1 prévision dune série chronologique par lissage exponentiel michel tenenhaus
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1
Prévision d’une série chronologique par lissage exponentiel
Michel Tenenhaus
2
1. Différents types de séries chronologiques
COURS D'UNE ACTION
PAS DE TENDANCE, PAS DE SAISONNALITE
Sequence number
16151413121110987654321
CO
UR
S
1500
1400
1300
1200
1100
CHIFFRE D'AFFAIRES D'UNE SOCIETE
PRESENCE D'UNE TENDANCE, PAS DE SAISONNALITE
Sequence number
252321191715131197531
CA
12000
11000
10000
9000
8000
VENTES MENSUELLES DE CHAMPAGNE
PRESENCE D'UNE TENDANCE ET D'UNE SAISONNALITE
Date
JAN 1970JAN 1969JAN 1968JAN 1967JAN 1966JAN 1965JAN 1964JAN 1963JAN 1962
CH
AM
PA
GN
E
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
3
2. Les méthodes de prévision par lissage exponentiel
TENDANCE SAISONNALITÉ MÉTHODE
NON NON LISSAGE SIMPLE
OUI NON LISSAGE DE HOLT
OUI OUI LISSAGE DE WINTERS
4
3. Lissage exponentiel simple
Exemple : Cours d’une action
JOUR COURS JOUR COURS JOUR COURS123456
129312091205127312201290
789
1011
12431203139013601353
1213141516
13431364133013771332
JOUR
16151413121110987654321
CO
UR
S
1500
1400
1300
1200
1100
5
Prévision de la série COURS D’UNE ACTIONpar lissage exponentiel simple
S0 = Y1 ; alpha = 0.46
JOUR
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1500
1400
1300
1200
1100
COURS
PREVISION
6
Formules de prévision et de lissage
Prévision de Yt+h réalisée à l’instant t
tt S )h(Y
où : - htt Y deprévision )h(Y
- St = estimation de la moyenne de la série à l’instant t
Formule de lissage
St = Yt + (1-)St-1
où : - = constante de lissage ( 0 1)
- S0 = valeur initiale (Y1 ou = valeur choisie par SPSS) Y
Prévision de Y17
en t = 16 :
- si S0 = Y1
- si = 0- si = 1
7
Calcul de la valeur lissée St
lisséeValeur
passées valeursdes pondérée Moyenne
S)1(Y)1(Y S1t
1j0
tjt
jtt
Conséquences
- Somme des poids = 1
- Pour = 0, St = S0 pour tout t
- Pour = 1, St = Yt pour tout t
8
Application : Cours d’une action
= 0.46 St = Yt + (1 - )St-1 S0 = Y1
Jour Cours (Yt) Valeur lissée St
0123...
1516
129312091205
.
.
.13771332
S0 = Y1 = 12931293
1254.361231.65
.
.
.1358.001346.04
9
Application : Cours d’une action
Cours Yt et valeur lissée St [alpha = 0.46]
JOUR
161514131211109876543210
1500
1400
1300
1200
1100
COURS
VALEUR
LISSEE
10
Prévision de Yt
Sur l’historique (t = 1 à T):
1-t
tt
S
1-en t série la de estimée Moyenne
1-en t réalisée Y dePrévision Y
Sur le futur :
hprévision dehorizon pour tout
S
Ten série la de estimée Moyenne
Ten réalisée Y dePrévision (h)Y
T
hTT
11
Prévision de Yt
On choisit minimisant 2te 50085e2
tPour = 0.46 :
= 0.46 St = Yt + (1 - )St-1 S0 = Y1
Jour CoursYt
Valeur lisséeSt
Prévision de Yt
(= St-1)Résidu
et = Yt – St-1
0123...
151617181920
129312091205
.
.
.13771332
1293.001293.001254.361231.65
.
.
.1358.001346.04
1293.001293.001254.36
.
.
.1341.811358.001346.041346.041346.041346.04
0.00-84.00-49.36
.
.
.35.19-26.00
Calculéspar SPSS
12
Choix de Results of EXSMOOTH procedure for Variable COURSMODEL= NN (No trend, no seasonality)
Initial values: Series Trend 1293.00000 Not used
DFE = 15.
The 10 smallest SSE's are: Alpha SSE .4600000 50085.26068 .4700000 50090.61536 .4500000 50094.47462 .4800000 50110.08196 .4400000 50118.73892 .4900000 50143.22786 .4300000 50158.56131 .5000000 50189.64352 .4200000 50214.47645 .5100000 50248.94158
13
Prévision de Yt
JOUR
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1500
1400
1300
1200
1100
COURS
PREVISION
Yt
St-1
S16
S0
14
Intervalle de prévision à l’horizon h au niveau 95%[Modèle ARIMA (0,1,1) sans constante]
Données observées : Y1, …, YT
Prévision de YT+h : TT S )h(Y
Intervalle de prévision à 95% de YT+h :
2T 1)-(h1ˆ1.96 )h(Y
où
T
1t
2tt )YY(
1T
1ˆ
15
Intervalle de prévision au niveau de confiance 95%
Utilisation du « Time series modeler » de SPSS
Forecast
1346 1467 1226
1346 1477 1215
1346 1486 1206
1346 1495 1197
17
18
19
20
Forecast UCL LCL
cours-Model_1
Model
16
4. La méthode de Holt
Exemple : Chiffre d ’affaires d ’une société
Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 41972197319741975197619771978
9 68010 73810 86911 10811 43711 507
9 05010 10010 91011 03411 11511 35211 453
9 38010 16011 05811 13511 42411 38111 561
9 37810 46911 01610 84510 89511 401
Trimestre
252321191715131197531
CA
12000
11000
10000
9000
8000
17
La méthode de Holt
Hypothèses : Série avec tendance, sans saisonnalité
Formule de prévision : A l’instant t, à l’horizon h
ttt Th S )h(Y
Prévisionde Yt+h
Niveau dela tendance
Pente dela tendance
Formules de lissage
St = Yt + (1 - ) (St-1 + Tt-1)
1-en t Y dePrévision Y tt
Tt = (St - St-1) + (1 - ) Tt-1
Prévisionlocalementlinéaire
18
La méthode de Holt
Choix des valeurs initiales de T0 et S0 dans SPSS
1T
YY T 1T
0
Choix des constantes de lissage et
010 T5.0Y S
t1t1-tt Y deprévision TS Y
prévision deerreur Y-Y tt
2tt )Y(Y minimisant et rechercheOn
19
Choix de et
Results of EXSMOOTH procedure for Variable CAMODEL= HOLT (Linear trend, no seasonality)
Initial values: Series Trend 8999.78000 100.44000
DFE = 24. The 10 smallest SSE's are: Alpha Beta(*) SSE .4100000 1.000000 1014101.3926 .4200000 1.000000 1014605.7163 .4100000 .9900000 1015200.6924 .4200000 .9900000 1015268.6427 .4000000 1.000000 1015741.5978 .4200000 .9800000 1016033.2733 .4100000 .9800000 1016402.7294 .4200000 .9700000 1016900.4755 .4300000 1.000000 1017088.4978 .4000000 .9900000 1017288.6506
(*) Gamma dans SPSS
20
Prévision du Chiffre d’Affaires
ChiffreTrimestre d'affaires prévision résidu_________ __________ ___________ ___________
1 9050 9100.22000 -50.22000 2 9380 9159.47960 220.52040 3 9378 9420.15613 -42.15613 4 9680 9555.85127 124.14873
.
.
. 24 11507 11459.70349 47.29651 25 11453 11524.15142 -71.15142 26 11561 11510.86362 50.13638 27 . 11567.85973 . 28 . 11604.29993 . 29 . 11640.74012 . 30 . 11677.18032 .
21
Prévision du Chiffre d’Affaires
Trimestre
2927252321191715131197531
12000
11000
10000
9000
8000
Chiffre
d'affaires
prévision
22
Intervalle de Prévision à 95% du CAUtilisation du « Time series modeler » de SPSS[Modèle ARIMA(0,2,2) sans constante]
Forecast
11566 11981 11151
11601 12130 11072
11636 12360 10913
11672 12649 10695
27
28
29
30
Forecast UCL LCL
ca-Model_1
Model
23
4. La méthode de Winters
Exemple : Ventes de Champagne
1962 … 1968 1969 1970JanvierFévrierMarsAvrilMaiJuinJuilletAoûtSeptembreOctobreNovembreDécembre
281526722755272129463036228222122922430157647312
26392899337037402927398642171738522164249842
13076
39343162428646765010487446331649595169819851
12670
434835644577478846185312429814315877
On exclut les douze derniers mois pour valider la méthode.
24
Ventes de Champagne
On exclut les douze derniers mois pour valider la méthode.
Date
CH
AM
PA
GN
E
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
25
La méthode de Winters
Hypothèses : Série avec tendance et saisonnalité d’ordre s (ici s = 12)
Formule de prévision : A l’instant t, à l’horizon h
Formules de lissage
shtttt I )Th S( )h(Y
Prévisionde Yt+h
Niveau dela tendance
Pente dela tendance
Coefficientsaisonnier
)T(S )-(1 )I
Y( S 1t1-t
s-t
tt
1t1ttt T )-(1 )S(S T
s-tt
tt I )-(1 )
S
Y( I
Prévision localementlinéaire
*Coefficient saisonnier
26
La méthode de Winters
Choix des valeurs initiales T0 , S0
complètes annéesd' nombre leest k où , s)1k(
YY T 1k
0
Choix des coefficients saisonniers I01, …, I0s
010 T)2
s(Y S
Les coefficients saisonniers I01, …, I0s sont obtenusen partant de la décomposition saisonnière de la série Yt
avec poids identiques. La moyenne mobile initiale estconstruite sur s termes.
27
La méthode de Winters
Choix des constantes de lissage , et
1-tinstant l' à calculée Y de prévision
I)T(S Y
t
st1t1-tt
prévision deerreur Y-Y tt
2tt )Y(Y minimisant , , rechercheOn
28
RésultatsResults of EXSMOOTH procedure for Variable CHAMPAGNMODEL= WINTERS (Linear trend, multiplicative seasonality) Period= 12
Seasonal indices:(en pourcentage) 1 73.05851 2 67.43095 3 81.49642 4 83.91526 5 92.57661 6 88.61501 7 73.56785 8 36.17448 9 92.43837 10 120.75980 11 174.76449 12 215.20225
Initial values: Series Trend 3350.79861 21.22801
DFE = 80.
The 5 smallest SSE's are: Alpha Beta Gamma SSE .0500000 .0300000 .0000000 30047638.175 .0600000 .0200000 .0000000 30094467.153 .0500000 .0200000 .0000000 30099702.780 .0500000 .0400000 .0000000 30193432.067 .0600000 .0300000 .0000000 30194656.348
Calculer :
- S1, T1, I1, I12
- 21 Y,Y
29
Résultats sur l’historique utilisé : (horizon h = 1)
Date Champagne Prévision Résidu________ _________ ___________ ___________
JAN 1962 2815 2463.55246 351.44754FEB 1962 2672 2304.80933 367.19067MAR 1962 2755 2826.31399 -71.31399APR 1962 2721 2925.52282 -204.52282MAY 1962 2946 3236.81640 -290.81640JUN 1962 3036 3103.70251 -67.70251JUL 1962 2282 2589.82403 -307.82403AUG 1962 2212 1273.50670 938.49330SEP 1962 2922 3397.22170 -475.22170OCT 1962 4301 4436.22316 -135.22316NOV 1962 5764 6452.30884 -688.30884DEC 1962 7312 7953.28875 -641.28875
.
.
.
JUL 1969 4633 4119.96749 513.03251AUG 1969 1649 2044.67375 -395.67375SEP 1969 5951 5188.64038 762.35962
30047638
e2t
30
Résultats sur l’historique utilisé(prévision à l’horizon 1)
Date
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Champagne
Prévision
31
Résultats sur la période test : (horizon h = 1 à 12)
Date Champagne Prévision Résidu________ _________ ___________ ___________
OCT 1969 6981 6848.37398 132.62602NOV 1969 9851 9940.29754 -89.29754DEC 1969 12670 12276.38085 393.61915JAN 1970 4348 4179.92009 168.07991FEB 1970 3564 3869.24602 -305.24602MAR 1970 4577 4689.98831 -112.98831APR 1970 4788 4843.24782 -55.24782MAY 1970 4618 5358.65535 -740.65535JUN 1970 5312 5144.19067 167.80933JUL 1970 4298 4283.01302 14.98698AUG 1970 1431 2112.08652 -681.08652SEP 1970 5877 5412.60115 464.39885
Calculer :
- Ssept 69 et Tsept 69
- 70 octobred'prévision )13(Y 69 sept
32
Résultats sur la période test (prévision sur l’horizon 1 à 12)
Date
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Champagne
Prévision
33
Intervalle de Prévision à 95% de ChampagneUtilisation du « Time series modeler » de SPSS
Forecast
6982 8210 5754
10390 11756 9024
12914 14434 11395
3859 5121 2596
3655 4970 2340
4544 5992 3096
4826 6360 3293
4912 6507 3317
5192 6877 3507
4661 6305 3017
1977 3300 654
6079 8385 3773
Oct 1969
Nov 1969
Dec 1969
Jan 1970
Feb 1970
Mar 1970
Apr 1970
May 1970
Jun 1970
Jul 1970
Aug 1970
Sep 1970
Forecast UCL LCL
champagn-Model_1
Model
34
Conclusion générale
« All the proofs of a pudding are in the eating, not in the cooking ».
William Camden (1623)
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