastertunnelmikroskopie)QW („quantum wall“)
30
WasserstoffatomSphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential
r
ZeFdrV
2
2
2
r
ZeF
Coulomb-Kraft
Coulomb-Potential
02 2
2
r
ZeE
m
Stationäre Schrödinger-Gleichung
31
Wasserstoffatom
2
2
2
2
2
22
2
2
222
2
22
2
2
22
2
2222
2
2
2
sin
1sin
sin
1121
sin
1sin
sin
121
,,,
02
sin
1sin
sin
11
02
:1
YY
Yr
eE
mr
dr
dRr
dr
d
R
RY
rR
Y
rRY
r
eE
mY
r
Rr
rr
YrRr
r
eE
m
rrrr
rr
r
eE
mZ
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
Radiusabhängig Winkelabhängig
Sphärische Koordinaten
32
Wasserstoffatom
1sin
1sin
sin
12
2
2
YYY
Winkelabhängiger Teil
2
222 1
1sinsin
1sin
,
d
dm
d
d
d
d
Y
Separation der Variablen; Separationskonstante m²
Azimutalgleichung, () Polargleichung, ()
022
2
md
d
0
sin1sin
sin
12
2
m
d
d
d
d
Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig
… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
33
WasserstoffatomAzimutalgleichung, ()
022
2
md
d
,2,1,02 mAe mim
m
Spezielle Lösung für () – 2-periodisch
(m … ganze Zahlen)
22
0
22
0
21 AdAdm
Normierung
,2,1,0,2
1 meimm
Ergebnis
m … magnetische Quantenzahl
34
Wasserstoffatom
Polargleichung, ()
0sin
1sinsin
12
2
m
d
d
d
d
Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m²
Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …)
ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl)
Bedingung für m:
… Legendresche Differentialgleichung
,1,,2,1,
m
m
… insgesamt (2ℓ+1) Werte
35
Wasserstoffatom
Lösung der Polargleichung, ()
0sin
1sinsin
12
2
m
d
d
d
d
für m = 0 Legendre-Polynome:
cos3cos5cos
1cos3cos
coscos
1cos
321
3
221
2
1
0
P
P
P
P
für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome:
m
mmmm
d
dP
cos
1coscos1
!2
1cos
2
22
36
Wasserstoffatom
Lösung der Polargleichung, (), normiert
cos
!
!
2
12 mm Pm
m
Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )
immm
m ePm
mY
cos!
!
2
12
2
1,
37
Wasserstoffatom
0
2
2
12
121
22
2
2
2
22
2
2
2
22
ruVrVEm
dr
rudru
rmrVE
m
dr
rud
rrRru
r
eE
mr
dr
dRr
dr
d
R
r
r
r
… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
Radialgleichung
Effektives Potential
VrVVeff
38
Analogie mit klassischer MechanikRotationsenergie eines Teilchens
2
22
222
21
22
2
mrE
mrE
rot
rot
22
1
mrErot
KMQM
11 22
ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl
39
Wasserstoffatom
22
4 1
2 n
meE
Lösung gibt es nur für:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
E [
eV]
n=1
n=2
n=3
E1=-13.6 eV
,1,,1,
1,,2,1,0
,3,2,1
m
n
n
mit
n … Hauptquantenzahl
ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl
m … magnetische Quantenzahl
40
Termschema des Wasserstoffs
Fig. 28, Seite 69
41
42
Wasserstoffähnliche AtomeH, He+, Li++ (1 Elektron)
22
42 1
2 n
emZE
223
42 11
4
1
1
if nnc
emZ
hc
E
c
hE
Spektralserien des Wasserstoffs
17
22
22
22
22
22
m10097.1
4;1
5
11
5;1
4
11
4;1
3
11
3;1
2
11
2;1
1
11
R
nn
R
nn
R
nn
R
nn
R
nn
R
… Lyman
… Balmer
… Paschen
… Brackett
… Pfund
43
Spektralserien des Wasserstoffs
Lyman (UV):
n (nm)2 121,53 102,54 97,2 91,2
2;1
1
1122
n
nR
Balmer:
n (nm)3 656,34 486,25 434,1 364,6
3;1
2
1122
n
nR
Paschen (IR):
n (m)4 1,8755 1,2826 1,094 0,820
4;1
3
1122
n
nR
44
Vergleich der Energieniveausin verschiedenen Potentialen
Fig. 29, Seite 70
Quantum walls Gitterschwingungen(thermische
Eigenschaften)
Wasserstoffatom
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